旧教材适用2023高考数学一轮总复习 第九章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率直线的方程

第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程

履础知识整合I

□知识梳理

1.直线的倾斜角与斜率

（1）直线的倾斜角

①定义：X轴画正向与直线图向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角.当直线与X

轴平行或重合时，规定它的倾斜角为圆0°.

②倾斜角的范围为会0°Wα<180°.

（2）直线的斜率

条件公式

直线的倾斜角为3且夕#90°⅛=Etanθ

Vo-V∖

直线过点4（x∣,%）,Blxz,㈤，且X∣WJ½左=厘T-

一用一小

2.直线方程的几种形式

名称条件方程适用范围

点斜式不含直线X-Xx

斜率4与点（M,y1）回y-必=A（X—为）

斜率〃与直线在y轴

斜截式Bj∕=⅛-γ÷Z>不含垂直于X轴的直线

上的截距b

两点（为，Ti）.y-y∖χ-χ∖不含直线X=E（E=XJ和

两点式画,•一=一

-

（如及）%—K~胞―Xi直线y-y∖{y∖-yι）∙

续表

名称条件方程适用范围

直线在X轴、y轴上不含垂直于坐标轴和

截距式津+.=1

的截距分别为a,b-旦-g—过原点的直线

EMX+4v+6≡0（4B平面直角坐标系内的

一般式—

不同时为0）直线都适用

知识拓展

1.直线的斜率力与倾斜角，之间的关系.

0°<。<9090°<^<180

00°90°

OO

k0k>0不存在KO

牢记口诀：

“斜率变化分两段，90。是分界线；

遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.

2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是

一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.

□双基自测

1.已知直线过雇2,4),8(1,加两点，且倾斜角为45°,则必=()

A.3B.-3

C.5D.-1

答案A

解析•••直线过火2,4),8(1,加两点，.∙.直线的斜率为日=4一加又直线的倾斜角为

45°,.∙.直线的斜率为1,即4一m=1,.∙.R=3.故选A.

2.直线x+√5y+l=0的倾斜角是()

ππ

A.~B.—

63

2H5π

C.~~z-D.~τ~

36

答案D

解析由直线的方程得直线的斜率A=一半，设倾斜角为。，则tan。=一号，又a

OO

∈[0,n),所以

O

3.(2022•江西南昌模拟)已知直线1的斜率为，5,在y轴上的截距为另一条直线x一

2/-4=0的斜率的倒数，则直线/的方程为()

A.尸;小x+2B.y^∙∖βχ-2

答案A

解析直线χ-2y-4=0的斜率为右.∙.直线/在y轴上的截距为2.，直线1的方程为y

-∙∖βx+2.

4.过点⑸2）且在y轴上的截距是在X轴上的截距的2倍的直线方程是（）

A.2x+y—12=0

B.2x+y—12=0或2χ-5y=0

C.ʃ-2y—1=0

D.χ-2y-l=0或2x—5y=0

答案B

解析设所求直线在X轴上的截距为H,则在y轴上的截距为2a①当a=0时，所求直

2

线经过点⑸2）和（0,0）,所以直线方程为9=三人即2x—5尸0；②当a≠0时，设所求直线

方程为乙+/=1,又直线过点（5,2）,所以刍+京=1,解得a=6,所以所求直线方程为W+∙⅞

a2aaAaoIz

=1,即2x+y-12=0.综上，所求直线方程为2χ-5y=0或2x+y-12=0.故选B.

5.（2021•广东深圳调研）在同一平面直角坐标系中，直线九：ax+y+6=0和直线A：

区+y+a=0的图象有可能是（）

答案B

解析当a>0,b>0时，一水0,-A<0,B项符合.

6.直线/与直线尸1,直线χ-y-7=0分别交于只0两点，线段尸0的中点坐标为（1,

-1）,则直线，的斜率是（）

23

A.ɜB.-

23

c∙^3d∙一5

答案C

解析设P（a,1）,Q（b,b-7）,由线段图的中点坐标为（1,—1）可得

fa+b.

d~2'所以p（一2,1）,0（4,-3）,所以直线/的斜率

解得l

1+6-76=4,

2

1——39

k=-~~-=—.故选C.

