旧教材适用2023高考数学一轮总复习 第二章函数与基本初等函数第3讲函数的奇偶性与周期性

第3讲函数的奇偶性与周期性

下础知识整合I

□知识梳理

1.函数的奇偶性

奇函数偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个X

都有四f(一x)=-f(x),那么函数都有画f(一x)=f(x),那么函

图象特点F(X)是奇函数数F(X)是偶函数

关于画原点对称关于画y轴对称

2.函数的周期性

(1)周期函数

对于函数y=f(χ),如果存在一个非零常数7,使得当X取定义域内的任何值时，都有典

∕∙(χ+7)=∕(χ),那么就称函数y=f(χ)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个园最小的正数,那么这个画最小正数就叫做

F(X)的最小正周期.

知识拓展

1.函数奇偶性的六个常用结论

(1)如果一个奇函数F(X)在x=0处有定义，即F(O)有意义，那么一定有F(O)=0.

(2)如果函数F(x)是偶函数，那么f(x)=F(∣x∣)∙

(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种，即f(x)=O,x0),其中定义域。是关于原

点对称的非空数集.

(4)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个关于原点对称

的区间上具有相反的单调性.

(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反

数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.

(6)在公共定义域内有：奇土奇=奇，偶土偶=偶，奇X奇=偶，偶X偶=偶，奇X偶=

奇.

2.周期性的三个常用结论

对f(χ)定义域内任一自变量的值筋

(1)若F(x+a)=—f(ɪ),则7=2a(arθ).

⑵若f(x+a)=7⅛P则7=2a(aW°)∙

(3)若f(x+a)=-、,则7=2a(aW0).

f,J(X)

3.对称性的三个常用结论

(1)若函数y=f(x+a)是偶函数，即Ha—x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直

线x=a对称.

(2)若对于R上的任意X都有f(2a-χ)=∕'(x)或f(—x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象

关于直线x=a对称.

(3)若函数y=f(x+⑸是奇函数，即f(—x+6)+f(x+6)=0,则函数y=f(x)关于点(6,

0)中心对称.

□双基自测

1.已知F(X)=aV+bx是定义在［a—1,2a］上的偶函数，那么a+。的值是()

1111

A.—"B.-C.~D.--

答案B

解析显然b=0,a-l+2a=0,,a=；,即a+。=；,

əO

2.(2021•银川模拟)下列函数中，与函数产=一3,的奇偶性相同，且在(-8,0)上单

调性也相同的是()

Λ.y=-ɪB.y=l0g2∣%|

C.y=∖-χD.y=χ-l

答案C

解析函数了=-3'为偶函数，在(-8,0)上为增函数，选项A,D的函数不是偶函数,

选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C符合要求.

3.函数尸F(X)在［0,2］上单调递增，且函数/∙(x+2)是偶函数，则下列结论成立的是

()

A∙f(l)＜钞G)

B.快-⑴唱

c∙≠(Im)⑴

D-针『⑴

答案B

解析Y函数y=∕.(x)在［0,2］上单调递增，且函数/'(x+2)是偶函数，.∙.函数y=F(x)

在［2,4］上单调递减，且在［0,4］上函数y=f(*)满足f(2-χ)=F(2+x),.∙.f(l)=F(3),

0＜f(3)＜唱,即唱⑴＜《|)

XV

4.(2022•河南许昌摸底)己知F(X)=亡;，g(*)=5,则下列结论正确的是()

A.f(χ)+g(χ)是偶函数

B.f(x)+g(x)是奇函数

C.f(x)g(x)是奇函数

D.f(x)g(x)是偶函数

答案A

XXγX

解析令方(x)=f(x)+g(x),因为/W==，g(x)=g,所以A(X)=FT+］

Y•X—y•9x—yγ~∖~γ∙9'r

「、，定义域为(-8,0)U(0,+8).因为ʌ(-ɪ)=-,ɪ-ʌ—-=⅜(χ),

2(2—1)Z9(29—1)Z(J-I)

2

所以力(x)=f(,x)+g(x)是偶函数.令/(x)=f(x)g(x)=λ,定义域为(-8,0)U(0,

Z(2—1)

(—χ)*23*IoX∙2x

+∞).所以F{-x)=.1、=T7^i~^R-∙因为尸(一X)且尸(一X)羊一尸(X)，所以

2(2—1)2(I-Z)

网x)=f(x)g(x)既不是奇函数也不是偶函数.

