2023北京高三一模数学汇编：向量的数量积与三角恒等变换章节综合

2023北京高三一模数学汇编

向量的数量积与三角恒等变换章节综合

1.(2023•北京东城•统考一模)已知正方形ABC。的边长为2,P为正方形ABC。内部(不含边界)的动

点，且满足PA∙P3=0,则CPOP的取值范围是()

A.(0,8]B.[0,8)C.(0,4]D.[0,4)

2.(2023•北京西城•统考一模)函数/(x)=sin2x∙tanX是()

A.奇函数，且最小值为0B.奇函数，且最大值为2

C.偶函数，且最小值为0D.偶函数，且最大值为2

3.(2023•北京朝阳•统考一模)如图，圆M为二A3C的外接圆，AB=4,AC=6,N为边8C的中点，则

ANAM=()

4.(2023•北京丰台•统考一模)在/5C中，若2cosAsin8=sinC,则该三角形的形状一定是()

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

5.(2023•北京丰台•统考一模)已知正方形ABCZ)的边长为2,则ABSC=

6.(2023•北京东城•统考一模)已知函数/(x)=SinX+sin(x+g

⑴求/(x)的最小正周期;

TT

(2)若X=W是函数y=∕(x)-∕(x+0)">O)的一个零点，求9的最小值.

6

7.(2023•北京朝阳•统考一模)设函数/(x)=ASin5CoS0x+cos2αM∙(A>O,0>θ),从条件①、条件②、

条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得f(x)存在.

⑴求函数f(x)的解析式；

(2)求/(x)在区间0,；上的最大值和最小值.

条件①：f(χ)=f(-χ)↑

条件②：/(x)的最大值为?

条件③：/(ɪ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为5.

注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分.

8.(2023•北京丰台•统考一模)已知函数/(x)=2sin(5+s)3>O,O<0<7t)的部分图象如图所示.

JT

⑵若函数g(x)=∕(x)sinx,求g(x)在区间0,-上的最大值和最小值.

9.(2023•北京顺义•统考一模)已知函数/(x)=4SinXCOSX-ΛΛCOS2X的一个零点为｝

6

⑴求A和函数/O)的最小正周期；

⑵当xe[θgj时，若/(x)≤m恒成立，求实数〃?的取值范围.

10.(2023•北京西城•统考一模)设A(COSa,sina),8(2CoS∕7,2sin0,其中α∕wR.当α=τr,/?=]时，∣ABl=

—;当IAH=K时，a-6的一个取值为一.

参考答案

1.D

【分析】通过建立合适的直角坐标系，设P(χ,y),得到尸的轨迹方程，最后得到CPoP的表达式，根据

函数单调性即可得到其范围.

【详解】以AB中点为原点建立如下直角坐标系；

则A(TO),8(1,0),C(l,2),0(-1,2),

设P(X,y),则PA=㈠一x,-y),PB={∖-x,-y),

贝”AP8=-(l2)+y2=0,

BRX2+y2=1,则/_1=_》2,其中τ<χ<ι,0<y<l,

贝IJCP=(X—1,)，一2),OP=(X+l,y_2),O<y≤l

贝IJCPOP=X2_]+(y_2)2=_y2+(y_2)2=Ty+4e[0,4),

故选：D.

2.C

【分析】根据题意可知定义域关于原点对称，再利用同角三角函数之间的基本关系化简可得

/(x)=2SinA=I-COS2x,由三角函数值域即可得/(x)e[θ,2),即可得出结果.

【详解】由题可知，f(x)=sin2x∙tanx的定义域为卜∣x≠]+far,keZ∣,关于原点对称，

且/(x)=Sin2x∙tanx=2sinxcosx∙∙^^=2sin2χ,

COSX

而/(-1)=25访2(_力=25由21=/(不)，即函数/(X)为偶函数；

所以/(ɪ)=2sin2X=1-cos2x,x≠+Ax,Z:∈Z,又CoS2x∈(-1,1],

即/(x)=l-cos2x∈[0,2),可得函数/a)最小值为0,无最大值.

故选：C

3.C

【分析】由三角形中线性质可知AN=g(A8+AC),再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知

[T]T

IAMICOSZBAM=-IABI,同理可得IAMlCoS/C4M=二IAC|,再由数量积运算即可得解.

22

【详解】N是BC中点,

.∙.AN=—（AB+AC）,

2

M为.ΛBC的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，

1,1,

.∙.AM-AB=IAMIlAB∖cosZBAM=-∣AB∣2=-×42=8,

22

同理可得AM∙AC=L∣AC∣2=I8,

2

.∙.AMAD=AM∙-(AB+AQ=-AMAB+-AMAC=-×S+-×∖S=∖3.

22222

故选：C

4.A

【分析】利用内角和定理及诱导公式得至USinC=Sin(A+8),利用两角和与差的正弦函数公式化简，代入

已知等式变形再利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到A-B=O,即A=B,即可确定出三角形形

状.

