极限定义四则运算课件

极限定义四则运算课件2023REPORTING极限定义四则运算极限的四则运算习题与解答目录CATALOGUE2023PART01极限定义2023REPORTING极限是函数在某一点处的变化趋势，即当自变量趋近于某一值时，函数值的变化情况。描述性定义当x趋近于a时，f(x)趋近于L，表示f(x)在x=a处的极限为L。举例极限的描述性定义对于任意给定的正数ε，存在另一个正数δ，当|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε恒成立。精确定义对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。举例极限的精确定义若函数在某点的极限存在，则该极限值是唯一的。唯一性有界性局部有界性函数在某点的极限存在，则该点的函数值必定是有界的。若函数在某点的极限存在，则在该点附近一定存在一个区间，函数在这个区间内有界。030201极限的性质PART02四则运算2023REPORTING总结词加法运算的基本性质详细描述加法运算具有交换律和结合律，即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。加法运算加法运算的逆元总结词对于任何数a，存在一个数-a，使得a+(-a)=0。详细描述加法运算的零元总结词加法运算总结词加法运算的单位元详细描述存在一个特殊的数1，使得对于任何数a，都有a+1=1+a=a+(-0)=a。详细描述存在一个特殊的数0，使得对于任何数a，都有a+0=0+a=a。加法运算03总结词减法的反元素01总结词减法运算的基本性质02详细描述减法运算可以看作加法运算的逆过程，即a-b=a+(-b)。减法运算减法运算详细描述：对于任何数a，存在一个数-a，使得a-(-a)=2a。总结词详细描述总结词详细描述减法运算01020304减法的零元存在一个特殊的数0，使得对于任何数a，都有a-0=0。减法的单位元存在一个特殊的数1，使得对于任何数a，都有a-1=-1。总结词乘法运算的基本性质详细描述乘法运算具有交换律、结合律和分配律，即a*b=b*a，(a*b)*c=a*(b*c)，a*(b+c)=a*b+a*c。乘法运算乘法运算的逆元总结词对于任何非零数a，存在一个数-a，使得a*(-a)=(-a)*a=-1*1=-1。详细描述乘法运算乘法的零元总结词存在一个特殊的数0，使得对于任何数a，都有0*a=0。详细描述乘法的单位元总结词存在一个特殊的数1，使得对于任何数a，都有1*a=a。详细描述乘法运算总结词除法运算的基本性质详细描述除法运算可以看作乘法运算的逆过程，即a/b=a*1/b。总结词除法的反元素除法运算详细描述：对于任何非零数b，存在一个数1/b，使得b*(1/b)=1。除法运算除法的零元总结词详细描述总结词详细描述不存在任何数能够被0整除。除法的单位元存在一个特殊的数1，使得对于任何数a，都有1/1=1。除法运算PART03极限的四则运算2023REPORTING若lim(x→a)f(x)=A和lim(x→a)g(x)=B，则lim(x→a)[f(x)+g(x)]=A+B。极限的加法规则若lim(x→a)f(x)=A和lim(x→a)g(x)=B，则lim(x→a)[f(x)-g(x)]=A-B。极限的减法规则若lim(x→a)f(x)=A和lim(x→a)g(x)=B，则lim(x→a)[f(x)*g(x)]=A*B。极限的乘法规则若lim(x→a)f(x)=A和lim(x→a)g(x)=B（B≠0），则lim(x→a)[f(x)/g(x)]=A/B。极限的除法规则极限的四则运算规则123lim(x→1)[(x^2-1)/(x-1)]=lim(x→1)(x+1)=2。举例1lim(x→∞)[(1/x)/(1/x^2)]=lim(x→∞)x=∞。举例2lim(x→0)[(sinx)/x]=1。举例3极限的四则运算举例注意101在进行极限的四则运算时，必须先求各个函数的极限，然后再进行四则运算。注意202当分母的极限为0时，需要注意分母不能为0的情况，此时该极限可能不存在。注意303当两个函数的极限不存在时，四则运算的结果可能不存在。例如，lim(x→0)(1/x)和lim(x→0)(-1/x)都存在，但lim(x→0)[(1/x)+(-1/x)]不存在。极限的四则运算注意事项PART04习题与解答2023REPORTING习题$lim_{xto0}frac{sinx-x}{x^{3}}$$lim_{xto0}frac{ln(1+x)-sinx}{x^{2}}$$lim_{xto0}frac{tanx-x}{x^{3}}$$lim_{xto0}frac{ln(1+x)-cosx}{x^{2}}$1、求下列极限2、求下列极限3、求下列极限4、求下列极限1、【答案】$frac{1}{2}$【解析】利用泰勒公式展开$sinx$和$x$，得到：$lim_{xto0}frac{sinx-x}{x^{3}}=lim_{xto0}frac{x-x}{x^{3}}=lim_{xto0}frac{0}{x^{3}}=0$，由于题目中给定的极限是$lim_{xto0}frac{sinx-x}{x^{3}}$，因此答案为$frac{1}{2}$。答案及解析2、【答案】$frac{1}{2}$【解析】利用泰勒公式展开$ln(1+x)$和$sinx$，得到：$lim_{xto0}frac{ln(1+x)-sinx}{x^{2}}=lim_{xto0}frac{x-sinx}{x^{2}}=lim_{xto0}frac{1-cosx}{2x}=frac{1}{2}$，由于题目中给定的极限是$lim_{xto0}frac{ln(1+x)-sinx}{x^{2}}$，因此答案为$frac{1}{2}$。答案及解析3、【答案】$frac{1}{3}$【解析】利用泰勒公式展开$tanx$和$x$，得到：$lim_{xto0}frac{tanx-x}{x^{3}}=lim_{xto0}frac{x-x}{x^{3}}=lim_{xto0}frac{0}{x^{3}}=0$，由于题目中给定的极限是$lim_{xto0}frac{tanx-x}{x^{3}}$，因此答案为$frac{1}{3}$。答案及解析4、【答案】$-frac{1}{2}$【解析】利用泰勒公式展开$ln(1+x)$和$cosx$，得到：$lim_{xto0}frac{ln(1+x)-c