2023-2024学年河南省罗山县九年级上册数学期末达标检测模拟试题含解析

2023-2024学年河南省罗山县九上数学期末达标检测模拟试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(每题4分，共48分)

1.-2019的相反数是()

2.如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=6,3c=8,点/在边AC上，且b=2,点E为边8C上的动点，将

3.某班七个兴趣小组人数分别为4,4,5,x,1,1,1.已知这组数据的平均数是5,则这组数据的中位数是()

A.7B.1C.5D.4

4.点A(-3,2)关于x轴的对称点A，的坐标为()

A.(3,2)B.(3,-2)C.(-3,2)D.(-3,-2)

5.抛物线y=3/先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，所得的抛物线是()

A.y=3(x+2)2-1.B.y=3(x-2)2+1

C.y=(x-2)2-\D.y=3(x+2)2+l

6.如图，在AA3c中，NA=75。，AB=6,AC=S,将AABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相

似的是()

A

75°

C

3

7.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度.A,3在格点上，现将线段A8向下平移个单

位长度，再向左平移〃个单位长度，得到线段AB,连接A4',89.若四边形是正方形则m+〃的值是（）

A.3B.4C.5D.6

8.已知如图ABC中，点。为N84C,NAC8的角平分线的交点，点。为AC延长线上的一点，且AO=A5,

CD=CO,若NAQD=138°,则NA8C的度数是（）.

\

a、.c

A.12°B.24°C.48°D.96°

9.抛物线y=向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解析式是（）

A.y=g（x+l）2+lB.y=；（x+l）2-1

1,1,

C.y=5（x-l）-+lD.y=-（x-l）--l

10.下列对于二次函数y=-，+x图象的描述中，正确的是（）

A.开口向上B.对称轴是y轴

C.有最低点D.在对称轴右侧的部分从左往右是下降的

11.sin30的倒数是（）

73

A.1B.2V

12.如图2,在平面直角坐标系中，点A、B、。的坐标为（1,4）、（5,4）、（1、一2）,则&ABC外接圆的圆心坐标

是

图2

A.(2,3)B.(3,2)C.(1,3)D.(3,1)

二、填空题(每题4分，共24分)

13.如图，直线/1/〃2/〃3,等腰直角三角形A8C的三个顶点A3,。分别在/2>h上，NACB=90。，AC交h

于点D,已知4与的距离为2,4与&的距离为3,则BD的长为.

14.如图，某测量小组为了测量山5c的高度，在地面A处测得山顶8的仰角45。，然后沿着坡度为1：G的坡面

走了200百米到。处，此时在。处测得山顶8的仰角为60。，则山高Z?C=米(结果保留根号).

15.已知二次函数y=a？+6x+c的图象如图所示，则下列四个代数式：®abc,®9a-3b+c,@b2-4«ci®2a+b

中，其值小于0的有(填序号).

16.如果函数y=（左一3）X*J7+"+1是二次函数，那么k的值一定是.

17.一元二次方程x2=3x的解是：.

18.如图，00的直径A5与弦CD相交于点£AB=5,AC=3,则ltanNA£>C=

19.（8分）平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2-2mx+m2+2m+2的图象与x轴有两个交点.

（1）当m=-2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；

（2）过点P（0,m-1）作直线1，、，轴，二次函数图象的顶点A在直线1与x轴之间（不包含点A在直线1上），求

m的范围；

（3）在（2）的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线1相交于点B,求AABO的面积最大时m的值.

20.（8分）某校为了普及推广冰雪活动进校园，准备购进速滑冰鞋和花滑冰鞋用于开展冰上运动，若购进30双速滑

冰鞋和20双花滑冰鞋共需8500元；若购进40双速滑冰鞋和10双花滑冰鞋共需8000元.

（1）求速滑冰鞋和花滑冰鞋每双购进价格分别为多少元？

（2）若该校购进花滑冰鞋的数量比购进速滑冰鞋数量的2倍少10双，且用于购置两种冰鞋的总经费不超过9000元，

则该校至多购进速滑冰鞋多少双？

21.（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数7=》一3的图像与X轴交于点A.二次函数%=-/+以+。的图

像经过点A，与y轴交于点C,与一次函数y=x-3的图像交于另一点3(—2,机).

