2024年“九省联考”数学创新性新题型- 圆锥曲线中的新定义解析

11C.①②都是假命题D.①②都是真命题-,-,1122若A(-a,0)，直线y=与椭圆有两个交点B,C，符合题意，2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0，直线BC的斜率--=-，方程为y+=-（x+0即y=-x-0，x2+x0x+-y=0，Δ=x-a2+2y=-y+y=2y>0，即直线BC与椭圆交于两点，且O是△ABC的重心，由对称性，不妨令双曲线方程为-=1(m>0.n>0)，令A(t,s)，则n2t2-m2s2=m2n2，设B(t1,s1),C(t2,s2)，2(t1-t2)(t1+t2)-m2(s1-s2)(s1+s2)=0，!n2x2-m2y2=m2n24!n2x2-m2y2=m2n24Δ,=t2-a2-s2=s2-s2=-s2<0，即直线BC与双曲线不相交，-12-1233+=()A.B.ωC.-ωD.-的方程为xx-x0+yy-y0=0，利用两圆方程之差求得切点A、B所在直线方程，进而求得M、N两点【详解】依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为Px0,y0，则该圆的方程为：xx-x0+yy-将两圆方程：x2+y2=b2与x2-x0x+y2-y0y=0相减，得切点所在直线方程为lAB0+yy0=b2，解得M 2+a2=b2+a2=b2x+a2y=a2b2=a2=1=2=1.5-1ω33,0是平面直角坐标系xOy内的两个定F的A.1B.2C.3D.4判断①;令t=y2≥0，由f(t)=t2+2(x2+1)t+(x2-1)2-4在[0,+∞)上有解，结合二次函数性质求P的横坐标的取值范围判断②;由②分析可得OP2=x2+y2=2x2+1-1，进而求范围判断③;由基本不等式、余弦2+y2⋅2+y2=2，2+y2]2+y2]=42-1)2+2y2(x2+1)+y4=4，2-1)2+2y2(x2+1)+y4=4，令t=y2≥0，则t2+2(x2+1)t+(x2-1)2-4=0，对于f(t)=t2+2(x2+1)t+(x2-1)2-4，对称轴为x=-(x2+1)<0，所以-1≤x2-1≤2，即0≤x2≤3，可得-3≤x≤3，②正确；由OP2=x2+y2，由f(t)=0中，Δ=4(x2+1)2-4(x2-1)2+16=16(x2+1)，所以t=y2==2x2+1-(x2+1)>0，其中负值舍去，综上，OP2=x2+y2=2x2+1-1，又0≤x2≤3，即1≤x2+1≤4，FPF12+PF22-F1F22PF12+PF22-F1F22【点睛】关键点点睛：②③通过换元t=y2≥0，构造f(t)=t2+2(x2+1)t+(x2-1)2-4，利用根的分布求P的横 ：满足d(O,M)=CC>0的点M的轨迹为正方形；-dP,F2=2a2c>2a>0的点M的轨迹与直线y=k(k为A.1B.2C.3D.4C(x344可得d(P,Q)=max{|x-3|，|2-2x|}，④定点F1(-c,0)、F2(c,0)，动点P(x,y)可得x+c-(c-x)=2a，解则点P的轨迹与直线y=k(k为常数)有且仅有2个公共点.5555①PA=PB；③l始终与-=1相切；其中所有正确结论的编号是()A.①②B.①④C.②③④D.①②③F0>0所以切线方程为y-y0=(x-x0)，因为点Px0,y0在双曲线上，所以-=1，得x-a2=y0，b2x-a2y=a2b2，所以y-y0=(x-x0)=(x-x0)，所以a2y0y-a2y=b2x0x-b2x，2x0x-a2y0y=b2x-a2y=a2b2，所以x0x-y0同理可求出当y0<0时的切线方程为-=1，所以过P点切线方程为-=1，渐近线方程为y=±x联立两直线方程得xA=，xB=故有xA+xB==2x0，故PA=PB6677Σd上部分=ΣΣd下部分=Σ-Σd上部分=Σd下部分从而=0整理得yi=k⋅xi+bFFFF所以E,F,G三点共线，因为直线AB为-=1，所以直线AB的斜率为k=⋅，所以直线GH的方程为y-=⋅x-0整理得3x-3y=1，故①②③正确.86B.平面MAB截该圆锥得的截口曲线为抛物线的一部分又SD⊥OM,OM∩AB=O,OM⊂平面MAB，AB⊂所以SD⊥平面MAB，又易知OM=SM=MD，取x=1，则y=-1,z=1，故=(1,-1,1)，故e==co==233∈(1,+∞)，则=cβ=2,∴cosβ=1,∵β∈0,,∴β=0，解. A．