2023年贵州省贵阳市高考理科数学一模试卷及答案解析

2023年贵州省贵阳市高考理科数学一模试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.（5分）设集合4={x∣log2（x+2）≤1},B={-2,-1,0,22},则ACB=（）

A.{-2,-1,0}B.{-1,0}C.{-2,-I}D.{-I,0,22}

2.（5分）已知复数Z的共规复数为2,若（2-i）2=2-3i,则Z=（）

47477474

+•-C+

------一--

A.55IB.5555D.55

3.（5分）在平行四边形ABCC中，AB=5,AO=4,则成•访=（）

A.1B.-1C.9D.-9

4.（5分）命题"Vx∈（0,+8）,sin%VN'的否定是（)

A.∀Λ∉(0,+8),sinx≥xB.≡xo∈(0,+∞),SirLWNX()

C.∀x∈(0,+8),SinXeXD.3xo¢(0,+∞),SirLWeXO

5.（5分）已知点P（X,y）是由三条直线A：x+y=0,/2：2x-y+3=0,/3：χ-2y+6=0围

成的平面区域内的一个动点，则z=4χ-3y的最小值为（）

A.-14B.-7C.7D.14

6.（5分）已知数列{如}的前n项和组成的数列{5}满足Sι=3,S2=5,Sn+2-3S+ι+2S=0,

则数列{劭}的通项公式为（）

13/n=1,(3/n=1,

A.a∏=<B.a∏=(

n1n

{2-fn≥2(2,n≥2

C.61〃=2"ɪ÷2D.CIn=2"

3

7.(5分)a=-log↑2f⅛=log43,C=2一2,则()

百

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

8.(5分)己知α∈g,7r),tan2a=则函数y=3sin(2x+α)的一个对称中心为

()

A.(一ɪɪ/0)B.ɪɪ/0)C.,0)D.G,0)

、1

9.（5分）在三棱柱ABC-481。中，A4_L底面ABC,AB=BC=CA=4441，点P是棱

44上的点,4P=2%∣,若截面BPC∖分这个棱柱为两部分,则这两部分的体积比为（

A.1：1B.1：3C.4：9D.4：5

10.(5分)甲、乙两个同学玩摸球游戏.袋子中装有3个黄球，3个绿球，甲先摸，乙再摸，

每人每次只能摸一个球，若摸到黄球就放回袋子中，摸到绿球不放回，直到摸出所有的

绿球游戏结束.则两个同学共摸球4次游戏结束的概率为()

137319

A.—B.-----C.-----D.-----

40400100200

11.(5分)已知双曲线C：⅛-⅛=l(α>0,b>0)的左、右焦点分别为Fι,Fi,一条渐

ab

JT

近线方程为y=鱼，过双曲线C的右焦点故作倾斜角为三的直线/交双曲线的右支于A,

B两点,若AAFiB的周长为36,则双曲线C的标准方程为()

X2y2X2y2

A.---=1B.---=1

2442

ɔy2比22

C.%2—4-=1D.——y=1

22,

∖log∖x∖,x>0

2,则下列判断错误的是()

(%2+2%+1,X≤0

A.方程/(x)=1的实数根为-2,0,2

B.若方程FG)=Z有3个互不相等的实数根，则人的取值范围为(1,+8)

8

C.若方程/(x)=Z有4个互不相等的实数根X1,JQ,X3,X4(X1<X2<X3<X4),则；---------+

(X1+X2)^3

2Λ⅛2•4的取值范围为[-7,-2)

D.若方程/(X)=Z有3个互不相等的实数根XI,X2,X3(X1<X2<X3)>则X1X2X3的取

值范围为(-8,-J)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)已知三棱锥尸-ABC中，PA=3,PB=PC=5,AB=8C=AC=4,则它的外接

球的表面积为.

