江苏省南京市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

江苏省南京市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.如图，AB为。的直径，C,。是（。上的两点，连接C4、CD、AD若NC48=40,

则的度数为（）

A.110B.130C.140D.160°

2.如果关于x的一元二次方程方程一3x+l=0有两个实数根，那么左的取值范围是

（）

99

B.人一且人中0C.k<-S.k^O

4

3.下表是某校合唱团成员的年龄分布表:

年龄/岁12131415

频数515X10-x

对于不同的x,下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）

A.平均数、中位数B.众数、中位数平均数、方差

D.中位数、方差

4.在正方形网格中，△ABC在网格中的位置如图，则cosB的值为（）

5.点4（七,%）,8（马,当）在二次函数＞=/的图象上，x产元2，下列推断正确的是（

①对任意的％＜x2,都有％＜必；

②对任意的再+9=。，都有％=%;

③存在满足X]+尤2=0,且％+%=0;

④对于任意的小于1的正实数存在/三，满足忱-司=1,且

A.①③B.②③C.②④D.②③④

6.如图，以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径交于点

D,若AD=4,O8=5,则8c的长为（）

A

A.3币B.8C.46D.9

二、填空题

7.已知:=§,则号的值为—.

23a+b

8.数据8,9,10,11,12的方差等于.

9.如图，扇形。48是一个圆锥的侧面展开图，120°,A8的长为6兀cm,则该

圆锥的侧面积为cnP（结果保留无）.

10.将二次函数y=V的图像向右平移3个单位，再向上平移4个单位后，所得图像的

函数表达式是.

11.如图，四边形A8C。是。。的内接四边形，。。的半径为2,ZD=110°,则AC的

长为一

12.小丽想测量学校旗杆的高度，她在地面A点安置测倾器，测得旗杆顶端C的仰角为

30。，测倾器到旗杆底部的距离AD为12米，测倾器的高度A3为1.6米，那么旗杆的高

试卷第2页，共8页

度CD为.米（结果保留根号）.

13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线》=-炉经过平移得到抛物线y=-/-4x,其

对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为

14.如图，正方形Q45c与正方形。。斯是位似图形,点0为位似中心,相似比为1:忘,

点。的坐标为（0,4）,则点B的坐标为.

八y

D

A

FC0X

15.如图，铁道口的栏杆短臂长为1米，长臂长为16米.当短臂端点下降0.5米时,

16.如图所示，从高为2m的点A处向右上抛一个小球P,小球飞行路线呈抛物线L形

状，小球飞行的水平距离2m时达到最大高度6m,然后落在下方台阶上弹起，已知

MN=4m,FM=DE=BC=L2m,ON=CD=EF=lm,若小球弹起形成一条与L形状

相同的抛物线，落下时落点。与8,。在同一直线上，则小球在台阶弹起时的最大高度

三、解答题

17.解下列方程：

(1)X2-4^-3=0;

(2)2X(X+1)=X+1.

18.(1)计算：(^)°-A/12+4sin60°-(-2).

(1)请你在每个图形中再将一个或两个小等边三角形涂为灰色，使其成为轴对称图形.

(2)一颗玻璃弹子在纸上自由滚动，选择你涂好的其中一个图形，计算它停留在灰色区域

的概率.

20.(1)已知9/+185-1卜+18〃是完全平方式，求常数〃的值.

(2)下面我们来探讨怎样用配方法解用一般形式表示的一元二次方程

ax1+bx+c=0(«*0).请完成下面的填空：

方程的两边同除以,Mx2+-x+-=o.

aa

试卷第4页，共8页

移项，得___________

a

h

方程的两边同加上___________，得%2+2工+—=-------F

aa

2

/\2b-4ac

即Rn(x+—)=-^-

右Z?2—4ucN0，

可得/=匹还，或「一无三

2a2a2a2a

・-Z?+VZ?2-4ac滞—b—yb~-4-cic

..石=-----------，取x

2a22a

我们也可以简单地表示为X=一""j'c

2a

21.如图，AB是।。的直径，弦8交A8于点E,连接AC,AD.若NBAC=35。,

(1)求—O的度数;

⑵若NACD=65。，求NCEB的度数.

