最值问题（“将军饮马”和“费马点”）-2023年中考数学一轮复习（全国通用）

考向34最值问题（“将军饮马”和“费马点”）

【考点梳理】

“将军饮马，，问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、

角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现.

【抽象模型】如图，在直线上找一点P使得%+PB最小？

【模型解析】作点4关于直线的对称点A',连接以'，则以，=以，PA+PB=PA,+PB

当A，、P、B三点共线的时候，PA,+PB=A,B,此时为最小值（两点之间线段最短）

一:两定一动模型

模型作法结论

A

,'I

∕¾+PB的最小值为AB

BB

当两定点A、B在直线/异侧时，在直线连接AB交直线/于点P,点P

/上找一点P,使∕¾+P8最小.即为所求作的点.

BB

.A

--------------------------I//P

J1//

✓

.a/∕¾+PB的最小值为AB'

B'

当两定点A、B在直线I同侧时，在直线

作点8关于直线/的对称点⑶，

I上找一点P，使得PA+PB最小.

连接AB交直线/于点P,点P

即为所求作的点.

.A

IPA-P却的最大值为A8

B

1------------------------------------I≠--------------------∙ι

当两定点A、B在直线/同侧时，在直线

连接AB并延长交直线/于点

I上找一点P，使得IPA-PBl最大.

P,点尸即为所求作的点.

.A

—

-------------------------I

P\

I

B

BIPA-PBl的最大值为松

当两定点A、B在直线/异侧时，在直线作点B关于直线/的对称点8,

连接Ab并延长交直线/于点

/上找一点尸，使得IpA-PM最大.P,点尸即为所求作的点.

.A

B

I

IPA-P的最小值为O

1----------------------------------------------I

当两定点A、B在直线I同侧时，在直线

连接AB,作AB的垂直平分线

I上找一点P,使得IPA-PBl最小.

交直线/于点P,点尸即为所

求作的点.

二：一定两动模型

模型作法结论

Aɪ,

OB

、I

OBX*IΔPCD周长的最小值为

P'P"

分别作点P关于OA、OB的对

点P在NAoB内部,在OB边上找点

称点产、P",连接P'P",交OA,

D,OA边上找点C,使得APCD周

OB于点C、。，点C、。即为所

长最小.

求.

2x×1L

Z----------——B°八、,β

PD+CD的最小值为P'C

v,

点PHZAOB内部，在OB边上找点

作点P关于OB的对称点P',过

D,OA边上找点C,使得PD+CD

P作PSOA交OB于。,点C、

最小.

点。即为所求.

二：“费马点”指的是位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。主要分为两种情况：

(1)当三角形三个内角都小于120。的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中三条线

段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。

(2)当三角形有一个内角大于120。时，费马点就是此内角的顶点.

费马点问题解题的核心技巧：

旋转60。4构造等边三角形-»将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上会利用两点之间线段最短求解问

题

模型展示：如图，在AABC内部找到一点P,使得PA+PB+PC的值最小.

A

当点P满足/APB=/BPC=/CPA=I20。，则PA+PB+PC的值最小，P点称为三角形的费马点.

特别地，AABC中，最大的角要小于120。，若最大的角大于或等于120。，此时费马点就是最大角的顶点A

（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）

费马点的性质：

1.费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

2.费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120。。

最值解法：以AABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值。证明过程：

将AAPC边以A为顶点逆时针旋转60。，得到AQE,连接PQ,则AAPQ为等边三角形，PA=PQo

即PA+PB+PC=PQ+PB+PC,当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE

【题型探究】

题型一：将军饮马

1.如图1,正方形ABCD中，点E是BC的中点，点尸是对角线AC上的一个动点，设AP=x,PB+PE=y,当点

P从A向点C运动时，y与X的函数关系如图2所示，其中点M是函数图象的最低点，则点M的坐标是()

A.(4√2,3√5)B.(2√2,3√5)C.(3√5,2√2)D.(3√5,4√2)

2.如图，如图，M的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),点尸是M上的任意一点，PALPB,PA,PB与X

轴分别交于A,8两点，若点A、点8关于原点。对称，则AB的最小值为()

3.如图，在AABC中，AB=2,ZABC=60o,NACB=45。，。是BC的中点，直线/经过点。，AE±l,BFLl,垂

足分别为E,F,则AE+BF的最大值为()

题型二：费马点

4.如图，在ABC中，ZCAB=90°,AB=AC=I,P是ΛBC内一点，求24+PB+PC的最小值为.

