2023-2024学年吉林省长春市第十一高中数学高二年级上册期末学业质量监测试题含解析

2023-2024学年吉林省长春市第十一高中数学高二上期末学业质量监测试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某学校高二级选择“史政地”“史政生”和“史地生”组合的同学人数分别为240,120和60.现采用分层抽样的方法选

出14位同学进行一项调查研究，贝！史政生”组合中选出的人数为（）

A.8B.6

C.4D.3

2.如图，正四棱柱是由四个棱长为1的小正方体组成的，A3是它的一条侧棱，匕鸟,…鸟是它的上底面上其余的八

个点，则集合卜,=4"44,，=1,2,..,8｝的元素个数（）

A.lB.2

C.4D.8

3.某公司有1000名员工，其中：高层管理人员为50名，属于高收入者；中层管理人员为150名，属于中等收入者;

一般员工为800名，属于低收入者.要对这个公司员工的收入情况进行调查，欲抽取100名员工，应当抽取的一般员

工人数为（）

A.100B.15

C.80D.50

4.已知光6R,则条件l|vl”是条件“x<2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件.

5.在等差数列｛4｝中，%=4,且％,。3，49,构成等比数列，则公差（）

A.0或2B.2

C.0D.0或一2

6.在区间［1,5］内随机取一个数加，则方程机2炉+4y=1表示焦点在y轴上的椭圆的概率是

7.若直线y=Ax+l与圆x2+y2=i相交于p、。两点，且NPOQ=90（其中。为原点），则左的值为（）

A.72B.1

C.+V2D.±l

8.函数/（x）=Ax-Inx在［1,e］上单调递增，则上的取值范围是（）

A［1,+co）B.1一,+℃j

C.D.（l,+co）

9.已知命题p:X/%£R,Q%2+2X+3〉。是真命题，那么。的取值范围是（）

1八1

A.a<—B.O<a<—

33

1,1

C.a>—D.a工一

33

10.如图，在长方体ABCB—A4GR中，AB=BC=2,CQ=1,则直线和四。夹角余弦值为（）

73RA/3

33

一些D.好

55

x

11.已知函数/(x)=x+3,g(x)=2+a,若^,1,3x2e[2,3],使得/(须)之g(%2)，则实数。的取值

X_乙_

范围是()

A.(-co,l]B.[L+OO)

C.(-<»,2]D.[2,+CO)

12.已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()

A.(-8,0)B.((),；)

C.(0,1)D.(0,+8)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.经过两直线h：x-2y+4=0和Z2：x+y—2=0的交点P,且与直线Z3：3比-4y+5=0垂直的直线/的方程为

14.已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若△ABC的面积为2,A3边上中线的长为a.且

b—acosC+csinA,则^ABC外接圆的面积为

15.已知正项等比数列｛a,｝的前"项和为S“，％=1且S3=13,则为=

16.已知点在直线3x-4y-10=0上，则后方的最小值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知椭圆C：W+J=l(a〉6〉0)的离心率为孚，且点P[1,等1在C上.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设耳，居为椭圆C的左，右焦点，过右焦点工的直线/交椭圆C于A,B两点，若.A3片内切圆的半径为Y3,

4

求直线/的方程.

18.(12分)已知直线/：2/nx-y-8%一3=0和圆C：x2+/-6x+12j+20=0.

(1)机6R时，证明/与C总相交；

(2)切取何值时，/被C截得的弦长最短？求此弦长

19.(12分)已知函数/(x)=e*-ax-l.

(1)当a=l时，求/(%)的单调区间与极值；

(2)若在光目0,茁)上有解，求实数a的取值范围.

20.(12分)已知等差数列｛4｝的公差d/0,前3项和S3=9,且。1，%,火成等比数列.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若a=an,求数列｛bn｝的前n项和Tn.

22

21.(12分)双曲线Cj-斗=l(a>0,6>0)的离心率为百，虚轴的长为4.

ab

(1)求a力的值及双曲线C的渐近线方程；

(2)直线y=2与双曲线C相交于互异两点，求左的取值范围.

22.(10分)如图，在四棱锥S-ABCD中,SA_L底面ABCD,底面A3C。是梯形,其中AD//BC,AD=-BC,AD1AB,

2

且AD=1,SA=AB=2.