2

3

5.(2020•江苏高考)已知y=f(x)是奇函数，当Λ≥0时，f{x)=X,则『(一8)的值

是.

答案一4

2

3

解析F(8)=8=4,因为f(x)为奇函数，所以/X—8)=-f(8)=-4.

6.若函数f(x)(χGR)是周期为4的奇函数，且在［0,2］上的解析式为F(X)=

X一、、

IS(i1nhx),1,〈0启≤%2≤l,,则Z/W29+I/4d1=-------------

答案⅛

Io

解析由于函数f(x)是周期为4的奇函数,所以/3)+/借)=(一号+(—§=—6)

∕7A3,π5

-46Γ^T6+sina=而

核心号向突破I

考向一函数奇偶性的判断

例1判断下列函数的奇偶性：

(I)F(X)=XIgα+√∕+l)；

[―ɪ+2x÷l,x>0,

(2)F(X)=\

[x2+2x—1,X0；

/、/、∖∣4-χ

⑶F(X)=|lɔI2；

I%÷31—3

(4)F(X)=y∣l-χ+y∣x-l；

(5)F(X)=f+x,X£[—L4]；

(6)F(X)=In3ΣL∙

2+X

解⑴∙∙W+l>∣x∣>0,

・・・函数AX)的定义域为R,关于原点对称.

又f(—x)=(-X)Ig[―X+Λ∕(—x)，+1]

=-XIg(-∖∫7+l—x)

=XIg([V+]+*)=f(χ),

即H—x)=HX),・・・f(x)是偶函数.

⑵由题意知函数的定义域为{x∣XW0},关于原点对称.

当x>O时，一X<O,此时F(X)=-X?+2x+l,f(-χ)=χ-2χ-1=-f{x}；

当x<0时，-x>0,此时f(x)=∕+2χ-1,F(一才)=一/一2x+l=—∕*(x).

故对于x∈(-8,0)U(0,+∞),均有F(—x)=-F(x),即函数F(X)是奇函数.

4-/^0,

Λ-2≤A≤2,且％≠0.

Ix+31—3≠0>

・•・函数的定义域关于原点对称.

.〃ʌ√4-Y-∖∣4-X

∙∙zw-U+3∣-3-X-

又Λ-χ)=WT—X)ZWfx),

-X—X

；./"(—x)=-F(x),即函数f(x)是奇函数.

1—x^0,2

(4)由..=X=I=X=±1,

Λ-1>O

故函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称，且f(x)=O,

—x)=f(x)=—f(x),

•••函数f(x)既是奇函数又是偶函数.

(5)∙.∙Hx)=f+x,x∈[-l,4]的定义域不关于原点对称,

/./,(%)既不是奇函数也不是偶函数.

(6)『(才)的定义域为(-2,2),关于原点对称.

x)=Inf⅛≈-l∏宗=一/'(X)，

函数f(x)为奇函数.

触类旁通判断函数奇偶性的方法

⑵图象法

______________Ll关于原点对函Tf(7)为奇函数

/(∙r)的图象_I_______________I,________________

l→∣关于.轴对闲f∣∕(z)为偶函数

(3)性质法

设/'(x),g(x)的定义域分别是4,M那么在它们的公共定义域上，有下面结论:

F(X)g(χ)F(X)+g(x)F(x)-g{x}F(x)g(x)f{g{x})

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.

即时训练1.下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是()

A.y=%÷sin2xB.y=/—cosx

C.y=2x+-^

D.y=x+sinx

答案D

解析A选项为奇函数；B,C选项为偶函数；D选项是非奇非偶函数，选D.

2.已知y=F(x)满足∕∙(FH)+F(-X+1)=2,则以下结论中一定正确的是()

Λ.Hx—1)+1是偶函数

B.f(一*+1)+1是奇函数

C.f(x+l)+l是偶函数

D.f(x+l)-1是奇函数

答案D

解析根据题中条件可知函数F(X)的图象关于点(1,D中心对称，故f(x+l)的图象关

于点(0,1)中心对称，则/∙(x+D-1的图象关于点(0,0)中心对称，所以F(x+D—1是奇

函数.故选D.

考向二函数奇偶性的应用

例2(1)已知函数F(X)为奇函数且定义域为R,»0时，F(x)=x+1,则f(x)的解析式

为.

