2022年河南省焦作市新宇高级中学高二数学理测试题含解析

2022年河南省焦作市新宇高级中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．4π B．12π C．16π D．32π参考答案：C【考点】球的体积和表面积．【分析】取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积．【解答】解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，∴R=2．四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=16π．故选：C．【点评】本题考查球的内接体知识，考查空间想象能力，确定球的切线与半径是解题的关键．2.如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是A．在区间上是增函数B．在上是减函数C．在上是增函数

D．当时，取极大值

参考答案：C略3.由曲线xy=1,直线y=x,y=3所围成的平面图形的面积为（）A． B．ln3 C．4+ln3 D．4ln3参考答案：D4.直线的倾斜角为(

)A

B

C

D

参考答案：D5.假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00﹣﹣﹣7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30﹣﹣﹣7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】CF：几何概型．【分析】设送报人到达的时间为x，此人离家的时间为y，以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示此人离家时间，建立平面直角坐标系，作图求面积之比即可．【解答】解：设送奶人到达的时间为x，此人离家的时间为y，以横坐标表示奶送到时间，以纵坐标表示此人离家时间，建立平面直角坐标系（如图）则此人离开家前能收到牛奶的事件构成区域如图示∴所求概率P=1﹣=；故选：D．【点评】本题考查几何概型的会面问题，准确作图利用面积作为几何测度是解决问题的关键，属中档题．6.设O－ABC是正三棱锥，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若则（x，y，z）为参考答案：A略7.非空数集A={a1，a2，a3，…，an}（n∈N*）中，所有元素的算术平均数记为E（A），即E（A）=．若非空数集B满足下列两个条件：①B?A；②E（B）=E（A），则称B为A的一个“保均值子集”．据此，集合{1，2，3，4，5}的“保均值子集”有（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个参考答案：C【考点】子集与交集、并集运算的转换；众数、中位数、平均数．【分析】根据集合A和“保均值子集”的定义把集合的非空真子集列举出来，即可得到个数．【解答】解：非空数集A={1，2，3，4，5}中，所有元素的算术平均数E（A）==3，∴集合A的“保均值子集”有：{3}，{1，5}，{2，4}，{3，1，5}，{3，2，4}，{1，5，2，4}，{1，2，3，4，5}共7个；故选C．8.已知命题p：x＜1；命题q：不等式x2+x﹣2＜0成立，则命题p的（）是命题q．A．充分而不必要条件 B．充要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对于命题q：解出不等式，即可判断出关系．【解答】解：命题p：x＜1；命题q：不等式x2+x﹣2＜0成立，解得：﹣2＜x＜1．则命题p的充分不必要条件是命题q．故选：A．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.若函数，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.我们把离心率为黄金分割系数的椭圆称为“黄金椭圆”.已知“黄金椭圆”C的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为右顶点和是上顶点，则（

）A.30° B.45° C.60° D.90°参考答案：D【分析】设出椭圆的方程，根据题意写出A,B,F的坐标，利用向量与向量乘积为0，得到.【详解】设椭圆的方程为，由已知，得则离心率即故答案选D【点睛】本题主要考查了椭圆的基本性质，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如右图，将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为

.参考答案：略12.已知是抛物线上的焦点，是抛物线上的一个动点，若动点满足，则的轨迹方程是_____________.参考答案：略13.点为定点，点是抛物线的焦点，点在抛物线上移动，若取得最小值，则点的坐标为