(1)求四棱锥S-A3c。的侧面积；

(2)求平面SCZ)与平面SAB的夹角的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】根据题意求得抽样比，再求“史政生”组合中抽取的人数即可.

141

【详解】根据题意，分层抽样的抽样比为--------...-,

240+120+6030

故从“史政生”组合120中，抽取的人数时120x2=4人.

故选：C.

2、A

【解析】用空间直角坐标系看正四棱柱，根据向量数量积进行计算即可.

【详解】建立空间直角坐标系，A为原点，正四棱柱A的三个边的方向分别为X轴、y轴和看z轴,

如右图示

)(0,0,0),B(o,o,l),设以色，力,zj

则

AB•AR=(0X)4),鹏二入)=琳=，

所以集合[x\x=AB-APi,i=l,2,...,8]={1},元素个数为1.

故选：A.

3、C

【解析】按照比例关系，分层抽取.

【详解】由题意可知100X妈_=80,

1000

所以应当抽取的一般员工人数为80.

故选:C

4、A

【解析】若命题,则〃是g的充分不必要条件，g是P的必要不充分条件

【详解】因为卜―1|<1,所以0〈尤<2,所以0<x<2nx<2.

故选：A

5、A

【解析】根据等比中项的性质和等差数列的通项公式建立方程，可解得公差d得选项.

【详解】解：因为在等差数列{4}中，%=4,且％,。3，。9,构成等比数列，所以为2=。囚9,即

(w+d)2=3-d)(a2+7d)，

所以(4+dy=(4—d)(4+7d),解得d=O或2,

故选：A.

6、D

【解析】若方程加2%2+4y2=i表示焦点在y轴上的椭圆，则加2>4,解得机>2,2<m<5，故方程

5-23

〃“+4y2=i表示焦点在y轴上的椭圆的概率是3r“故选口

7、D

【解析】分析出△POQ为等腰直角三角形，可得出原点。到直线R2的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于左

的等式，由此可解得左的值.

【详解】圆炉+丁2=1的圆心为原点。，由于NPOQ=90且|。尸|=|。。|=1,

所以，△POQ为等腰直角三角形，且圆心。到直线尸。的距离为4=|0耳sin45=日，

由点到直线的距离公式可得d=^—=立，解得左=土1.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用圆周角求参数，解题的关键在于求出弦心距，再利用点到直线的距离公式列方程

求解参数.

8、A

【解析】对函数/(无)求导，由于函数/(%)在给定区间上单调递增，故/«x)>0恒成立.

【详解】由题意可得，-e-Jf'(x)^k-->Q,k>-,k31.

xeXX

故选:A

9、C

【解析】依据题意列出关于。的不等式，即可求得。的取值范围.

3一

【详解】当〃=0时，依2+2%+3=2%+3>0仅当%>一不时成立，不符合题意;

2

当时，若WRM/+2%+3>0成立，

〃〉0

则!22—4x3a<0解之得^>—

3

综上，a取值范围是a>!

3

故选：C

10、D

【解析】如图建立空间直角坐标系，分别求出AR的坐标，由空间向量夹角公式即可求解.

【详解】如图：以。为原点，分别以DA,DC,所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则。(0,0,0),

4(2,0,0),R(0,0,1),4(2,2』),

所以叫=(一2,0,1),B,D=(-2,-2,-l),

/fnNAD.B.D4-1A/5

所以监”阿丽、5xj4+4+广彳'

所以直线AD1和耳。夹角的余弦值为*,

故选：D.

【解析】由定义证明函数/(x)的单调性，再由函数不等式恒能成立的性质得出/(x)*＞,从而得出实数。的

取值范围.

