2022-2023学年安徽省皖北县高一年级下册5月联考数学模拟试题（含解析）

2022-2023学年安徽省皖北县高一下册5月联考数学模拟试题

（含解析）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

α+i

Z----------

1.若复数l-i是纯虚数，则实数α的值是（）

A.1B.0C.-1D.-2

【正确答案】A

【分析】由复数的除法运算、复数分类可得答案.

S+i)(l+i)α-l+(α+l)i

【详解】依题意Z=由于Z是纯虚数,

(Ji)(l+i)2

α-l=0

所以《，解得α=l.

0+l≠0

故选:A.

2.下列叙述正确的是（）

A.用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台

B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台

C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台

D.棱台的侧棱延长后必交于一点

【正确答案】D

【分析】根据棱台的定义以及性质，即可得出答案.

【详解】对于A,当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，A错误;

对于B,C,如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，B,C错

误；

对于D,由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点，D正确.

故选：D.

3.已知向量M=(2sin8,-COS0),B=(LcosO),若£〃刃，贝IJSine+cos。=()

A.-2B.-1C.0D.1

【正确答案】C

【分析】由向量共线的坐标表示求解即可.

【详解】由々〃I，得2sin6cose-(-CoSo)Xl=0,得2sin1cos6=T.

所以(Sine+cos6)-=1+2SineCOSe=0,即sin。+CoSe=O.

故选：C.

4.如图所示，AH6'C'是水平放置的ΔT48C的斜二测直观图，其中O'C'=。W=2。'6',

则“6C是()

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.等腰直角三角形D.以上选项都不对

【正确答案】C

【分析】根据斜二测画法的规则，以及AZ'8'C'的边长关系，即可得出A∕BC边长关系,

进而得出答案.

【详解】根据斜二测画法可知，在原图形中，。为C/的中点，ACLOB.

因为O'C=O'A'=2O'B',所以CO=Zo==,力。，

2

则AZ8C是以ZC为斜边的等腰直角三角形，如图所示:

5.已知平面a、β∖7两两垂直，直线a、b、C满足：a三a,b三β,cQy,则直线a、b、C不

可能满足以下哪种关系

A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异

面

【正确答案】B

【分析】通过假设a∕∕b,可得a,6平行于a,夕的交线，由此可得C与交线相交或异面，由

此不可能存在a/∕6/∕c,可得正确结果.

【详解】设a∏4=/,且/与。力均不重合

假设：a/Ibllc,由a∕∕b可得:a∕∕β,b∕∕a

又aCβ=l,可知a/〃,bill

又a∕∕b∕∕c,可得：dll

因为a,£/两两互相垂直，可知/与/相交，即/与C相交或异面

若/与。或6重合，同理可得/与C相交或异面

可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行

本题正确选项：B

本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线

与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.

6.已知复数Z满足z(l-i)=i,则下列结论正确的是()

A.Z——I—ZB.z的虚部与实部相等

22

C.∣z∣=lD.存在复数Z—使ZZ]<O

【正确答案】D

【分析】根据复数的除法，化简可得z=-2+Li,然后根据复数的概念，即可得出答案.

22

ii(l+i)i+i211.

【详解】对于A项，由Z(I—i)=i,--------------------=------=--+--ɪ故A

1-i(l-i)(l+i)2-------22

项错误;

对于B项，Z的实部为-,，虚部为I，故B项错误;

22

对于C项,,故C项错误;

对于D项，当Zl=L+^i时，ZZl=-L-L=一"L<o,故D项正确.

22442

故选：D.

7.位于某港口/的小艇要将一件重要物品送到一艘正在航行的海轮上.在小艇出发时，海轮

位于港口A北偏东30。且与该港口相距30海里的B处，并正以20海里/时的速度沿正西方

向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以V海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与海轮相

遇.若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度(单位：海里/时)应为()

A.10√3B.20C.30√3D.20√3

【正确答案】D

【分析】利用垂线段最短，结合三角函数值求出最小距离，即可求出答案.

