上海市静安区2023-2024学年高二年级上册数学期末预测试题含解析

上海市静安区2023-2024学年高二上数学期末预测试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.用反证法证明命题”,5CN,如果仍可以被5整除，那么“，6至少有1个能被5整除.”假设内容是()

A.a,8都能被5整除B.a,〜都不能被5整除

C.a不能被5整除T).a,万有1个不能被5整除

2.命题p：三王。>0,x+一=2,则为()

0xo

A.\/x>0>x—=2B.\/x>0,x-\—w2

xx

C.Vx——2D.3x<0,x-\—w2

xx

3.若函数/(x)=fcr-Inx在区间(1,+s)上单调递增，则实数左的取值范围是

A.(-OO,-2]B.(-co,-l]

C.[2,-K»)D.[1,+CO)

4.已知向量a=(-2,-Lx—l),b=(2x,x,-2),且q//》，则x的值为()

A.-2B.l

C.-1或2D」或—2

5.已知数列｛4｝为等比数列，贝胪％<0,彳>1"是“｛4｝为递减数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

22

6.已知河是椭圆C:二+匕=1上的一点，则点闻到两焦点的距离之和是()

95

A.6B.9

C.14D.10

7.如果命题夕vq为真命题，"八乡为假命题，那么()

A.命题〃，夕都是真命题B.命题q都是假命题

c.命题P,q至少有一个是真命题D.命题P,q只有一个是真命题

8.已知圆M与直线2x—y+君―4=0与2x—y—后—4=0都相切，且圆心在x+y—5=0上，则圆M的方程为

()

A.(X-3)2+(J-2)2=1B.(x+3)2+(y-2)2=4

C.(x-3)2+(y-2)2=2D.(X-3)2+(J；+2)2=1

9.已知椭圆。：/+汇=1,则椭圆。的长轴长为()

4

A.2B.4

C.2A/2D.8

10.在空间直角坐标系中，已知点A(l,1,2),5(—3,1,-2),则线段A5的中点坐标是()

A.(-2,1,2)1,0)

C.(-2,0,1)D.(-L1,2)

3

11.在AA3C中，角A,B,。所对的边分别是a,b,c,若。=1,5=45。，cosA=—,则》等于()

510

A.-B.—

37

5D.迪

C.1

714

12.设Q,b,c,deR,a>b,c<d,则下列不等式中一定成立的是。

A.a+c>b+dB.a—ob—d

…ab

C.ac>bdD.—>—

dc

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

(、为奇数(、

13.在数列｛4｝中，4=1,an+l="4佃册，则数列｛4｝的前6项和为___________.

为偶数

14.若点M到点尸(4,0)的距离比它到定直线1+5=0的距离小1,则点M满足的方程为

15.已知定义在实数集衣上的函数/U)满足/(1)=3,且/)的导数/'(X)在R上恒有/'(%)<2(xGR),则不等式a)<2x

+1的解集为.

16.已知圆锥的高为1,体积为奇，则以该圆锥的母线为半径的球的表面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知直线/：x+3y+10=0,半径为画的圆。与/相切，圆心。在x轴上且在直线/的右上方.

（1）求圆。的方程;

（2）过点M（2,0）的直线与圆。交于A,3两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得左轴平分

NANB?若存在,请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

Q

18.（12分）已知使2%+m=0;4：不等式2x+a+——>0对一切xw（L+8）恒成立.如果0Vq为

X—1

真命题，为假命题，求实数加的取值范围.

19.（12分）已知数列也｝和也｝满足％=2,an+bn__l=3（n>2）

⑴若a“=b”,求｛4｝的通项公式；

⑵若仿=0,%+%=1（心2）,证明｛4｝为等差数列,并求｛4｝和也｝的通项公式

20.（12分）已知3（2,3）,C（〃,4）三点共线，其中%是数列｛4｝中的第”项.

（1）求数列｛4,｝的通项；

（2）设求数列也｝的前〃项和小

21.（12分）设歹为椭圆C:J+V=1的右焦点，过点（2,0）的直线与椭圆C交于A3两点.

（1）若点5为椭圆C的上顶点，求直线A下的方程；

k,

（2）设直线人尸,6尸的斜率分别为左1，右（左2。°），求证：广为定值.