【详解】任取，,，玉＜々＜1，〃石—百夕

2番％2X1X2

X]<%,：<X,x2<1

.­./(x,)-/(x2)>0,/(^)>/(x2)

41

即函数/(x)=x+—在-,1上单调递减，/(x)min=/(l)=5

X_乙_

gMin=g(2)=4+a

若Vx”,3x2e[2,3],使得/(石”8同)，则/⑴皿2g(EU

即5..4+。,〃VI

故选：A

【点睛】结论点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是转化为求函数的最值，转化时要注意全称量词与存在量

词对题意的影响.等价转化如下：

(1)VX]€M,eN,使得/X)2g(W)成立等价于/(X)min2g(X)min

⑵VX]eM,V%eN,不等式/(占)，g(%)恒成立等价于2g(x)max

⑶*1

eA/,eN,使得f(^)》g(x2)成立等价于/(x)max>g(x)max

(4)3^eAf,玉eN,使得/(%,)》g(x2)成立等价于/(%)max>gO).

12、B

【解析】函数f(x)=x(Inx-ax),贝！|f(x)=lnx-ax+x(--a)=lnx-2ax+l,

x

令f'(x)=lnx-2ax+l=0得lnx=2ax-1,

函数f(x)=x(Inx-ax)有两个极值点，等价于F(x)=lnx-2ax+l有两个零点，

等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点，

在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)

当时,直线y=2ax-1与y=lnx的图象相切，

由图可知，当OVaV、时，y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点

则实数a的取值范围是(0,

故选B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、4x+3j—6=0

【解析】直接求出两直线川%-2y+4=0和勿x+y-2=0的交点P的坐标，求出直线的斜率，然后求出所求直线方程

x-2y+4=0

【详解】由方程组。八可得尸（0，2）

x+y-2=Q

।4

•・•山3,:・k尸——

3

4

・・・直线，的方程为y-2=-

即4x+3y—6=0

故答案为：4x+3j—6=0

14>2»或5]

【解析】由已知，结合正弦定理边角关系及三角形内角的性质可得A=45。，再根据三角形面积公式、余弦定理列方程

求边长从c,应用余弦定理求边长用根据正弦定理求外接圆半径，再用圆的面积公式求面积.

【详解】由题设及正弦定理边角关系有sin5=sinAcosC+sinCsinA,又A+JB+C=»,

:.sin5=sin(A+C)=sinAcosC+sinCsinA,

/.sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinCsinA,

:.cosAsinC=sinCsinA.又0°<CA<180°,

AtanA=l,即A=45。

又据题意，得SABC=gxbxcxsin45°=2,且(0了=0?—2xbxgcxcos45°,

b=2[b=y/2i--------------------------------------

虚或jc—4，故4=2或〃=夜y+42—2x&x4xcos45°=屈，

.•.△ABC外接圆的半径氏=」^义工=应或R=x!=石，

sm45°2sin4502

△ABC外接圆的面积为2兀或5万

故答案为：2»或5万

15、3”T

【解析】根据给定条件求出正项等比数列｛凡｝的公比即可计算作答.

【详解】设正项等比数列｛。“｝的公比为q①>0),依题意，S3=l+q+/=i3,即/+q-12=0,而q>0,解

得4=3,

所以%=3"一.

故答案为：3〃T

16、2

【解析】由已知可用〃表示匕，代入所求式子后，结合二次函数的性质可求

【详解】解：由题意得3a-助=10,即〃=4丝52+"10,

匚G、[272(4"+10)27225k+800+100

所以Q+b=--------—+Z?2=--------------------,

99

Q

根据二次函数的性质可知，当6=-二时，上式取得最小值4,

故1片+方的最小值2

故答案为：2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

r2

17、(1)——+)2=1

2

(2)x+-Jly-1=0x-A/2y-1=0.

【解析】(1)根据离心率可得仇。的关系，再将尸的坐标代入方程后可求从而可得椭圆的方程.

⑵设直线/的方程为尤=h+1，4(%,%)，5(%2，%)，结合一人跳；内切圆的半径为手可得卜―%|=弓，联立

直线方程和椭圆方程，消元后结合韦达定理可得关于，的方程，求出其解后可得直线方程.

【小问1详解】

因为椭圆的离心率为与,故可设a=2k,c=42k,b=叵(左＞0),

故椭圆方程为工+二=1,代入尸1，严得」T+=故左2=3，

4k②2k2[2)4匕4K2

故椭圆方程为：—+/=1.

2

【小问2详解】

A3G的周长为4a=4力，故SAABF=1x4应x3=«5.

