（全国通用）中考数学总复习 专题12 二次函数的图象及性质（10个高频考点）（强化训练）（原卷版+解析）

专题12二次函数的图象及性质（10个高频考点）（强化训练）【考点1二次函数的定义】1．（2022·江苏淮安·统考一模）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（

）A．y=3x-1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2-2t+1 D．y=x2+12．（2022·山东济南·模拟预测）若y=m2+mxmA．−1 B．0 C．2 D．−1或23．（2022·四川成都·校联考模拟预测）定义：由a，b构造的二次函数y=ax2+a+bx+b叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数y=ax2+a+bx+b的“本源函数”（a，b为常数，且a≠0）．若一次函数4．（2022·浙江·模拟预测）无论a取什么实数，点Pa−1,2a2−4a+1都在二次函数y上，Q(m,n)是二次函数5．（2013·江苏徐州·统考一模）请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象同时满足下列条件：①开口向下；②当x【考点2二次函数的图象与性质】6．（2022·山东滨州·统考二模）抛物线y=12x2+12x的图象如图所示，点A1，A2，A3，A4…，A2022在抛物线第一象限的图象上，点B1，B2，B3，B4.．．，B2022在y轴的正半轴上，7．（2022·四川泸州·校考模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标xx…-10123…y…30-103…①抛物线y=ax②抛物线y=ax2+bx+c③方程ax2+bx+c=0④当y>0时，x的取值范围是x<0或x>2．以上结论中，其中正确的有______．8．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A−1,0，B3,0两点，与y(1)求该抛物线的解析式；(2)连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是______．注：抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴是直线9．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+4ax+b．(1)求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，(−1，e)，(−3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；(3)点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当−2≤m≤1时，n的取值范围是−1≤n≤1，求二次函数的表达式．10．（2022·河北·统考中考真题）如图，点Pa,3在抛物线C：y=4−6−x2(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y=−【考点3二次函数的图象与系数的关系】11．（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x=−1，有以下结论：①abc<0；②若t为任意实数，则有a−bt≤at2+b；③当图象经过点(1,3)时，方程ax2+bx+c−3=0的两根为xA．0 B．1 C．2 D．312．（2022·四川广元·统考中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣12，y2）、点C（72，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（A．5个 B．4个 C．3个 D．2个13．（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x=−1，直线y=kx+c与抛物线都经过点(−3,0)，下列说法：①ab>0；②4a+c>0；③−2,y1与12,y2是抛物线上的两个点，则y1<yA．2 B．3 C．4 D．514．（2022·四川达州·统考中考真题）二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，与y轴交于(0,−1)，对称轴为直线x=1．以下结论：①abc>0；②a>13；③对于任意实数m，都有m(am+b)>a+b成立；④若(−2,y1)，(12,y2A．2 B．3 C．4 D．515．（2022·湖北武汉·统考中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A−1,0，①b>0；②若m=32，则③若点Mx1,y1，Nx2④当a≤−1时，关于x的一元二次方程ax其中正确的是_________（填写序号）．【考点4二次函数的对称性】16．（2022·广东广州·校考模拟预测）已知，二次函数f（x）=ax2+bx+c的部分对应值如下表，则f（-2）=______．x-2-1012345y0-3-4-3051217．（2022·浙江杭州·校考三模）已知二次函数y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1＜x2，若x1+x2＝4，当x＝0时，y＞0，当x＝3时，y＜0，且m＜x2＜n（m，n为相邻整数），则m+n＝___．18．（2022·江苏南京·统考二模）已知点−2,m、2,p和4,q在二次函数y=ax2+bxa<0的图像上．若pq<0，则p，19．（2022·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点(1,m),(3,n)在抛物线y=ax2(1)当c=2,m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；(2)点(x0,m)(x0≠1)在抛物线上，若20．（2022·北京西城·校考模拟预测）已知抛物线y=x(1)求此抛物线的顶点的坐标；(2)若直线y=n与该抛物线交于点A、B，且AB=4，求n的值；(3)若这条抛物线经过点P(2m+1,y1)，Q(2m−t,y2【考点5二次函数的最值】21．（2022·贵州黔西·校考一模）平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y=ax2+bx+c(a<a<12)过点A(1,c−5a)，B(x1,3)，C(x2,3)．顶点D不在第一象限，线段BC上有一点E，设△(1)用含a的式子表示b；(2)求点E的坐标：(3)若直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为6a+3，求y=ax2+bx+c22．（2022·浙江宁波·校考一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(2，0),(4(1)求该二次函数的解析式；(2)点x，①当y=32时，求②当m≤x≤m+2时，y的最小值为−12，求23．（2022·河南郑州·统考一模）已知，二次函数y=ax2+bx−3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，点A的坐标为−1,0(1)求二次函数的解析式；(2)当0≤x≤4时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？