'x+l,x>0,

答案F(X)={0，x=0,

,ʃ-1,x<0

解析当KO时，-x>0,则f(—x)=-x+l,又f(x)=-f(—x),.∙.f(x)=x^~l,；

x+l,x>0,

f(x)为定义域为R的奇函数，.∙∙F(0)=0,∙∙∙f(x)=<0,x=0,

,ʃ-1,XO.

(2)已知偶函数f(x)在区间［0,+8)上单调递增，则满足f(2x—的X的取值范

围是.

解析∙."(x)是偶函数，且在［0,+8)上单调递增，.∙"(∣2xT∣)<娘，即∣2χ-l∣g,

∣<2JT-1<1,则g<∙Y<∣,即*的取值范围为(；，I

触类旁通.已知函数奇偶性可以解决的几个问题

(1)求函数值：利用函数奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解.

(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用函数奇偶性求出.

(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据x)=0得到关于参数的恒

等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得到参数的值.

(4)解不等式：利用奇偶性与单调性将抽象函数的不等式转化为具体的不等式，进而得出

未知数的范围.

(5)画函数图象和判断单调性:利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间

上的单调性.

即时训练3.(2021•新高考∏卷)已知函数F(X)的定义域为R,F(X+2)为偶函数,

f(2x+l)为奇函数，则()

Λ.∣j=0B.A-D=0

C.f(2)=0D.f(4)=0

答案B

解析因为函数AX+2)为偶函数，则f(2+x)=f(2-χ),可得F(x+3)=f(l—才)，因

为函数f(2x+l)为奇函数，则f(l—2x)=-f(2x+l),所以f(l—x)=-f(x+l),所以f(x

+3)=-f(x+l),所以=z÷l)=­f(x—1),所以=x+3)=f(x—1),即f(x)=F(x+4),

故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为f(2x+l)为奇函数，所以F(I)=0,故f(-l)

=f(-l+4)=f(3)=f(l)=0,其他三个选项未知.故选B.

4.设函数f(x)=21n(^+√Y+1)+3√(-2<K2),则使得f(2x)+F(4χ-3)>0成立的

X的取值范围是()

ʌ.(-1,1)B.&1)

c∙RDd∙RI)

答案B

解析由题意知f(x)的定义域关于原点对称.f(—x)=21n(-Λ+√7+I)-3ΛP--

f(x),所以f(x)为奇函数.当χC[0,2)时，易知函数F(X)=21n(x+N∙+D+3一是增函

数,所以函数f(x)在(-2,2)上是增函数.不等式f(2x)+f(4χ-3)>0可转化为f(2x)>f(3

'-2<2x<2,

一4必，由函数F(x)在(-2,2)上是增函数得到<一2<3—4/2,解得;<x<l,故选B.

、2x>3—4x,

考向三函数的周期性

例3(1)(2021•全国甲卷)设FW是定义域为R的奇函数，且f(l+x)=F(一χ).若

5n1Cl

a'^3B'^3C'3D'3

答案C

解析因为F(X)是定义在R上的奇函数，所以f(一χ)=-f(x).又f(l+x)=f(—x),

所以F(2+x)=∕∏+(l+x)]=/[—(l+x)]=-F(I+x)=—f(—x)=F(x),所以函数f{x}

是以2为周期的周期函数，所以/(∣j=^∣-2‰∕-∣‰∣,故选C.

⑵已知f(x)是定义在R上的偶函数,且/∙(X+4)=F(L2).若当x∈[-3,0]时,F(X)

=6^Λ,则/,(919)=.

答案6

解析∙."(x+4)=F(χ-2),.∙.∕I(x+2)+4]=∕[(x+2)-2],即f(x+6)=F(x),

f(x)是周期为6的周期函数，.∙.f(919)=f(153X6+l)=f(l)∙又f(x)是定义在R上的偶函

数，.∙.f(l)=f(-1)=6,即f(919)=6.

触类旁通]

(1)判断函数的周期性只需证明f(x+7)=f(x)(7≠0)便可得到函数是周期函数，且周期

为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.

(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性

都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.

即时训练5.(2021•山西晋城二模)己知F(X)是定义在R上的偶函数，且f(x+5)=

f(χ-3),如果当χW[0,4)时,f(x)=logz(x+2),则/"(766)=()

A.3B.-3C.2I).-2

答案C

解析由f(x+5)=f(χ-3),得/"(不一3+8)=/'(犬一3),所以f(x+8)=f(x),所以f(x)

是周期为8的周期函数，f(766)=f(96X8-2)=f(-2),F(-2)=f(2)=logz4=2.