(1)求二次函数的表达式；

(2)当%＞为时，直接写出x的取值范围；

(3)平移A4OC,使点A的对应点。落在二次函数第四象限的图像上，点。的对应点E落在直线AB上，求此时点。

的坐标.

22.(10分)定义:有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”.例如:凸四边形ABCD中，若

ZA=ZC,ZB^ZD,则称四边形A8CD为准平行四边形.

(D如图①，是_0上的四个点，NAPC=NCP8=60。，延长8P到。，使AQ=AP.求证:四边形AQBC

是准平行四边形；

（图①）

(2)如图②，准平行四边形ABGD内接于O,AB+AD,BC=DC,若0。的半径为5,A8=6,求AC的长;

（图②）

(3)如图③，在RLABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=2,若四边形ABCD是准平行四边形，RZBCD^ZBAD,

请直接写出BD长的最大值.

(图③)

23.(10分)如图，抛物线y=-gd+fex+c与x轴交于A、B两点，与,轴交于点C,且。4=2,OC=3.

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知抛物线上点。的横坐标为2,在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得MDP的周长最小？若存在，求出

点P的坐标；若不存在，请说明理由.

24.(10分)如图，抛物线丫=加+2%+C经过A(—l,0),B两点,且与y轴交于点C(0,3),抛物线与直线y=-x—1

交于A，E两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)坐标轴上是否存在一点Q,使得AAQE是以AE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点。的坐标；若不

存在，说明理由.

(3)P点在x轴上且位于点8的左侧，若以P,B,C为顶点的三角形与A48E相似，求点P的坐标.

k

25.（12分）如图，已知双曲线y=—与直线为=6+匕交于点A（l，4）和点3（机,一1）

X

（1）求双曲线的解析式；

（2）直接写出不等式6+8<人的解集

26.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，AABC的顶点均在格点

上，点B的坐标为（1,0）.

（1）画出AASC关于x轴对称的AAiBCi；

（2）画出将AA3C绕原点O按逆时针旋转90。所得的“2瓦。2,并写出点。2的坐标；

（3）A4为G与A4252c2成中心对称吗？若成中心对称，写出对称中心的坐标.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、A

【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可.

【详解】解：-1的相反数是1.

故选A.

【点睛】

本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，正数的相反数是负数，。的相反数是0,负数的

相反数是正数.

2、C

【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF=FC,故此点P在以F为圆心，以1为半径的圆

上，依据垂线段最短可知当FP_LAB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的

性质求解即可.

【详解】如图所示：当PE〃AB.

在RtAABC中,VZC=90°,AC=6,BC=8,

.-.AB=762+82=10,

由翻折的性质可知：PF=FC=1,NFPE=NC=90。.

VPE/7AB,

:.ZPDB=90°.

由垂线段最短可知此时FD有最小值.

又；FP为定值，

.•.PD有最小值.

又：NA=NA,ZACB=ZADF,

...△AFDS/XABC.

AFDF4DF5四

----，即——，解得：DF=2.1.

ABBC108

.,.PD=DF-FP=2.1-1=1.1.

故选：C.

【点睛】

本题考查翻折变换，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题

3、C

【分析】本题可先算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数.

【详解】解：•.•某班七个兴趣小组人数分别为4,4,3,x,1,1,2.已知这组数据的平均数是3,

:.x=3x2-4-4-3-1-1-2=3,

...这一组数从小到大排列为：3,4,4,3,1,1,2,

.•.这组数据的中位数是：3.

故选：C.

【点睛】

本题考查的是中位数，熟知中位数的定义是解答此题的关键.

4、D

【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出符合题意的答案.

【详解】解：点A(-3,2)关于x轴的对称点A，的坐标为：(-3,-2),

故选：D.

【点睛】

本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，关于x轴对称的点：横坐标不变，纵坐标互为相反数.

5、A

【分析】根据函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可.

【详解】由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=3x2先向向下平移1个单位可得到抛物线y=3xZl；

由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=3x2-l先向左平移2个单位可得到抛物线y=3(x+2>-1.

故选A.

【点睛】

本题考查二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”的原则.

6、D

【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可.