(3)设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO24．（2022·山东临沂·统考二模）如图，直线l:y=−m与y轴交于点A，直线a:y=x+m与y轴交于点B，抛物线y=x2+mx的顶点为C，且与x轴左交点为D(1)当AB=12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小；(2)当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；(3)若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m=2022时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．25．（2022·山东滨州·统考模拟预测）如图，直线l:y=−m与y轴交于点A，直线a:y=x+m与y轴交于点B，抛物线y=x2+mx的顶点为C，且与x轴左交点为D（1）当AB=12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小；（2）当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m=2021时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．【考点6待定系数法求二次函数的解析式】26．（2022·山东济南·统考中考真题）抛物线y=ax2+114x−6与x轴交于At,0，B8,0两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点(1)求抛物线的表达式和t，k的值；(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+127．（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1．(1)求抛物线的解析式；(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．28．（2022·四川广安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．29．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与探究如图，某一次函数与二次函数y=x2+mx+n的图象交点为A(1)求抛物线的解析式；(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为；(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；(4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．30．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图（1），二次函数y=−x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为3,0，点C的坐标为0,3，直线l经过B(1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标；(2)点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当PM=12MN(3)如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ=3PQ，连接DQ，当3AP＋4DQ的值最小时，直接写出【考点7二次函数图象的平移】31．（2022·广西玉林·统考中考真题）小嘉说：将二次函数y=x2的图象平移或翻折后经过点①向右平移2个单位长度

②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度③向下平移4个单位长度

④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度你认为小嘉说的方法中正确的个数有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个32．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数y=x−12+1A．y=x−22−1C．y=x2+133．（2022·山东枣庄·统考中考真题）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的关系式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．34．（2022·江苏常州·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+3的自变量xx…−10123…y…430−5−12…(1)求二次函数y=ax(2)将二次函数y=ax2+bx+3的图像向右平移k(k>0)个单位，得到二次函数y=mx2+nx+q的图像，使得当−1<x<3时，y随x增大而增大；当4<x<5时，y随x增大而减小，请写出一个符合条件的二次函数(3)A、B、C是二次函数y=ax2+bx+3的图像上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A35．（2022·湖北恩施·统考中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=−x2+c与y(1)直接写出抛物线的解析式．(2)如图，将抛物线y=−x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C(3)直线BC与抛物线y=−x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC(4)若将抛物线y=−x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC【考点8二次函数与一元二次方程】36．（2022·山东青岛·统考中考真题）已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．(1)求m的值；(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．37．（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）已知二次函数y=x2+bx+m图像的对称轴为直线x=2．将二次函数y=x2+bx+m图像中(1)求b的值；(2)①当m<0时，图像C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当△MNP为直角三角形时，求m的值；②在①的条件下，当图像C中−4≤y<0时，结合图像求x的取值范围；(3)已知两点A(−1,−1),B(5,−1)，当线段AB与图像C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．38．