6.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当x∈[-3,—1)时，/"(才)=一(%+2)2,

当x∈[-l,3)时，F(X)=X,则∕∙(l)+f(2)+F(3)H-----Ff(2021)=.

答案337

解析由题意得F(I)=Lf(2)=2,f(由=£(-3)=-1,f(4)=F(-2)=0,f(5)=F(一

1)=-1,Λ6)=/(0)=0,所以数列｛f5)｝从第一项起，每连续6项的和为1,则f(l)+f(2)

+/(3)+∙∙∙+∕(2021)=336×1+/(I)+/(2)+f(3)+f(4)+f(5)=337.

考向四函数的对称性

V-4-1

例4已知函数F(X)(XGR)满足以一⑼=2—F(x),若函数尸三一与y=f(x)图象的交

JV

点为(*1,H)，(如四)，…，(%,%),则∑(%+%)=()

/=1

A.0B.inC.2〃？D.4/z?

答案B

解析由『(一*)=2一f(%)得以一工)+以X)=2,即函数F(x)图象关于点(O,1)对称,

X+1

-

又y=J=I+;的图象也关于点(0,1)对称，.∙.xι+x2∏------F筛=0,y∖~∖-y2-∖------∖-ys,=m,Λ

Σ(x+//)=m.

触类旁通J函数周期性的判断与应用

(1)若函数f(x)的图象关于直线X=a对称，则F(X)=f(2a—*).

(2)若函数f(x)的图象关于点(a,6)对称，则/(ɪ)+f(2a-x)=26.

即时训练7.已知定义在R上的奇函数F(X)满足F(χ-4)=-f(x),且在区间［0,2］

上是增函数.若方程f(x)=wE>0)在区间［-8,8］上有四个不同的根小，X"X3,两，则汨

+及+照+xι=.

答案一8

解析∙.∙F(x)是奇函数，.∙.F(χ-4)=-F(X)可化为F(X)=-F(x—4)=F(4-χ),即F(X)

的图象关于x=2对称,且F(O)=0,由f(ɪ-4)=-f(x)可知函数周期为8,不妨设xKx2<χ3<⅛,

则%I÷Λ2=2×(—6)=—12,χ3+x1=2x2=4,.∖x↑+χ2+X3+X∖=~8,

课时作业I

IOg3(x+l),40,

1.设函数『5)是定义在R上的奇函数，且Ax)=、〃则g(f(-8))

g(xz),XO,

=()

A.—2B.—1C.1D.2

答案B

解析V/(—8)=—/'(8)=—log39=-2,

∙∙∙g(F(-8))=g(-2)=—F(2)=-Iog33=-1.

2.下列函数中，既是偶函数，又在(0,+8)上单调递增的是()

A.y=xB.y=Iɪl+1

C.y--χ->r∖D.尸❸

答案B

解析对于A,y=£是奇函数；对于B,y=3+1为偶函数，且在(0,+8)上单调递

增；对于C,y=-f+l为偶函数，但在(0,十8)上单调递减；对于D,y=(0是减函数.故

选B.

3.(2021•江西六校联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=~Λx),当

OWXWl时，Ax)=/,则/"(2023)=()

Λ.20232B.1C.OD.-1

答案D

解析根据题意，函数f(x)满足f(x+2)=-F(x),则有f(x+4)=-F(x+2)=f(x),

即函数是周期为4的周期函数，则f(2023)=f(4X506-l)=f(—1)，又函数y=f(x)为奇函

数，且x∈［0,1］时，Ax)=/,所以∕∙(-D=-F(I)=-I,故∕∙(2023)=-l.

4.已知定义域为R的偶函数Hx)在(-8,0］上是减函数，且F(I)=2,则不等式

F(Iogzx)>2的解集为()

Λ.(2,+∞)

B.(θ,ɪju(2,+∞)

C∙(θ,(√2,+∞)

D.(√2,+∞)

答案B

解析Ax)是R上的偶函数，且在(一8,0］上是减函数，所以F(X)在(0,+8)上是增

函数，因为/(1)=2,所以/(-1)=2,所以f(log2x)>2=f(IIogH)>f(l)=∣log2X∣>l=

>

log2A>l或log2*<-l=x>2或0<Λ<^.