过点P作椭圆C的两条切线PA,PB，则有PA⊥PB.B．过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A,B,O为原点，则OP,AB的斜率乘积为定值kOP⋅kAB=-.的单调性或者不等式知识即可求得最值或范围.故a=2,=,∴c=1,b2=a2-c2=3，2+y2=7；则P点坐标为P(2,±3)，显然此时A点取椭圆的短轴顶点(0,±3)，则PA方程为y=±3，此时满足PA与椭圆相切，且PA⊥PB；99设P(x1,y1(，则m=y1-kx1,x+y=7，(y=kx+m+=1，整理得(4k2+3(x2+8kmx+4m2-12=0，则Δ=64k2m2-4(4k2+3((4m2-12(=0，即m2=4k2+3，将m=y1-kx1代入上式，得关于k的方程(x-4(k2-2x1y1k+y-3=0，则Δ,=4(3x+4y-12)>0，(P在椭圆+=1外)，3=-1，3PB的方程为+=1，故直线AB的方程为xx1+yy1=1，则k=-3x1得(3x+4y(x2-24x1x+48-16y=0，Δn=(24x1(2-4(3x+4y((48-16y(=64y(3x+4y-12(>0，则x2+x3=,x2x3=， 29x+16y3x+4y-12=3x+4y又点P到直线AB的距离为d=|3x+4y-12|，9x+16y= (3x+4y-12)3x+4y-12=3x+4y则S△APB=t3=1t2+12+，)min=f)==,(S△APB)max=f)==，9x+16y9x+16y= 123x+4y-123x+4y,则S△AOB=12t=12，t2+12t+t+43△AOBt+43△AOB88判断A；令t=y2≥0，由f(t)=t2+2(x2+1)t+(x2-1)2-4在[0,+∞)上有解，结合二次函数性质求P的横坐2+y2⋅2+y2=2，2+y2]2+y2]=42-1)2+2y2(x2+1)+y4=4，2-1)2+2y2(x2+1)+y4=4，令t=y2≥0，则t2+2(x2+1)t+(x2-1)2-4=0，对于f(t)=t2+2(x2+1)t+(x2-1)2-4，对称轴为x=-(x2+1)<0，所以-1≤x2-1≤2，即0≤x2≤3，可得-3≤x≤3，B正确；由OP2=x2+y2，由f(t)=0中，Δ=4(x2+1)2-4(x2-1)2+16=16(x2+1)，所以t=y2==2x2+1-(x2+1)>0，其中负值舍去，综上，OP2=x2+y2=2x2+1-1，又0≤x2≤3，即1≤x2+1≤4，FPF12+PF22-F1F22PF12+PF22-F1F22【点睛】关键点点睛：B,C通过换元t=y2≥0，构造f(t)=t2+2(x2+1)t+(x2-1)2-4，利用根的分布求P的横坐标、OP的取值范围.9如图，已知圆锥PO的轴PO与母线所成的角为α,过A1的平面与圆锥的轴所成的角为ββ>α,该9C.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e=asin(β-α)球O1与A1A2的切点为椭圆左焦点F，设∠O1A2F=θ,∠O1A1F=φ,∴θ=①,φ=,|A1F|=a-c=,c=,即可求解. ()A.E关于y轴对称C.E上的点到原点距离的最小值为 4D.曲线E所围成图形的面积小于2 8 断. 8 82+y2=3+(y3=2-3(xy=1-3(xy22x|322x|322+y2=x3222+y2=x323+y22222=342)1(a>0,b>0(上点P(x0,y0(处的曲率半径公式为342)A.对于半径为RA.对于半径为R2yB.椭圆+2=1(a>b>2yB.椭圆+2x22 yC.椭圆+2=1(a>bx22 yC.椭圆+2D.对于椭圆,y0 2D.对于椭圆,y0 2 a-32-a-34+a32 a-32-a-34+a323442-a-32-a-34+a3f(a)=a-44=R4=R02+y=1-，所以R=a2-+1=+-+-， 12在平面直角坐标系中，定义d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|为点A(x1,y1(到点B(x2,y2(的“折线距离”.