2023年北京各区(海淀朝阳丰台东西城等)高三数学高考一模汇编-集合、复数、逻辑、不等式、向量、数列、函数汇编含详解

目录

专题一集合与常用逻辑用语........................13

1.1集合的概念和运算.......................................................13

1.2充要条件...............................................................13

专题二数系的扩充与复数的引入....................14

2.1复数的概念及运算.......................................................14

2.2复数的几何意义、模长...................................................14

专题三不等式....................................14

3.1不等式的性质...........................................................14

3.2常见不等式的解法.......................................................15

3.3均值不等式.............................................................15

专题四平面向量.................................15

4.1基本概念及线性运算.....................................................15

4.2平面向量数量积及应用...................................................15

专题五数列.....................................16

5.1等差数列................................................................16

5.2等比数列...............................................................17

5.3数列综合应用...........................................................17

专题六函数.....................................17

6.1函数性质................................................................17

6.2函数与方程.............................................................18

6.3函数开放性试卷.........................................................18

6.4函数应用题.............................................................18

6.5函数综合................................................................18

专题一集合与有用逐科用语

1.1集合的概念和运算

一、选择题

1.（2022-2023朝阳高三下一模01-4分）已知集合人=卜—44},集合B={x∣x>θ},则AUB=

A.(→=°,-2]B.[-2,0)C.[-2,-κo)D.(0,2]

2.（2022-2023东城高三下一模01∙4分）已知集合A={x∣x2-2<θ},且α∈A,则。可以为

A.-2B.-1c∙1D.√2

3.（2022-2023丰台高三下一模OlY分）已知集合A={x∣T≤x≤l},θ=(x∣0<x≤2),则AUJB=

A.{x∣-l≤x≤1}B.{x∣O<x≤l}C.{x∣0<x≤2}D.{x∣-l≤x≤2}

4.（2022-2023海淀高三下一模01-4分）已知集合A={x∣l<x<3},8={0,l,2},则AB=

A.{2}B.{0,1}C.{1,2}D.(0,1,2)

5.（2022-2023西城高三下一模01-4分）已知集合A={-1,0,1,2,3},B={Λ∣√-3X<0},则AB=

A.{-1}B.{1,2}C.{1,2,3}D.{-1,0,1,2}

1.2充要条件

一、选择题

1.（2022-2023朝阳高三下一模05-4分）已知函数/(x)=V+X,则“占+»2=°”是"/(5)+/(9)=的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2022-2023东城高三下一模06-4分）设机，，是两条不同的直线，a,〃是两个不同的平面，且机U

a∕∕β,则是anlβn的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2022-2023丰台高三下一模074分）设无穷等差数列|{4}的前〃项和为2,,则”对任意〃∈N*,者［，有4>0”是

“数列{S,,}为递增数列”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2022-2023海淀高三下一模09-4分）已知等比数列｛α,,｝的公比为<7且g*l,记7；=4%.也,（〃=1,2,3,...）、则

“4>0且4>1”是"｛7；｝为递增数列''的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.（2022-2023西城高三下一模07-4分）已知双曲线C的中心在原点，以坐标轴为对称轴.则“C的离心率为2”

是“<?的一条渐近线为了=石工”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C,充分必要条件D,既不充分也不必要条

件专题二数余的疗先与复救的引入

2.1复数的概念及运算

1.（2023海淀一模2）若α+2i=ig+i）（α,b∈R）,其中i是虚数单位，则"+6=（）

A.-1B.1C.-3D.3

2.（2023丰台一•模11）若复数竺ɪ（ɑeR）是纯虚数，则α=________.

1+1

2.2复数的几何意义、模长

1.（2023西城一模11）若复数z=07,则IZI=__________.

1+1

2

2.（2023朝阳一模11）若复数Z=三，则IR=________.