【详解】解：•在ABe中，sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A÷B)=sinAcosB÷cosAsinB,

.∙.2cosAsinB=SinC=sinAcosB÷cosAsinB,即SinAcosB-cosAsinB=sin(A—B)=0,

A,B∈(0,π),.∙∙A-B∈(-π,π),

A-B=O9即A=3,则ABC为等腰三角形.

故选：A.

5.4

【分析】根据正方形的性质及数量积的定义计算可得.

【详解】因为正方形ABa)的边长为2,所以NC4B=45。，IAM=2,IAq=JI何+忸Cf=20,

所以48∙4C=∣ABHAqcosNC4B=2x2√Σx*=4.

故答案为：4

6.(l)2π

吗

【分析】(1)三角函数恒等变换的公式，化简函数"x)=6Sin(X+看)，进而求得函数的最小正周期；

(2)由(1)得至IJ函数y=Gsin[x+^)-若sin。:+/+%｝根据题意，得至IJ方程Sin(W+s]=等，即可

求解.

【详解】(1)解：由函数F(X)=SinX+sin[x+5)=sinx+gsinx+*osx

=—sinx+-cos%=χ∕3sinfΛ+-1,

22I6)

所以函数/(x)的最小正周期为7=2兀.

由看卜

(2)解:y=∕(x)-f(x+9)=√5sin(x+6Sin(X+e+S

π

因为X=Z是函数y=∕(x)-∕(x+0)">O)的一个零点,

O

=0,

艮fɪ等一sin(g+e)=O,艮pJsin［1+e)=^,

「∙Tr7r_._Jr2ττCl.-

口J得cλ］+G=］+2kπ或IX§+*=彳+2⅛π,攵∈Zrr

Tr

即φ—2⅛π或°=§+2kπ,keZ,

又因为e>o,所以9的最小值为。.

7.(1)选择条件②③，/(x)=sinf2x+^+l

3

(2)最大值为5,最小值为0.

【分析】(1)由正弦函数和余弦函数的奇偶性可排除条件①，先利用辅助角公式化简/(x),再根据正弦函

数的图象和性质即可求解；

(2)利用整体代入法，结合正弦函数的图象和性质即可求解.

【详解】(1)若选择条件①，

AC

因为/(尤)=—sin26yχ+cos2ωx所以/(T)=5Sin(-2GX)+cos2(-69%)=-—sin2tyχ+cos2ωx

22

由/(%)寸(-%)可得Asin2ωx=O对XGR恒成立,与A>0,G>0矛盾，

所以选择条件②③，

由题意可得/(-ɪ)=Asin(-6Λτ)cos(-69x)+cos2(-69x)=-Asin26ΛX+COS2ωx,

设苫,

由题意可得/(x)=^sinZGx+geos2Gx+g=­［十］Sin(2S+j)+g，

A1

其中COSe=-=,sm^=-==,

JrAτ-+1√7A~+1

因为f(x)的最大值为?所以Y穿+g=∣,解得A=G,

所以SinsT夕哈

由/(X)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为]可得£=5,

兀

所以T=W2=π解得0=1,

2ω

所以，(X)=Sin(2》+弓)+；.

(2)由正弦函数的图象可得当x』0,1时，2x+mJ[?],SinbX-ɪ1

L2」OLθθJIo√L2

所以“X)在区间o,∙f上的最大值为∣∙,最小值为0∙

8.⑴〃x)=2sin(x+；)

(2)最大值为应和最小值为0

【分析】(1)由图象及三角函数的性质可以得到他夕，进而得到AX)的解析式；

(2)根据三角恒等变换化简g(x),进而分析在区间0,：上的最大值和最小值.

【详解】(1)由图象可知：7=4x(手-；]=生.∙.<y=l,

将点(：2卜弋入y=f(x)得/(7)=2sin[：+g)=2;.e=：+2E,

_π

0<°vπ.∙.0=]

π

/./(x)=2sinXH---

4

√2

(2)g(x)=/(x)sinɪ=72sinX(Sinɪ+cosɪ)=ɪ(sin2x-cos2Λ)+ɪ=sin(2x-∙^1+

2

.八兀/I-兀πππ

由Xe叱得2>片-

44,4

当2X-：=-：时，即"=°超(力.=°；

当时，即％=甘(为皿=&；

9.(1)Λ=2;π

⑵[2,田)

【分析】(1)解方程/(5=0即可求A,然后把函数降幕，辅助角公式后再求周期.

(2)若/(x)≤”恒成立，即求F(X)Im*≤加.

【详解】(1)/(x)=ASinXCoSX-GeoS2x的一个零点为J

∙,∙∕f^τ^∣ɪAsin-∙cos--∖∣3cos—=O,g∣]A∙-∙—ʌ/ɜ∙ɪ=O».∖A=2

⑹663222

.,./(ɪ)