-3-3,则d(O,P)= 5②d(O,P)的最大值是2③d(O,Q)的最小值是2；④d(Q,P)的最小值是 520-+ 2 2对于③,设直线2x+y-25=0上的一点为Q(x,25-2x则d(Q,P)=|x-cosθ|+|25-2x-sinθ|，d(Q,P)=x-cosθ-25+2x+sinθ=3x-cosθ-25+sinθ5-sinθ-cosθ-25+sinθ当5-sinθ>x>cosθ时，d(Q,P)=x-cosθ+25-2x-sinθ=-x-cosθ+25-sinθ≥-5-sinθ-cosθ+25-sinθ当x≤cosθ时，d(Q,P)=cosθ-x+25-2x-sinθ=-3x+cosθ+25-sinθ≥-3cosθ+cosθ+25-sinθ=-2cosθ-sinθ+25 综上可知d(Q,P)的最小值是②卵圆上不存在两点关于直线x=对称因为+=+=1，所以点(x,-y(也在卵圆C上，又点(x,y(和点(x,-y(关于x轴对称， 2对于②,设(x0,y0(在卵圆C上，(x0,y0 2对称的点(1-x0,y0(也在卵圆C上， 2 2对于③,由+=1，得=1-，所以≤1，又x>-2，所以-1≤x≤2，则|OP|2=x2+y2=x2+4（1-=+4，当-1<x<0或-1+5<x<2时，f,(x(>0，当0<x<-1+5时，f,(x(<0，所以函数f(x(在(-1,0(,(-1+5,2(上递增，在(0,-1+5(上递减，又f(-1(=1,f(0(=4,f(-1+5(=26-105,f(2(=4，-=1-，令g(x(=,-1≤x≤2，则g,(x(=,-1≤x≤2，当-1<x<0时，g,(x(<0，当0<x<2时，g,(x(>0，所以g(x(在(-1,0(上递减，在(0,2(上递增，所以g(x(min=g(0(=0，拐弯的方式行走.在平面直角坐标系中，定义d(P,Q(=|x1-x2|+|y1-y2|为两点P(x1,y1(、Q(x2,y2(之间的③若点A(1,2(，点B是抛物线y2=x上的动点，则d(A,B(的最小值是1；④若点A(1,2(，点B是圆x2+y2=1上的动点，则d(A,B(的最大值是3+数的性质可判断③;设点B(cosθ,sinθ(，利用题中定义结合正弦型函数的有界性可判断④.对于②,设点P(x,y(满足d(O,P(≤1，即|x|+|y|≤1.-x+y=1；作出集合{(x,y(||x|+|y|≤1{所表示的平面区域如下图中的阴影部分区域所表示：对于③,设点B(x,y(，则d(A,B(=|x-1|+|y-2|=|y2-1|+|y-2|，令f(y(=|y2-1|+|y-2|.当y≤-1时，f(y(=y2-1+2-y=y2-y+1=（y-2+≥3，当y≥2时，f(y(=y2-1+y-2=y2+y-3=对于④,设点B(cosθ,sinθ(，则d(A,B(=|1-cosθ|+|2-sinθ|=3-(sinθ+cosθ(=3-2sin(θ+,==①y=x+3(-3≤x≤0(；②y=x2(x≥0(；③y=2-x2(0≤x≤2(；④y=(x<0(.【分析】线段y=x+3(-3≤x≤0(的端点为E(-3,0(、F(0,3(，计算出cos∠EAF的值可判断①;设过点A且与曲线y=x2(x≥0(相切时切点为M，计算出tan∠OAM可判②;记曲线y=2-x2(0≤x≤2(的端【详解】对于①,线段y=x+3(-3≤x≤0(的端点为E(-3,0(、F(0,3(，故∠EAF>，所以，线段y=x+3(-3≤x≤0(上存在B、C使得△ABC为正三角故y=x+3(-3≤x≤0(是Ψ型曲线；对于②,设过点A且与曲线y=x2(x≥0(相切的直线的方程为y+1=k(x-1(，y=kx-k-1，可得x2-kx+k+1=0，Δ=k2-4k-4=0，则tan∠OAM== kAO-kAE1+kAOkAE=-3-22 π2(x≥0(上不存在点B、C，使得△ABC为正三角形，对于③,由y=2-x2(0≤x≤2(可得x2+y2=2，曲线y=2-x2(0≤x≤2(表示圆x2+y2=2在第一象限内的圆弧(包括端点)，曲线y=2-x2(0≤x≤2(的端点为P(0,2(、Q(2,0(，=，故曲线y=2-x2(0≤x≤2(上不存在点B、C，使得△ABC为正三角形，曲线y=2-x2(0≤x≤2(不是Ψ型曲线；对于④,曲线y= x(x<0(为双曲线y x所以，曲线y=(x<0(为Ψ型曲线.