【详解】A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

B、阴影部分，的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误.

D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；

故选：D.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.

7、A

【分析】根据线段的平移规律可以看出，线段AB向下平移了1个单位，向左平移了2个单位，相加即可得出.

【详解】解：根据线段的平移规律可以看出，线段AB向下平移了1个单位，向左平移了2个单位，得到A'B，，则

m+n=l.

故选：A

【点睛】

本题考查的是线段的平移问题，观察图形时要考虑其中一点就行.

8、C

【分析】连接BO,证O是△ABC的内心，证ABAO^^DAO,得ND=NABO,根据三角形外角性质得

ZACO=ZBCO=ZD+ZCOD=2ZD,即NABC=NACO=NBCO,再推出NOAD+ND=18()°-138°=42°,得

ZBAC+ZACO=84°,根据三角形内角和定理可得结果.

【详解】连接BO,由已知可得

因为AO,CO平分NBAC和NBCA

所以O是△ABC的内心

所以NABO=NCBO=LNABC

2

因为AD=AB,OA=OA,ZBAO=ZDAO

所以△BAO^ADAO

所以ND=NABO

所以NABC=2NABO=2ND

因为OC=CD

所以ND=NCOD

所以NACO=NBCO=ND+NCOD=2ND

所以NABC=NACO=NBCO

因为NAOD=138。

所以NOAD+ND=180°-138°=42°

所以2(NOAD+ND)=84°

即NBAC+NACO=84°

所以NABC+NBCO

=180°-(ZBAC+ZACO)

=180°-84°

=96°

所以NABC='X96°=48°

2

故选:c

【点睛】

考核知识点：三角形的内心.利用全等三角形性质和角平分线性质和三角形内外角定理求解是关键.

9、B

【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即

可.

【详解】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，

把抛物线丫=3乂2向左平移1个单位，再向下平移1个单位，

则平移后的抛物线的表达式为j=-^(x+1)--1.

故选B.

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象与几何变换，掌握二次函数图象与几何变换是解题的关键.

10、D

【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题.

【详解】解：•.•二次函数y=-i+x=-(x—g)2+：,

Aa=-L该函数的图象开口向下，故选项A错误；

对称轴是直线故选项B错误；

2

当x=L时取得最大值,，该函数有最高点，故选项C错误；

24

在对称轴右侧的部分从左往右是下降的，故选项O正确；

故选：D.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，掌握函数解析式和二次函数的性质是解题的关键.

11、B

【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解.

【详解】sin30=!

2

故sin30的倒数是2,

故选B.

【点睛】

此题主要考查倒数，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.

12、D

【解析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心.

解答：解：根据垂径定理的推论，则

作弦AB、AC的垂直平分线，交点Oi即为圆心，且坐标是（3,1）.

故选D.

二、填空题（每题4分，共24分）

34

13、—

5

【分析】作AFJJ3,BE±13,证明△ACF^^CBE,求出CE,根据勾股定理求出BC、AC,作DH_L，3,根据DH〃AF

证明△CDHsaCAF,求出CD,再根据勾股定理求出BD.

【详解】如图，作AFJJ?，BE±/3,贝！]NAFC=BEC=90。，

由题意得BE=3,AF=2+3=5,

•••△ABC是等腰直角三角形，ZACB=9Q°,

：.AC=BC,ZBCE+ZACF=90°,

VZBCE+ZCBE=90°,

.,.ZACF=ZCBE,

/.△ACF^ACBE,

/.CE=AF=5,CF=BE=3,

•*­AC^BC=By]E2+CE2="+52=V34，

作DHL4,

...DH〃AF

.,.△CDH^ACAF,

.CDDH

••=f

CAAF

CD3

・•,忑

.*.CD=3-\//34,

2

:.BD=VBC+CD2=J（取y+（|取）2=g,

故答案为：—.

此题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线间的距离处处相等的

性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键.

14、300+10073

【分析】作DFJ_AC于F.解直角三角形分别求出BE、EC即可解决问题.

［详解］作。FLAC于尸.