14.(5分)已知函数/(x)的定义域为R,且同时满足下列三个条件：①奇函数，@fCx)

4x—1>X∈[0,1]

+fCx+2)=0,(3)∕∙(x)=π,贝∣J∕(-log43)4/(2022.5)=_______.

tan2x,X∈(1»2]

15.(5分)已知数列｛“"｝中，aι=2,2n(n+l)anan+ι+(M+1)an+ι-na∏=0(M∈N*),则数

列伍”｝的通项公式为.

16.(5分)已知抛物线Γ：√=8Λ的焦点为F,四边形ABCD的顶点都在抛物线上，三点F,

D,B共线，AC垂直平分线段DB,若A8与CB垂直，则直线DB的方程为,

四边形ABCD的面积为.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，

每个试题考生都必须作答，第22,23题为选做题，考生根据要求作答.(一)必考题：共

60分

17.(12分)在zλA5C中,a=5,CoSA=盗3⅛cosC=4ccosB.

(1)求COSB的值.

(2)求aABC的周长和面积.

18.(12分)某校组织IOOo名学生进行科学探索知识竞赛，成绩分成5组：[50,60),[60,

70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的

数据mb,C成等差数列，成绩落在区间[60,70)内的人数为400.

(1)求出直方图中a,b,C的值：

(2)估计中位数(精确到0.1)和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；

(3)若用频率估计概率，设从这IOOO人中抽取的6人，得分在区间[90,100]内的学生

人数为X,求X的数学期望.

19.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，DAVAB,PD±PC,PBLPC,AB=AD=PD

4

=PB=1,cosZDCB=ʒ.

(1)求证：8Z)_L平面PAC；

(2)设E为3C的中点，求PE与平面A5CD所成角的正弦值.

P

20.(12分)已知椭圆C的焦点在X轴上，Fi,正2分别为左、右焦点，对称中心为坐标原点，

1

四个顶点围成的四边形的面积为16√3,离心率为］

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)在椭圆C上是否存在第一象限的点P使得cos/FIPF2=|?若存在,求出点P坐标，

若不存在，说明理由.

21.(12分)已知函数/(X)=聂—tlnx,g(X)=ɪ,F(X)=f(X)-g(x).

(1)当f=l时，求证：F(x)>0对于任意正实数X恒成立.

(2)若函数F(x)在(0,2)上有且仅有两个极值点，求实数f的取值范围.

［选修4—4：坐标系与参数方程］

22.(10分)在平面直角坐标系Xo)，中，曲线。的参数方程为卜=4+2('为参数)•以坐

标原点为极点，以X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p(sin。-

2cosθ)-2=0.

(1)求曲线Cl的普通方程和曲线C2的直角坐标方程.

(2)若Cl与C2交于A,B两点，求aAOB的面积.

［选修4——5：不等式选讲］

23.已知函数/(x)=∣x-2a∖+∖x-a2-2\.

(1)求证：/(X)21.

(2)若f(2)>2,求实数。的取值范围.

2023年贵州省贵阳市高考理科数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.(5分)设集合A={x∣log2(x+2)≤1},B={-2,-1,0,22},则A∩B=()

A.{-2,-ɪ,0}B.{-1,0)C.{-2,-1)1,0,22}

【解答】解：∙.∙R>g2(X+2)Wl=Iog22,

Λ0<x+2≤2=>-2≤x≤0,

则集合A={x∣-2<x≤0),

ΛA∩B={-1,0}.

故选：B.

2.(5分)己知复数Z的共扼复数为2,若(2-/)z=2-3i,则Z=()

【解答】解：因为(2-i)z=2-3i,

所以2=舒=(2-32(2+i)=管=卜"

所以z='+1i.

故选：C

3.(5分)在平行四边形ABCQ中，AB=5fAD=4f则A•俞=()

A.1B.-1C.9D.-9

【解答】解：在平行四边形中，AC=AB+AD,BD=AD-ABf

所以前∙BD=(^ABADy)∙(AD-AB)=AD2-AB2=42-52=-9.

故选：D.