22.如图，在四边形ABCD中，AD〃:BC,AD=2,AB=2后,以点A为圆心，AD为

半径的圆与BC相切于点E,交AB于点F.

(1)求NABE的大小及£)EP的长度；

(2)在BE的延长线上取一点G,使得OE上的一个动点P到点G的最短距离为20-2，

求BG的长.

23.小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真

的探索.

【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距

离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？

(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整:

解：设点B将向外移动x米，即BBi=x,

则BiC=x+0.7,AiC=AC-AAi=72.52-0.72-0.4=2

而AiBi=2.5,在RtAAiBiC中,由B|C-+A|U=A|Bj得方程

解方程得Xl=_,X2=_,

...点B将向外移动_米.

(2)解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：

【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9

米吗？为什么？

【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距

离，有可能相等吗？为什么？

请你解答小聪提出的这两个问题.

24.如图1,四边形A3CD内接于圆。，AC是圆。的直径，过点A的切线与CD的延长

线相交于点P.且=

(1)求证：ZBAC=2ZACD-

(2)过图1中的点£)作DE1AC,垂足为E(如图2),当3C=6,4£=2时，求圆0

的半径.

图1

25.等腰直角三角形ABC和O如图放置，AS=3C=lcm,ABC=90,。的半

径为1cm,圆心0与直线A8的距离为5cm.现ABC以2cm/s的速度向右移动，同时

ASC的边长AB、3c又以0.5cm/s的速度沿54、3C方向增大.

试卷第6页，共8页

⑴当ABC的边(边BC除外)与圆第一次相切时，点B移动了多少距离？

⑵若在..ABC移动的同时，。也以Icm/s的速度向右移动，则ABC从开始移动，到

它的边(边8C除外)与圆最后一次相切，一共经过了多长时间？

(3)在(2)的条件下，是否存在某一时刻，使，A6C与。的公共部分等于，。的面积？

若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动的时间.若不存在，请说明理由.

26.如图，四边形ABCD为(。的内接四边形，AC是(。的直径，AD=BD，

ZCAB=32°.求NACO的度数.

D

27.如图，已知抛物线丁=-/+/+。与一直线相交于A(i,o),C(_2,3)两点，与y轴

交于点N.

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)求直线AC的函数关系式；

(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点.求△回＜?面积的最大值.

28.如图，已知。是ABC的外接圆，AB是。的直径，P是AB的延长线上的点,

弦CE交AB于点、D.ZPOE=2ZCAB,NP=ZE.

c

D

(1)求证：CE1AB-,

(2)求证：PC是।O的切线；

(3)若BD=OD,PB=9,求。的半径.

试卷第8页，共8页

参考答案:

1.B

【分析】本题考查了圆的内接四边形对角互补的性质以及圆周角定理，连接BC可求/ABC,

根据ZADC=180。-ZABC即可求解.

【详解】解：连接BC,如图所示：

;为。的直径，

•*.ZACB=90°

ZCAB=40

ZABC=90°-ZCAB=50°

ZADC=180°-ZABC=130°

故选：B

2.C

【分析1本题考查根据一元二次方程根的情况求参数.一元二次方程+bx+c=0(«w0)有

两个不相等的实数根，则公=〃一4℃>0；有两个相等的实数根，贝1］公=62一4℃=()；没有

实数根，贝UA="-4ac<0.据此即可求解.

【详解】解：由题意得：△=)2—4ac=(―3)2—4左N。且左W0,

,9

解得：;且左。0

4

故选：C

3.B

【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10,即可得知总人数，结合前两组的频数知

出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案.

【详解】解：由表可知，年龄为14岁与年龄为15岁的频数和为尤+10-x=10,

则总人数为：5+15+10=30,

故该组数据的众数为13岁，中位数为：U|U=13岁，

即对于不同的x,关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，

答案第1页，共22页

故选：B.