22.（10分）已知函数/（X）=lnx—Ax

（1）当左=1时，求/（%）的单调区间与极值；

（2）若不等式/（x）W0在区间（0,+“）上恒成立，求上的取值范围

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证.命题“a,bGN,

如果ab可被5整除，那么a,b至少有1个能被5整除.”的否定是“a,b都不能被5整除”

考点：反证法

2^B

【解析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.

【详解】命题pH%>0,%+'=2为特称命题，而特称命题的否定是全称命题，

所以命题。：三王0>0,xo+-=2,则r?为：Vx>0,x+'w2.

XOX

故选：B

3、D

【解析】..，可疝=.£-［，•••函数/(%)=依—Inx在区间(1,+s)单调递增，一在区间(1,+s)上恒成

立......上：,而二在区间(1,+8)上单调递减，.••夫2:1....I取值范围是［1,+8).故选D

XX

考点：利用导数研究函数的单调性.

4、C

【解析】根据空间向量平行的性质得a=2。，代入数值解方程组即可.

—2=2xA

【详解】因为a//。，所以a=所以一l=x/l,

x-l=-22

所以尤2—%—2=0，解得x=2或X=—1.

故选：C.

5、A

【解析】本题可依次判断“q<0,4>1”是否是“｛4｝为递减数列”的充分条件以及必要条件，即可得出结果.

【详解】若等比数列｛4｝满足q<0、q>l,则数列｛/｝为递减数列，

故"％<0,q>1”是“｛a“｝为递减数歹！J”的充分条件，

因为若等比数列｛4｝满足4〉0、。<“<1,则数列｛为｝也是递减数歹U,

所以“弓<0,q>1"不是“｛为｝为递减数列”的必要条件，

综上所述，“4<0,4>1”是“｛«„｝为递减数列”的充分不必要条件，

故选：A.

【点睛】本题考查充分条件以及必要条件的判定，考查等比数列以及递减数列的相关性质，体现了基础性和综合性，

考查推理能力，是简单题.

6、A

【解析】根据椭圆的定义，可求得答案.

22

【详解】由C:工+匕=1可知：0=3,

95

22

由〃是椭圆C:工+匕=1上的一点，

95

则点M到两焦点的距离之和为2a=6,

故选：A

7、D

【解析】由命题为真命题,可判断二者至少有一个为真命题，由〃八乡为假命题，可判断二者至少有一个为假命题,

由此可得答案.

【详解】命题0V"为真命题，说明二者至少有一个为真命题，

。入4为假命题,说明二者至少有一个为假命题，

综合上述，可知命题?，q只有一个是真命题，

故选：D

8、A

2«-（5-«）+75-42a-(5-«)-V5-4

J

【解析】由题可设M（a,5-a）,结合条件可得J——/,—L=——/,—即求.

次+㈠）西+(-丁

【详解】•••圆心在x+y-5=0上，

工可设圆心加（。,5-。），又圆Af与直线2%-y+逐一4=0与2尤一y--君-4=0都相切，

2a-（5-〃）+逐-42a-（5-〃）-逐-4

——>一［=J——,一解得。=3,

#4-1）*2+（—1）2

，M(3,2),-J-；逐一土1,即圆的半径为i,圆M的方程为(x—3y+(y—2)2=1.

故选：A.

9、B

【解析】根据椭圆的方程求出。即得解.

【详解】解：由题得椭圆的4=4,二。=2,所以椭圆的长轴长为2。=4.

故选：B

10、B

【解析】利用中点坐标公式直接求解

【详解】在空间直角坐标系中，

点A(l,1,2),仇-3,1,-2),

1-31+17-2

则线段A3的中点坐标是(一，一，彳)=(-1，1，0)

222

故选：B.

11、C

4

【解析】先由cosA的值求出sinA=g,进而求出sinC,用正弦定理求出》的值.

【详解】因为cosA=|,所以sinA=Jl—cos2：=g,

所以sinC=sin[兀一(A+3)]=sin(A+JB)=sinAcosB+cosAsinB

437J?

=—cos45。+—sin45°=二一

5510

bCb=-^sin450=-

由正弦定理：--==一，得：7忘7.

sinBsinC----

10

故选：C

12、B

【解析】利用特殊值法可判断ACD的正误，根据不等式的性质，可判断B的正误.