4.(5分)命题u∀x∈(0,+8),SinXVX”的否定是()

A.∀Λ⅛(0,+o°),SinJt2xB.3xo∈(0,+o°),SinJV02XO

C.∀x∈(0,+o°),SirLVeXD.3xo2(0,+∞),SiILW2刈

【解答】解：因为命题U∀A^∈(0,+8),SinXVx”为全称命题，

其否定为特称命题，即为：3x∈(0,+o0),sinx≥x,

故选：B.

5.（5分）已知点P（X,y）是由三条直线/1：x+y=O,/2：2x->,+3=0,/3：χ-2y+6=0围

成的平面区域内的一个动点，则z=4χ-3y的最小值为（）

A.-14B.-7C.7D.14

【解答】解：作出三条直线围成的平面区域如图阴影部分所示，

2r-y+3=0

当z=4x-3y取得最小值时，y=&J在)，轴截距最大,

由图象可知：当y=gx-∣过点A时，在y轴截距最大，

,fx—2y÷6=0(X=-2,3、

由I_'C,得zb：I,即wπA4(z-2,2),

(%+Ly=0(y=2

/.Zmin=-8-6=-14.

故选：A.

6.（5分）已知数列｛如｝的前Zt项和组成的数列｛S∕1｝满足5ι=3,S2=5,Sn+2-3S+ι+2S=0,

则数列｛板｝的通项公式为（）

(3,n=1/(3,n=1,

A.an=<B.a∏=i

(2n-1,n≥212n,n≥2

C.a,ι=2"ɪ÷2D.CIn=2"

【解答】解：Ql=Sl=3,¢72=52-Sl=2,

*∙*S∏+2~3S〃+1+2S〃=O,

•∙Sn+2~S〃+i=2(S〃+1-Sn),即a〃+2=2a〃+i,

X—=1，

α13

故当〃22时，数列｛。〃｝是首项为2,公比为2的等比数列，即时=2九-1,

3,n=1

故an=

,2n-1,n≥2

故选：A∙

3

7.(5分)a-—log↑296=log43,c=2一2,则()

A.a<h<cB.h<c<aC.c<a<hD.c<h<a

【解答】解：C=2^2=(I)I=(版=冬

⅛4c=√2,4a=4(-logι2)=4log32=log316f2—log39<Iog316<log327=3,4⅛=

3

4log43=log481>log464=3,

故48>4α>4c,即方>α>c.

故选：C

8.(5分)已知α∈g,冗),tan2a=则函数y=3sin(2x+α)的一个对称中心为

()

A.(―/0)B.(―/0)C.(^-γ2f0)D∙(5，0)

▼哂赛、M♦・L尸ʌ1,ɔ3cosasin2a2sinacosa

【解答】解：.a/，兀)，-a=的=时=嬴2―筋，

Λ8sin2a+2sina-3=0,求得sina=*或sina=(舍去)，

Λa=ɪ,则函数y=3sin(2x+a)=3sin(2x+^).

令2x+^g^=Zrτr,keZ,

求得X=2⅛τι—ɪɪ,ZwZ,

令k=0,可得函数的图象的一个对称中心为(一居，0),

故选：B.

1

9.(5分)在三棱柱ABC-AiBiCj中，AAi_L底面ABC,AB=BC=CA=点P是棱

A4ι上的点,AP=2∕¾∣,若截面BPCl分这个棱柱为两部分,则这两部分的体积比为()