P.

B

5.如图，在RrAABC中，NBAC=90。，AB=AC,点P是AB边上一动点，作尸ZuBC于点。，线段49上存在一点

Q,当QA+QB+QC的值取得最小值，且Aβ=2时，贝∣]/V)=.

6.如图，在平面直角坐标系Xoy中，点B的坐标为(0,2),点。在X轴的正半轴上，NOD5=30。，OE为△BOD

的中线，过B、E两点的抛物线y=α√+且x+c与X轴相交于A、尸两点(A在尸的左侧).

(1)求抛物线的解析式：

(2)等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；

(3)点尸为△AB。内的一个动点，设m=PA+PB+PO,请直接写出”的最小值,以及机取得最小值时，线段A尸的

长.

【必刷好题】

一、单选题

7.如图，RtABC中，ZC=90o,AC=4,3C=3,点P为AC边上的动点，过点尸作叨_LAB于点。，则PB+PD

B

1524-20

A.Bo.—C.5D.—

T53

8.如图，E为正方形ABC。边A。上一点，AE=I,DE=3,P为对角线BO上一个动点，则B4+P石的最小值为

()

A.5B.4√2C.2√10D.10

9.如图，正方形ABCQ的边长为4,点M在。C上，且。M=1,N是AC上一动点，则£W+MN的最小值为（）

A.4B.4正C.2√5D.5

10.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4,且/ABC=/ABE=60。，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将^ABG

绕点B逆时针旋转60。得到AEBF,当AG+BG+CG取最小值时EF的长（）

3√3DT

11.如图所示,在ABe中，N4BC=68。，BD平分/ABC,P为线段80上一动点，Q为边AB上一动点，当AP+PQ

的值最小时，/"5的度数是（）

A.118oB.125oC.1360D.1240

二、填空题

12.如图，菱形草地ABC。中，沿对角线修建60米和80米两条道路（AC<3。），M、N分别是草地边BC、8的

中点，在线段8。上有一个流动饮水点P,若要使RW+PN的距离最短，则最短距离是米.

13.如图，在等边ABC中，BDLAC于O,AZ）=女m.点P,Q分别为AB,A。上的两个定点且BP=AQ=ICm,

点M为线段BD上一动点，连接加,QM,则PM+QM的最小值为cm.

14.如图，四边形ABCD是菱形，AB=6,且NABC=60。，M是菱形内任一点，连接AM,BM,CM,则AM+BM+CM

的最小值为

15.如图，在RtZkABC中，ZACB=90°,AC=BC,点C在直线MN上，NBCN=30。，点、P为MN上一动点、,连

接AP,BP.当AP+3P的值最小时，NCBP的度数为度.

B

MCN

16.如图，在ABC中，ZBAC=90o,AB=3,AC=4,E尸垂直平分6C,点P为直线EF上任意一点，则AP+3P

的最小值是.

三、解答题

17.如图，正方形43。的边长为4,点P是正方形内部一点，求P4+2PB+若PC的最小值.

18.如图，在RtZXABC中，NAeB=90。，斜边AB=8,AB经过原点。，点C在)，轴的正半轴上，AC交X轴于点

D,且CD:AD=4:3,反比例函数y=A的图象经过A、B两点.

X

(1)求反比例函数的解析式.

(2)点P为直线AC上一动点，求BP+OP的最小值.

19.如图，AABC中，ZBAC=45o,AB=6,AC=4,P为平面内一点，求2√∑BP+石AP+3PC最小值

20.在正方形ABCD中，点E为对角线AC(不含点A)上任意一点，AB=2√2;

(1)如图1,将AADE绕点D逆时针旋转90。得到3CF,连接EF；

①把图形补充完整(无需写画法)；②求EL的取值范围；

(2)如图2,求BE+AE+DE的最小值.

21.在£ABC中，?B90?,。为BC延长线上一点，点E为线段AC,CO的垂直平分线的交点，连接E4,EC,

ED.