【详解】如图所示，ZBAC=30°,ZABC=60o,Z8=30,

当4C上BD时,即小艇往正北方向航行时航行的距离最小，

最小值为/C=∕8cos30°=15海里，

153

从而海轮航行的距离为6C=15海里，故航行时间为一=一小时，

204

=-206

所以小艇的航行速v度"3ZUVJ海里/时.

故选：D.

JT

8.在边长为6的菱形ABCD中，ZBAD=现将菱形ABCD沿对角线BD折起，当

3

4。=3指时，三棱锥4-6C0外接球的表面积为()

A.24πB.48πC.60πD.72兀

【正确答案】C

【分析】根据题意，结合图形的几何性质求出相关线段的长，根据球的几何性质确定三棱锥

外接球的球心位置，求得外接球半径，即可求得答案.

Tr

【详解】由题意在边长为6的菱形ZBCO中，N"。=—知，

3

△4BD和ABCD为等边三角形,如图所示，

取8。中点E,连接∕E,CE,则NEL6。，AE=y∣AD2-DE2=√62-32=3√3-

同理可得CE=3√5,又ZC=3指，则/£2+。石2=4。2,则〃£，CE,

又8。ACE=E,BD,CEU平面CB。，故/E_L平面CBD,

而CEU平面CBD,故4E工CE,

由于ABCD为等边三角形，故三棱锥A-BCD外接球球心O在平面BCD内的投影为

△8C。的外心0∣,即OaJ■平面CBD,故OOAE,

过。作ZE于，，则”为AZBZ）的外心，则OQ]〃//E,即共面，

则OH//OIE,则四边形OOxEH为矩形，

则在RtAO///中，OH=O∖E=-CE=乖＞,Z"=—∕E=2√I,

33

222

所以外接球半径R=yJθH+AH=715，则外接球表面积为S=4πR=60π，

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得O分.

9.下列说法正确的是（）

A.复数z=3i-2iz的虚部为一2

B.方程4χ+5=0的复数根为2±i

C.若z=(l+i)2,则复平面内三对应的点位于第二象限

D.复平面内，实轴上的点对应的复数是实数

【正确答案】BD

【分析】化简即可判断A项；根据韦达定理，即可得出B项；化简得出z=2i,求出共朝

复数，根据复数的几何意义，即可判断C项；根据复数的几何意义，即可得出D项.

2

【详解】对于A,z=3i-2i=2+3i＞虚部为3,A错误；

对于B,2+i+(2-i)=4,(2+i)•(2—i)=5,B正确；

对于C,z=(l+i)2=2i,则1=_2i，复平面内三对应的点在y轴负半轴上，C不正确；

对于D,复平面内，实轴上的点对应的复数是实数，D正确.

故选：BD.

10.已知“8C的内角4B,C所对的边分别为α,b,c则下列说法正确的是()

aα+Z?+C

A.—----=----------；---------；----

sinASin力+sin5+sinC

B.若/BC为斜三角形，贝∣Jtan∕+tan8+tanC=tan∕tan8tanC

C.若祝•赤〉0,则“1BC是锐角三角形

D.若一^=’一=—^,则“8C一定是等边三角形

cosAcosBcosC

【正确答案】ABD

【分析】由正弦定理和比例性质可以判断A,D选项，根据诱导公式及两角和公式判断B

选项，由平面向量的数量积判断三角形形状判断C选项，

【详解】对于A,由正弦定理和比例性质得，一=——-+z'+c'——，故A正确；

SirL4SirL4+sin5+sinC

tart4+ta∏5

对于B,由题意，tanC=tan[π-(J+8)]=-tan(√4+5)=则

1-tarb4ta∏5

tan?i+ta∏5=tanC(tarUtan5-1),

所以tan4+tan6+tanC=tanC(tantanβ-1)÷tanC=tanAtanBtanC,故B正确；

对于C,因为X∙丽>0，所以4。。8=%叶]。3卜05(兀-0)=-4氏050>0,所以

cosC<0,

所以C为钝角，/8C是钝角三角形，故C错误;

I十E。bcLL…SlrL4SmBSinC分

对于D,因为----=-----=-----,所以-----=-----=-----,所以tanA=tan5=tanC,

cosAcosBcosCCoS/COSBcosC

且N,B,C∈(0,π),所以∕=8=C,所以-8C为等边三角形，故D正确.