'：DF：AF=1：也,40=200百米,

3

：.ZDAF=30°,

ADF=-AD=-x20073=10073（米），

22

V4DEC=N5cA=ND尸。=90。，

，四边形OECF是矩形，

AEC=DF=10073（米），

TN54c=45。，BC±AC,

:.NABC=45。,

VZBDE=60°,DE1.BC,

：.ZDBE=90°-NBDE=90。-60°=30°,

ZABD=ZABC-ZDBE=45°-30°=15°,ZBAD=ZBAC-ZDAC=45°-30。=15。，

:.NABD=NBAD,

AAD=BD=200V3（米），

BE

在Rt/JWE中，sinNBDE=——，

BD

.*.5E=50・sinN30E=200百X2<1=300（米），

2

ABC=BE+EC=300+10073（米）；

故答案为：300+100G.

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三

角形解决问题

15、©@

【分析】①根据函数图象可得a、b、c的正负性，即可判断；②令x=-3,即可判断；③令y=0,方程有两个不相

等的实数根即可判断4一4公>0；④根据对称轴大于0小于1即可判断.

【详解】①由函数图象可得。<0、c<0

b

•.•对称轴-一>0

2a

：.b>0

ahc>0

②令x=_3,则y=9a—3Z?+c<0

③令y=0,由图像可知方程ax2+bx+c^0有两个不相等的实数根

**•△=/?2-4ac>0

④•.•对称轴-2<i

2a

，2a+h<0

综上所述，值小于。的有②④.

【点睛】

本题考察二次函数图象与系数的关系，充分利用图象获取解题的关键信息是关键.

16、-1

【解析】根据二次函数的定义判定即可.

【详解】•••函数y=(&-3)/々+④+1是二次函数,

：.k2-7=2,k-IWO

解得k=-l.

故答案为：-1.

【点睛】

此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键.

17、xi=0,X2=l

【分析】先移项，然后利用因式分解法求解.

【详解】X2=1X

x2-lx=0,

x(x-l)=O,

x=0或x-l=0,

.♦.Xl=0,X2=l.

故答案为X|=0,X2=l

【点睛】

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0,再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方

程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解

3

18、一

4

【解析】分析：

由已知条件易得△ACB中，NACB=90。，AC=3,AB=5,由此可得BC=4,结合NADC=NABC,即可由

tanZADC=tanZABC=——求得所求的值了•

BC

详解：

TAB是一〉0的直径，

.,.ZACB=90°,

又：AC=3,AB=5,

*',BC=-32=4，

AC3

；・tanNABC=---=—,

BC4

XVZADC=ZABC,

,3

AtanZADC=—.

4

3

故答案为：一.

4

点睛：熟记“圆的相关性质和正切函数的定义”解得本题的关键.

三、解答题(共78分)

13

19、(1)抛物线与x轴交点坐标为：(-2+夜，0)(-2-V2.0)(2)-3VmV-l(3)当111=——=一3时,

2a2

9

s最大二£

o

【解析】分析：(1)与X轴相交令y=0,解一元二次方程求解；

(2)应用配方法得到顶点A坐标，讨论点A与直线1以及x轴之间位置关系，确定m取值范围.

(3)在(2)的基础上表示aABO的面积，根据二次函数性质求m.

详解：(1)当m=-2时，抛物线解析式为：y=x?+4x+2

令y=0,则X2+4X+2=0

解得xi=-2+V2»x2=-2-V2

抛物线与x轴交点坐标为：(-2+夜，0)(-2-y/2,0)

(2)Vy=x2-2mx+m2+2m+2=(x-m)2+2m+2

•••抛物线顶点坐标为A(m,2m+2)

•••二次函数图象的顶点A在直线1与x轴之间(不包含点A在直线1上)

:.当直线1在x轴上方时><

2m+2<m-1

<m-I>0

2m+2>0

不等式无解

当直线1在x轴下方时

2m+2>m-\

<m-1<0

2m+2<0

解得-3<m<-1

(3)由⑴

点A在点B上方，则AB=(2m+2)-(m-1)=m+3

11,3

△ABO的面积S=—(m+3)(-m)—-—m~--m

222

eb3Qc9

..当m=-——=——时，S

2a28

点睛：本题以含有字母系数m的二次函数为背景，考查了二次函数图象性质以及分类讨论、数形结合的数学思想.