【点睛】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟

练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键.

4.A

【分析】在直角△诙中，利用勾股定理即可求得的长，然后根据余弦函数的定义即可

求解.

【详解】如图，

在直角△£»£）中，BD=2,ED=4,

EB=YIBD1+ED2=A/22+42=2A/5-

„nBD2亚

贝n!|cosB==一尸=——.

EB2V55

故选：A.

【点睛】本题考查了三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定

义，转化成直角三角形的边长的比.

5.C

【分析】根据题意可得当在y轴右侧时，y随x的增大而增大，当在y轴左侧时，y随x的增

大而减小，可得到①错误；由尤i+Xz=。，可得点3（毛，力）关于y轴对称，从而

得到②正确；③错误；再由归-引=1,可得的一%|=加+4再♦马,然后根据当点A（%，X），

3（无2,%）在y轴两侧时，此可设点A（%,必）在y轴左侧，则矶如为）在y轴右侧,可得

-1<4^-X2<0,可得④正确.

【详解】解：•••二次函数y=f的图象的对称轴为y轴，开口向上，

当在y轴右侧时，y随x的增大而增大，当在y轴左侧时，y随x的增大而减小，

当。<为〈无2时.都有％<%，故①错误；

答案第2页，共22页

•%1+%2=0,

.•.点W%，%）关于>轴对称，

二%=%，故②正确；

•%1+%2=0,

石=-x2,

■:石W冗2，

••«X]——X?W0,

***X+%=片+>>°,故③错误；

,|%-%21=]，

|%-%|=忖-司=ki-X2Hxi+/卜|尤1+无」=｛（占-尤21+4『-2=J1+4再F，

当点A（为M），3®,%）在「轴两侧时,此可设点4（%,%）在y轴左侧,则矶马,%）在y轴

右侧，

.归-xj=1,

-1<%!<0,0<x2<1,

Xj-x2<0,

即-1<-x2<0,

/.0<Jl+4%vl,

0<|^-^2|<1,

即对于任意的小于1的正实数f,存在再，马,满足忧-々1=1,且|乂-%|=乙故④正确；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的

关键.

答案第3页，共22页

6.A

【分析】作AB关于BC的对称线段BE,交半圆。于点R连接AC,CE,AF,则AELBC,

AB=BE,可得点A,C,E三点共线，ZAFE=NECB=900,再证得△AEF,可

得EFBE=CEAE,再由将弧5C折叠后与直径A3交于点。，可得£F=AD=4,

AB=BE=AD+BD=9,从而得到CE=3a,再由勾股定理，即可求解.

【详解】解：如图，作他关于2C的对称线段8E,交半圆。于点R连接AC,CE,A尸，则

AE±BC,AB=BE,

'：AB为圆。的直径，

AAC1BC,即/AFB=NACB=90°,

.•.点A,C,E三点共线，ZAFE=ZECB=90°,

：.AC=CE,

ZE=ZE,

，AAEF^ABEC,

.EFAE

"~CE~~BE'

：.EFBE=CEAE,

'：AE^BC,AB=BE,AD=4,DB=5,将弧8c折叠后与直径AB交于点。，

/.EF=AD=4,AB=BE=AD+BD=9,

4x9=CE-2CE,

解得：CE=3及,

•*-AC=3亚,

BC=y/AB2-AC2=.干何=377.

故选：A

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，图形的折叠，

熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，图形的折叠的性质是解题的关

答案第4页，共22页

键.

7.-/0.4

5

【分析】根据比例性质和分式的基本性质求解即可.

【详解】解：设二=§=左，

23

a=2k,b=3k,

.a_2k_22_2

a+b2k+3k5k5

、2

故答案为：—.

【点睛】本题考查比例性质、分式基本性质，熟练掌握比例性质是解答的关键.

8.2

【分析】根据方差的公式计算即可.

【详解】这组数据的平均数为8+9+1；+11+12=]0

・•.这组数据的方差为S=(8-1。)。(9-1。)、。。-10-(11-⑼?+(12一3=2

5

故答案为2.