故选:ABD.

11.如图，正四棱柱ZBCZ)-Z4GA中，AA]=2AB,E,尸分别为CC∣,44∣的中点，

则下列结论错误的是()

B.直线4E与直线8尸所成的角为90“

C.平面8EF与平面ZBCD的夹角为45°

D.直线。尸与平面ZBC。所成的角为45°

【正确答案】ABC

【分析】对于A,若BlE上平面BEF,则/与M=90°,与BF=BIE矛盾;对于B,假设

直线4后与直线BF所成的角为90°，可得用平面所以AE〃与G，显然这

是不可能的；对于C,可证得/082即为平面BEF与平面ABCD的夹角，求tanNDBDl判

断即可；对于D：直线与平面/8C。所成的角即为直线BE与平面/8C。所成的角

ZEBC.

【详解】对于A,如图，连接4/，由题意4与=3£,又E,尸分别为CG，力4的中

点，可得BlE=BIF,若BlEl平面BEF,则8∣E，跖，进而N8∣EE=NB/E=90°.这

显然不成立，故4E与平面BEE不垂直，A错误；

对于B,假设直线4E与直线8尸所成的角为90。，即4E，瓦"由正四棱柱的性质可知

βlAl，平面BlBCCl,而BVEU平面BIBCCI,所以耳耳上B∣E,又AλBλ与BF相交，44、

BFU面4BBM,所以AE，平面488/,而由正四棱柱的性质可知B∣C∣_L平面

ABBiAl,所以B[E∕∕B]G,显然这是不可能的，所以假设不成立，因此B错误；

对于C,分别延长DiF,DA交于点P,连接PB,则直线PB即为平面BEDlF与平面ABCD

7

的交线.连接8。，BDx,因为47∕QQ且,所以ZP=NO=ZB,所以

PBVBD,又。。，平面ABCD,PBu面ABCD,所以DDjPB,又

DDl∩BD=D,DDy">u面BDDx,所以_L平面BDDx,又SZ)IU面BDD,,所

以BDJPB,所以NDBDl即为平面BE尸与平面ABCD的夹角，易知

tanNDBDl=^∙=忘>1,故ZDBD1>45°,C错误；

对于D,可证RF//BE,则直线。或与平面ZBCC所成的角为NEBC,又根据题意易知

NEBC=45°，D正确.

故选：ABC.

12.已知正-8C的边长为26，中心为。，P是ABC的内切圆上一点，则()

A.(Λ4+P5)±(PC+Pδ)B.满足I苏+而卜4的点尸只有1

个

C.fPA+PB)-PC≥OD.满足(苏+方)//5的点尸有2

个

【正确答案】ABD

【分析】设例为/8的中点，的内切圆半径为r,外接圆半径为R,先作图推出R=2r

进而根据向量的数量积，即可得出A项；根据向量的运算法则可得I苏+方I=2∣而卜结

合内切圆的半径以及已知条件，即可得出B项；根据向量加法运算的法则，结合图象以及

数量积的定义，即可判断C项；根据向量加法运算的法则，结合图象，即可得出D项.

【详解】对于A,法一：设M为48的中点,

图1

连接。则C,O,M三点共线.