（2022·湖北武汉·统考中考真题）抛物线y=x2−2x−3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y(1)直接写出A，B两点的坐标；(2)如图（1），当OP=OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；(3)如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．求FPOP的值（用含m39．（2022·云南·中考真题）已知抛物线y=−x2−3x+c经过点（0，2），且与x轴交于A、B两点．设k是抛物线y=−x2−3x+c与x轴交点的横坐标；M是抛物线y=−x2−3x+c(1)求c的值；(2)直接写出T的值；(3)求k440．（2022·四川自贡·统考中考真题）已知二次函数y=ax(1)若a=−1，且函数图象经过0,3，2,−5两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶点的坐标；(2)在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取值范围；(3)若a+b+c=0且a>b>c，一元二次方程ax2+bx+c=0两根之差等于a−c，函数图象经过P12【考点9利用二次函数的图象确定一元二次方程的近似根】41．（2022·江苏扬州·校考一模）根据下面表格中的对应值：x3.233.243.253.26ax2＋bx＋c－0.06－0.020.030.09判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（

）A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.2642．（2022·四川眉山·一模）根据表格对应值：x1.11.21.31.4ax2+bx+c-0.590.842.293.76判断关于x的方程ax2+bx+c=0a≠0的一个解A．1.1<x<1.2 B．1.2<x<1.3 C．1.3<x<1.4 D．无法判定43．（2022·湖北武汉·校考三模）方程x2+3x﹣1＝0的根可视为函数y＝x+3的图象与函数y＝1x的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x3+x﹣1＝0的实根x0A．﹣1<x0<0 B．0<x0<44．（2022·陕西西安·统考中考模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的xx−3−2−10123y111−1−115且方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2A．x=−2，y=5 B．1<C．当x1<x<x2时，y>0 D．当45．（2022·山西·校联考三模）阅读与思考．小明在九年级总复习阶段，针对“求一元二次方程的解”整理得出以下几种方法，请仔细阅读并完成相应的任务：九年级总复习笔记专题：一元二次方程解法归纳时间：2021年3月×日引例：求一元二次方程x2方法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法）求解．解方程：x2【解析】解：……公式法：……配方法：……方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解，如图所示，把方程x2−2x−3=0的解看作是一个二次函数的图象与x轴交点的横坐标．由图1可知该方程的近似解为方法三：将方程x2−2x−3=0移项可得x2=2x+3，此时原方程的解就是二次函数任务：（1）选择一种合适的方法（公式法、配方法）解方程；（2）根据“方法二”的思路，直接写出图1中对应的二次函数表达式为_______；（3）参照“方法三”的思路，求解一元二次方程x2【考点10二次函数与不等式】46．（2022·浙江宁波·校考三模）已知抛物线y1=x2+bx+c与一次函数y(1)根据图象直接写出，当y1⩾y2时，(2)将抛物线y147．（2022·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考三模）自主学习，请阅读下列解题过程．（1）【问题探究】解一元二次不等式：x2解：设x2−4x=0，解得：x1=0，x2=4，则抛物线y=x2−4x与x轴的交点坐标为（0，0）和（4，0）．画出二次函数y=x2−4x的大致图像（如图所示），由图像可知：当x<0或x>4时函数图像位于（2）【知识理解】通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：a．请归纳得到上述解一元二次不等式的基本步骤为．（按先后顺序填序号）①解一元二次方程，并画出大致图像②将一元二次不等式转化为相应的一元二次方程③利用数形结合求解一元二次不等式b．一元二次不等式x2−4x<0的解集为（3）【知识应用】用类似的方法解一元二次不等式：x2（4）【拓展延伸】直接写出一元二次不等式组−6<x48．（2022·江苏盐城·景山中学校考三模）阅读感悟：“数形结合”是一种重要的数学思想方法，同一个问题有“数”、“形”两方面的特性，解决数学问题，有的从“数”入手简单，有的从“形”入手简单，因此，可能“数”→“形”或“形”→“数”，有的问题需要经过几次转化．这对于初、高中数学的解题都很有效，应用广泛．解决问题：已知，点M为二次函数y=−x2+2bx−b2+4b+1图象的顶点，直线y=mx+5分别交x轴正半轴和(1)判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由；(2)如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5>−x2+2bx−(3)如图2，点A坐标为5,0，点M在△AOB内，若点C14,y1，D49．（2022·吉林长春·统考二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．(1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；(2)将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（x1，y1），N（x2，y2）为图形G上任意两点．①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；②若对于x1＝m﹣1，x2＝m+1，都有y1＞y2，求m的取值范围；(3)当图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时，直接写出m的取值范围．50．（2022·辽宁沈阳·统考二模）如图，抛物线y=−x2+mx与直线y＝x＋n交于点A(1)求m和n的值；(2)求点B的坐标；(3)结合图象请直接写出不等式−x(4)点P是直线AB上的一个动点，将点P向左平移5个单位长度得到点Q，若线段PQ与抛物线只有一个公共点，直接写出点P的横坐标xP的取值范围．专题12二次函数的图象及性质（10个高频考点）（强化训练）【考点1二次函数的定义】1．（2022·江苏淮安·统考一模）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（