【点睛】此题主要考查方差的计算，牢记公式是解题关键.

9.27兀

【分析】首先求得扇形的半径长，然后求得扇形的面积即可.

【详解】解：设AO=3O=Rcm

ZAOB=120°,AB的长为671cm,

解得：49cm

圆锥的侧面积为g/R=gx6乃x9=27%cm2

故答案为：27兀.

【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的有关计算公式，难度不大.

10.y=(x-3)2+4

【分析】根据二次函数的图像平移方法可直接进行求解.

答案第5页，共22页

【详解】解：将二次函数y=Y的图像向右平移3个单位，再向上平移4个单位后，所得图

像的函数表达式是y=(x-3y+4,

故答案为y=(x-3y+4.

【点睛】本题主要考查二次函数的图像平移，熟练掌握“左加右减,上加下减”是解题的关键.

「14,14万

11.——万/---

99

【分析】连接OC,先求出NA5C的度数，然后得到NAOC,再由弧长公式即可求出答

案.

【详解】解：连接。4、OC,如图，

•・•四边形A8CD是。。的内接四边形，Z£>=110°,

ZABC=180°-110°=70°,

ZAOC=2ZABC=2x70°=140°,

.140°x»x214

..AC=---------=—7i•

18009

14

故答案为：—71.

njrr

【点睛】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式/=黑.

180

12.1+4A/3

【分析】根据已知条件和tanNCBE的值求出CE,即可求解.

【详解】解：作3ELCD于E,如图所示，

可知四边形ABED是矩形，

BE=AD，DE=AB，

在RtABC石中，ZCBE=30°,郎=4)=12米,

CE

tmZCBE=——，

BE

答案第6页，共22页

CE=BE-tanZCBE=12x=4\/3，

3

8

CD=CE+ED=l.6+473=-+45

5

故答案为：—+4^.

【点睛】此题考查了解直角三角形与仰角的定义，熟练掌握并运用三角函数解直角三角形是

解答此题的关键.

13.8

【分析】确定出抛物线y=-尤2-八的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交

点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于矩形的面积，再根据矩形的面积公式列式计算即可

得解.

【详解】解：如图，设抛物线y=的对称轴交X轴于点A,交抛物线y=于点8,

过点2作BCLy轴于点C,则四边形QMC为矩形，

:y=-x2-4x=-(x+2)'+4,

平移后抛物线的顶点坐标为(-2,4),对称轴为直线尤=-2,

当x=—2时，y=-x2=-4,

答案第7页，共22页

平移后阴影部分的面积等于如图矩形的面积，即2x4=8.

故答案为：8.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故。

不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平

移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

14.卜2瓶,20）

【分析】直接利用正方形的性质结合位似比得出正方形Q4BC的边长即可得出答案.

【详解】解：:.正方形Q4BC与正方形8E/是位似图形，点。是位似中心，相似比为1：行，

点。的坐标为（。，4）,

；.DE=EF=4,则AB=BC=2返，

•••点8的坐标是：卜2"2忘）.

故答案为：「2"20）.

【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出正方形OD跖的边长是解题关键.

15.8

【分析】首先根据ZDCO=ZABO=90。，ZAOB=/COD,可得二CDO一班。，进而可得

E=会，再代入相应数据可得A3长・

ABA0

【详解】解：如图，

/.CDOs-BAO,

.CDDO

・・茄―茄’

由题意可知，Q4=16米，OD=1米，CZ)=0.5米,

.0.5_1

**16?

答案第8页，共22页

，A3=8米.

答：长臂端点应升高了8米.

故答案为：8.

【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形对应边成比例.

16⑵13

10./5—

3636

【分析】以点。为原点，Q4所在直线为y轴，。。所在直线为X轴建立直角坐标系，则A(0,2),

8(46,2),C(3.4,2),0(34,3),E(2.2,3),广(2.2.4),M(l,4),分别求出抛出时抛物线的解析

式，直线80的解析式；由此刻求出第一次小球落台阶上时点的坐标及点。的坐标，进而可

求得弹起后抛物线的解析式，则可得结论.