设的内切圆半径为r,外接圆半径为R,则&=2八

因为。为&48C的中心，故双=一2。必，

而α+砺=2两,故方+丽+反=6

又用+闿•（定+网=（刀+砺-2而）.卢-2而）

=04∙δc+05∙δc-2δp∙（S4+δB+δc）+4∣δp∣2

=--R2--R2+Ar2

22

=4r2-7?2=0>A正确；

法二：记CO的中点为N,设AZBC的内切圆半径为r,外接圆半径为A,则及=2八

由正三角形的性质知N在内切圆上且MN为内切圆圆。的直径，如图2,连接PM,PN,

从而有（沙+方）•（定+而）=4两•丽=0,A正确；

对于B,I2+方|=2］而卜因为AZ8C的边长为2石，所以内切圆半径为1,当且仅当

产为OC中点N时，I莎+而I=4,B正确；

对于C,当尸与M重合时，Λ4+PB=0>此时（P4+尸B）∙PC=0,满足；

当尸与M不重合时，PA+PB=2PM-由图象易知A而与定的夹角

ZMPC＞ZMPN=^,所以而.斤＜0,所以(苏+丽)•定＜0，故C错误;

对于D,^PA+^PB=2PM`要使A必//03，则NoRW=60°,分析可知此时P恰为线

段。8与内切圆的公共点，又当尸与A/重合时，也满足题意，故这样的点有2个，D正确.

故选：ABD.

关键点睛：结合图象以及向量加法的运算法则，即可简化运算.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知复数Z满足l+zi=z—i，贝IJlZl=.

【正确答案】1

【分析】根据复数的除法运算、模长计算可得答案.

.1+i(l+i)(l+i).

【详解】法一：由l+zi=z-i,得(z1—ix)z=l+i,所以z=∙^7-^7^―τττ:一ττ-ɪ,

''1-1(l-ι)(l+ι)

IZl=W=1；

法二：由l+zi=z-i,得(l-i)z=l+i,所以Z=^4，∣z∣=p4=∣p~τ∣==1.

故L

14.若单位向量3,B满足万,加且(2万+3否),(奶一4可，则实数4的值为.

【正确答案】6

【分析】根据两向量垂直，可得到(2之+3办(奶—46=0,展开化简即可求出左值.

【详解】因为万小，所以展5=0,因为(2万+35)∙L(后一46，所以

(2万+3分(初一4杨=0,

即2%2_i2^=0,又比石是单位向量，所以2左=12,即％=6.

故6

15.已知正方体力3CD-44C∣2的棱长为3,则G到平面48。的距离为.

【正确答案】2也

【分析】根据正方体的性质以及线面垂直的判定定理、性质定理，可得出ZG，平面4瓦).

构造辅助线得出ZG与平面的交点E,然后根据相似三角形，即可得出答案.

【详解】

如图，连接4C∣,AD1,

由正方体的性质可知，GAJ■平面ADLAD,.

因为4。U平面AD。/,所以GAJ.4D.

因为GAU平面力GA，ZDlU平面4CQ1，∩C1-D1=-D1.

所以4。，平面/GA.

因为ZClU平面/G2,所以4。

同理可得NC∣_L/田.

因为4∑)u平面4瓦？，Z∣3U平面4瓦)，A}D(~\A↑B=A1,

所以ZG，平面430.

连接/C交8。于。，连接4。交ZG于点E，

则C1到平面AiBD的距离即等于CIE的长.

因为44"∕CG,且14=CG,所以四边形ZCC∣4为平行四边形.

I4EAO1

又AO=—AC,所以则T^=^77Γ=7,

2CIEA1C12

所以GE=IZG=2√3,即C1到平面ABD的距离为2石.

故答案为.2√3

TT

16.在A∕8C中，ABAC=-,NM是/R4C的角平分线，且交BC于点M.若AZBC的

3

面积为√J,则ZM的最大值为.

【正确答案】√3

【分析】根据已知可推得历=4.根据sjβw+SΔACM=SA.BC，即可得出AM=逆”.根

b+c

据基本不等式，即可得出答案.

设角4,B,C的对边分别为α,b,c.

因为S2**=5所以bc=4∙

π

由已知可得，NMAB=NMAC=—.

6

又SAABM+SdACM=SetABC，

ITT1or1π

—×AB×AMXSin-+—x/CxAMXSin-=—xZCxAB×sin—,

262623

即LcXZΛ∕+1∕>x∕Λ∕=^~bc，

444

整理得ZAl=立蛆≤母=百，

b+c2Jbe

当且仅当b=c=2时，等号成立.