(1)如图1,当NB4C=40。时，则NAED=°；

(2)当ZfiAC=600时，

①如图2,连接AO,判断△?1££＞的形状，并证明;

②如图3,直线C尸与E3交于点F,满足NCEO=NC4E.P为直线C尸上一动点.当PE—PD的值最大时，用等

式表示PE,PO与AB之间的数量关系为,并证明.

22.在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，其中A(-l,l),B(4,3),C(4,T)处各有一颗棋子.

(1)如图1,依次连接A,B,C,A,得到一个等腰三角形(BC为底边)，请在图中画出该图形的对称轴.

(2)如图2,现X轴上有两颗棋子P,Q,且PQ=I(P在。的左边)，依次连接A,P,Q,B,使得A∕3+Pβ+Q8的

长度最短，请在图2中标出棋子P,。的位置，并写出P,Q的坐标.

参考答案:

1.A

【分析】根据图像，当尸与C重合时，PB+PE=9即C8+CE=9,从而确定正方形的边长为6,根据将军饮马河原理,

连接。E交AC于点G,当点P与点G重合时，PE+P8最小，且为。E的长即点M的纵坐标，利用相似三角形，计

算AG的长即为横坐标.

【详解】如图，根据图像，当P与C重合时，PB+PE=9SPCB+CE=9,

：点E是BC的中点，

.∙.8C=6,

连接。E交AC于点G,当点P与点G重合时，PE+PB最小，且为。E的长即点M的纵坐标，

Y四边形A8CZ)是正方形，AB=6,

22

J.CE∕7AD,AC=J6?+62=6M，DE=y∣β+3=3√5，

Λ∆CGE∞∆AGD,

.CGCE=1

"^G~AD~2,

.AC3

••---=一，

AG2

.∙.AG=4夜，

故点M的坐标为(4√∑,3√5),故A正确.

故选：A.

【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，函数图像信息的获取，将军饮马河原理，熟练掌握

正方形的性质，灵活运用三角形相似，构造将军饮马河模型求解是解题的关键.

2.D

【分析】由RrZ∖APB中AB=2QP知要使48取得最小值，则PO需取得最小值，连接QM,交；M于点P,当点尸位

于尸位置时，OP'取得最小值，据此求解可得.

【详解】解：连接0P，

.∙.ZAra=90o,

AO=BO9

.∙.AB=2PO9

若要使A3取得最小值，则尸。需取得最小值，

连接。M，交M于点P,当点P位于P位置时，OP取得最小值,

过点M作M2ɪX轴于点Q,

.∙.OM=5,

又MP=2,

.∙.OP=3,

,

.∖AB=2OP=61

故选：D.

【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出A5取

得最小值时点P的位置.

3.A

【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可.

【详解】解：如图，过点C作CKL于点K,过点A作AHJ_BC于点H,

VZABC=60o,AB=2,

ΛBH=1,AH=G,

在Rt∆AHC中，ZACB=45o,

2222

AC=y∣AH+CH=λ∕(^)+(√3)=√6，

；点D为BC中点，

ΛBD=CD,

在^BFD⅛∆CKD中，

'NBFD=ZCKD=90°

<NBDF=ZCDK,

BD=CD

Λ∆BFD^ΔCKD(AAS),

ΛBF=CK,

延长AE,过点C作CNLAE于点N,

可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,

在RtAACN中，AN<AC,

当直线AC时，最大值为几，

综上所述，AE+BF的最大值为".

故选：A.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键.

4"+夜

［分析】将4APC绕点C顺时针旋转60°得4DFC,可得PC=PF,DF=AP,PA+PB+PC转化为FD+BP+PF,

此时当3、尸、F、。四点共线时，24+PB+PC的值最小，最小值为8。的长；根据勾股定理求解即可.

【详解】解：将AAPC绕点C顺时针旋转60°得△。/C,连接PF、AD,DB,过点。作。LBA,交班的延长线

于点E；

：.AP=DF9NPCF=NACD=60。，PC=FCfAC=CD,

Λ∆PCF.是等边三角形，

o

：.PC=PF,AD=AC=∖fZDAC=GO

・・・PA+PB+PC=FD+BP+PF,

・・・当4、P、F、。四点共线时，A4+M+PC的值最小，最小值为3。的长;

o

VZCAB=90fNcAD=60。，

ΛZEΛD=30°,

・・・DE=-AD=-,

22

・•・AE=y∣AD2-ED2=—,

2

・DZT1ʌ/ɜ

•∙BE=IH----，

2

.,.BD=y∣BE2+DE2="+■,

2

.∙.PA+PB+PC的值最小值为®正.