A.1：IB.1：3C.4：9D.4：5

【解答】解：取AiBi中点。，连接CIzx

由题意知：AABC为等边三角形，则448ιCι为等边三角形，.∙.CιOL4ιBι,

「AAiJL平面ABC,平面A8C〃平面4BιCι,L平面AIBIeι,

又ClZ)U平面AlBle1,：.AAιrCiD,

VAAi,AiBiu平面AB8ι4ι,...CiC平面ABBiAi,

、,L4

设AAI=4,则AB=BC=4ι3ι=3ιCι=2,ΛC1D=√3,A1P

•∙LABc=2*2*2*区=vɜ/S梯形BBIAIP=2乂弓+4)*2=手，

1116

衿梯形

∙*∙KlBC-Zl1B1C1=SAABC,44]=4y∕3,Vc1-BB1A1P=BB、A、P'ClD=ɜ×^2^×ʌ/ɜ=

16√3

~9~,

166

.∙Cι-BB"ιP~ξ__4

Vv5

ABC-A1B1C1~C1-BB1A1P

即这两部分的体积比为4：5,

故选：D.

10.（5分）甲、乙两个同学玩摸球游戏.袋子中装有3个黄球，3个绿球，甲先摸，乙再摸，

每人每次只能摸一个球，若摸到黄球就放回袋子中，摸到绿球不放回，直到摸出所有的

绿球游戏结束.则两个同学共摸球4次游戏结束的概率为（）

137319

A.—B.-----C.-----D.-----

40400100200

【解答】解：由于袋中有3个黄球，3个绿球，若两个同学共摸球4次游戏结束，

则摸球的可能情况为前3次摸出2个绿球和1个黄球，第4次摸出的是绿球，

设事件M="两个同学共摸球4次游戏结束”，有以下摸球情况：①黄绿绿绿；②绿黄

绿绿；③绿绿黄绿；

由于摸到黄球就放回袋子中，摸到绿球不放回，

.,..3321,3321,32311,3,337

PrπllJnP（Mλ）=6×6×5×4+6×5X5×4+6×5×4×4=40+100+80=400∙

故选：B.

11.（5分）已知双曲线C：⅛-4=l（α>0,b>0）的左、右焦点分别为R,Fi,一条渐

ab

TT

近线方程为y=√∑G过双曲线C的右焦点尸2作倾斜角为§的直线/交双曲线的右支于A,

B两点,若aAFiB的周长为36,则双曲线。的标准方程为()

X2y2X2y2

A.---=1B.---=1

2442

C.%2—⅛^=1D.——y2=1

22,

【解答】解：因为双曲线的一条渐近线方程为y=√∑x,

所以∕7=V∑Q,C=V3α,

Tr

因为直线I的倾斜角为

所以直线I的方程为y=√3(x-√3α),

设A(xι,yι),B(X2,”)，

俨y2

联立2α2Rft⅜x2—6√3ax+Ila2=0,

Iy=√3(x-√3α)

则比l+%2=6遮Q,XIΛ2=llq2,

22

所以∣A5∣=2Λ∕(%I+0)2—4/工2=2V108α-44α=16«,

因为IA尸11+|3/II=IA尸2∣+∣3尸2∣+4α=∣AB∣+4a=20m

由周长为36可得2(k+16o=36,即α=l,

所以双曲线方程为/一号=1.

故选：C.

∖logγx∖,x>0

2,则下列判断错误的是()

(x2+2x+l,X≤0

1

A.方程f(x)=1的实数根为-2,0,2

B.若方程/(x)=Z有3个互不相等的实数根，则k的取值范围为(1,+∞)

8

C.若方程/CX)=女有4个互不相等的实数根X1,X2,X3,X4(X1<X2<X3<X4),则；------；—+

(X1+X2)^3

2Λ⅛2•%4的取值范围为［-7,-2)

D.若方程f(x)=Z有3个互不相等的实数根XI,XI,X3(xi<Λ2<X3),则XIg3的取

值范围为(-8,-I)

∖logιx∖,%>0

2和y=Z的图象，如图所示：

(x2+2x+l,%≤0

当A=I时，直线y=l与y=f(X)的图象有4个交点，且交点的横坐标为-2,0,1和2,

所以方程f(x)=1的实数根为-2,0,2,选项A正确；

当左>1时，直线y=Z与y=∕(x)的图象有3个交点，

所以方程/(x)=Z有3个不同的实数根，此时k的取值范围是(1,+8),选项3正确;