20、(1)每双速滑冰鞋购进价格为150元，每双花滑冰鞋购进价格为200元；(2)该校至多购进速滑冰鞋20双.

【分析】(1)根据题意列出二元一次方程组，求解即可.

(2)根据题意列出一元一次不等式，求解即可.

【详解】(D解：设每双速滑冰鞋购进价格为工元，每双花滑冰鞋购进价格为y元.

30^+20^=8500

根据题意得《

40x+10y=8000

x=150

解得《

y=200

答：每双速滑冰鞋购进价格为150元，每双花滑冰鞋购进价格为200元.

(2)解：设该校购进速滑冰鞋。双，则购进花滑冰鞋(2。-10)双.

根据题意得150。+200(2。一10”9000.

解得。420

答：该校至多购进速滑冰鞋20双.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，掌握二元一次方程组和一元一次不等式的性质和解法是解

题的关键.

21、（1）y^-x2+2x+3；（2）x<-2或x>3；（3）D（4,-5）.

【分析】（D先求出A,B的坐标，再代入二次函数即可求解；

（2）根据函数图像即可求解；

（3）先求出C点坐标，再根据平移的性质得到即=ED=3,设点七（。,。一3）,则。（。+3,。-6）,把D点代入二

次函数即可求解.

【详解】解：（1）令y=0,得x=3,...A。,。）.把3（—2,帆）代入y=x-3,解得3（-2,-5）.

把4（3,0）,3（-2,-5）代入"-d+foc+c,

[0=-9+3/?+cf/?=2

得〈，，・•・《，

-5=-4-20+c[c=3

：.二次函数的表达式为y=-x2+2x+3.

（2）由图像可知，当M>为时，》<-2或x>3.

（3）令x=0,则y=3,C（0,3）.

•平移，：.^OC=\DFE,:.EF=FD=3.

设点E（a,a-3）,则D（a+3,a-6）,

:.a—6——（a+3y+2（a+3）+3,%=-6（舍去）♦

D（4,-5）.

【点睛】

此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用.

22、（1）见解析；（2）70；（3）26+2

【分析】（1）先根据同弧所对的圆周角相等证明三角形ABC为等边三角形，得到NACB=60。，再求出NAPB=60。，根

据AQ=AP判定aAPQ为等边三角形，NAQP=NQAP=60。，故NACB=NAQP,可判断NQAO120。，ZQBC<120°,

故NQAG6NQBC,可证四边形AQBC是准平行四边形；

（2）根据已知条件可判断NABCHNADC,则可得NBAD=NBCD=90。，连接BD,则BD为直径为10,根据BC=CD

得ABCD为等腰直角三角形，则NBAC=NBDC=45。，在直角三角形BCD中利用勾股定理或三角函数求出BC的长，

过B点作BEJLAC,分别在直角三角形ABE和△BEC中，利用三角函数和勾股定理求出AE、CE的长，即可求出

AC的长.

(3)根据已知条件可得：ZADC=ZABC=60°,延长BC到E点，使BE=BA,可得三角形ABE为等边三角形，NE=60。,

过A、E、C三点作圆o,则AE为直径，点D在点C另一侧的弧AE上(点A、点E除外)，连接BO交弧AE于D

点，则此时BD的长度最大，根据已知条件求出BO、OD的长度，即可求解.