2

故答案为：虫Nl.

【点睛】本题考查费马点问题，解题的关键在于将AAPC绕点C顺时针旋转60。得△。尸C,将三条线段的长转化到

一条直线上.

5.3+-ν3

【分析】如图1,将ABQC绕点8顺时针旋转60。得到MMW,连接QN,当点A,点Q,点N,点M共线时，QA+QB+QC

值最小，此时，如图2,连接MC,证明AM垂直平分BC,证明Af>=BO,此时尸与。重合，设Pf>=x,则OQ=X-2,

构建方程求出X可得结论.

【详解】解：如图1,将ABQC绕点B顺时针旋转60。得到ABNM,连接QM

A

`∖M

：.BQ=BN,QC=NM,NQBN=60°,

.∙.ZiBQN是等边三角形，

：.BQ=QN,

：.QA+QB+QC=AQ+QN+MN,

.∙∙当点A,点Q,点N,点M共线时，QA+QB+QC值最小,

此时，如图2,连接MC

A(P)

N

M

图2

；将4BQC绕点B顺时针旋转60。得到ABNM,

：.BQ=BN,BC=BM,ZQBN=6Q°=ZCBM,

.•.△BQV是等边三角形，4CB何是等边三角形,

：.NBQN=NBNQ=60。,BM=CM,

；BM=CM,AB=AC,

...AM垂直平分8C,

VADlBC,/800=60°,

.*.BD=√3QD,

Λ

∖AB=AC9NBAC=90。,AD±BC,

：.AD=BD,此时P与。重合，设PEE,则。。二心2,

Λx=tan60o×(x-2)=∖∕3(x-2),

Λx=3+√3,

ΛPD=3+√3.

故答案为：3+Λ∕3.

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确运用

等边三角形的性质解决问题，学会构建方程解决问题.

2或处叵机可以取到的最小值为当机取

6.(1)J,=-1Λ∙+^X+2(2)A£=√13;AM=MɪAM=(3)Jii.

261313

得最小值时，线段AP的长为鼠叵

13

【分析】(1)已知点B的坐标，可求出OB的长；在Rt△€)BD中，已知了NODB=30。，通过解直角三角形即可求

得OD的长，也就得到了点D的坐标；由于E是线段BD的中点，根据B、D的坐标即可得到E点的坐标；将B、

E的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，由此确定抛物线的解析式；

(2)过E作EG,X轴于G,根据A、E的坐标，即可用勾股定理求得AE的长；过O作AE的垂线，设垂足为K,

易证得AAOKs△AEG,通过相似三角形所得比例线段即可求得OK的长；在RtAOMK中，通过解直角三角形，

即可求得MK的值，而AK的长可在Rt∆AOK中由勾股定理求得，根据AM=AK-KM或AM=AK+KM即可求得AM

的长；

(3)由于点P到AABO三顶点的距离和最短，那么点P是AABO的费马点，即NAPo=/OPB=NAPB=I20。；易证

得AOBE是等边三角形，那么PA+PO+PB的最小值应为AE的长；求AP的长时，可作AOBE的外接圆(设此圆为

OQ),那么。Q与AE的交点即为m取最小值时P点的位置；设。Q与X轴的另一交点(O点除外)为H,易求得

点Q的坐标，即可得到点H的坐标，也就得到了AH的长，相对于。Q来说，AE、AH都是。Q的割线，根据割

线定理(或用三角形的相似)即可求得AP的长.

【详解】(1)过E作EGLOD于G

VZBOD=ZEGD=90o,ZD=ZD,

ΛΔBOD^∆EGD,

：点B(0,2),NoDB=30。，

可得0B=2,OD=2√3;

为BD中点,

.EGDEGDI

^'BO^Dβ^OD^2

ΛEG=1,GD=√i

Λ0G=√3

.∙.点E的坐标为（6，1）

•••抛物线广加+4*+0经过8(0,2)、E(EI)两点,

.∙∙l=α(√3)2+^×√3+2.

