根据磁场强度基本练习题(含答案)

根据磁场强度基本练习题(含答案)1.一段直径为$d=60mm$的长直铜棒悬挂在垂直方向的磁场中，磁感应强度为$B=0.2T$，当铜棒下端和磁场垂直时，铜棒被放开后振动的周期为$T=3s$，求铜棒的导电率和铜棒下端受到的向上的电动势大小。解析：设直径为$d$，长度为$l$的直铜棒质量为$m$，单位长度电阻为$\rho$，则铜棒所受到的向上的感生电动势为$𝑈=𝐵𝑙𝑣$。铜棒在磁场中做简谐振动，周期为$𝑇$，则振动的角频率为$\omega=\dfrac{2\pi}{T}$。当电流强度为$I$时，铜棒所受到的安培力为$𝐹=𝐵𝑙𝐼$。因为铜棒振动的周期很大，铜棒的阻尼很小，所以铜棒在任意一时刻所受到的外力均为安培力。设铜棒下端往下偏移角度为$\theta$，则有如下运动方程：$$ml\ddot{\theta}=-\dfrac{\rhol}{\pi(\frac{d}{2})^2}Bl\dot{\theta}+BlI$$$$\ddot{\theta}+\dfrac{\pi\rho}{m(\frac{d}{2})^2}\dot{\theta}=\dfrac{B^2l^2}{m(\frac{d}{2})^2}$$因为阻尼很小，所以该方程的振动频率为$\omega'=\sqrt{\dfrac{B^2l^2}{m(\frac{d}{2})^2}}$。将$\omega$代入解方程得：$$\theta(t)=A\cos(\pit/T)\exp(-\dfrac{\pi\rho}{2m(\frac{d}{2})^2}t)$$又因为在$t=0$时，铜棒下端往下偏移的角度为$A$，所以$A=\dfrac{d}{2}$。根据铜棒振动的周期求得振动的频率为$\nu=\dfrac{1}{T}$，所以由$v=\omega'A$得到$$\dfrac{B^2l^2}{m(\frac{d}{2})^2}=\dfrac{2\piA}{T}\exp(\dfrac{\pi\rho}{2m(\frac{d}{2})^2}T)$$进一步可得到$$\sigma=\rho\dfrac{\pi}{4}(\dfrac{d}{2})^2=0.64\times10^{7}\mathrm{S/m}$$$$U=Blv=𝐵𝑙^2A\dfrac{2\pi}{T}\exp(-\dfrac{\pi\rho}{2m(\frac{d}{2})^2}T)=0.382V$$2.在正弦交变磁场$𝐵=𝐵_{0}\sin{\omegat}$的影响下，一圆盘状非磁性铜板沿圆盘轴线自由下落（1）求出圆盘失重时的下落速度；（2）当圆盘依靠其自身磁作用相对地面产生向下的牵引力时，它的下落速度是多少？解析：（1）圆盘失重时的重力为$0$，因此圆盘受到的合外力为：$$F=B_0^2\piR^2\sin^2\omegat$$圆盘下落的过程中，动能逐渐转化为热能和势能，所以圆盘受到的气体阻力和涡电流的阻力均等于圆盘所受的合外力。于是，圆盘所受阻碍其下落的合外力为：$$mg-F=mg-B_0^2\piR^2\sin^2\omegat$$因此，圆盘失重时的下落速度为：$$v_0=\sqrt{\dfrac{2mg}{\rho_{Cu}\piR^2}-\dfrac{2B_0^2}{\rho_{Cu}}\int_0^{\pi/\omega}\sin^2\omegat\,\mathrm{d}t}$$简化可得$v_0=\sqrt{\dfrac{mg}{\dfrac{1}{2}\rho_{Cu}\piR^2}}=\sqrt{\dfrac{2g}{\piR\rho_{Cu}}}$。（2）当圆盘依靠其自身磁作用相对地面产生向下的牵引力时，其向下牵引力为：$$F=\mu_0\dfrac{\piR^2}{2}\dfrac{\mathrm{d}B^2}{\mathrm{d}z}=\mu_0\dfrac{\piR^2}{2}\omega^2B_0^2\cos^2\omegat$$圆盘受力情况与失重时类似，所以圆盘下落的速度为：$$v=\sqrt{\dfrac{2mg}{\rho_{Cu}\piR^2}-\dfrac{\mu_0}{\rho_{Cu}}\int_0^{\pi/\omega}\dfrac{\piR^2}{2}\omega^2B_0^2\cos^2\omegat\,\mathrm{d}t}$$简化可得$v=\sqrt{\dfrac{m