1+1

3.（2023东城一模2）在复平面内，复数三对应的点的坐标是（3,-1）,则Z=

i

A.1+3zB.3÷zC.—3+iD.—1—3/

专题三不等灰

3.1不等式的性质

一、选择题

1.（2022-2023朝阳高三下3月一模02-4分）若a>0>b,则

i3bab

A.a>h∙∖∖>∖∖Jcla<ibD.ln(6Z-⅛)>0

2.（2022-2023丰台高三下3月一模02-4分）设4,b,c∈R,且α>∕?,则

ʌ-14B.a2>b2C.a-c>h-cD.ac>bc

3.（2022-2023西城高三下3月一模03-4分）设α=lg2,⅛=cos2,C=20∙2,则

A.b<c<aB.c<b<aC.b<a<cD.a<b<c

3.2常见不等式的斛法

一、填空题

不等式号>。的解集为

1.（2022-2023海淀高三下3月一模11-5分）

3.3均值不等式

一、选择题

4

1.（2022-2023东城高三下3月一模04-4分）已知x>0,贝IJX-4+-的最小值为

X

A.-2B.0C.1D.2√2

专题印平面向量

4.1基本概念及线性运算

1.(2023海淀一模7)在ΔABC中,ZC=90o,ZB=30o,/a4C的平分线交BC于点£).AD=λAB+μAC

(Z〃eR),则4=

ʌ-1b∙IC.2D.3

2.(2023西城一模5)已知户为ZMBC所在平面内一点，BC=ICP,则

1312

A.AP=——AB+-ACB.AP=—A5+—AC

2233

3121

C.AP=-AB--ACD.AP=-AB+-AC

2233

4.2平面向量数量积及应用

1.（2023朝阳一模9）如图，圆M为ZXABC的外接圆，AB=4,AC=6,N为边BC的中点，则⑷V∙AM=

A

B

B.10C.13D.26

2.（2023东城一模8）已知正方形ABC。的边长为2,P为正方形ABa）内部（不含边界）的动点,且满足P4∙P8=0,

则CPoP的取值范围是

A.(0,8]B.[0,8)C.(0,4]D.[0,4)

3.<2023字台一模12）巳知正方形ABCD的边长为2，则ABAC=

.专题五戴列

5.1等差数列

1.（2023海淀一模03）在等差数列｛《,｝中，a2=∖,%=5,则4=（）

A.9B.llC.13D.15

2.（2023丰台一模07）设无穷等差数列｛”"｝的前〃项和为5.，则"对任意〃∈N*,都有>0”是“数列｛S,,｝为

递增数列”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2023海淀一模09）已知等比数列｛叫的公比为q,且q*l,记7；=的「・。”（〃=1,2,3「-），则“4>0且

4>1”是“⑵｝为递增数列”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2023东城一模14）己知数列｛q｝各项均为正数，α2=3α,.S“为其前"项和.若｛£｝是公差为g的等差数

歹U,则ax-,an=.

5.（2023朝阳一模10）已知项数为A（keN*）的等差数列｛%｝满足：q=l,^an.t<an

（w=2,3,∙∙∙,⅛）.若4+生+…+为=8，则k的最大值是

A.14B.15C.16D.17

5.2等比数列

1.（2023东城一模09）已知4,4,%，4，%成等比数列，且1和4为其中的两项，则a5的最小值为

A.-64B.-8e,ɪD.-

648

5.3数列综合应用

1.（2023西城一模13）己知数列｛%｝的通项公式为4,=2"T,｛粼｝的通项公式为“=1-2".

记数列｛a,+b,l｝的前n项和为S,,则S,=；5„的最小值为.

专题六•曲教

6.1因救性质

1.（2023西城一模02）下列函数中，在区间（0,+∞）上为增函数的是

A.y=-∖χ∖B.y=x2-2xC.y=sinXD.y=x——

X

2.（2023海淀一模08）已知二次函数/（幻,对任意的x∈R,有/（2x）<2/（幻，则f（x）的图象可能是

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2023丰台一模04）已知/O）是定义在R上的奇函数，当x>0时，/（x）=∣og2x,则〃-2）=（)

A.B.0C.1D.2

5.（2023东城一模UJ函数∕3）=E+inx的定义域是，6.2函数与方程

x-c,x≥0,

1.(2023西城一模09)设c∈∕?,函数/(X)=若/（X）恰有一个零点，贝IJC的取值范围是

2x-2c,x<0.

A.(0,1)B.{0}∪[l,+∞)C.(θ,ɪ)D.{0}lg,+8)

6.3咨教开放性试卷

1.（2023丰台一模09）设函数/（x）=rH"'若"X）存在最小值，则”的一个取值为______；q的最大值

[X-X,X≥Cl.

为.