5.(2022•郑州调研)设函数HX)是定义在R上的奇函数，满足f(x+l)=-f(x—1),

若f(-l)>l,Λ5)=a-2a-4,则实数a的取值范围是()

A.(-1,3)

B.(—8,—1)u(3,÷∞)

C.(-3,1)

D.(-8,-3)U(1,+∞)

答案A

解析由/■(*+1)=—/"(*—1),得f(*+2)=—f(x),所以/'(x+4)=f(x),故函数y

=f(x)的周期为4.因此/(5)=Λ1)=a2-2a-4,又因为f(x)在R上为奇函数，且F(T)>1,

所以f(l)<-l,所以7-2a-4<—1,解得一ka<3.

6.(2021•全国乙卷)设函数f(x)=号，则下列函数中为奇函数的是()

A.Λɪ-D-IB./(ʃ-1)+1

C./(A-+1)-1D.AA-+1)+1

答案B

1—X2

解析解法一：因为〃/)=巾=—I+E，其图象关于点(一1,一i)中心对称，将

其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后关于原点(0,0)中心对称，所以

f(x—1)+1为奇函数.故选B.

Q…Li、，/、1—XLL…/、1—QX—1)2—X,,、1—(x+l)

触法一因为f{x}—.,,所以fix-1)=γ^j—/.X=,f(x+1)="j_j_、

1-VX1十(χ-1)X1÷(X+1)

=*.对于A,NX)=f(x—1)—1=定义域关于原点对称，但不满足尸(x)

X十2XX

9—V9

=-F(-x)i对于B,G(X)=f(χ-1)+1==-+1=7定义域关于原点对称，且满足G(X)

—V2x+2

=-G(—x)；对于C,f(χ+l)-I=F—1=一——,定义域不关于原点对称；对于D,KX

ΛI乙JiI乙

—X2

+1)+1=^+1=^,定义域不关于原点对称.故选B.

7.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=e',则g(x)=()

t

A.e'—e'B.∣(e∙+e^0

C.1(e-A—eɔD.ɪ(eʌ-e^0

答案D

解析由f(x)+g(x)=e∙'①，可得f(-χ)+g(-χ)=e^:又f(x)为偶函数，g(*)为奇

PX—P-X

函数，可得f(x)—g(x)=e'②，则两式相减，可得g(x)=­y—.故选D.

2×Λx—ŋ

8.已知函数HX)=­L的图象关于原点对称，g(x)=ln(e'+l)—"是偶函数，

则Iog“6=()

11

A.1B.-1C.—~D.—

24

答案B

解析由题意，得F(O)=0,,a=2.Tg(I)=g(-l),In(e+l)—6=In^∣+lj+Z?,

Λ6=∣,Λlog^=log2∣=-1.故选B.

9.(2021♦内蒙古包头一模)设函数F(X)=In—ɪ—+In印3-才,则F(X)()

[x+3

A.是偶函数，且在(一8,—3)上单调递增

B.是奇函数，且在(一3,3)上单调递减

C.是奇函数，且在(3,+8)上单调递减

D.是偶函数，且在(一3,3)上单调递增

答案B

[x+3>0,

解析由题意可得。、八解得一3VXV3,即函数F(X)的定义域为(一3,3),M—x)

〔3—才>0,

=In—ɪ—+lnγ∣3+x=-lny∣3-χ-ln—ɪ—=—，/),所以f(x)为奇函数，由复合

y∣3t-χyjx+3

函数的单调性可知y=ln—ɪ—为减函数,y=ln卬3—x为减函数,所以F(X)=In—ɪ—+

[x+3y∣~x+3

InV=为减函数.综上可知，F(X)是奇函数，且在(一3,3)上单调递减.故选B.

(2(l-ɪ),OWXWL

10.已知函数F(X)=]如果对任意的∕7∈N*,定义fll{x}=f{f{f∙∙∙fn

[χ-lfl<x≤2,

个(才)))，那么急22(2)的值为()

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析因为就(2)=f(2)=l,∕2(2)=∕(l)=O,Λ(2)=∕(0)=2,所以£(2)的值具有周

期性，且周期为3,所以分022(2)=∙⅛X674⑵=E⑵=2,故选C.

IL(2021•全国甲卷)设函数F(X)的定义域为R,f(x+l)为奇函数，F(x+2)为偶函数，

当X£[1,2]时，f(x)=a∙+6.若f(o)+f(3)=6,则∕∣J∣=()

9375

A.B.C.I).