【详解】(1)•:ZAPC=/CPB=3

：.ZABC=ZBAC=60°

.,.△ABC为等边三角形，ZACB=60°

VZAPQ=180°-ZAPC-ZCPB=60°

又AP=AQ

/.△APQ为等边三角形

:.NAQP=NQAP=60°

二ZACB=ZAQP

VZQAC=ZQAP+ZPAB+ZBAC=120°+ZPAB>120°

故NQBC=360°-NAQP-NACB-NQACV120°

二NQACrNQBC

...四边形AQBC是准平行四边形

(2)连接BD,过B点作BE±AC于E点

•.•准平行四边形ABC。内接于。，AB于AD,BC=DC

AZABC^ZADC,ZBAD=ZBCD

VZBAD+ZBCD=180°

:.ZBAD=ZBCD=90°

；.BD为。的直径

V。的半径为5

ABD=10

VBC=CD,ZBCD=90°

AZCBD=ZBDC=45°

.*.BC=BDxsinZBDC=10x—=572，ZBAC=ZBDC=45°

2

VBEXAC

AZBEA=ZBEC=90°

/.AE=ABxsinZBAC=6xg=3及

2

VZABE=ZBAE=45°

BE=AE=3-y2

在直角三角形BEC中，EC川BC,z_BE'"=4亚

；.AC=AE+EC=7&

(3)在Rf.ABC中，ZC=90°,ZA=30°

.,.ZABC=60°

V四边形ABC。是准平行四边形，且/BCDHZBAD

：.ZADC=ZABC=60°

延长BC到E点，使BE=BA,可得三角形ABE为等边三角形，NE=60。，过A、E、C三点作圆。，因为NACE=90。，

则AE为直径，点D在点C另一侧的弧AE上(点A、点E除外)，此时，ZADC=ZAEC=60°,连接BO交弧AE于

D点，则此时BD的长度最大.

在等边三角形ABE中，ZACB=90°,BC=2

；.AE=BE=2BC=4

/.OE=OA=OD=2

.*.BO±AE

.*.BO=BExsinZE=4x—=2A^

2

.,.BD=BO+OD=2+2A/3

即BD长的最大值为2+273

【点睛】

本题考查的是新概念及圆的相关知识，理解新概念的含义、掌握圆的性质是解答的关键，本题的难点在第(3)小问，

考查的是与圆相关的最大值及最小值问题，把握其中的不变量作出圆是关键.

23、(1)y=—X2H—x+3；(2)存在，点

22<24J

【分析】(1)由题意先求出A、C的坐标，直接利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；

(2)根据题意转化PA=BB,BD的长是定值，要使ABZ中的周长最小则有点A、P、。在同一直线上，据此进行

分析求解.

【详解】解：(1)04=2,

二点A的坐标为(—2,0).

。。=3,

/\/\/\1o0=—2—2Z?+c

二点。的坐标为(0,3).把(—2,0),(0,3)代入丫=—―/+法+的得，

b=-

解得2.

c=3

•••抛物线的解析式为y=—g/+；x+3.

(2)存在.

把y=0代入y=」x2+L+3,

22

解得斗=一2,々=3,

.••点3的坐标为(3,0).

点。的横线坐标为2

.•.一322+92+3=2.故点0的坐标为(2,2).

如图，设尸是抛物线对称轴上的一点，连接24、PB、PD、BD,

PA=PB，

：.MOP的周长等于BD+PA+PD，

又QBD的长是定值,

，点A、P、。在同一直线上时，的周长最小,

由A(-2,0)、A(—2,0)可得直线AD的解析式为＞=；*+1，

抛物线的对称轴是

2

，点P的坐标为Ml

£5

•••在抛物线的对称轴上存在点P,使得ABDP的周长最小.

254

【点睛】

本题考查二次函数图像性质的综合问题，熟练掌握并利用利用待定系数法即可求出二次函数的解析式以及运用数形结

合思维分析是解题的关键.

+2x+3i(2)存在,Q(4,0)或(0,-4),理由见解析；(3)3或p(一|，°).

24、(1)y=*

5

【分析】(D将A、C的坐标代入y=o?+2x+c求出a、c即可得到解析式;

(2)先求出E点坐标，然后作AE的垂直平分线，与x轴交于Q,与y轴交于Q，，根据垂直平分线的性质可知Q、

与A、E,Q，与A、E组成的三角形是以AE为底边的等腰三角形，设Q点坐标(0,x),Q，坐标(0,y),根据距离公式建立

方程求解即可;

PR40pR

(3)根据A、E坐标，求出AE长度，然后推出NBAE=NABC=45。，设p(〃?,0),由相似得到一=——或一=—,

\'BCAEBCAB

建立方程求解即可.

【详解】⑴将A(—1,0),C(O,3)代入丫="2+21+。得：

ci—2+c=0a=­l

，解得

c=3c=3

...抛物线解析式为y=-x2+2x+3

(2)存在，理由如下：

联立y=-》-1和y=-x2+2x+3,

y=-%—1fx=-1fx=4