当O<ZW1时，直线y=Z与y=/(x)的图象有4个不同交点，

所以方程/(X)=攵有4个互不相等的实数根Rl,R2,X3,X4(XI<X2<X3<X4),

1

且Xl+X2=-2,X3∙X4=1,A3∈[-,1),

2

8ɔ8c44

所以;---------+2X2∙X=--------+2X2∙X4=――+2x3=2x3-丁是单调递增的，

3443xx

(x1+x2)x3-2X3-33

它的取值范围是[-7,-2),选项C正确；

当左>1时，直线y=Z与y=∕(x)的图象有3个交点，

方程/(x)=无有3个互不相等的实数根Xl,X2,X3(XI<Λ2<X3),

则XlO2,X2X3=1,所以XIx2X3的取值范围是(-8,-2),选项。错误；

故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)已知三棱锥P-ABC中，PA=3,PB=PC=5,AB=BC=AC=4,则它的外接

球的表面积为――.

—3—

【解答】解：根据题意，设三棱锥P-ABC的外接球的半径为K,

△A8C中,A8=8C=AC=4,则AABC为等边三角形,其外接圆半径，=∣X坐×4=警，

又由B4=3,PB=PC=5,Ae=4C=4,则B4_LAB,PALAC,故B4_L面43C,

.⅛.,o2"A、216,991

则πιl有Rr-=厂+(3)-=3+4=适，

故外接球的表面积S=4πR2=竽;

故答案为：等.

14.(5分)已知函数/(x)的定义域为R,且同时满足下列三个条件：①奇函数，②f(x)

4x—1/X∈[0>1]

4∕(x+2)=0,蒯(X)=,则f(-Iog43)+f(2022.5)=-1

tan-π^x,X∈(1/2]

【解答】解：因为/(x)+f(x+2)=0,

所以/(x+4)--f(x+2)—f(x),

所以/(x)为周期函数，周期为4,

所以/(2022.5)=f(4X505+2.5)=f(2.5)=/(-1.5),

因为/(x)为奇函数，

所以f(-log43)=-/(Iog43),f(2022.5)=f(-1.5)=-/(1.5),

因为/。。。43)=4'。%3-1=2,/(1.5)=tan(ξ×|)=-1,

所以f(-log43)+f(2022.5)=-f(Iog43)-/(1.5)=-2+1=-1

故答案为：-1.

15.(5分)已知数列｛〃〃｝中，αι=2,2n(∏+1)a∏a∏+∖+(H+1)a∏+↑-na∏=G("∈N*),则数

列｛〃〃｝的通项公式为_Qn=-2\_3n_»

【解答】解：:数列｛“〃｝中，。1=2,In(H+1)a∏cin+∖+(n+l)an+l-nan=0(n∈N*),

1111

*(n+l)ɑn+1nanIxa12

11

・•・数歹U｛—｝是以为首项，2为公差的等差数列，

113

：,---=一÷2(H-1)=2〃一小

πan2Z

._2

.•3而F；

故答案为："，，=石』.

16.(5分)已知抛物线l、：y2=8x的焦点为F,四边形ABCz)的顶点都在抛物线上，三点八

D,8共线，AC垂直平分线段08,若AB与CB垂直，则直线的方程为y=χ-2

或y=-x+2,四边形A8Cf>的面积为128√I.