【详解】解：如图，以点。为原点，Q4所在直线为了轴，。。所在直线为x轴建立直角坐标

系，

则4(0,2),B(4.6,2),C(3.4,2),£>(3.4,3),£(2.2,3),尸(2.2,4),M(l,4),

抛物线的顶点为(2,6),

设抛物线的解析式为y=a(x-2f+6,

把点A(0,2)代入得，4«+6=2,解得a=-l,

y——(x—2)~+6,

.•.抛物线的对称轴为直线x=2,

与点A关于对称轴对称的点为(4,2),即在平台上，

设3。的解析式为y=^+b,

[4.6k+b—2

"\3>Ak+b^3'

答案第9页，共22页

解得35*

b=——

[6

535

・・・直线BO的解析式为：，=-%+?，

OO

令3=0,则％=7,

.­.2（7,0）,

设弹起后的抛物线的解析式为y=-x2+mx+n,

f-16+4m+n=2

[-49+7m+n=0?

’31

m=一

3

解得：0，

n=---

13

弹起后的抛物线的解析式为,y=-^2+4》一；=一（》一种）2+粤，

33636

-121

二小球弹起时的最大高度为Wm.

36

121

故答案为：――■

36

【点睛】本题属于二次函数的应用，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关

键是学会寻找特殊点解决问题.

17.⑴%=2+伉%=2-近

⑵%=-1,无2=Q5

【分析】（1）利用配方法解一元二次方程；

（2）利用因式分解法解一元二次方程.

【详解】⑴，.'X2-4X=3,

；•-4尤+4=3+4,即（无一2）~=7,

贝"2=±百，

**•Xj=Z+Vy，X,=2—-\/7;

(2)•；2x(x+l)-(x+l)=0,

答案第10页，共22页

/.(x+l)(2x-l)=0,

则x+l=O或2x-1=0,

解得占=-l,%=0.5.

【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握方程的四种解法是解题的关键.

18.(1)3；(2)3--

2

【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，二次根式的混合计算，零指数塞等

等：

(1)先计算特殊角三角函数值，零指数幕和化简二次根式，再根据实数的混合计算法则求

解即可；

(2)先计算特殊角三角函数值，零指数塞，再根据二次根式的混合计算法则求解即可.

【详解】解：⑴原式=1-2石+4x坐+2

=1-273+273+2

=3；

(2)原式=走+1--^―

2V3+1

4阳)

2(73+1)(73-1)

_A/3]4(石-1)

2

3-1

6

-T+1-2(73-1)

6

-T

=3-----

2

19.(1)见解析

⑵概率为:(或V,

【分析】(1)根据轴对称进行画图即可;

(2)根据概率公式进行计算即可.

答案第11页，共22页

【详解】（1）解：如图所示：下图为所求;

41

（2）解：选择图①和图②，珠子停留在灰色区域的概率均为：-=-；

选择图③，珠子停留在灰色区域的概率为：

12

【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，概率公式，正确掌握轴对称图形的性质和根

据概率公式求概率是解题的关键.

21

20.（1）1或"=2；⑵a,，c，h"bjhJ-,b2

2a4a24a24tz22a

【分析】（1）根据配方法将代数式配方，然后得到18”-365-1）2=0,解方程即可求解.

（2）根据配方法解一元二次方程即可求解.

【详解】（1）解：：9X2+18（7L1）X+18”

=（3x）2+2X3JVX6（W-1）X+[6（W-1）T+18〃-36（--1）~

=[3x+6（〃-l）丁+18〃-36（"-1）~

9尤2+18.-1卜+18”是完全平方式,

A18/7-36（/7-1）2=0

即207-1）一=n

/.2〃2一5"+2=0

BP（2w-l）（n-2）=0

解得：〃=或"=2；

（2）ax2+bx+c=0（aw0）

方程的两边同除以a,^x2+-x+-=0.

aa

答案第12页，共22页

移项，^x2+-x=~-.

aa

方程的两边同加上£,得/

4〃a4。a4。

b2-4ac

4a2

若〃2-4ac>0，

可得x+2=3f竺,或x+2=一亚三

2ala2a2a

我们也可以简单地表示为X=-b±后-4ac

2a

b2b2b2b_

故答案为：a,—,

a方‘彳‘才‘2a

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键.

