中考数学复习指导：抛物线背景下特殊三角形存在性问题的解题策略

抛物线背景下特殊三角形存在性问题的解题策略动态问题是近几年来中考数学的热点题型，常与存在性问题结合，这类问题综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，解题时要特别关注运动和变化过程中的不变量、不变关系和特殊关系．本文以中考题为例，对二次函数背景下，一些特殊三角形存在性问题的解题策略进行探究．一、探究等腰三角形的存在性例1如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－1，0）、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解(1)易得y＝－x2＋2x－3； (2)分析由图知，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，那么根据对称性以及两点之间线段最短可知，若连结BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．易求得BC的函数关系式为y＝－x＋3，当x＝1时，y＝2，所以P(1，2)；评注例1(3)中，由于△MAC的腰和底不明确，因此要分上述三种情况来讨论．可先设出M的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再分别按三种情况列式求解．同学们可根据上述解题思路分析解决下题：如图2，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A，B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(0，8)．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M，N运动的时间为t秒(t>0)．(1)当t＝3秒时，直接写出点Ⅳ的坐标，并求出经过O，A，N三点的抛物线的解析式；(2)在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？二、探究直角三角形的存在性例2如图3，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A.B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求直线BC的函数表达式；(3)点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P，Q两点，且点P在第三象限．①当线段PQ＝AB时，求tan∠CED的值；②当以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．评注例2(3)②中直角三角形的存在性问题有三部曲：先罗列三边，再分类列方程，后解方程检验．罗列三边时，应将三边由同一变量的表达式进行表示，分类列方程的分类标准为直角顶点的不同，求解后注意取舍．三、探究相似三角形的存在性例3如图4，已知二次函数y＝(x＋2)（ax＋b）的图象过点A（－4，3），B(4，4)．(1)求二次函数的解析式：(2)求证：△ACB是直角三角形；(3)若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直戈轴于点H，是否存在以P，H，D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．评注由动点产生的相似三角形问题的一般解题途径为：①若两个三角形各边均未给出，则应先设所求点的坐标，进而用变量表达式来表示各边的长度，再利用相似关系列方程求解．