6.4舀数应用题

1.（2023西城一模08）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度贝切〃S）和燃料的质量M（Ag）以及火箭（除燃料

外）的质量阳心）间的关系为u=21n（l+｝）.若火箭的最大速度为12（A"∕s）,则下列各数中与会最接近的是

（参考数据：e=2.71828...）

A.200B.400C.600D.800

2.（2023东城一模10）恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成东

城就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整

数N的70次方是一个83位数，则由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001）,可得N的值为

M2371113

IgM0.3010.4770.8451.0411.114

A∙13B.14C15D.166.5帝教徐合

1.（2023东城一模07）过坐标原点作曲线y=e"2+l的切线，则切线方程为

A.y=xB.y=2x

C・y=-1xDn.y—ex

e

2.（2023丰台一模09）已知函数f（x）的定义域为R,存在常数《＞0）,使得对任意XeR,都有/（x+，）=/（x）,

当xs[（V）时，/（X）=X-ɪ.若“X）在区间（3,4）上单调递减，则f的最小值为（）

88

A.3B.-C.2D.一

35

Iog1x,x≥l

3.(2023朝阳一模12)函数/(X)=5的值域为—

3Λ,X<1

4.(2023海淀一模14)设函数=++

lgx-β,x≥1

①当α=0时，ʃ(ʃ(ɪ))=;

②若/(x)恰有2个零点，则a的取值范围是.

目录

专题一集合与常用逻辑用语........................21

1.1集合的概念和运算.......................................................21

1.2充要条件...............................................................22

专题二数系的扩充与复数的引入....................24

2.1复数的概念及运算.......................................................24

2.2复数的几何意义、模长..................................................25

专题三不等式...................................26

3.1不等式的性质...........................................................26

3.2常见不等式的解法.......................................................27

3.3均值不等式.............................................................27

专题四平面向量.................................27

4.1基本概念及线性运算.....................................................27

4.2平面向量数量积及应用..................................................28

专题五数列.....................................29

5.1等差数列...............................................................29

5.2等比数列...............................................................32

5.3数列综合应用...........................................................32

专题六函数.....................................32

6.1函数性质...............................................................32

6.2函数与方程.............................................................34

6.3函数开放性试卷.........................................................35

6.4函数应用题.............................................................36

6.5函数综合...............................................................37

专题一集合与有用逐科用语

1.1集合的概念和运算

一、选择题

1.（2022-2023朝阳高三下一模Ol-4分）已知集合人=卜—44},集合B={x∣x>θ},则AUB=

A.（-∞,-2]B.[-2,0）C.[-2,+∞）D.（0,2]

【答案】C

【分析】化简A={X∣-2≤X≤2},再由集合并集的运算即可得解.

【详解】由题意A={X∣X2≤4}={X∣-24X≤2},B={x∣x>θ},

所以AuB={x∣-2≤x≤2}<√{Xk>。}={x∣^≥-2}=[-2,+∞）.

故选：C.

2.（2022-2023东城高三下一模01-4分）已知集合A={x*-2<θ},且α∈A,则。可以为

A.-2B.-1C.-D.√2

【答案】B

【分析】本题考查二次不等式，元素与集合关系。

【详解】因为A={x∣f-2<0}={X∣-√5<X<√5},且αeA,所以

故选B«

3.（2022-2023丰台高三下一模014分）已知集合A={x∣T≤x≤l},B={x∣0<xW2},则AUB=

A.{Λ∣-I≤x≤1}B.{x∣0<x≤l}C.{x∣0<x≤2}D.{x∣-l≤x≤2}

【答案】D

【分析】根据并集运算求解.

【详解】因为集合A={x∣-l≤x≤l},β=（x∣0<x≤2},

所以AUB={x∣T≤x≤2},

故选:D.

4.（2022-2023海淀高三下一模01-4分）已知集合A={x∣1<x<3},8={θ,l,2},则AB=

A.{2}B.{0,l}C.{1,2}D.（0,1,2）

【答案】A

【分析】求交集可得答案.【详解】因为集合A={x∣l<x<3},8={0,l,2},所以ACB={2}.

故选：A.

5.(2022-2023西城高三下一模014分)已知集合A={-l,0,1,2,3},B={x∣x2-3x<θ},则4B=

A.{-l}B.{1,2}C.{1,2,3}D.{-1,0,1,2)

【答案】B

【分析】本题考查交集的概念及运算与一元二次不等式解法。

【详解】因为B={X∣Y-3X<0}={X∣0<X<3},且A={-1,0,1,2,3},所以AB={1.2},故选B。

1.2充要条件

一、选择题

1.(2022-2023朝阳高三下一模054分)已知函数f(x)=x3+x,贝小5+/=0"是'"(%)+/(j⅞)=0”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由/(X)的奇偶性、单调性结合充分条件、必要条件的概念即可得解.