21.(1)55度

(2)100度

【分析】（1）先根据直径所对的角是直角得出NACB=90。，再根据三角形内角和定理得出

ZABC^55°,最后根据同弧所对的圆周角相等，求解即可；

（2）根据三角形外角的性质求解即可.

【详解】（1）连接CB,

是。的直径，

/ACB=90。，

,/ZBAC=35°,

：.ZABC=90°-ABAC=55°,

ZABC=ZD=55°ZABC=ZD=55°；

(2)：/CEB是△ACE的一个外角，ABAC=35°,NACD=65。，

答案第13页，共22页

Z.CEB=ZBAC+ZACD=100°.

【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理和外角的性质，熟练掌握知识点是解题

的关键.

3%

22.(1)45°,y；(2)4.

【详解】试题分析：(1)连接AE,如图1,根据圆的切线的性质可得AELBC,解R3AEB

可求出NABE,进而得到NDAB,然后运用圆弧长公式就可求出。项/的长度；

(2)如图2,根据两点之间线段最短可得:当A、P、G三点共线时PG最短，此时AG=AP+PG=

20=AB,根据等腰三角形的性质可得BE=EG,只需运用勾股定理求出BE,就可求出BG

的长.

试题解析：(1)连接AE,如图1,：AD为半径的圆与BC相切于点E,；.AE，BC,AE=AD=2.

在RtAAEB中，sinZABE=—=~j==上,；./ABE=45。.：AD〃BC,

AB2422

.,.ZDAB+ZABE=180°,AZDAB=135°,DEF的长度为"5"”'=耳；

1802

(2)如图2,根据两点之间线段最短可得:当A、P、G三点共线时PG最短，此时AG=AP+PG=

2+20-2=20，AG=AB."/AE±BG,；.BE=EG.'/BE=>JAB2-AE2-A/8-4=2,

：.EG=2,；.BG=4.

图1图2

考点：切线的性质；弧长的计算；动点型；最值问题.

23.(1)(X+0.7)2+22=2.52；0.8,-2.2(舍去)；0.8.(2)①不会是0.9米,理由见解析

②有可能.理由见解析

【详解】解：(1)(X+0.7)2+22=2.52；0.8,-2.2(舍去)；0.8.

(2)①不会是0.9米，理由如下：

若AAi=BBi=0.9,贝!JAiC=2.4-0.9=1.5,BiC=0.7+0.9=1.6,1.52+1.62=4.81,2.52=6.25,

•••BjC2+ACwA,B,2,/.该题的答案不会是0.9米.

②有可能.理由如下:

答案第14页，共22页

设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米,

则有（x+0.7）2+（2.4—x）2=2.5?,解得：x=1.7或x=0（舍去）.

当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下

滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等.

分析：（1）直接把BiC、AC、AiBi的值代入进行解答即可.

（2）把（1）中的0.4换成0.9可知原方程不成立；设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外

也移动x米代入（1）中方程，求出x的值符合题意

13

24.（1）见解析；（2）—

4

【分析】（1）作DF_LBC于F,连接DB,根据切线的性质得到NPAC=90。，根据圆周角定

理得到/ADC=90。，得至IJNDBC=NDCB,得至DB=DC,根据线段垂直平分线的性质、圆

周角定理证明即可；

（2）根据垂径定理求出FC,证明ADEC丝ACFD,根据全等三角形的性质得到DE=FC=3,

根据射影定理计算即可.