【解答】解：由题意得尸(2,0),AC,B力的斜率存在，

设80所在的直线方程为x=my+2,B(Xι,yι),D(x2,”)，8。的中点P,

联立｛；22可得y2-Smy-16=0,

所以yi+*=8"?,y∖y2=-16,X↑+X2=m(yi+”)+4=8"P+4,

所以P(2+4W2,4m)，

所以由。I=√(1+m2)((8m)2-4×(-16)=8+8w2,

因为AC垂直平分80,

设AC所在直线方程为X=-5+4*+6,

设A(X3,>3)，C(X4,>4),

联立直线AC的方程与抛物线方程可得y2+[y-32m2-48=0,

O1O

,z2

所以y3+y4="-*y3>4=-32m-48∕3+x4=--(y3+%)++12=+8m+12,

Q(--+4∕W2+6,—ɪ),

匕m2m

所以IPQl=J(4+⅛2+⅛+W,

因为AC垂直平分线段。〃且AB与C8垂直，

所以A,B,C,。四点共圆且是以AC为直径，Q为圆心的圆，

所以工|BD/+∖PQ∖2=^∖AC∖2,

4，

(8+8m2)249491ɔɔl÷2m2

π即π---------+(4H——7)2÷(—+4m)x2=~Λ×64(1+m2)2X------—,

4TΠΔm4、/TnN

解得tn=∖或m—-1,

所以BD所在的直线方程为y=x-2或y=-x+2,

所以∣8f>∣=16,∣AC∣=16√3,四边形的面积S=38£)||4Cl=*X16x16√5=128√5.

故答案为：y=x-2或y=-x+2；128Λ∕3•

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,

每个试题考生都必须作答，第22,23题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共

60分

17.(12分)在aABC中，a—5,cosA=ɪð,3bcosC-4c-cosB.

(1)求CoSB的值.

(2)求AABC的周长和面积.

【解答】解：(1)因为si∏24+cos2A=IJICoSa=将，

所以siτι∣4=±4等，又因为A∈(0>n)ɪ

所以S讥4=笔，tα∕M=需=7

因为3bcosC=4ccos3由正弦定理得：3sinBcosC=4sinCcosB,

3sinBSinC

即------=-----,

4CosBcosC

3tanA+tanB7+tanB

BP-tanB=tanC=-tan(A+8)=-------------------=---------------,

41-tanAtanB1-7tanB

所以tanB=-1或tcmB=.

又因为3⅛cosC=4ccosB,

所以CosB与CoSC只能同正，

所以BE(013),故STIB=*

又因为sin12θ+cos2β=\,

43

所以sinB=ʒ,cosB=耳；

AabSb

(2)由(1)得SiTIB=中根据正弦定理得：--==77?=

5sιnAStnBɪ

io5

所以b=嘤,

又因为si∏∙C=sin(√4+B)=siτιAcosB+COSASITIB='∙p+γZ∙∙p=~C-,

JLUɔJLUKJ乙

20√Σ

cbc25

根据正弦定理:

sinCSinB0立-7

25

,20√2,2560+20√2

所以AABC的周长为:ɔcH----y----F-y=-----γ-----,

1120√2√250

∕∖ABC的面积为：—absinC=-×5×-------X—=—.

22727

18.（12分）某校组织IOOO名学生进行科学探索知识竞赛，成绩分成5组：[50,60）,[60,

70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的

数据α,b,C成等差数列，成绩落在区间[60,70）内的人数为400.

（1）求出直方图中小b,C的值；

（2）估计中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）;

（3）若用频率估计概率，设从这IOOo人中抽取的6人，得分在区间[90,100]内的学生

人数为X,求X的数学期望.

又α,b,C成等差数列，所以26=α+c且(0.∞5+α+⅛+c+0.005)×10=l,

解得：C=O.02,⅛=0.03,

所以“=0.04,/7=0.03,C=0.02.

(2)因为(0.005+0.04)×10=0.45<0.5,设中位数为x,

则x∈［70,80),所以(0.005+0.04)×10+(X-70)×0.03=0.5,

解得：x≈71.7,即中位数的估计值为71.7,

平均数的估计值为(55X0.005+65X0.04+75X0.03+85X0.02+95X0.005)X10=73.

(3)由题意可知：得分在区间［90,100］内概率为0.005X10=苏

1

根据条件可知：X的所有可能值为0,1,2,3,4,5,6,且X~5(6,—),

20

1

所以E(X)=np=6×2Q=0.3.