【详解】对于A中，令a=l,Z?=-l,d=l,c=-l>满足a>6,c<d,j§.a+c=b+d,

故A错误；

对于B中，因为a>"c<d,所以由不等式的可加性，可得a+d>/?+c,

所以a—c>6—d,故B正确；

对于C中，令a=l,b=-l,d=1,c=—l,满足a>6,c<d,但ac=bd,

故C错误；

(2b

对于D中，令a=2,b=—19d——1,c=■—2>满足a>b,c<d,但一<一,

dc

故D错误

故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、129

【解析】依次写出前6项，即可求得数列｛4｝的前6项和.

2a”,九为奇数

【详解】数列｛4｝中，4=1,an+l

3%,九为偶数

贝！］?=2。］=2x1=2,%=32=3x2=6,4=2色=2x6=12

%—3%=3x12=36,a4=2a5=2x36=72

则数歹U｛a“｝的前6项和为1+2+6+12+36+72=129

故答案为：129

14、y2=16x

【解析】根据抛物线的定义可得动点的轨迹方程

【详解】点P到点尸(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离少1,

所以点P到点F(4,0)的距离与到直线x+4=0的距离相等，

所以其轨迹为抛物线，焦点为E(4,0),准线为x+4=0,

所以方程为y2=16x,

故答案为：/=16%

15、(L+oo)

【解析】构造函数g(x)=/(x)—2x—1,则原不等式可化为gG)<g(D.利用导数判断出g(x)在R上为减函数，直接利

用单调性解不等式即可

【详解】令g(x)=1/U)—2*—1,则g(1)=f(1)—2—1=0.

所以原不等式可化为g（X）＜g⑴.

因为g'（x）=/'（x）—2＜。，所以g（x）在R上为减函数.

由g（x）＜g⑴解得：x＞L

故答案为：（1，+对）.

16、127r

【解析】利用圆锥体积公式可求得圆锥底面半径小利用勾股定理可得母线长/;根据球的表面积公式可求得结果.

【详解】设圆锥的底面半径为广，母线长为/,

12万____

圆锥体积V=5%厂xl=3-,：,厂=,:./=J1+2=6，

•••以I为半径的球的表面积S=4兀『=1271.

故答案为：12万.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）C:x2+y2=10；

（2）存在，（5,0）.

【解析】（1）设出圆心。（。,0）,根据圆心到直线距离等于半径列方程求出。的值可得圆心坐标，进而可得圆的方

程；

（2）由题可设直线A3的方程为》=冲+2,与圆的方程联立，利用韦达定理及心、=一号^可得“4-5）=0,即得.

【小问1详解】

由已知可设圆心。（区0）,（。＞—10）,则勺^1=丽，

解得a=0或a=—20（舍）.

所以圆。：必+/=10.

【小问2详解】

由题可设直线AB的方程为，

（x2+y2=10

由J,

x=my+2

得到：（加+1）丁+4佻y_6=0,△＞0显然成立，

—4m—6

所以x+%=.①

若X轴平分N/WB,则心N=—%V，

上+上=0,

所以:

Xx-tX2-t

整理得:2阳1%+(2­)(乂+%)=0,

将①代入整理得力(，—5)=0对任意的m恒成立，贝!Jr=5.

存在点N为(5,0)时，使得x轴平分N/WB.

18、(―co,—10][0,+co)

【解析】若0真命题，利用分离参数法结合指数函数性质，可得me(f,0)；若9为真命题，利用分离参数法并

结合基本不等式可得“好(-10,+8),再根据Pvg为真命题，。人g为假命题，可知。，q—真命题一假命题；再分

“，为真命题，4为假命题”和为假命题，9为真命题”两种情况，求解范围，即可得到结果.

【详解】解：若。为真命题，则2而+m=0有解，所以/=一2"。<0，即me(fo,0)；

Q

若q为真命题，贝!I-7篦<2x+----对一切xe(l,+<»)恒成立,

X-1

Q

令/(x)=2x+^^,xe(l,+oo)

oQ

则/(%)=2%+乙=2(%—1)+乙+222)2(%—1).上+2=10,当且仅当2(x—1)=—，即％=3时，/(无)

x-1x-1

取得最小值10；

所以TWCIO,BPme(-10,+00)；

又pvq为真命题，。八4为假命题，所以。，4一真命题一假命题;

m<Q

当P为真命题，夕为假命题时，<[八，所以加工―10；

m<-10

m>0

当p为假命题，夕为真命题时，<所以相之。；

m>-10

综上所述，me(-oo,-10][0,-HX)).

n1

19、⑴an=|+1-x(-l)