—Z—4ə

核心者向突破I

考向一直线的倾斜角与斜率

例1(1)(2022，鸡西一中模拟)直线工+(才+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是()

c∙[0'TJuIrπJD.[了,司”丁，∏J

答案B

解析依题意，直线的斜率4=一木£[-1，0),因此其倾斜角的取值范围是

、

g^3π"J'

⑵(2021•安阳模拟)已知点4(1,3),5(-2,-1).若直线Zy=%(x—2)+1与线段

46恒相交，则左的取值范围是()

Λ.k*B.A≤-2

C.或AW—2D.-2≤A≤∣

答案D

1

-

解析直线7：尸A(X—2)+1经过定点"(2,1),2

又直线/：尸4(χ-2)+l与线段四恒相交，.∙.一2WA≤*

触类旁通]直线倾斜角的范围是[O,n),而这个区间不是正切函数的单调区间，因

此根据斜率求倾斜角的范围时，要分0,与仔，两类，由图象可以看出，当αG

0,时，斜率衣∈[0,+∞);当。=方时，斜率不存在；当αw(^f^,"J时，斜率AG(—

8,0).

即时训练1.直线2xcosa-y-3=θ(αe号0的倾斜角的变化范围是()

「兀兀一

c-JIJι]2

∙[rTjD∙[1,—

答案B

一「jlτι"11

解析直线2%cosa—y—3=0的斜率4=2CoS。.由于a∈—,—t所以5

≤cosa≤∙-~,因此A=2cosɑ∈[1,yβ^].设直线的倾斜角为夕，则有tan。£[1,√3].由

ππJIjT

于。∈[0,n),所以。∙γ,即倾斜角的变化范围是7，W.

2.(2022•山西晋城月考)设点/(R,一m+3),6(2,必一1),<7(-1,4),若直线/C的斜

率等于直线况■的斜率的3倍，则实数小的值为.

答案4

—ιi)~∖~3—4

解析依题意知直线AC的斜率存在，则加≠一1,由阮=3族得-----1--

∕n―-]

3×7---------;1,所以7=4.

2——1

考向二求直线的方程

例2根据所给条件求直线的方程：

(D直线过点(一4,0),倾斜角的正弦值为喀；

(2)直线过点(一3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12；

(3)与直线3χ-4y—5=0关于y轴对称.

解(1)由题设知该直线的斜率存在，故可采用点斜式.

设倾斜角为a,则Sina=W^(CKa<n),

,,N,3√Wr,,,1

从而cosa=±卜,则k=tan。=±鼻，

JLUO

故所求直线的方程为y=+∣α+4),

ɔ

即x+3y+4=0或%-3y+4=0.

γLT--ɜ

(2)由题设知截距不为0,设直线方程为-+k-=l,又直线过点(一3,4),从而——十

a12-aa

4

77=1，解得a=-4或a=9.

12-a

故所求直线的方程为4χ-y+16=0或x+3y—9=0.

(3)直线3χ-4y-5=0与y轴的交点为/(0,T,所求直线过/(θ,-∣J且斜率X=

QQ5

—7,所求直线的方程为尸一产~彳，即3x+4y+5=0.

触类旁通J

1.直线方程的求法

(I)直接法：根据已知条件，求出直线方程的确定条件，选择适当的直线方程的形式，直

接写出直线方程.

(2)待定系数法：其具体步骤为：①设出直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点式、

截距式和一般式)；②根据题设条件列出关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组得

到待定系数；④写出直线方程；⑤验证所得直线方程是否为所求直线方程，如果有遗漏需要

补加.

2.应注意分类讨论思想的应用

选用点斜式或斜截式时，需讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，需讨论直线是否

过原点.

即时训练3.已知直线hax+y-2—a=0在X轴和y轴上的截距相等，则a的值是

()

A.1B.-1

C.-2或一1D.-2或1

答案D

解析当a=0时，直线方程为y-2=0,不满足题意，所以a≠0,直线在X轴上的截距

2-1-12+«

为一，在y轴上的截距为2+a,则由2+a=——，得a=—2或a=l.

a3.