可得〃=一；.

二抛物线的解析式为了=-；/+骼χ+2.

(2)：抛物线与X轴相交于A、F,A在尸的左侧，

∙∙.A点的坐标为卜6,0).

过E作EG_LX轴于G

/.AG=25EG=I,

：.在AAGE中，ZAGE=90°,

AE=Z2国+E=瓦•

过点。作OK_LAE于K,

可得AAOKsaAEG.

.OKEG

"ΛO-AF'

.OK1

*,√3-√13'

.∙.OK=叵.

13

AK=-JAO2-OK2=.

13

∙.∙AQMN是等边三角形，

二ZWo=60。.

√39

''KM=———=-ɪ=—'

tanZKMO√313

AM=4K+KM=独ɪ,或AM=AK-KM

1313

R，

以AB为边做等边三角形AOB,以OA为边做等边三角形A0B,；

易证OE=OB=2,ZOBE=60o,则4OBE是等边三角形；

连接OCV、BB∖AE,它们的交点即为m最小时，P点的位置（即费马点）；

VOA=OB,NBgB=NAoE=I50。，OB=OE,

Λ∆AOE^∆B,OB;

ZBrBO=ZAEO;

VZBOP=ZEOPr,而NBC）E=60。，

・・・ZPOP'=60o,

••.△POP为等边三角形，

ΛOP=PPz,

.∙.PA+PB+PO=AP+OP'+P"E=AE;

即m©小=AE=713

如图；作正AOBE的外接圆OQ,

根据费马点的性质知∕BPO=12()o,W∣JZPBO+ZBOP=60°,而NEBO=NEoB=60。；

二ZPBE+ZPOE=180o,ZBPO+ZBEO=180°；

即B、P、0、E四点共圆；

易求得Q(―.1),则H(亚，0)；

33

.∙.AH=9；

3

由割线定理得：AP∙AE=OA∙AH,

即：AP=OA∙AH÷AE=6x孚÷√Γ5=条ɪ

故：机可以取到的最小值为内.

当机取得最小值时，线段AP的长为包叵

13

【点睛】此题是二次函数的综合类试题，涉及到二次函数解析式的确定、等边三角形的性质、解直角三角形以及费

马点位置的确定和性质，能力要求极高，难度很大.

7.B

【分析】作点B关于AC的对称点B',过点B'作B7)，A3于点D,交AC于点P,点P即为所求作的点，此时PB+PD

有最小值，连接AQ,根据对称性的性质，可知：BP=BrP,AfiCmABT,根据SAM=SABc+S.C=2SA%，

即可求出PB+PZ)的最小值.

【详解】解：如下图，作点B关于AC的对称点过点£作夕AB于点D,交AC于点P,连接点P即

为所求作的点，此时依+产。有最小值，

根据对称性的性质，可知：BP=EP,

在RtABC中，ZACB=90。,AC=4,BC=3,

.∙.AB=4AC、BC?=5,

根据对称性的性质，可知：ABC=AB1C,

,=,，

■■^∆ΛBBS&ABC+SiM8C=2SΔABC

11

3勿=2X

2-2-BC-AC,

5B'D=24,

.∙,B'D=—,

5

故选：B.

【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称的性质.

8.A

【分析】连接EC交3。于P点，根据“两点之间线段最短”，可知R4+PE的最小值即为线段EC的长，求出EC的长

即可.

【详解】连接EC,交8。于P点

∙.∙四边形ABC。为正方形

.∙.A点和C点关于BO对称

..PA=PC

PA+PE=PC+PE=EC

根据“两点之间线段最短“，可知R4+PE的最小值即为线段EC的长.

VAE=I,DE=3

.∙.AD=4

/.DC=4

:.CE=y∣DE2+CD2=√32+42=5

二R4+PE的最小值为5

故选：A

C

【点睛】本题主要考查了正方形的性质和两点之间线段最短，这是一个将军饮马模型.熟练掌握正方形的性质并且能

够识别出将军饮马模型是解题的关键.

9.D

【分析】由正方形的对称性可知点B与。关于直线AC对称，连接交AC于V,V即为所求在RtABCM中利用

勾股定理即可求出的长即可.