。参考答案：（1,2）14.若有极大值和极小值，则的取值范围是__参考答案：或

15.已知数列

参考答案：500016.若圆锥的全面积是底面积的倍，则它的侧面展开图的圆心角是

．参考答案：17.已知：（x+2）8=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a8（x+1）8，其中ai=（i=0，1，2…8）为实常数，则a1+2a2+…+7a7+8a8=．参考答案：1024【考点】二项式定理的应用．【分析】把所给的等式两边分别对x求导数，可得8（x+2）7=a1+2a2（x+1）+…+7a7（x+1）6+8a8（x+1）7，再令x=0，可得则a1+2a2+…+7a7+8a8的值．【解答】解：∵[1+（x+1）]8=a0+a1（x+1）+…+a8（x+1）8，其中ai=（i=0，1，2…8）为实常数，两边分别对x求导数，可得8（x+2）7=a1+2a2（x+1）+…+7a7（x+1）6+8a8（x+1）7，再令x=0，可得则a1+2a2+…+7a7+8a8=8?27=1024，故答案为：1024．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．参考答案：【考点】椭圆的应用；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程代入已知条件得，求出b，由此能够求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得，再点在椭圆上，结合直线的位置关系进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程为，解得b2=3，（舍去）所以椭圆方程为．（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得设E（xE，yE），F（xF，yF），因为点在椭圆上，所以由韦达定理得：，，所以，．又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以﹣K代K，可得，所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为．【点评】本题综合考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．19.如图，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的四个顶点分别是A1，A2，B1，B2，△A2B1B2是边长为2的正三角形，其内切圆为圆G．（1）求椭圆C及圆G的标准方程；（2）若点D是椭圆C上第一象限内的动点，直线B1D交线段A2B2于点E．（i）求的最大值；（ii）设F（﹣1，0），是否存在以椭圆C上的点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N，作圆G的切线（切点为T）都满足=？若存在，请求出圆M的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由△A2B1B2是边长为2的正三角形，可得b=，，即可得出椭圆C的标准方程．设内切圆的半径为r，则，即可得出内切圆G的标准方程．（2））（i）设直线B1D的方程为：y=kx﹣，．与椭圆的方程联立解得D，可得|DB1|．直线A2B2的方程为：，与y=kx﹣联立解得E．可得|EB1|．可得=，变形利用基本不等式的性质即可得出．（ii）假设存在以椭圆C上的点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N，作圆G的切线（切点为T）都满足=．当切点为点O时，由=，可得N（0，±1），由此可得只有可能M（±3，0）．其圆M的方程为：（x﹣3）2+y2=10，或（x+3）2+y2=10（舍去）．证明即可．【解答】解：（1）∵△A2B1B2是边长为2的正三角形，∴b=，=3，=．∴椭圆C的标准方程为：．设内切圆的半径为r，则=1．∴内切圆G的标准方程为（x﹣1）2+y2=1．（2）（i）设直线B1D的方程为：y=kx﹣，．联立，化为，解得D，∴|DB1|==．直线A2B2的方程为：，联立，解得E．∴|EB1|==．∴==≤1+=，当且仅当时取等号．∴的最大值为．（ii）假设存在以椭圆C上的点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N，作圆G的切线（切点为T）都满足=．当切点为点O时，由=，可得N（0，±1），由此可得只有可能M（±3，0）．其圆M的方程为：（x﹣3）2+y2=10，或（x+3）2+y2=10（舍去）．下面证明：设N，则|NF|2﹣2|NT|2=|NF|2﹣2（|NG|2﹣1）=﹣2=16+10+8cosθ﹣2=0，∴．因此存在以椭圆C上的点M（3，0）为圆心的圆M，其圆M的方程为：（x﹣3）2+y2=10，使得过圆M上任意一点N，作圆G的切线（切点为T）都满足=．20.在我市“城乡清洁工程”建设活动中，社会各界掀起美化环境的热潮.某单位计划在小区内种植A，B，C，D四棵风景树，受本地地理环境的影响，A，B两棵树成活的概率均为，C，D两棵树成活的概率为a(0<a<1),用表示最终成活的树的数量.（1）若A，B两棵树有且只有一棵成活的概率与C，D两棵树都成活的概率相等，求a的值；（2）求的分布列（用a表示）；（3）若A，B，C，D四棵树中恰有两棵树成活的概率最大，求a的范围.参考答案：（1）由题意有：（2）的可能取值有0，1，2，3，4.所以的分布列为01234P(3)由0<a<1,所以，所以有得a的取值范围是略21.已知圆C：x2+y2﹣8y+14=0，直线l过点（1，1）（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；（2）当l与圆C交于不同的两点A，B，且|AB|=2时，求直线l的方程．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；分类讨论；综合法；直线与圆．【分析】（1）确定圆心与半径，利用直线l与圆C相切，分类讨论，即可求直线l的方程；（2）由，得d=1，分类讨论，即可求出直线l的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣8y+14=0，配方，得x2+（y﹣4）2=2，圆心C（0，4），半径，①当直线l的斜率不存在时，l：x=1，此时l不与圆相切．

2分②若直线l的斜率，设l：y﹣1=k（x﹣1），由得k=7或﹣1，所以直线方程为7x﹣y﹣6=0或x+y﹣2=0（2）由，得d=1，①若当直线l的斜率不存在时，l：x=1，满足题意

②若直线l的斜率存在，设l：y﹣1=k（x﹣1）由得，此时l：4x