【详解】（1）证明：作。尸±BC于F,连接D8,

图1

：AP是圆。的切线，

ZPAC=90,即NP+ZACP=90，

：AC是圆。的直径，

；•ZADC=90,即ZPCA+ZDAC=90，

ZP=ZDAC=ZDBC,

'：ZAPC=NBCP,

：.ZDBC=ZDCB,

：.DB=DC,

•/DF1BC,

答案第15页，共22页

/.DF是BC的垂直平分线，

/.£(尸经过点。，

*.*OD=OC,

ZODC=ZOCDf

,:NBDC=2/ODC,

：.ABAC=ZBDC=2ZODC=2Z.OCD；

(2)解：•・・。月经过点。，DF±BC,

2

在ADEC和ACFD中,

ZDCE=ZFDC

</DEC=/CFD,

DC=CD

；・ADEC咨ACFD(AAS)

：.DE=FC=3,

VZADC=90,DEJ.AC,

:・DE?=AE，EC,

DE1_9

则EC=

~AE~2

c913

AC=2+—=——

22

13

•••圆。的半径为不

【点睛】本题考查的是切线的性质、全等三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理，掌

握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.

25.(1)4--

5

答案第16页，共22页

（2）6s

（3）不存在，理由见解析

【分析】（1）设第一次相切时，三角形ABC移至三角形AB'C处，4。与（。相切于点E,

连接OE并延长交B'C于点厂，设.。与直线/相切于点。，连接0D,设C'E=CZ»=x,可

得C'F=0J，E=3X，根据OD=FD=1即可求出X,从而求出点C运动的时间，即可求出

点B移动的距离；

（2）根据三角形ABC和匚Q从开始移动到最后一次相切时，是边与圆相切，且圆在A3

的右侧，再结合路程差与速度差即可求解；

（3）求出三角形A3C和:。从开始移动到第二次相切所用时间，求出圆心。到A'C〃的距

离，判断其与半径的大小，即可求解.

【详解】（1）解：设第一次相切时，三角形ABC移至三角形A'3'C'处，AC'与相切于

点、E,连接OE并延长交B'C’于点尸，设二。与直线/相切于点O,连接0D,如图所示：

贝lj：ODLl,OELAC,C'E=CD,

设C'E=C7）=x,

NEC'F=45。

：.C'E=EF,/EFC'=45。

C'E2+EF2=C'F2

C'F=EC'E=叵X

OD=FD=1

y/2x+x=1,

解得：尤=0-1,

CC=5_1-（忘-1）=5-血

答案第17页，共22页

.,.点C运动的时间为：（5-应卜（2+0.5）=2-学

二点B移动的距离为：12—；jx2=4—

（2）解：•.•三角形ABC和。从开始移动到最后一次相切时，是A3边与圆相切，且圆在

的右侧，

；・路程差为6cm,

,/ABC和。的速度差为1cm/s,

二.ABC从开始移动，到它的边（边BC除外）与圆最后一次相切，一共经过了6s

（3）解：：三角形ABC和广。从开始移动到第二次相切，路程差为4cm,速度差为lcm/s,

三角形ABC和O从开始移动到第二次相切用时4s

\A,,B,,=l+4xl=3

2

；OS=OW,AOSB"=AOWB"=90°

\03〃平分ZA""C"

*.NO*C"=45°

\OS=B"S=1

,•OB"=yJOS2+B"S2=A/2

?=45°

\B"PLA"C"

A"P=B"P

••A"P2+B"P2=A"B"2

\A"P=B"P=-y[2

2

答案第18页，共22页

/.OP=B"P-OB"=—<\,

2

此时O与A"C"相交，

故不存在某一时刻，使ABC与。的公共部分等于。的面积

【点睛】本题以几何动点问题为背景，考查了直线与圆的位置关系、切线的性质定理、切线

长定理、勾股定理等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础.

26.61°

【分析】由圆周角定理得到NABC=90。，ZADB=58°,由三角形内角和定理求出ND&1的

度数，由圆周角定理即可求出NACD的度数.

【详解】解：AC是-O的直径，

..ZAfiC=90°,

ZACB=90°-ZC4B=90°-32°=58°,

:.ZADB=ZACB=58°,

AD=BD，

AD=BD,

ZDAB=NDBA=|x