数学建模的多种作战模型

数学建模中的作战模型在第一次世界大战期间，F·W兰彻斯特〔Lanchester〕投身于作战模型的研究，他建立了一些可以从中得到交战结果的数学模型，并得到了一个很重要的“兰彻斯特平方定律”：作战部队的实力同投入战斗的战士人数的平方成正比。对于一次局部战斗，有些因素可以不考虑，如气候，后勤供给，士气的上下，而有些因素我们把双方看成是相同的，如武器配备，指挥艺术。还可简单地认为两军的战斗力完全取决于两军的士兵人数。两军士兵都处于对方火力范围内，由于战斗紧迫，短暂，也不考虑支援部队。一、正规战模型：令表ｔ时刻甲军人数,表ｔ时刻乙军人数：在以上假设下，显然甲军人数的减员率与乙军人数成正比，同样乙军减员率与甲军人数成正比．可得正规部队对正规部队的作战模型为(1)其中a>0，b>0均为常数，积分〔1〕得(2)这就是“兰彻斯特平方定律”，〔2〕式在X-Y平面上是一族双曲线。如图17.8所示，双曲线上的箭头表示战斗力随着时间而变化的方向。由图17.8可知，乙军要想获胜，即要使不等式成立。可采用两种方式：(1)增加a，即配备更先进的武器；(2)增加最初投入战斗的人数。但是，值得注意的是：在上式中，a增大两倍，结果也增大两倍，但增大两倍那么会使增大四倍。这正是两军摆开战场作正规战时兰彻斯特平方定律的意义，说明兵员增加战斗力将大大增加。如果考虑两军作战时有增援，令和分别表示甲军和乙军t时刻的增援率，所谓增援率，就是增援战士投入战斗或战士撤离战斗的速率。此时正规部队对正规部队的作战模型为(3)现在答复一开始时提出的问题，设甲军有m=100人，乙军有n=50人，两军装备性能相同，y(t)y(t)c>0:乙军胜c<0:甲军胜c=0:不分胜负x(t)图17图17.8即令，没有援军，将(2)变为(4)将y=100，x=50代入(4)式得(5)再将c/a=7500代入(17.29)式得(6)战斗结束一方人数为零，显然这里乙军x=0，代入(6)式得即甲军战死13人，剩下87人，乙军50人全部被消灭。二、混合战模型：如果甲军是游击队，乙军是正规部队，由于游击队对当地地形熟，常常位于不易发现的有利地形。设游击队占据区域R，由于乙军看不清楚甲军，只好向区域R射击，但并不知道杀伤情况。我们认为如下的假设是合理的：游击队x的战斗减员率应当与x(t)成正比，因为x(t)越大，目标越大，被敌方子弹命中的可能性越大；另一方面游击队x(t)的战斗减员率还与y(t)成正比，因为y(t)越大，火力越强，x的伤亡人数也就越大。因此游击队x的战斗减员率等于cx(t)y(t)，常数c称为敌方的战斗有效系数。如果f(t)和g(t)分别为游击队和正规部队增援率，那么游击队和正规部队的作战模型为(7)假设无增援f(t)和g(t)，那么(7)式为(8)积分(8)式得M>0：乙胜M=0:不分胜负图17.9x(t)M<0:甲胜图17.9x(t)y(t)(9)y(t)(9)式在x-y平面上定义了一族抛物线，如图17.9所示：如果M>0，那么正规部队胜，因为当y(t)减小到，部队x已经被消灭。同样，如M<0，那么游击队胜。三、游击战模型：0假设甲乙双方都是游击部队，那么双方都隐蔽在对方不易发现的区域内活动。由混合战局部的分析，得游击战数学模型0(10)其中f(t)和g(t)分别是甲军和乙军的增援率，常数c是乙军的战斗有效系数，常数d是甲军的战斗有效系数。如果甲乙双方增援率均为零，那么游击战数学模型为(11)y(t)(11)的解为(12)y(t)0L<0:X获胜图17.10线性解L=0:平局L>0:Y获胜x(t)0L<0:X获胜图17.10线性解L=0:平局L>0:Y获胜x(t)(12)式在x-y平面上定义了一族直线。如图17.10所示：如果m>0，那么乙方胜；如果m<0，那么甲方胜；如m=0那么双方战平。几点说明：在模型(3)中，如果a、b、f(t)和g(t)，那么可用显式求解。但在模型(7)中，因方程组是非线的，求解困难，可利用计算机求解。(2)事前确定战斗有效系数a、b、c和d的数值通常是不可能的，但是如果对已有的战役资料来确定a和b(或者c和d)的适当系数值，那么对于其他类似于同样条件下进行的战斗，a和b(或c和d)这些系数就可以认为是的了。因此，在以上意义下，兰彻斯特作战模型仍然具有普遍意义。J·H·Engel将第二次世界大战时美国和日本为争夺硫磺岛所进行的战斗资料进行分析，发现与兰彻斯特作战数学模型非常吻合，这就说明了兰彻斯特作战数学模型是能够用来描述实际战争的。下面介绍二战时期著名的硫磺岛战役：四、硫磺岛战役硫磺岛位于东京以南1062km，面积仅有20.7km，是日军的重要军事基地。美军想要夺取硫磺岛作为轰炸日本外乡时的轰炸机基地，而日本需要硫磺岛作为战斗机基地，以便攻击美国的轰炸机。美军从1945年2月19日开始进攻，剧烈的战斗持续了一个多月，双方伤亡十分沉重，日方守军21500人全部阵亡或被俘，美军投入兵力73000人，伤亡20265人，战争进行到28天时美军宣布占领该岛，实际战斗到36天才停止。美军有按天统计的战斗减员和增援情况的战地记录，日军没有后援，战地记录全部遗失。用x(t)和y(t)表示美军和日军在第七天的人数，在正规战模型(1)中加上初始条件，得(13)(14)由增援率和每天的伤亡人数可算出x(t),t=1,2,…,36(见图17.11中虚线)，将已有数据代入(13)式，算出x(t)的理论值并与实际值作一比拟。对方程(13)用求和代替积分得(15)(16)为估计b值在(17.41)式中取t=36，因为y(36)=0，且由x(t)的实际数据可得=2037000，于是从(16)式估计出b==0.0106，再把这个值代入(16)式即可算出y(t)，t=1，2，…，36．由(15)式估计a值，令t=36，得(17)其中分子为美军总的伤亡人数20265人，分母可由(16)算出的y(t)，得372500，由(17)式可解出，将a值代入(15)式得(18)由(18)式可算出美军人数x(t)的理论值．图17.11中用实线表示．与虚线表示的实际值比拟，吻合情况相当好。4812162024283236t700006600062000580005400050000实际值理论值4812162024283236t700006600062000580005400050000实际值理论值x(t)x(t)图图17.11美军兵力实际数据与理论结果的比拟习题17.41．方程组是正规部队对游击队作战的一个兰彻斯特数学模型，其中游击队y的非战斗减员率与y(t)成正比．〔1〕求方程组的轨线．〔2〕试问哪一方胜利．作战部队的非战斗减员率是指非战斗的原因〔如开小差、疾病等〕减员。问题：两军对垒，现甲军有m个士兵，乙军有n个士兵，试计算战斗过程中双方的死亡情