用数形结合思想来进行判断.Cassini卵形线是由法国天文家Jean-DominiqueCassini(1625-1712)引入的.卵形线的定义【答案】(x2+y2)2-2(x2-y2)=0；2+y2]2+y2]=12+y2)2-2(x2-y2)=0，又y4+2(x2+1)y2+x2(x2-2)=0，2=-x2-1+4x2+1，令f(t)=--1+t=-(t-2)2+， 4 4,即yma= ymax= ymax=S△APAmax=2 =,2+y2)2-2(x2-y2)=0；.存在点P12=k|<．y=kx是曲线x2-4y2=1的分隔线，则它们没有公共≥，即得解；∴点A，B被直线x+y-1=0分隔.<.当|k|≥时，对于直线y=kx，曲线x2-4y2=1上的点(-1,0(和((1,0(被y=kx分隔.2=1又曲线E上的点(-1,2(和(1,2(对于y轴满足η<0，2=1得[x2+(kx-2(2[⋅x2-1=0，令f(x(=[x2+(kx-2(2[⋅x2-1，f(2(=(-1(⋅[16(k-1(2+15[<0，∴方程f(x(=0有实数解.即直线y=kx与曲线E有公共点，故直线y=kx不是曲线E的分隔线. (1)求出直线l与曲线S的2个切点，进而证此时y1=x+2=-+2，y2=x-2sinx=-+2，2=x-2sinx=+2，对任意x∈R，g(x)-F(x)=(x+2)-(x-2sinx)=2+2sinx=2(1+sinx(≥0，所以g(x)≥F(x).①先检验直线y=mx+n与曲线y=mx-nsinx相切，且至少有两个切点：设：F(x)=mx-nsinx，∵F,(x)=m-ncosx，y-m即直线y=mx+n与曲线y=mx-nsinx相切且有无数个切点.不妨设g(x)=mx+n，②下面检验g(x)≥F(x)，∵g(x)-F(x)=mx+n-(mx-nsinx(=n(1+sinx)≥0(n>0)，所以直线y=mx+n是曲线y=F(x)=mx-nsinx的“上夹线”.2+μ2=1+=2a，Fsinθ==b2tan；、Ba，-b又=λ+μ,2+μ2=1；若x=-a，同理可得λ2+μ2=1；由=λ+μ得N(λx1+μx2，λy1+μy2)，2n2+b2)x2+2a2nmx+a2（m2-=0m2-=0⇒2m2=a2n2+b2，y=nx+m⇒(a+=12n2+b2)x2+2a2nmx+a2y=nx+m⇒(ax1x2=a2(mx1x2=a2(m2-b2)2n2+b2+(λy1+μy2)+(λy1+μy2)22+μ22+y+μ22+y2+y2+y1y22又x1x22x=又x1x22x=2m2-(b2+a2n2)2n2+b2x+y2+y1y222222所以λ2+μ2=1.2+μ22+μ2=1.为点P为点P2y(3)已知直线l:mx-y+n=0和椭圆+22y(3)已知直线l:mx-y+n=0和椭圆+22>b2x0-2y02=x0+2y0x0+2y0==2x0-2y02=x0+2y0x0+2y0==01=0+2y050+2y05x-4y=5=4;-tcosα-2=4;-tcosα-2α+2sinα2=-tcosα-2α=-tcosα-2α+4sin2α2== tcosα-2=α+2sinα2 tcosα-2α+4sin2α1λ2=⋅=>b2，所以n2-c2m2>b2m2+b2，所以n2>(b2+c2(m2+b2，所以n2>a2m2+b2，=n2+>a2m2+b2+a2b2， m22m2所以|AB|2>a2+b2+ m22m2C2F2=1+d2为定值；2=4xF,分为M∈C1与M 上；-1≤cosα≤-时,A在抛物弧E1上,由条件可表示出此时r1,相应地,B(1-r2cosα,-r2sinα(再按-1≤cosα≤-时,A在抛物弧E1上,B在椭圆弧E2上；当-≤cosα≤1时,A在椭圆弧E2上,B在抛物弧E1F+=1,即c=1,则a=2,b2=a2-c2=3,则椭圆C1的方程为+=1=|x-3|2=4x(0≤x≤3(,d1=(x-1(2+y2=|x+1|,即d1+d2=|x+1|+|x+3|=(x+1(+(3-x(=4；2=12(x-4((3<x≤4(,d1=(x-1(2+y2=|7-x|,即d1+d2=|7-x|+|x-3|=(7-x(+(x-3(=4；所以d1+d2=4为定值.当x=时,y=±,此时r=,cosα=-；当-≤cosα≤1时,A在椭圆弧E2上,由题设知A(1+r