19.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，DALAB,PDLPC9PB上PC,AB=AD=PD

4

=PB=1,COSZDCB=ʒ.

(1)求证：5。_1_平面以。；

(2)设E为BC的中点，求PE与平面ABCO所成角的正弦值.

P

【解答】（1）证明：'：PDVPC,PBLPC,PB=PD,ΛRt∆PDC≡Rt∆PβC,

：.BC=DC,

又PBCPD=P,.'.PCI■平面PBO,Vβθc5FffiPBD,：.PC±BD,

∖"AB=AD,BC=CD,易知AC_L8£>,

又∙.∙AC∏PC=C,平面∕¾C;

（2）解：设AC交8。于O,则。是B力的中点，连接OP,

由（1）知，BC=CD,又BD=a,cos∆DCB=

在aBCO中，由余弦定理得：Ba=BC2+Dd1-2BCDCcosNDCB,

即2=2BC2-2BC2解得BC=√5,

.,.OC=√5C2-OB2=Js-I=5，0A=~,OP=√Pfi2-OB2=1√2

1-2=T'

PC=∖!BC2-PB2==2,

ΛAC=2√2,

∙.∙PCA.平面PBD,：.PC-LOP,

ΛSΔPCO=4∙OP-PC=×ɪ×2=ɪ（

由鬻啜√2√2

X-=一

26

•c_Cɪc_√2ɪ√2_2√2

•∙^∆PAC—ɔʌpɛθ十^∆PAO~~2~~i~~β~~~~3~

设尸到平面ABC。的距离为/7,

,Il12Λ∕2

由Vp.ABC^VB-PAC^,-X-×AC×OB×h=5×ɪx0b'

.,2

∙∙Λ=3,

在RtZ∖P8C中，PBLPC,E为BC的中点,

.,.PE=*BC=ɪ,

设PE与平面ABCD所成角为θ,

・.Qh34居

∙∙smθ=而=方=而，

T

即PE与平面ABCO所成角的正弦值为害.

20.（12分）已知椭圆C的焦点在X轴上，尸1,尸2分别为左、右焦点，对称中心为坐标原点,

_1

四个顶点围成的四边形的面积为16√3,离心率为一.

2

（1）求椭圆C的标准方程.

（2）在椭圆C上是否存在第一象限的点P使得CoSNBP乃=|?若存在,求出点P坐标,

若不存在，说明理由.

【解答】解：（1）因为椭圆C的焦点在X轴上，对称中心为坐标原点，

_X2y2

所以设椭圆的标准方程为-7+77=1,Ca>b>O）

azbzf

因为四个顶点围成的四边形的面积为16√5,离心率为上

2

r

2ab=16√322

W∣jμ=l，∙'∙E=:万，所以椭圆的标准方程为登+5=L

a2（b=2√31612

Ic2=a2-b2

（2）假设存在，坐标为P（X0,和）（Xo>0,）X）>0）,

设IPFIl=帆，∖PF2∖=n,显然相>〃，

由椭圆的定义可知：nj+"=24=8,由(1)可知：c=√α2-b2=√16-12=2,

222

由余弦定理可知：|招尸2『=∣PFι∣+∣PF21-2∙∣PFι∣∙∖PF2∖■cos∆F1PF2≠>16=m+

n2—2mn-

33

/.16=(m+n)2—2mn—2mn•5=16=64-2mn—2mn∙ʒ=mn=15,

因为COSZFlPF2=|,所以NFIP尸2为锐角,

-22

所以sin∆F1PF2—ʌ/ɪCOS∆F1PF2=Jl-(1)=［，SAPF通=^rnnsinZ-F1PF2=T,

4

2c∙Vo=15X5=4y0=y()=3，

χ2y2

把γo=3代入一+—=1中，得Xo=2,或Xo=-2舍去，

1612

所以椭圆C上存在第一象限的点P使得COS"1PF2=∣,点尸的