4.已知力(一1,1),尔3,1),C(l,3),则回的边加上的高所在直线的方程为()

A.x+y=0B.χ-y+2=0

C.x+y+2=0D.χ-y=0

答案B

解析因为8(3,1),rd,3),所以心==1=-1,故比'边上的高所在直线的斜率k

=1,又高线经过点履一1,1),所以其所在直线的方程为X—y+2=0∙

5.过点以6,—2),且在X轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为

答案2x+3y-6=0或x+2y-2=0

Yy6—2

解析设直线方程的截距式为工+2=1,则F—=1，解得d=2或H=I,则直

a十1aa十1+a

χVχv

线的方程是∙^匚r+5=l或TTT+彳=h即2x+3y-6=0或x+2y—2=0.

乙ILLtLI11

精准设计考向，多角度探究突破

考向三直线方程的应用

角度1直线方程与不等式的结合

例3过点P(4,1)作直线分别交X轴、y轴的正半轴于点儿B.

(1)当△/加的面积最小时，求直线，的方程;

(2)当IaIl+1必I取最小值时，求直线/的方程.

解设直线7：-^+-ʒ=1(a>0,⅛>0),

41

因为直线/经过点。(4,1),所以LZ=L

⑴因为%9122∙

byj~ab

所以ab216,WUm=；助28,当且仅当a=8,。=2时等号成立.

所以当a=8,6=2时，△?!出的面积最小，

此时直线/的方程为d+3=l,即x+4y-8=0.

oZ

,41

(2)因为一+w=l,a>0,b>0,

ab

所以IΩ4∣+I仍I=a+6=(a+6)(,+J)=5+f+”29,当且仅当a=6,6=3时等号成

∖ab)ba

所以当I+I仍I取最小值时，直线1的方程为x+2y—6=0.

角度2直线方程与函数的结合

例4为了绿化城市，拟在矩形区域4伙力内建一个矩形草坪(如图)，另外△£)“内部有

一文物保护区不能占用，经测量46=100m,BC=80m,AF-30m,∕=20m,应如何设计

才能使草坪面积最大？

解如图所示，以/1为坐标原点建立平面直角坐标系，则以30,0),A0,20),

XV

.∙.直线防的方程为云+W=1(0W*W30).

JU乙U

易知当矩形草坪的一个顶点在线段M上时，可取最大值，在线段项上取点PW,〃),

作尸QL比于点Q,PR：LCD千点、R,

设矩形&施的面积为S,

则S=IPQ1∙∖PR∖=(100-®)(80-/?).

又亲+亲=I(OW/"W30),Λ/7=20—‰.

JU乙UO

.∙.S=(IOO-0)(80—20+|〃)

2/、2,18050,一一、

---(ffl-5)+ʒ-(0≤ΛT≤30).

JO

.∙.当卬=5时，S有最大值，这时I即：∖PF∖=ζ>：1.

.∙.当矩形草坪的两边在6C,CD上,一个顶点在线段跖上，且这个顶点分有向线段斫

成5：1时，草坪面积最大.

触类旁通直线方程综合问题的两大类型及解法

(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中X,y的关系，将问题

转化为关于x(或力的函数，借助函数的性质解决.

(2)与方程、不等式相结合的问题：-一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个

数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决.

'即时训练6.已知实数X,y满足尸f-2χ+2(-lWx≤l),试求*的最大值和最

小值.

解如图，作出y=f—2*+2(-l<xWl)的图象(曲线段49),则祟表示定点户(-2,

-3)和曲线段49上任一点(x,y)的连线的斜率A,连接必，PB,

则kpWzkWk限

易得4(1,1),5(-1,5),

所以kpA=∖^=T,

1——z3

5一一34

kpB=]Q=8,所以WWAW8,

-1——zɔ

故生的最大值是8,最小值是*

XI乙o

7.如图，在两条互相垂直的道路Ix,人的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路7.

的垂直距离为4米，到道路心的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修

建一条人行道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长

度为多少米？

解如图，建立平面直角坐标系,

设人行道所在直线方程为y-4=A(χ-3)(A<0),

所以《3—*0),6(0,4—34),

所以△/｝选的面积

S=*_34)(3—胃=物—9一华),

因为K0,所以一94一,22∖∕—9kf—y‰24,

164

当且仅当一94=一丁，即4=一§时取等号.

此时，/1(6,0),6(0,8),所以人行道的长度为后两=10米.