(2)证明见解析，an=n+\9bn=I-n

【解析】⑴代入。「包可得变形得4一〉一〔构造等比数列求上｝的通项公式；

⑵先由已知得4+i—%_i=2(/22),先分别求出｛%_J,｛%J的通项公式，然后合并可得｛4｝的通项公式,

进而可得｛2｝的通项公式

【小问1详解】

当a“=b”，时，%=b.i,所以。“+4_]=3,即4=—4_]+3,

整理得--|=-^n-i--l^

所以是以4—g=g为首项，T为公比的等比数列

故""-5=5x(—1),即4=5+]><(-1)

【小问2详解】

当”22时,由。“+2”1=3,a,^+bn=l,得%+4=3,

所以4+1—%=2(n22)

因为4=0,所以为=3,

则｛%1｝是以4=2为首项，2为公差的等差数列，为1=2+(k—l)x2=2左，keN*;

｛%J是以4=3为首项，2为公差的等差数列，%t=3+(左—l)x2=2k+1,左eN*

综上所述，。〃="+1

所以=(〃+1)_〃=1,n>2,

故｛4｝是以2为首项，1为公差的等差数列

当时，bn=l-an_x=l-n,且4=。满足bn=\-n,

所以a=l-n

20、(1)an=2n-l

n+1

(2)Tn=6+2(2/z-3)

【解析】(1)由三点共线可知斜率相等，即可得出答案;

⑵由题可得2=2%=(2〃-1)2,利用错位相减法即可求出答案.

【小问1详解】

A(l,l),BQ,3),C(〃,)三点共线，二铝=

an=2〃一1

【小问2详解】

2=(2〃一1>2"

123n

:.Tn=lx2+3x2+5x2+...+(2n-l)x2@

234Z,,,+1

2Tn=1X2+3X2+5X2++(2H-3)X2+(2H-1)X2@

①一②得—4=2+202+2,+…+2')—(2"-l)x2"i

Q_)〃+2

=2+-..........(2n-l)x2,!+1

1-2

=2-8+2"+2-(2n-l)x2"+1

=-6+2"+1(2-2«+l)

=-6+2,,+1(3-2n)

.U=6+2"+i(2〃-3)

21、(1)y=x-l；(2)证明见解析.

【解析】(1)求出A3的直线方程，结合椭圆方程可求A的坐标，从而可求■的直线方程；

k

(2)设4(%,乂),5(%,%)，直线至：x=9+2(或45:丁=左(％—2)),则可用两点的坐标表示4+七或U，联

立直线AB的方程和椭圆的方程，消元后利用韦达定理可化简前者从而得到要证明的结论

【详解】(1)若5为椭圆的上顶点，则3(0,1).

又过点(2,0),故直线AB:x+2y-2=0

X2_

24£

由《万十了=可得3y2_4y+]=0,解得％=1,%：即点A

?

x+2y-2=0333

又尸(1,0),故直线AF：y=x—1

（2）设4&,%）,5（孙%），

方法一：

设直线AB:x=9+2,代入椭圆方程可得：（2+r）/+4卬+2=0

-4。2

所以外+%=775'%%'

LI乙LI乙

故尢+右=上+上=上+3^

Xj—1%—]ty\+1ty?+1

?2—4t

=20V2+5+%）=’/+2+/+2=0，

（少+i）（%+i）（/+i）（y+i）

kk

又匕出均不为0,故7k=-1，即曾为定值-I

Av2

方法二：

设直线AB:X=9+2,代入椭圆方程可得：（2+产）/+4卬+2=0

-4t2

所以％+%=「？，%%=工

LI乙LI乙

所以土=一!，即叫％一刀

斫以匕_匹—1_%（%-1）_%（仇+1）_叫当+%――2一+M

%2%%（再一1）%（。1+1）01%+%%+%।

“1272

即3为定值-1

k2

方法三：

设直线AB:x=“+2,代入椭圆方程可得：（2+/）丁2+4。+2=0

—4/2

所以％+%==不，％%=7T?，

LI乙LI4

y1+%11八

所以」^=一+—=—2/

%%%%

1

%t+——

所以2=>T=%（』T）=%（仇+1）=+M_乂

上2%%（占-1）%（"i+l）阴%+%1

t+—

%2T%

11k.

把一=-27—一代入得1

%%%2

方法四:

设直线AB-.y=k{x-2),代入椭圆的方程可得(1+2k2)x2-Sk2x+(8公—2)=0,

则--