［详解1因为/(X)=Vi+X定义域为R,/(-X)=(-尤)3+(-ɪ)=-f{x),

所以人工)为奇函数，且/(X)为R上的增函数.

当士+々=。时，¾=--r∣>所以/(χJ+∕(W)=F(XJ+/(-%)=。，

即“苞+%=0”是“〃3)+〃々)=0”的充分条件，

当/(s)+/(W)=O时，/0)=-F(W)=/(H),由/(X)的单调性知，

X1=-x2,g∣Jɪ,+x2=0,

所以“+%=0”是“〃百)+〃N)=O”成立的必要条件.

综上，"+/=0”是“〃3)+〃々)=°”的充要条件•

故选：C

2.(2022-2023东城高三下一模061分)设机，葭是两条不同的直线，α,P是两个不同的平面，且机ua,

a∕∕β,则是的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】本题考查立体几何平行、垂直证明。

【详解】充分性：当WUa,m_L〃时，⅛jua且相_1_〃，不满足〃_L£,

充分性不成立；

必要性：当α〃月，〃，夕时，有〃_La；又因为∕nuα,所以加_L〃，

必要性成立；

故8正确。

3.（2022-2023丰台高三下一模074分）设无穷等差数列∣｛α,,｝的前"项和为S,,,则"对任意"∈N*,都有。“>0”是

“数列｛S,,｝为递增数列”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用定义法直接判断.

【详解】充分性：因为"对任意〃∈N*,都有4>0"，所以SJt=Si+%>S…〃22,

所以“数列｛S,,｝为递增数列”成立.故充分性满足；

必要性：因为“数列⑸｝为递增数列“，取数列：-1,1,3,5……符合数列｛4｝为无穷等差数列|,且｛S,,｝为递增数

列，但是4=T<0.故必要性不满足.

故“对任意”eN.,都有4>0”是“数列｛Sj为递增数列”的充分而不必要条件.

故选：A

4.（2022-2023海淀高三下一模094分）已知等比数列｛%｝的公比为q且4x1,记〈=4%也,（〃=1，2,3,...）、则

“4>0且">1”是"｛1｝为递增数列”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由等比数列及已知，要｛£,｝为递增数列只需a""'.在〃≥2上恒成立，讨论q<0、0<4<1、q>l,结

合外的符号，再根据充分必要性的定义即可得答案.

【详解】由题设?=且，叱2,要忆｝为递增数列，只需6尸>1在〃22上恒成立，

当q<0,不论为取何值，总存在“4i<0,不满足要求；

当OCgCl,

q<0,则WT<0,不满足要求;

4>0,总存在O<α"i<l,不满足要求；

当q>1,

4<0,则a^q"^'<0,不满足；

0<«,<1.若α∣=g,4=2,显然％q<1,即4<7；,不满足；

q≥l,则％尸>1在〃≥2上恒成立，满足.所以亿｝为递增数列有q≥l且“1.

综上，“4>0且夕>「'是"｛],｝为递增数列”的必要不充分条件.

故选：B

5.(2022-2023西城高三下一模07-4分)已知双曲线C的中心在原点，以坐标轴为对称轴.则“C的离心率为2”

是“<：的一条渐近线为),=6工”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】本题考查双曲线性质

【详解】充分性：因为e=∕=2,所以b=6a，当焦点在轴上时，渐近线为y=±也X,

充分性不成立；

必要性：因为一条渐近线为y=±Gχ,所以双曲线方程为q-χ2=χ,

当焦点在y轴上时，e=-=—,

a3

必要性不成立；

故D正确。

专题二救系的步光与复数的引入

2.1复数的概念及运算

1.(2023海淀一模2)若α+2i=iS+i)(4,8∈R),其中i是虚数单位，则α+6=()

A.-1B.1C.-3D.3

【答案】B

【分析】利用复数乘法及相等求〃力，即可得结果.

【详解】由题设α+2i=历一1,故a=TS=2,

所以a+6=l.

故选：B

2-（2023丰台一模11）若复数筌心R）是纯虚数，则〃=

【答案】-1

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的概念得到方程（不等式），解得即可.