）A．y=3x-1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2-2t+1 D．y=x2+1【答案】C【分析】根据二次函数的定义求解即可．【详解】解：A、y=3x-1是一次函数，不是二次函数，不符合题意；B、y=ax2+bx+c，当a=0时，不是二次函数，不符合题意；C、s=2t2-2t+1是二次函数，符合题意；D、y=x2+1x中1x不是整式，故y=x2+故选：C．【点睛】此题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．二次函数定义：一般地，把形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x2．（2022·山东济南·模拟预测）若y=m2+mxmA．−1 B．0 C．2 D．−1或2【答案】C【分析】根据二次函数的定义求解即可，形如y=ax【详解】解：y=m2+mx由m2−m=2可得m=2或由m2+m≠0可得m≠0，综上m=2故答案为：C【点睛】此题考查了二次函数的定义，涉及了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握二次函数的定义．3．（2022·四川成都·校联考模拟预测）定义：由a，b构造的二次函数y=ax2+a+bx+b叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数y=ax2+a+bx+b的“本源函数”（a，b为常数，且a≠0）．若一次函数【答案】y=【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数y=ax【详解】解：由题意得﹣解得a∴函数y=ax2−3x+a+1故答案为：y=﹣【点睛】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”．4．（2022·浙江·模拟预测）无论a取什么实数，点Pa−1,2a2−4a+1都在二次函数y上，Q(m,n)是二次函数【答案】3【分析】由题意可知y=2x2-1，首先把点Q（m，n）代入二次函数y=2x2-1解析式，代入得出，关于m，n的等式进一步整理得出答案即可．【详解】解：由题意得，当x=a-1时，y=2a2-4a+1=2（a-1）2-1，∴可得：y=2x2-1，∵Q（m，n）是二次函数y=2x2-1上的点，∴2m2-1=n，∴2m2-n=1，所以4m2-2n+1=2（2m2-n）+1=3．故答案为：3．【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特点，注意适合解析式的点在图象上，在图象上的点都适合二次函数．5．（2013·江苏徐州·统考一模）请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象同时满足下列条件：①开口向下；②当x【答案】答案不唯一，只要满足b＝－4a，a＜0即可，如y＝－x2＋4x＋3，y＝－2x2＋8x－3等．【详解】试题分析：仔细分析题中要求根据二次函数的性质即可得到结果.答案不唯一，如y＝－(x＋1)2或y＝－(x＋1)2－2．考点：二次函数的性质点评：二次函数的性质是初中数学的重点，是中考必考题，一般难度不大，需熟练掌握.【考点2二次函数的图象与性质】6．（2022·山东滨州·统考二模）抛物线y=12x2+12x的图象如图所示，点A1，A2，A3，A4…，A2022在抛物线第一象限的图象上，点B1，B2，B3，B4.．．，B2022在y轴的正半轴上，【答案】2022【分析】先设第一个等腰直角三角形的直角边长为x，表示出点A1的坐标，代入二次函数的解析式，求出x；设第二个等腰直角三角形的直角边长为m，表示出A2的坐标，代入二次函数的解析式，求出m，同理求出第2022个等腰直角三角形的直角边长，即可求出斜边．【详解】解：设A1B1=x，∵△OA1B1

是等腰直角三角形，∴OB1=x，则A1的坐标为（x，x），代入二次函数y=12x2+12得x=12x2+12解得x=1或x=0（舍），设A2B2=m，∵△B1A2B2腰是等腰直角三角形，∴B1B2=m，∴A2的坐标为（m，1+m），代入二次函数y=12x2+12得12m2+12m＝1+解得m=2或m=-1（舍），同理可求出A3B3=3，A4B4=4，∴B2022A2022=2022，根据勾股定理，得B2021A2022=20222故答案为：20222【点睛】本题考查了二次函数图象与规律综合题，利用等腰直角三角形的性质和二次函数的点坐标特征是解决本题的关键．7．（2022·四川泸州·校考模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标xx…-10123…y…30-103…①抛物线y=ax②抛物线y=ax2+bx+c③方程ax2+bx+c=0④当y>0时，x的取值范围是x<0或x>2．以上结论中，其中正确的有______．【答案】②③④【分析】从表格可以看出，函数的对称轴是直线x=1，顶点坐标为1，−1，函数与x轴的交点为【详解】从表格可以看出，函数的对称轴是直线x=1，顶点坐标为1，−1，函数与x轴的交点为①抛物线y=ax②抛物y=ax2+bx+c③方程ax2+bx+c=0④当y>0时，x的取值范围是x<0或x>2，正确．故答案为：②③④．【点睛】本题考查的是二次函数的基本性质，涉及函数与坐标轴的交点、对称轴等，此类表格题目通常先确定函数的对称轴．8．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A−1,0，B3,0两点，与y(1)求该抛物线的解析式；(2)连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是______．注：抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴是直线【答案】(1)y=−(2)5【分析】（1）根据点A,B的坐标，利用待定系数法即可得；（2）先根据抛物线的解析式求出点C,D的坐标，再利用中点坐标公式可得点P的坐标，然后利用两点之间的距离公式即可得．【详解】（1）解：将点A−1,0,B3,0代入y=−解得b=2c=3则该抛物线的解析式为y=−x（2）解：抛物线y=−x2+2x+3=−当x=0时，y=3，即C(0,3)，∵P为BD的中点，且B3,0∴P(1+32,∴CP=(2−0)故答案为：5．【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、两点之间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解题关键．9．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+4ax+b．(1)求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，(−1，e)，(−3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；(3)点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当−2≤m≤1时，n的取值范围是−1≤n≤1，求二次函数的表达式．【答案】(1)二次函数图象的顶点坐标为(-2，b-4a)；(2)当a<0时，e=f>c>d；当a>0时，e=f<c<d；理由见解析(3)二次函数的表达式为y=29x2+89x-19或y=−29x【分析】（1）利用配方法即可求解；（2）由对称轴为直线x=-2，AB=6，得到A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(1，0)，画出草图，分两种情况，利用数形结合求解即可；（3）分两种情况，利用数形结合求解即可．