4242

答案D

解析因为F(x+1)为奇函数，所以F(—x+1)=-F(X+1),所以F(I)=O,即a+b=Of

所以b=—a,所以/(0)=/(-1+1)=—/(1+1)=—/(2)=-45-Z?=-35,又F(X+2)为

偶函数，所以f(x+2)=F(-x+2),所以〃3)=f(l+2)=f(—1+2)=F(I)=O,由F(0)+

f(3)=6,得a=-2.所以

955…

~a-b=--a=-f故选D.

12.(2021・安徽蚌埠第三次教学质量检查)若把定义域为R的函数f(x)的图象沿X轴左

右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于y轴对称的图象，则关于函数F(X)

的性质叙述一定正确的是()

ʌ.f{-χ)+f(x)=0

B.AA-1)=∕,(1-X)

C.f(x)是周期函数

D.f(x)存在单调递增区间

答案C

解析；定义域为R的函数f(x)的图象沿X轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图

象，也可以得到关于y轴对称的图象，.∙.f(x)的图象既有对称中心又有对称轴，但HX)不一

定具有奇偶性，例如f(x)=sin(x+f，对于A,由f(—x)+f(X)=0,得f(x)为奇函数，

故A错误；对于B,由/Xx—1)=F(I—*),可得函数f(*)的图象关于直线x=0对称，故B

错误；对于D,当f(x)=0时，f(x)不存在单调递增区间，故D错误；对于C,当HX)是常

函数时，F(x)是周期函数；当Mx)不是常函数时，设f(x)图象的一条对称轴为直线x=a,

一个对称中心为(A,0),且a≠b,，F(2a+x)=f(—x),F(—x)=-F(26+x),Λ/(2a÷√r)

=—f(2b+x),.*.f(2a+χ-2b)=—f(2b+ɪ-2⅛)=—f{x),Λ/(x÷4a-4Δ)=—f(x+2a

―2方)=F(X),・・・f(x)的一个周期7=4(a-"),故C正确.故选C.

13.设函数£(切=^^—jɪɪʌ为奇函数，则a=

X------------

答案T

5_LL./∖(x+l)(x+a)、］"皿

解析,・・Hx)=-------------------------为奇函数,

X

：.ΛD+Λ-1)=O,

(1+1)(l+a)(—1+1)(—l+a)

即--------；------------+-----------------；-------------=0,

.*.a=-1.

14.(2022•安徽合肥一中月考)设函数F(X)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈［0,

1］时，f(x)=x+2,则/(,)=.

R

答案2

解析因为f(—x)=f(x),且/'(x+2)=f(x),所以/£；［=(一B)=/(J).又χG［0,1］

时，f(x)=x+2.故∕θθ=/(；)=［+2=|.

15.(2021•衡水中学检测)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0WK2

时，/(ɪ)—X—X,则函数y=f(x)的图象在区间［0,6］上与X轴的交点个数为.

答案7

解析因为当0WΛ<2时，HX)=£—X.又f(χ)是R上最小正周期为2的周期函数，且

/(O)=0,则F(6)=F(4)=F(2)=F(O)=0.又F(I)=0,所以F(5)=f(3)=F(I)=0,故函数

y=F(x)的图象在区间［0,6］上与X轴的交点有7个.

16.设函数f(x)=ln(1+3)—+，则使得f(x)>f(2χ-1)成立的X的取值范围

为.

答案Il)

解析由已知得函数HX)为偶函数，所以f(x)=f(∣x∣),由f(x)>f(2*-l),可得

f(∣x∣)>f(∣2χ-1|).当x20时，f(*)=In(1+才)一］；六因为F=In(l+x)与y=-YTg

在［0,+8)上都单调递增，所以函数f(x)在［0,+8)上单调递增.由F(IXl)>f(∣2χ-l∣),

可得∣X∣>∣2LL,两边平方可得f>(2Ll)2,整理得3f—4x+l<0,解得*x<l.所以符合

题意的X的取值范围为(，1)

—Z+2x,Λ>0,

17.已知函数f(x)=<0,x=0,是奇函数.

,X+mx,x<0

(1)求实数〃的值；

(2)若函数f(x)在区间［―1,a—2］上单调递增，求实数a的取值范围.

解(1)设；KO,则一x>0,

所以f(—x)=—(―Λ)2÷2(-x)--χ~2x.

又f(x)为奇函数，

所以f(—x)=-F(x),

于是x<0时，f［x)=x+2X=X+mx,

所以OT=2.

a—2>—1

{a-2≤l,

所以kaW3,