四=0

【详解】存=今喘"a-ai+i-i2α+l↑-a.r.¢/+i

---------------=——+——1,因0为λl——（αeR）是纯虚数，所以一，解得

l+i(l+ι)(l-ι)222l+i1-a八

-----≠0

I2

故答案为：-1

2.2复数的几何意义、模长

1∙（2023西城一模⑴若复数Z=备则回=-----------

【答案】√2

2i(l-i)

【解析】Z==l÷i

d+i)(l-i)

IZl=&

【知识点】本题考查了复数的运算、几何意义和模长。

2.（2023朝阳一模11）若复数Z=-J,则而I=_______.

1+1

【答案】√2

【解析】根据|乞|=IZl以及复数商的模等于复数的模的商，计算可得答案.

【详解】因为z=3,所以|三HZH2∣=二一=—==&.

l+il+i11+/1√1+1

故答案为：&

【点睛】本题考查了复数模的性质，考查了复数的模长公式，属于基础题.

3.（2023东城一模2）在复平面内，复数三对应的点的坐标是（3,-1）,则Z=

/

A.l+3zB.3+zC.-3+iD.-l-3z

【答案】A

【解析】由题知Z=3-i,Z=∕（3-∕）=3Z-Z2=1+3/,故选B。

/

【知识点】本题考查复数运算与复数的几何意义。

专题三不等为

3.1不等式的性质

一、选择题

1.（2022-2023朝阳高三下3月一模024分）若α>O>b,则

A.a3>b3B.|«|>∖h∖C.!<∕D.In（α-λ>）>O

【答案】A

【分析】根据不等式的性质判断A,取特殊值判断BCD.【详解】a>0>b,.∙.a3>0y<0,即/>力，故A正

确：

取α=lg=-2,则同>四不成立，故B错误;

取a=l,6=-2,则上<4不成立，故C错误；

ab

¾Λ=1,⅛=-1,则ln（a—3=InI=0,故D错误.

故选：A

2.（2022-2023丰台高三下3月一模02-4分）设4,A,ceR,且α>b,贝IJ

A.ɪ<ɪB.a2>b^C.a-c>b-cD.ac>he

ab

【答案】C

【分析】逐一判断，对A取α=2,h=-∖,可得结果；对B取。=一1,6=-2可得结果；对C利用不等式的性质

判断即可；对D取c≤0可判断.

【详解】解：A.取α=2,b=-∖,则∙l<∖不成立；

ab

8.取α=T,b=-2f贝∣J∕>力2不成立；

CVa>b,.∖a-c>b-c,正确；

D取c≤0,Va>b,/.ac≤be9因此不成立.

故选：C.3.（2022∙2023西城高三下3月一模03-4分）设。=lg2,h=cos2,c=2°L则

A.b<c<aB.c<b<aC.b<a<cD.a<b<c

【答案】C

【分析】本题考查指对黑、三角函数值的比大小。

【详解】因为IglVlg2vlgl0,所以OVaV1。

因为生<2<乃，2在第二象限，∞s2<0,所以6<0。

2

因为2°∙2>2°=1,所以C>1。

练上6<α<c,故选C。3.2常见不等式的解法

一、填空题

1.（2022-2023海淀高三下3月一模11-5分）不等式上二>0的解集为.

【答案】{x∣x>l或χ<-2}

【分析】将分式不等式转化成整式不等式，再利用一元二次不等式解法即可求得结果.

［详解】根据分式不等式解法可知言>0等价于（x-l）（x+2）>0,

由一元二次不等式解法可得x>l或x<-2；

所以不等式£>0的解集为{x∣x>l或χ<-2}.

故答案为：{x∣x>l或X<-2}

3.3均值不等式

一、选择题

4

1.（2022-2023东城高三下3月一模04-4分）已知x>0,则x-4+-的最小值为

X

A.-2B.0C.1D.2√2

【答案】B

【分析】本题考查基本不等式应用与最值。

【详解】因为x>0,所以X-4+3=X+3-4≥2∖*-4=0,当且仅当X=W即x=2时等号成立，故选B。

XXVXX

专题叩平面向量

4.1基本概念及线性运算

1.（2023海淀一模7）在ZXASC中，ZC=90o,ZB=30o.NfiAC的平分线交BC于点。.若AO=4A8+/MC

2

Rh贝ud-

fe

A.

1-1

〃U23

3-B.D.