（1）解：∵y=ax2+4ax+b=a(x2+4x+4-4)+b=a(x+2)2+b-4a，∴二次函数图象的顶点坐标为(-2，b-4a)；（2）解：由（1）知二次函数的图象的对称轴为直线x=-2，又∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，∴A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(1，0)，当a<0时，画出草图如图：∴e=f>c>d；当a>0时，画出草图如图：∴e=f<c<d；（3）解：∵点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当a<0时，根据题意：当m=-2时，函数有最大值为1，当m=1时，函数值为-1，即b−4a=1a+4a+b=−1，解得：a=−∴二次函数的表达式为y=−29x2−89当a>0时，根据题意：当m=-2时，函数有最小值为-1，当m=1时，函数值为1，即b−4a=−1a+4a+b=1，解得：a=∴二次函数的表达式为y=29x2+89x综上，二次函数的表达式为y=29x2+89x-19或y=−29x【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式等知识和方法，解第（2）（3）题时应注意分类讨论，求出所有符合条件的结果．10．（2022·河北·统考中考真题）如图，点Pa,3在抛物线C：y=4−6−x2(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y=−【答案】(1)对称轴为直线x=6，y的最大值为4，a=7(2)5【分析】（1）由y=a(x−ℎ)2+k的性质得开口方向，对称轴和最值，把Pa,3代入（2）由y=−x2+6x−9=−(x−3)2，得出抛物线y=−x2【详解】（1）y=4−6−x∴对称轴为直线x=6，∵−1<0，∴抛物线开口向下，有最大值，即y的最大值为4，把Pa,3代入y=4−4−(6−a)解得：a=5或a=7，∵点Pa,3在C∴a=7；（2）∵y=−x∴y=−(x−3)2是由平移距离为32∴P′【点睛】本题考查二次函数y=a(x−ℎ)2+k【考点3二次函数的图象与系数的关系】11．（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x=−1，有以下结论：①abc<0；②若t为任意实数，则有a−bt≤at2+b；③当图象经过点(1,3)时，方程ax2+bx+c−3=0的两根为xA．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b=2a>0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用二次函数当x=-1时有最小值可对②进行判断；由于二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3的一个交点为（1，3），利用对称性得到二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3的另一个交点为（-3，3），从而得到x1=-3，【详解】∵抛物线开口向上，∴a>0，∵抛物线的对称轴为直线x=−1，即x=−b∴b=2a>0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c<0，∴abc<0，所以①正确；∵x=−1时，y有最小值，∴a−b+c≤at2+bt+c（t∵图象经过点(1,3)时，代入解析式可得c=3−3a，方程ax2+bx+c−3=0可化为ax2+2ax−3a=0，消∵抛物线的对称轴为直线x=−1，∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3x1=−3，x2所以③正确．综上所述，正确的个数是3．故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．12．（2022·四川广元·统考中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣12，y2）、点C（72，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】C【分析】由图象可知a<0,c>0，对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为−1,0，然后可得b=−4a>0,a−b+c=0，则有c=−5a，进而可判断（1）（2）（3），最后根据函数的性质可进行判断（4）（5）．【详解】解：由图象及题意得：a<0,c>0，对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为−1,0，∴b=−4a>0,a−b+c=0，∴a+4a+c=0，即c=−5a，∴abc<0,3b−2c=3×−4a由图象可知当x=-2时，则有4a−2b+c<0，即4a+c<2b，故（2）错误；∵点A（﹣2，y1）、点B（﹣12，y2）、点C（72，y∴根据二次函数开口向下，离对称轴的距离越近，其所对应的函数值越大，∴y3由图象可知当x=2时，该函数有最大值，最大值为y=4a+2b+c，∴当x=m时，（m为常数），则有y=am∴4a+2b+c≥am2+bm+c综上所述：正确的有（1）（3）（5）共3个；故选C．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．13．（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x=−1，直线y=kx+c与抛物线都经过点(−3,0)，下列说法：①ab>0；②4a+c>0；③−2,y1与12,y2是抛物线上的两个点，则y1<yA．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】抛物线的对称轴为直线x=−1，开口向下，可得a<0，b=2a<0，故①正确；根据抛物线过点(−3,0)，可得9a−3b+c=0，从而得到3a+c=0，故②错误；由抛物线的对称轴为直线x=−1，开口向下，可得当x>−1时，y随x的增大而减小，−2,y1关于对称轴的对称点为0,y1，可得到y1>y2，故③错误；令y=0，则ax2+bx+c=0解得：x1=−3,【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=−1，开口向下，∴a<0,−b∴b=2a<0，∴ab>0，故①正确；∵抛物线过点(−3,0)，∴9a−3b+c=0，∵b=2a，∴9a−3×2a+c=0，即3a+c=0，∵a<0，∴4a+c=a<0，故②错误；∵抛物线的对称轴为直线x=−1，开口向下，∴当x>−1时，y随x的增大而减小，−2,y1关于对称轴的对称点为∵−1<0<1∴y1令y=0，则a解得：x1∴方程ax2+bx+c=0y=ax∵a<0，∴当x=−b−k2a时，函数∵直线经过点(−3,0)，∴−3k+c=0，即k=1∵3a+c=0，∴c=−3a，∴k=−a，∵b=2a，∴x=−b−k∴当x=−32时，函数∴正确的有2个．故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图形和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，一次函数的图形和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．14．