中考数学复习指导：例说一元二次方程的判别式在中考数学中的应用

例说一元二次方程的判别式在中考数学中的应用我们知道，一元二次方程的判别式是一元二次方程根的“检测器”，即可判定一元二次方程实根的各种情形，除此之外，它在其它许多方面有着广泛的应用：如建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围，证明与方程相关的代数问题，构造一元二次方程必定有解的代数模型，探究几何存在性问题等等，一些看起来与一元二次方程无关的问题，有时也能用一元二次方程的判别式来解决．一、判定两图象交点的个数例1已知函数y＝和y＝kx＋1(k≠0)，当k取何值时，这两个函数图象总有：(1)两个公共点？(2)一个公共点？(3)没有公共点？解联立消去y，整理得kx2＋x－2＝0，考虑△＝1＋8k.(1)当k>－且k≠0时，两函数图象有两个公共点；(2)当k＝－时，两函数图象有一个公共点；(3)当k<－时，两函数图象没有公共点．二、求方程中的参数值例2设方程＝4只有3个不相等的实数根，求a的值．解方程等价于两个方程：x2＋ax－4＝0，①x2＋ax＋4＝0．②因为两方程无相同的根，但原方程只有3个不相等的实数根，故必有且只有方程①或②有重根．∵△1＝a2＋16≥0，△2＝a2－16≥0．由于△1>△2，故只可能是△2＝0，即a＝±4．三、求完全平方数例3求自然数n，使4n2＋5n为完全平方数解设4n2＋5n＝k2（k≥0且为正整数）．∵方程的解为正整数，∴方程4n2＋5n－k2＝0的判别式△＝25＋16k2应为完全平方数．又设25＋16k2＝m2（m为非负整数），∴（m＋4k）（m－4k)＝25.∴解得k＝3，从而n＝1．四、求方程的整数根例4设m为整数，且关于x的方程mx2＋2（m－5）x＋m－4＝0有整数根，求m的值．解显然m≠0，原方程是关于x的一元二次方程，且△＝[2(m－5)]2－4m（m－4)＝4(25－6m)．设25－6m＝k2（k为自然数），∴k可能的取值有1，2，3，4，6，7，8，11．分别代入m＝知，只有当k的值为1，7，11时，m为整数，此时m的值为4，－4，－16．五、证明代数不等式例5已知A，B，C，x，y，z均为非零实数，且满足条件a＋x＝b＋y＝c＋z＝k．求证：ax＋by＋cx<k2.证明由a＋x＝k，得a－k＋x＝0．显然a·12－k．1＋x＝0，则1是关于t的一元二次方程at2－kt＋x＝0的一个根，∴△＝(－k)2－4ax≥0，即ax≤．同理by≤，cz≤．∴ax＋by＋cz≤<k2．六、证明几何不等式例6如图1，过正方形ABCD的顶点C任作一条直线，与AB，AD的延长线分别交于E，F．求证：AE＋AF≥4AB.证明设AB＝a，AE＝x，AF＝y．七、求代数式的最值例7若abc＝2，a＋b＋c＝0，试求的最小值．解易知a，b，c中必有两个负数，不妨设b为正数，∵a＋b＋c＝0．∴a·12＋b·1＋c＝0．即1是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，∴b2－4ac≥0．即b2≥4ac，b3≥4abc.又∵abc＝2，b3≥8，∴b≥2，bmin＝2．当b＝2时，ac＝1，a＋c＝－2，此时a＝－1，c＝－1．∴的最小值为4．八、求几何最值例8如图2，平行四边形PQRS的一边SR在△ABC的边BC上，另两个顶点P，Q分别在AB，AC上．探究平行四边形PQRS面积的最大值．解如图2，过点4作AD⊥BC，垂足为D，交PQ于点E．根据根与系数的关系，可把，看成关于x的一元二次方程x2－x＋＝0的两个根，则有判别式△≥0，得S2≤，即平行四边形的面积不大于原三角形面积的一半，也就是内接平行四边形的最大面积等于原三角形面积的一半．九、探究几何存在性问题例9如图3，在正方形ABCD中，∠FAE＝45°，两边与BC，CD分别交于点E，F，连接EF.设EF＝b，AB＝a，探究Rt△ECF存在的条件．解如图3，设BE＝x，由旋转构造全等三角形可知：DF＝b－x．于是CF＝a－b＋x，CE＝a－x，在Rt△ECF中，由勾股定理可得b2＝(a－x)2＋（a－b＋x）2．整理得到关于x的一元二次方程x2－bx＋a2－ab＝0．若BE存在，则该方程必有实数解，于是△≥0，解得≥2－2；同时，该方程的两个根满足x1＋x2＝b>0，且x1.x2＝a2－ab>0，于是<1．综上所述，Rt△ECF存在的条件是：2－2≤<1．特别地，当＝2－2时，Rt△ECF是等腰三角形．十、求分式有理函数值的范围例10求函数y＝的值的范围．解原函数式变为(y－2)x2－(y－2)x＋y－3＝0.(1)当y＝2时，则0·x2＋0·x＋