-

【答案】B2

【分析】设AC=I,由角平分线定理求得叱，然后由向量的线性运算可用AAAC表示出AD,从而求得见〃，得

出结论∙

【详解】设AC=1,因为NC=90。，ZB=30o,所以AB=2,

又Ao是/BAC的平分线，所以必=生=LCD=-BC,

BDAB23

AD=AC+CD=AC+-CB=AC+-(AB-AC)=-AB+-AC,

3333

I2

y,AD=ΛAB+μAC,所以2=：,〃=],

所以2=1.

μ2

故选：B.

13

2.(2023西城一模5)已知P为ZXABC所在平面内一点，BC=ICP,则A.AP=--AB+-AC

22

12

B.AP=-AB+-AC

33

3121

C.AP=-AB一一ACD.AP=-AB+-AC

2233

【答案】A

【解析】因为5C=2b,BC与CP共线且有公共点C,所以8、CP三点共线，且P在BC的延长线上。

1113

AP=AC+CP=AC+-BC=AC+-(AC-AB)=--AB+-AC,故选A。

2222

【知出点】本题考查了平面向量的线性运算。4.2平面向量数量积及应用

1.(2023朝阳一模9)如图，圆M为ZXABC的外接圆，AB=4,AC=6,N为边BC的中点,则4V∙AM=

A.5B.10C.13D.26

【答案】C

【分析】由三角形中线性质可知AN=L(AB+AC),再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知

2

1→_1→__

∣AMICOSZBAM=-IABh同理可得IAMICoSNcAM=上IAC|,再由数量积运算即可得解.

22

【详解】N是BC中点，

.∙.4N=g(AB+AC),

M为AABC的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点,

AM-AB=∣AMHAB∖cosZBAM=-∖AB∖i=-×42=8,

22

同理可得AM∙AC=』IAC『=18，

2

.∙.AM-AD=AM--(AB+AC)=-AMAB+-AMAC=-×S+-×∖S=∖3.

22222

故选：C

2.(2023东城一模8)已知正方形ABeE＞的边长为2,P为正方形ABa)内部(不含边界)的动点，且满足Λ4∙PB=O,

则CP∙OP的取值范围是

A.((),8]B.fθ,8)C.(0.4]D.[0,4)

【答案】D

[解析】设4(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),P(X,y),x,y∈(0,2),

则Λ4=(-x,-y),PB=(2-x,-y),PA-PB=x(x-2)+y2=0,所以y?=-χ*-2)w(0,l],ye(0,1]

CP=(X-2,y-2),DP=(x,y-2),

CPDP=x(x-2)+(y-2)2=-y2+(y-2)2=-4y+4,

CPDPe[0,4)

故D正确。

【知识点】本题考查向量数量积。

3.(2023丰台一模12)已知正方形ASCD的边长为2,则A8∙AC=.

【答案】4【分析】根据正方形的性质及数量积的定义计算可得.

22

【详解】因为正方形AB8的边长为2,所以Ne4B=45。，IAM=2,∖AC∖=A∕∣ΛB∣+∣BC∣=2√2,

所以48乂。=网."际/048=2、2丘[=4.

故答案为：4

专题五数列

5.1等差效列

1.(2023海淀一模03)在等差数列｛4｝中，β2=l,4=5,则G=()

A.9B.llC.13D.I5

【答案】C

【分析】设等差数列｛%｝的公差为d,求出2d的值，即可得出4=%+6d,即可得解.

【详解】设等差数列｛q｝的公差为d,则2〃=为一出=4,则q=/+64=1+3*4=13.

故选：C.

2.（2023丰台一模07）设无穷等差数列｛q｝的前〃项和为S“，则”对任意〃eN*,都有4>0”是“数列｛S,,｝为

递增数列”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用定义法直接判断.

【详解】充分性：因为“对任意"wN*,都有““>0"，所以Sz,=S,ι+%>S,ι,"≥2,

所以“数列｛S,｝为递增数列''成立.故充分性满足；

必要性：因为“数列｛S,,｝为递增数列”，取数列：-1,1,3,5……符合数列｛4｝为无穷等差数列且｛S,,｝为递增数

列，但是％=T<0.故必要性不满足.

故“对任意N”,都有>0”是"数列｛Sj为递增数列”的充分而不必要条件.

故选：A

3.（2023海淀一模09）已知等比数列的公比为4,且q≠l,记7；=qg…q5=L2,3,…），贝「'《>0且

q>l”是“｛?；｝为递增数列”的

A.充分而不必要条件