（2022·四川达州·统考中考真题）二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，与y轴交于(0,−1)，对称轴为直线x=1．以下结论：①abc>0；②a>13；③对于任意实数m，都有m(am+b)>a+b成立；④若(−2,y1)，(12,y2A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据图象可判断a>0,c=−1,b<0，即可判断①正确；令y=ax2−2ax−1=0，解得x=2a±4a2【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴交于(0,−1)∴a>0,c=−1,−b∴b=−2a<0，∴abc>0，故①正确；令y=ax解得x=2a±由图得，−1<1−a解得a>1∵b=−2a，∴m(am+b)>a+b可化为m(am−2a)>a−2a，即m(m−2)>−1，∴(m−1)若m(am+b)>a+b成立，则m≠1，故③错误；当x<1时，y随x的增大而减小，∵−2<1∴y∵对称轴为直线x=1，∴x=2时与x=0时所对应的y值相等，∴yax2+bx+c=k（则ax2+bx+c=k（根据抛物线的对称性可知，当有3个或4个交点时，ax2+bx+c=k（当有2个交点时，即k=0时，ax2+bx+c=k（故⑤错误；综上，正确的个数为2，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，一元二次方程求根公式，根与系数的关系等，熟练掌握知识点，能够运用数形结合的思想是解题的关键．15．（2022·湖北武汉·统考中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A−1,0，①b>0；②若m=32，则③若点Mx1,y1，Nx2④当a≤−1时，关于x的一元二次方程ax其中正确的是_________（填写序号）．【答案】①③④【分析】首先判断对称轴x=−b2a＞0，再由抛物线的开口方向判断①；由抛物线经过A（-1，0），Bm,0，当m=32时，y=ax+1x−32，求出c=−32a，再代入3a+2c判断②，抛物线y=ax2+bx+c=ax+1x−m=ax2+a1−mx−am，由点M【详解】解：∵抛物线过A−1,0，Bm,0两点，且∴x=−b∵

1<m<2，∴0<−1+m2<∵抛物线开口向下，a<0，∴b＞若m=32，则∴c=−3∴3a+2c=3a+2×−∵抛物线y=ax2+bx+c=ax+1x−m∴y1=ax12∵a<0,x1<x2∴x∴y∴y依题意，将方程ax2+bx+c=1写成a（x-m）（x∴Δ∵1<m<2，a≤−1，∴4<m+12<9∴m+12+综上所述，①③④正确．故答案为；①③④．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．【考点4二次函数的对称性】16．（2022·广东广州·校考模拟预测）已知，二次函数f（x）=ax2+bx+c的部分对应值如下表，则f（-2）=______．x-2-1012345y0-3-4-30512【答案】5【分析】根据二次函数的对称性结合图表数据可知，x＝−2时的函数值与x＝4时的函数值相同．【详解】由图表数据可知，抛物线的对称轴为：x=1∴f−2故答案为5．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，理解图表并准确获取信息是解题的关键．17．（2022·浙江杭州·校考三模）已知二次函数y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1＜x2，若x1+x2＝4，当x＝0时，y＞0，当x＝3时，y＜0，且m＜x2＜n（m，n为相邻整数），则m+n＝___．【答案】7【分析】求出该函数的对称轴为直线x＝2，根据二次函数的对称性可知x＝4时，y＞0，再根据x＝3时，y＜0，可得3＜x2【详解】解：由题意得：该函数的对称轴为直线x＝12（x∵x＝0时，y＞0，∴根据二次函数的对称性可得x＝4时，y＞0，∵当x＝3时，y＜0，∴3＜x2∵m＜x2＜n（m，n∴m＝3，n＝4，∴m+n＝7，故答案为：7．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．18．（2022·江苏南京·统考二模）已知点−2,m、2,p和4,q在二次函数y=ax2+bxa<0的图像上．若pq<0，则p，【答案】m<q<p【分析】根据题意，判断出抛物线的位置，画出图形，可得结论．【详解】解：∵A（−2，m）、B（2，p）和C（4，q）在二次函数y=ax2+bx（a＜0）的图象上．且pq＜0，∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，且对称轴直线x=a（1＜a＜2），如图所示，观察图象可知：m＜q＜p．故答案为：m＜q＜p．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．19．（2022·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点(1,m),(3,n)在抛物线y=ax2(1)当c=2,m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；(2)点(x0,m)(x0≠1)在抛物线上，若【答案】(1)（0，2）；2(2)t的取值范围为32<t<2，x【分析】（1）当x=0时，y=2，可得抛物线与y轴交点的坐标；再根据题意可得点(1,m),(3,n)关于对称轴为x=t对称，可得t的值，即可求解；（2）抛物线与y轴交点关于对称轴x=t的对称点坐标为（2t，c），根据抛物线的图象和性质可得当x≤t时，y随x的增大而减小，当x>t时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点(1,m)，点(3,n)，点（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点(1,m)在对称轴的左侧，点(3,n)，（2t，c）均在对称轴的右侧时，即可求解．【详解】（1）解：当c=2时，y=ax∴当x=0时，y=2，∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；∵m=n，∴点(1,m),(3,n)关于对称轴x=t对称，∴t=1+3（2）解：当x=0时，y=c，∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），∴抛物线与y轴交点关于对称轴x=t的对称点坐标为（2t，c），∵a>0，∴当x≤t时，y随x的增大而减小，当x>t时，y随x的增大而增大，当点(1,m)，点(3,n)，（2t，c）均在对称轴的右侧时，t<1，∵m<n<c,1＜3，∴2t＞3，即t>3当点(1,m)在对称轴的左侧，点(3,n)，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点(x0,m)此时点(3,n)到对称轴x=t的距离大于点(1,m)到对称轴x=t的距离，∴t−1<3−t，解得：t<2，∵m<n<c,1＜3，∴2t＞3，即t>3∴32∵(x0,m)，(1,m)∴t=x∴32<x∴t的取值范围为32<t<2，x0【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．20．