【详解】：四边形ABC。是正方形，

点B与。关于直线AC对称，

：.DN=BN,

连接B£),BM交AC于M,连接。

AK----------------^D

二当8、N、M共线时，£W+MN有最小值，则BM的长即为。N+MN的最小值，

•'.AC是线段BD的垂直平分线，

又∙.∙CD=4,DM=I

：.CM=CD-DM=^A=?),

在Rt∆BCM中，BM=^CM1+BC-=√32+42=5

故。N+MN的最小值是5.

故选：D.

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出。关于直线AC的对称点，由轴对称及正方形

的性质判断出D的对称点是点B是解答此题的关键.

10.D

【分析】根据“两点之间线段最短”，当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长.

【详解】解:如图,

VW∆ABG绕点B逆时针旋转60。得到AEBF,

ΛBE=AB=BC,BF=BG,EF=AG,

∙*∙∆BFG是等边三角形.

ABF=BG=FG,.

AG+BG+CG=FE+GF+CG.

根据“两点之间线段最短”，

，当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长,

过E点作EFlBC交CB的延长线于F,

ΛZEBF=180o-120o=60o,

VBC=4,

ΛBF=2,EF=2√3,在RtZkEFC中，

•：EF2+FC2=EC2,

ΛEC=4√3.

∙/ZCBE=120°,

・•・ZBEF=30o,

YNEBF=NABG=30。，

AEF=BF=FG,

EF=』CE=延，

33

故选：D.

【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解

题的关键.

11.D

【分析】先在BC上截取BE=B。，连接PE,证明PBQ^PBf(SAS),得出尸E=PQ,说明AP+PQ=AP+PE,

找出当A、P、E在同一直线上，且AEj_BC时，AP+PE最小，即A尸+PQ最小，过点A作4E_LBC于点E,交BD

于点P,根据三角形外角的性质可得答案.

【详解】解：在BC上截取8E=8Q,连接PE,如图：

；平分NABC,ZABC=68°,

.∖ZABD=ZCBD=-ZABC=34o,

2

•：BP=BP,

・・・PBQ^PBE(SAS),

：.PE=PQ,

：.AP+PQ=AP+PE,

・・・当A、P、E在同一直线上，且AE_L8C时，AP+OE最小，即AP+PQ最小，过点A作AEjLBC于点E,交BD于

点P,如图：

VZAEB=90o,ZCBD=34°,

：•ZAPB=ZAEB+ZCBD=124°.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的

外角的性质，解题的关键是找出使4P+PQ最小时点P的位置.

12.50

［分析］作M关于8。的对称点Q,连接NQ,交3。于p,连接"尸，当尸点与p重合时,MP+NP=MP+NP=NQ

的值最小，根据菱形的性质和勾股定理求出BC长，即可得出答案.

【详解】解：作M关于BO的对称点Q,连接NQ,交BD于P,连接叱，

当P点与P'重合时，MP+NP=MP'+NP=NQ的值最小，

四边形ABa）是菱形，

.-.ACA.BD,ZQBP=ZMBP,

即。在AB上，

MQLBD,

.∙.AC∕∕MQ,

.∙.M为BC中点，

，Q为AB中点，

QN为CQ中点，四边形A6C。是菱形，

.∙.BQ//CD,BQ=CN,

.•・四边形BQNC是平行四边形，

.∙.NQ=BC,

设AC与B。的交点为点O,

四边形ABa）是菱形，

.∙.ACɪBD,OC=IAC=30米，OB—ɪBD=40√∣∖,

22

.∙.BC=yjOB2+OC2=50米，

.∙.PM+PN的最小值是50米.

故答案为：50.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的

关键是能根据轴对称找出P的位置.

13.5

【分析】如图所示，作点P关于8。的对称点P',且点P'在8C上，则尸M+QM=尸砌+QM,当在同一

条直线上时，有最小值，证明四边形PP3是平行四边形，P^Q=AP=AB-BP,由此即可求解.