故/用的最大值为√L

故答案为.√3

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

17.已知复数Z满足(l+3i)z=5+5i.

(1)求z—z；

ZZʌ2023

(2)求

、2z—3,

【正确答案】(1)-2i

(2)i

【分析】(1)(2)根据条件求出复数Z,代入所求运算求解即可.

【小问1详解】

/、5+5i(5+5i)(l-3i).

因为("3∣)Z=5+5'所以Z=T73Γ=^^=2T'

所以W=2+i，所以z—1=(2T)-(2+i)=-2i.

【小问2详解】

20232023,2023

Z2-i

‹2z-32(2+i)-3

2023

(2-i)(l-2)/.X2023/,×2020/.∖3/.∖101°/•«・

=(T)=(T)∙(-ι)=(ι2^)∙∈*y=ι∙

(l+2i)(l-2i)

18.在zU8C中，角4,B,C的对边分别为α,b,c,且2αsinɪ-e2b+c.

(1)求角4

(2)若A∕8C的面积为主8,求α的最小值.

4

【正确答案】(1)—

3

(2)3

【分析】(1)根据正弦定理边化角可得2siMcosC=2sin8+sinC.然后根据两角和的正弦

公式化简整理可得SinC(2CoS+1)=0,根据A的范围，即可得出答案；

(2)根据已知可求得A=3.进而根据余弦定理，结合基本不等式，即可得出〃的范围.

【小问1详解】

由2。Sin(∙∣∙-C)=2b+c,得2shυICOSC=2sin5+sinC.

又4+8+C=π,所以2sin4cosC=2sin(4+C)+sinC,

所以2sinCcos/+sinC=0，

整理得sinC(2cos∕+1)=0,

因为C∈(0,兀)，所以SinCW0,故cosZ=—；，

又∕e(0,兀)，所以N=g.

【小问2详解】

因为^ABC的面积S—ɪ^esin^=ɪ-^e-sin-^-=ɜʌ^ɜ-，所以be=3.

2234

由余弦定理可得/-H+°?—2Λccos∕i=h2+c2+bc≥3bc，

当且仅当6=c=√3时等号成立.

即6≥9,a≥3.

故。的最小值为3.

21

19.如图所示，在YZBCD中，AB=a，AD=b»BM=-BC1AN=-AB.

(1)试用向量〃，B来表示Z)N，AM»

—3——

(2)若∕O=-OΛ∕,求证：D,O,N三点共线.

8

-----1--------2-

【正确答案】(1)DN=-a-b,AM=a+-b

33

(2)证明见解析

【分析】(1)根据几何关系，结合图象以及向量的运算法则，即可表示出两，AM；

—■3-2--.―.

(2)根据已知可推得/。=打〃+打6,然后根据向量的运算即可得出OO,ON,进而得

出证明.

【小问1详解】

因为∕N=L∕8,

3

所以丽=，存=LZ，

33

所以丽=而-15=匕

3

2

因为AW=—BC,

3

——►2—►2—►2-

所以BM=—BC=—4D=—b,

333

__________2

所以府=益+就=Z+—B.

3

【小问2详解】

__3___-•3——■3(→2-、3-2-

因为/0=—0Λ∕,所以4。=—AM--a+-b--a+—b,

811lʌ3J1111

---.—.3-2--3-9-

则DO=AO-AD=—aHb-b=——a----b,

111111Il

DN=JN-~AD=-a-b,

3

——9——

所以DO=—DN,即证。，O,N三点共线.

11

20.如图，在直三棱柱NBC-4片£中，AB=BC=AAλ=∖,NZBC=90°,D,E分别

是棱4G，/C的中点.

（1）判断多面体ABEDByCx是否为棱柱并说明理由；

（2）求多面体ABEDBG的体积；

（3）求证：平面8C∣E∕/平面/SD

【正确答案】（1）多面体力BEDgG不是棱柱，理由见解析

（2）-

3

（3）证明见解析

【分析】（1）根据棱柱的特征判断即可；

（2）利用三棱锥体积减两个三棱锥体积可得；

（3）根据面面平行判定定理，将问题转化为两个线面平行问题，再将线面平行转化为线线

平行，结合条件即可证明.