课时作业I

1.已知点4(1,√3),5(-1,3√3),则直线/8的倾斜角是()

A.60oB.30°

C.120oD.150°

答案C

解析设直线18的倾斜角为α.∙.F(l,√3),3(—1,3√3),.»”=鸣邛=-4,

Λtan<z=-√3,V0o≤σ<180o,二α=120°.故选C.

2.(2021•北京东城区月考)已知三点4(2,—3),8(4,3),45,习在同一条直线上，

则A的值为()

A.12B.9

C.-12D.9或12

答案A

k

3—T2--3

解析由A⅛=A>c,得τ~7)=^~7)，解得女=12.故选A.

4-2b—2

3.下列命题中正确的是()

Λ.直线的斜率为tana,则直线的倾斜角是a

B.直线的倾斜角为a,则直线的斜率为tana

C.直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大

D,直线的倾斜角a∈[θ,田U仔，寸，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增

答案D

解析因为只有当直线的斜率为tana,且a∈0,方)U仔，n)时，a才是直线的

π

倾斜角，所以A错误；因为任一直线的倾斜角a∈[0,n),而当a=5时，直线的斜率不

存在，所以B错误；当ae(θ,J)时，直线的斜率大于0；当。《仔，时，直线的斜

率小于0,所以C错误.故选D.

4.（2021•柳州模拟）在等腰三角形4施中，加=48,点0（0,0）,4（1,3）,点5在X轴

的正半轴上，则直线四的方程为（）

A.3%-y-8=0B.3x+y-10=0

C.3χ-y=0D.3x+y-6=0

答案D

解析因为AO=AB,所以N40B=NMO,即M=一心=-3.所以直线四的方程为y→

=-3（χ-l）,即3x+y-6=0.故选D.

XVYV

5.两直线—-』=a与一/=a（其中a是不为零的常数）的图象可能是（）

mnnm

答案B

解析直线方程A-"=a可化为y="x一力a,直线3-1=a可化为y=约一用a,由此可知

mnmninn

两条直线的斜率同号.故选B.

6.（2021•河南开封模拟）已知直线2》一在+1—3卬=0,当/»变动时，直线恒过定点（）

A.2,3）B.⅛3）

c∙⅛-3）d∙（HT

答案D

2x+l=0,X=­ɪ,

SC得2；•直线

解析直线方程可化为2x+l一加（y+3）=0,令b+3=0>IL3,

恒过定点卜g,—3）.故选D.

7.直线ax+by+c=O同时要经过第一、第二、第四象限，则a,b,C应满足（）

A.ab>O9bc<OB.a⅛>0,bc>Q

C.ab<O,bc>OD.ab<O,bc<O

答案A

解析由于直线ax+by+c=O经过第一、二、四象限，所以直线斜率存在，将方程变形

为y=-7X--.易知一且一。，故ab>O,bc<O

bb7b<07b>

8.（2022•四川广元诊断考试）若直线7：y=4x—√5与直线2x+3y—6=0的交点位于

第一象限，则直线/的倾斜角的取值范围是（）

答案B

解析由直线/恒过定点（0,-√3）,作出两直线，如图所示，从图中看出，直线，的

倾斜角的取值范围应为（看，ɪ）

9.直线（l-a2）x+y+l=0的倾斜角的取值范围是（）

答案C

解析直线的斜率4=一（1-d）=a2-l,;420,.∙.A=a2-12一1.由倾斜角和斜率的

'冗∖Γ3π、

关系（如图所示），知该直线倾斜角的取值范围为[o,yju|_—πj.

10.已知力（2,5）,3（4,1）.若点P（x,y）在线段43上，则2x—y的最大值为（）

A.-1B.3

C.7D.8

答案C

5—1

解析依题意得服=「=-2,所以线段心：y-l=-2（%-4）,ɪe[2,4],即y=一

2—4

2x+9,Xe[2,4],故2x—y=2x——(—2x+9)=4才——9,XW[2,4].设h(x)=4x——9,易知A(%)

=4x—9在［2,4］上单调递增,故当x=4时,Λ(x),,≡=4X4-9=7.

11.若直线ax+"=ab(a>O,杨0)过点(1,1),则该直线在X轴、y轴上的截距之和的最

小值为.

答案4

解析：直线ax+6y=a6(a>0,6>0)过点(1,1),a+6=a4即,+J=1,a+6=(a