（2022·北京西城·校考模拟预测）已知抛物线y=x(1)求此抛物线的顶点的坐标；(2)若直线y=n与该抛物线交于点A、B，且AB=4，求n的值；(3)若这条抛物线经过点P(2m+1,y1)，Q(2m−t,y2【答案】(1)(2m,−1)(2)3(3)t<−1或t>1【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解；（2）由二次函数的对称性及AB=4可得点A，B坐标，进而求解；（3）由点P坐标及抛物线对称轴可得点P关于对称轴的对称点P'的坐标，由抛物线开口向上和点P(2m+1,y（1）解：∵y=x∴抛物线的顶点坐标为(2m,−1)；（2）解：∵点A，B关于抛物线对称轴对称，AB=4，对称轴为直线x=2m，∴抛物线经过(2m+2,n)，(2m−2,n)，将(2m+2,n)代入y=(x−2m)2−1（3）解：点P(2m+1,y1)关于抛物线对称轴的对称点P'∵a=1>0，∴抛物线开口向上，∵点P(2m+1,y∴当2m+1<2m−t或2m−t<2m−1时，有y1解得t<−1或t>1．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与不等式的关系．【考点5二次函数的最值】21．（2022·贵州黔西·校考一模）平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y=ax2+bx+c(a<a<12)过点A(1,c−5a)，B(x1,3)，C(x2,3)．顶点D不在第一象限，线段BC上有一点E，设△(1)用含a的式子表示b；(2)求点E的坐标：(3)若直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为6a+3，求y=ax2+bx+c【答案】(1)b=−6a(2)(72(3)0≤y<9a【分析】（1）把点A的坐标代入解析式即可得到a、b的数量关系；（2）根据S1=S2+32，得到BE=CE+1，由b=−6a（3）由题干条件表示出D、F的坐标从而表示出DF的解析式，然后判断E点的坐标为(72,3)，表示出直线DE的解析式，再由DE、DF【详解】（1）解：∵抛物线G：y=ax2∴c−5a=a+b+c∴b=−6a（2）解：如图，设BC的中点为M∵B(x1,3)，C(x∴S1=∵S∴3∴BE=CE+1∵b=−6a∴抛物线G：y=a∴对称轴为x=∴BC的中点M坐标为(3,3)∵BE=BM+EM，CE=CM−EM，BM=CM，BE=CE+1∴EM=∴点E为(72（3）解：∵直线DE与抛物线G：y=ax2−6ax+c的另一个交点∴y=a∴点F(∵点D是抛物线的顶点∴点D(3,−9a+c)∴直线DF的解析式为：y=6x−18+c−9a∴点E坐标为(又∵点D(3,−9a+c)∴直线DE解析式为：y=(6+18a−2c)x+7c−63a−18∵直线DE与直线DF是同一直线∴6=6+18a−2c∴c=9a∴抛物线解析式为：y=a∵1<x<6∴当x=3时，ymin=0，当x=6∴0≤y<9a【点睛】本题考查了二次函数综合，掌握二次函数相关知识点并能灵活运用是解决本题的关键．22．（2022·浙江宁波·校考一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(2，0),(4(1)求该二次函数的解析式；(2)点x，①当y=32时，求②当m≤x≤m+2时，y的最小值为−12，求【答案】(1)该二次函数的解析式为y=1(2)①x的值为1或5；②1≤m≤3【分析】（1）利用待定系数法求得即可；（2）①把y=32代入，即可求得；②把二次函数解析式化为顶点式，求得函数的最小值为−12，所以【详解】（1）设二次函数的解析式为y=ax−2把点0,4代入得4=8a，解得a=1∴y=1∴该二次函数的解析式为y=1（2）①y=32时，则解得x1=1，故x的值为1或5；②y=∴当x=3时，函数有最小值−1∴当m≤3≤m+2时，即1≤m≤3时，y有最小值−1故m的取值范围是1≤m≤3．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．23．（2022·河南郑州·统考一模）已知，二次函数y=ax2+bx−3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，点A的坐标为−1,0(1)求二次函数的解析式；(2)当0≤x≤4时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？(3)设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO【答案】(1)y(2)函数的最大值为5，最小值为−4(3)存在，P(0,−9)或P(0,−【分析】（1）先求出点C的坐标，得到点B的坐标，再将点A、B的坐标代入解析式计算即可；（2）将函数解析式化为顶点式，根据函数的性质解答即可；（3）存在点P，设P0,m，根据相似三角形对应边成比例列得PCPO=【详解】（1）∵二次函数y=ax2+bx−3的图象与y轴交于C∵OB=OC，点A在点B的左边，∴B3,0又∵点A的坐标为−1,0，由题意可得：0=9a+3b−30=a−b−3，解得：a=1∴二次函数的解析式为y=（2）∵y=x2∴当x=1时，y最小值∵当0≤x≤1时，y随着x的增大而减小，∴当x=0时，y最大值∵当1<x≤4时，y随着x的增大而增大，∴当x=4时，y最大值∴当0≤x≤4时，函数的最大值为5，最小值为−4．（3）存在点P，如图，设P0,m∵CC′∥OB，且PC∴PCPO=解得：m=−9或m=−9∴P0,−9或P【点睛】此题考查了二次函数与图形问题，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，相似三角形的性质，二次函数的最值，正确掌握二次函数的综合知识是解题的关键．24．（2022·山东临沂·统考二模）如图，直线l:y=−m与y轴交于点A，直线a:y=x+m与y轴交于点B，抛物线y=x2+mx的顶点为C，且与x轴左交点为D(1)当AB=12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小；(2)当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；(3)若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m=2022时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．【答案】(1)P（−3，3