【详解】解：如图所示，作点尸关于Bo的对称点P,

：/SC是等边三角形，BDlAC,

：.?ABD2DBC-2ABC,窗60=30?,

22

点P在BC上，

∙∙∙P¢M=PM＞则PM+QM=P而+QM,当成例,Q在同一条直线上时，有最小值,

：点P关于8。的对称点P,ZABr)=NDBC=30。,

PPtZBM>BP=BPC=Icm，

NBPP=60。,

二二3”是等边三角形，即？BP炉?C60?,

/.PPi//AC,且PP¢=AQ=Icm,

.∙.四边形PPfQA是平行四边形，

PfQ=AP=AB-BP,

在RtAABO中，ZABD=3Q°,AD=3,

：.AB=2AD=2×3=6,

：.AP=P⅛=PM+QM=PM+QM=AB-BP=6-1=5,

故答案为：5.

【点睛】本题主要考查动点与等边三角形，对称一最短路径，平行四边形的判定和性质的综合，理解并掌握等边三

角形得性质，对称一最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质是解题的关键.

14.6√3

【分析】以为边作等边以BC为边作等边△BCE,如图，则△BCM丝ABEM由全等三角形的对应边

相等得到CM=NE,进而得至IJAM+M8+CM=AM+MN+NE.当A、M、N、E四点共线时取最小值AE.根据等腰三角

形"三线合一”的性质得到BHLAE,AH=EH,根据30。直角三角形三边的关系即可得出结论.

【详解】以为边作等边△BMN,以BC为边作等边△3CE,则BM=BN=MN,BC=BE=CE,NMBN=NCBE=60。,

：.ZMBC=ZNBE,C.∕∖BCM^∕∖BEN,.∙.CM=NE,：.AM+MB+CM=AM+MN+NE.当A、M、N、E四点共线时取

最小值AE.

,,

•：AB=BC=BE=6,NABH=NEBH=60°,..βH±AE,AH=EH,ZBAH=30°,..BH=^AB=3,AH=yβBH=3yβ,

：.AE=IAH=6下>.

故答案为66-

【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质.难度比较大.作出恰当的辅助线

是解答本题的关键.

15.15

【分析】如图，作B关于MN的对称点。，连接AO,8。CD,AP+8P的值最小，则MN交AO于P,由轴对称易

证NCBP=NCDP,结合/BCV=30。证得43CD是等边三角形，可得AC=Ct>,结合已知根据等腰三角形性质可求

出/CDP,即可解决问题.

【详解】如图，作B关于MN的对称点O,连接A。,BRCD,

AP+BP的值最小，

则MN交于P,由轴对称可知：

CB=CD,PB=PD,

:.NCBD=NCDB,ZPBD=ZPDB,

..NCBP=NCDP,

.NBCN=30。,

.-.ZBCD=2ZBCJV=60°,

.•.△88是等边三角形，

AC=BC,

AC=CD,

:.ZCAD=ZCDA,

ZAC8=90。，ZBCD=60°,

.∙.ZCAD=NCDA=∣(180o-ZACB-ZBCD)=15°

.-.ZCBP=ZCDP=15°,

故答案为：15.

【点睛】本题考查等边三角形判定和性质、轴对称的性质、最短路径问题、等腰三角形的性质；熟练掌握相关性质

的联系与运用，会利用最短路径解决最值问题是解答的关键.

16.4

【分析】由线段垂直平分线的性质可得BP=PC,可得当点A,P,C在一条直线上时，A4+BP有最小值，最小值

为AC的长.

【详解】解：连接PC.

；E尸是BC的垂直平分线，

二BP=PC,

,PA+BP=AP+PC,

当点A,P,C在一条直线上时，PA+8P有最小值，最小值为AC=4.

故答案为：4.

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，明确线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键.

17.4√W

【分析】延长OC到“，使得ɑ∕=2BC=8,则加/=4石，在NC8”的内部作射线B/,使得NPBJ=NCBH,使

得BJ=小BP，连接PJ,JH,AH.先证明ΛJBP^ΛHBC,可得PJ=2PB,再证明Z^BC^∆JBH,可得：HJ=√5PC,

从而得到尸A+2PB+石PC=PA+7V+H∕≥4”,计算出AH的长度即可.

【详解】解：延长OC到“，使得α∕=2BC=8,则8”=4石，在NC8”的内部作射线B/,使得N∕¾∕=NCg”,

使得BJ=yβBP,连接PJ，JH,AH.