1242

设A(%,%),5(%2，%)，

由题设可得直线/与左轴不重合，故可设直线％=h+1,

则=；义2义卜一％|=21一%|=手，

x=ty+l/、。

由2「2°可得9+1+2旷=2,

x+Zy=2

整理得至U(r+2)/+2?—1=0,此时A=8〃+8>0,

故瓜_%|=2/：^^=手，解得/=±/，

18、(1)证明见解析；(2)当〃2=-!时，/被C截得的弦长最短，最短弦长为2折?.

6

【解析】(1)求出直线/的定点，进而判断定点和圆C的位置关系，最后得到答案；

(2)当圆心C到直线，的距离最大时，弦长最短，进而求出机，然后根据勾股定理求出弦长.

【详解】(1)直线/的方程可化为y+3=2m(x—4),贝过定点P(4,-3),

由于42+(-3)2-6X4+12X(-3)+20=-15<0,

所以点尸在圆内，故直线/与圆C总相交

(2)圆的C方程可化为:(x-3)2+(j+6)2=25,

如图所示，当圆心C(3,-6)到直线/的距离最大时，弦A8的长度最短，

则2根=—2=%=—工

36

在直角△APC中，\PC\=y/lQ,|AC|=5,所以|A8|=2j|—|PC［=2/.

故当机=一，时，/被C截得的弦长最短，最短弦长为

19、（1）在（-8,0）上单调递减，在（0,+。）上单调递增，函数/（九）有极小值0,无极大值

（2）a>e—2

【解析】（D利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可；

（2）分％=0和1>0两种情况分析求解，当％>0时，不等式变形为。…土-（％+与在％可。，+8）上有解，构造函

XX

数g（X）=C—（X+3,利用导数研究函数g（x）的单调性，求解g（x）的最小值，即可得到答案

XX

【小问1详解】

当a=l时，f(x)=ex-x-1,所以r(尤)=，—1

当x<0时/''（力<0；当%>0时/''（力>0,

所以了（%）在（-。,€））上单调递减，在（0,+。）上单调递增,

所以当％=0时函数/（九）有极小值/（0）=0,无极大值.

【小问2详解】

因为/（九）〈尤2在［0,+。）上有解,

所以狈_1<0在［0,+”）上有解,

当％=0时，不等式成立，此时

当%>0时J—卜+工)在(0,+8)上有解,

nl”\ex（x-l）02]]_（1）[-（川）]

令g（x）=—贝llg（X）=12l

XJC

由（1）知x>0时/（x）>/（o）=o,即/—（%+1）>0,

当0<x<l时g'(x)<0；当%>1时g'(x)>0,

所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

所以当x=l时，g(_xL=e-2,所以a»e-2,

综上可知，实数”的取值范围是a»e-2.

点睛】利用导数研究不等式恒成立问题或有解问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的

单调性，求出最值从而求得参数的取值范围

n

20>（1）an=2n-l（2）Tn=（2n-3）«2+3

【解析】(D由$3=9,且%,。2，生成等比数列列式求解出4和2,然后写出耳；(2)由2=2"T%=(2〃—1)2"T,

用错位相减法求和即可.

【详解】(1):S3=q+(q+d)+(4+2d)=9,q+d=3①

又生成等比数列，+d『=q(q+4d),②

,：d^Q,由①②解得：％=1,d=2,

4=%-2n-l

（2）•.”“=2ia”=（2”-1）2”T,7»4+4+..+%+2，

.*.7；=1X2°+3X21+5X22++（2«-3）2,,-2+（2W-1）2,,_1

123n1n

2Tn=lx2+3x2+5x2++（2n-3）2-+（2n-l）2

两式相减，得—<=1+22+23++2"-（2n-l）2n

：.Tn=（2n-3yiT+3

【点睛】本题考查了等差数列基本量的计算，错位相减法求和，属于中档题.

21、(1)a=l,b=2,双曲线。的渐近线方程为x—y=0和x+y=0；

(2)(-2A/2,-2)o(-2,2)o(2,2A/2).

【解析】(1)根据双曲线的离心率公式，结合虚轴长的定义进行求解即可；

(2)将直线方程与双曲线方程联立，利用方程解的个数进行求解即可.

【小问1详解】

22

因为双曲线C:=-3=1(。>>0)的离心率为75，

ab

所以有