【小问1详解】

多面体Z8EQ8∣G不是棱柱.理由如下：

因为棱柱的侧面必为平行四边形，故棱柱的面至少有3个平行四边形，而多面体ZBEQMG

只有1个面是平行四边形，故不是棱柱.

【小问2详解】

易知三棱柱力BC-NfC的体积K=gxZ6x8Cx∕4=；,

三棱锥工—44。的体积匕=LXLXLX∕8x8Cx44∣=」-,

32212

易知三棱锥Cl-BCE的体积等于三棱锥Z-的体积，

故多面体48EQ8C的体积匕=修一2匕=∣-2×-^=∣.

【小问3详解】

因为D,E分别是4G，/C的中点，所以DE∕∕AA"∕BB∣,DE=AAι=BB∣,

所以四边形E为平行四边形

所以BE〃BQ.又BEe平面/8Q,BQU平面/BQ,所以BE//平面为8Q.

易知CyD∕/AE,C}DAE,得四边形ADGE为平行四边形.

所以C∣E∕∕4D,又GEZ平面NBQ,/OU平面力4。，所以GE〃平面ZBQ.

而BECC1E-E,BE,C[EU平面BC1E,

所以平面BGE//平面4δ∣D.

21.已知空间几何体Z8C0E中，48CZ)是边长为2的等边三角形，/8C是腰长为2的

等腰直角三角形，四边形/CDE是正方形.

(1)设平面ZBEc平面8C。=/,求证：AEHl；

(2)求三棱锥E—ZBC的体积.

【正确答案】(1)证明见解析

【分析】(1)由线面平行的判定定理可得AEH平面BCD,线面平行的性质定理可得AEHl,

(2)法一：取8的中点尸，由线面垂直的判定定理得ZC_L平面BCQ,性质定理得

ACLBF,再由线面垂直的判定定理得3b_L平面ZCDE,再由棱锥的体积公式可得答

案；法二：由线面垂直的判定定理得NCL平面BCO,根据三棱锥E-ZBC的体积与三

棱锥0-/8C的体积相等求出/TBL

【小问1详解】

•••四边形/CDE是正方形，.∙./E〃CZ),

又COu平面8C0,2£^平面8。。，二/七〃平面8。。,

又NEU平面Z8E,平面/8£6平面8。。=/,二？1£7〃；

【小问2详解】

法一：取CA的中点尸，连接5尸,

•••△8CD是边长为2的等边三角形，.∙.8C。，且易得BF=6，

•••△8CZ)是边长为2的等边三角形，四边形NCz)E是正方形,

AC=BC=2,

而AZ8C是腰长为2的等腰直角三角形，.∙.ZC18C,

又由题意知4C∙LCD,BCCCD=C,BC,C。U平面8C0,

.∙./C，平面8C。，而8∕u平面8C0，∙∙∙∕CL8E,

ACΓ∖CD=C,AC,CDU平面ZCoE,

所以6/，平面〃CZ)E，

三棱锥E-ABC的体积即为三棱锥B-ACE的体积,

=LXLXAC×AE×BF=-

323

故三棱锥E-ABC的体积为2叵；

3

A

法二：∙.∙48CO是边长为2的等边三角形，四边形NeDE是正方形，

，AC=BC=2,

而A∕8C是腰长为2的等腰直角三角形，.∙.ZC18C,

又由题意知4C∙LCD,BCCCD=C,BC,Cz）U平面BCO,

.∙.ZC_L平面5CD,

易知DE"AC,•••三棱锥£一〃8。的体积与三棱锥。—/6。的体积相等,

即%尼=匕.牖=；X4C*；XBCXSXSi咤=挈,

故三棱锥E-ABC的体积为巫.

22.如图，在梯形NBCz)中，