•PB_BJ

一~BC~~BH'

.∙.JBPSHBC，

：.NBPJ=ZBCH=骄，

.∙.PJ=y∣BJ2-PB2=y∣(y∕5PB)2-PB2=2PB，

­≡=≡

:.PBCs.JBH,

.PCPB坦

>•----,

JHBJ5

.∖HJ=y∕5PC

.∙.PA+2PB+y∣5PC=PA+PJ+HJ>

PA+PJ+JH≥AH,

:.PA+2PB+y∕5PC≥√42+l22=4√10，

.,.PA+2PB+&PC的值最小，最小值为4加.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，正方形的性质，，正确理解费马点问

题，利用相似构造2PB与6PC,根据系数将图形扩大或缩小构建图形是解决问题的关键.

18.(l)y=_4

X

(2)4√2

【分析】（1）过点A作LX轴于点E,根据题意可得A、B关于原点对称，再由直角三角形的性质可得

AO=Co=BO=；A8=4,再由平行线分线段成比例可得OE=3,然后根据勾股定理求出AE=√7,可得到点A的

坐标，即可求解；

（2）延长BC至点尸,使得FC=BC,连接OF交直线AC于点P,连接BP,可得AC垂直平分BF,从而得到BP=FP,

再由“两点间线段最短“可得8P+OP的最小值为线段QF的长，然后根据4、B关于原点对称，可得网-/,3）,可

求出点尸的坐标为（近,5）,即可求解.

【详解】（1）解：如图①，过点A作AELX轴于点E,

...A、8关于原点对称，

为AB的中点，

VZACB=90o,AB=S,

：.A0=C0=B0=-AB=4,

2

,/OD//EA,

.COCD4

",^E~~DA~3'

._4__4

••—―，

OE3

・,.OE=3,

「・AE=yjAO2-OE2=√42-32=√7，

・・・点A的坐标为(S,-3),

.*.k=ʌ/7×(—3)=-3币,

.∙.反比例函数的解析式为y=-当且.

X

(2)解：如图②，延长BC至点F,使得尸C=BC,连接。F交直线AC于点P,连接8P,

图②

VBC1AC,FC=BC,

AC垂直平分BF,

：•BP=FP,

：.BP+OPFP+OP=OF,

由“两点间线段最短''可得8P+OP的最小值为线段。尸的长，

由(1)得A、B关于原点对称，

.∙.β(-√7,3),

:C为线段BF的中点，

即()

Λ⅞1⅞Λ⅛=y-"+与=,⅛L=4,

2=222

解得XF=@,%=5,

二点尸的坐标为(近,5),

，OF=^(√7)2+52=屈.=4近,即BP+OP的最小值为4√2.

【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何应用，平行线分线段成比例，勾股定理，线段垂直平分线的性质，利用

数形结合思想解答是解题的关键.

19.12√3

【分析】将^APC绕点A逆时针旋转45。，得到AAP，C,将AApC'扩大逑倍，得到△APnC",当点8、P、P”、

4

C〃在同一直线上时，2&BP+石AP+3PC=20(P8+P/+/C)最短，利用勾股定理求出8C"即可.

【详解】解：如图，将AAPC绕点4逆时针旋转45。，得到AApC',将AApC'扩大，相似比为述倍，得到

4

ΔAP"C",则AP"=逑AP,P"C"=-P'C',ACn=-AC',

444

过点P作PELA产于E,

：.AE=PE=立AP,

2

：.P"E=AP"-AE=叵AP,

4

.".PP"=∙JPE2+P"E2=-AP,

4

当点8、尸、P"、C"在同一直线上时，2拒BP+>βAP+3PC=2凤PB+PP,+PC、最短,此时

2√2(Pfi+PP+PC)=2y∣2BC",

VABAC"=ABAC+ΛCAC=90o,AB=6,AC=-AC=—x4=3√2,

44

∙"∙BC"=>JAB2+AC2=√62+(3√2)2=3√6∙

.∙.2√2BP+√5AP+3PC=2√2βC"=2√2×3√6=12√^

【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理，正确理解费马点问题的造图方法：利用旋转及全等

的性质构建等量的线段，利用三角形的三边关系及点共线的知识求解，有时根据系数将图形扩大或缩小构建图形.