）(2)点C与l距离的最大值为1；(3)m＝2022时“整点”的个数为4046个．【分析】（1）由题意求出m＝6，得出抛物线L的解析式为y＝x2＋6x，当B、P、D三共线时，△OBP周长最短，此时点P为直线a与对称轴的交点，则可求出答案；（2）求出L的顶点C(−m2，−m（3）联立两个解析式得出y＝x2＋2022xy＝（1）解：当x＝0时，y＝x＋m＝m，∴B（0，m），∵AB＝12，∵A（0，−m），∴m−（−m）＝12，∴m＝6，∴抛物线L的解析式为：y＝x2＋6x，∴抛物线L的对称轴x＝−3，又知O、D两点关于对称轴对称，则OP＝DP，∴OB＋OP＋PB＝OB＋DP＋PB，∴当B、P、D三共线时，△OBP周长最短，此时点P为直线a与对称轴的交点，当x＝−3时，y＝x＋6＝3，∴P（−3，3）（2）解：y=x2+mx=(x＋m2)2−m24，∴L的顶点C(−m2，−m24)，∵点C在l上方，∴C与l的距离＝−m24−(−m（3）解：当m＝2021时，抛物线解析式L：y＝x2＋2022x，直线解析式a：y＝x＋2022，联立上述两个解析式得方程组y＝x2＋2022xy＝x＋2022，可得：x1【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征；熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用轴对称求最短距离解题是关键．25．（2022·山东滨州·统考模拟预测）如图，直线l:y=−m与y轴交于点A，直线a:y=x+m与y轴交于点B，抛物线y=x2+mx的顶点为C，且与x轴左交点为D（1）当AB=12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小；（2）当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m=2021时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．【答案】（1）−3,3；（2）1；（3）4044个【分析】（1）先求出点B坐标，B的纵坐标减去A的纵坐标等于12求出m值，再求出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性和两点之间线段最短知，当B、P、D三点共线时△OBP周长最短，此时点P为直线a与对称轴的交点，进而求解即可；（2）先求出抛物线的顶点C坐标−m2,−m24，由（3）先求出抛物线与直线a的交点的横坐标，根据每一个整数x的值都对应的一个整数y值，结合边界由线段和抛物线组成求解即可．【详解】解：（1）当x=0时，y=x+m=m，∴B(0,m)，∵AB=12，而A(0,−m)，∴m−(−m)=12，∴m=6，∴抛物线L的解析式为：y=x∴L的对称轴x=−3，又知O、D两点关于对称轴对称，则OP=DP∴OB+OP+PB=OB+DP+PB∴当B、P、D三点共线时△OBP周长最短，此时点P为直线a与对称轴的交点，当x=−3时，y=x+6=3，∴P(−3,3)；（2）y=x+∴L的顶点C−∵点C在l上方，∴C与l的距离=−m∴点C与l距离的最大值为1；（3）当m=2021时，抛物线解析式L:y=直线解析式a:y=x+2021联立上述两个解析式y=x2+2021xy=x+2021∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且-2021和1之间（包括-2021和1）共有2023个整数；∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2023个整数点，∴总计4046个点∵这两段图象交点有2个点重复，∴“整点”的个数：4046−2=4044（个）；故m=2021时“整点”的个数为4044个．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、图形与坐标、最短路径问题、二次函数的最值、两函数图象的交点问题、解二元一次方程组等问题，综合性强，难度适中，解答的关键是读懂题意，找寻相关知识的关联点，利用数形结合思想解决问题．【考点6待定系数法求二次函数的解析式】26．（2022·山东济南·统考中考真题）抛物线y=ax2+114x−6与x轴交于At,0，B8,0两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点(1)求抛物线的表达式和t，k的值；(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+1【答案】(1)，y=−14x2(2)点P(3)169【分析】（1）分别把B8,0（2）作PM⊥x轴于点M，根据题意可得Pm,−14m2+114m−6（3）作PN⊥x轴交BC于点N，过点N作NE⊥y轴于点E，则PN=−14m2+114m−6−34m−6=−1（1）解：∵B8,0在抛物线y=a∴64a+11∴a=−1∴抛物线解析式为y=−1当y=0时，−1∴t1=3，∴t=3．∵B8,0在直线y=kx−6∴8k−6=0，∴k=3∴一次函数解析式为y=3（2）解：如图，作PM⊥x轴于点M，对于y=−14x2+∴点C（0，-6），即OC=6，∵A（3，0），∴OA=3，∵点P的横坐标为m．∴Pm,−∴PM=14m∵∠CAP=90°，∴∠OAC+∠PAM=90°，∵∠APM+∠PAM=90°，∴∠OAC=∠APM，∵∠AOC=∠AMP=90°，∴△COA∽△AMP，∴OAPM∴OA⋅MA=OC⋅PM，即3(m−3)=6⋅1∴m1=3（舍），∴m=10，∴点P10,−（3）解：如图，作PN⊥x轴交BC于点N，过点N作NE⊥y轴于点E，∵Pm,−∴点Nm,∴PN=−1∵PN⊥x轴，∴PN∥y轴，∴∠PNQ=∠OCB，∵∠PQN=∠BOC=90°，∴△PQN∽△BOC，∴PNBC∵OB=8，OC=6，∴BC=10，∴NQ=35PN∵EN⊥y轴，∴EN∥x轴，∴△CNE∽△CBO，∴CNBC=∴CN=5∴CQ+1∴CQ+1∴当m=132时，CQ+1【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键，是中考的压轴题．27．（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1．(1)求抛物线的解析式；(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)存在，P（0，-1）使∠APB＋∠ACB＝180°，理由见解析；(3)存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或−【分析】（1）由抛物线的对称轴可得点B的坐标，由此设出交点式，代入点C的坐标，即可得出抛物线的解析式；（2）由题意可知，点A，C，B，P四点共圆，画出图形，即可得出点P的坐标；（3）由抛物线的对称性可得出点E的坐标，点D的坐标，根据两点间的距离公式可得出AD，DE，AE的长，可得出△ADE是直角三角形，且DE∶AE=1：3，再根据相似三角形的性质可得出EF和FM的比例，由此可得出点M的坐标．【详解】（1）解：∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x=1，∵A（-1，0），∴B（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），把C（0，3）代入抛物线的解析式得：-3a=3，解得a=-1，∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；（2）存在，P（0，-1），理由如下：∵∠APB+∠ACB=180°，∴∠CAP+∠CBP=180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，∵点A（0，-1），B（3，0），C（0，3），∴OB=OC=3，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠APC=∠ABC=45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP=OA=1，∴P（0，-1）；（3）解：存在，理由如下：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴D（1，4），由抛物线的对称性得：E（2，3），∵A（-1，0），∴AD=25∴AD∴△ADE是直角三角形，且∠AED=90°，DE∶AE=1∶3，∵点M在直线l下方的抛物线上，设M(t,−t2+2t+3)，则t∵MF⊥l，∴点F（t，3），∴EF=|t−2|，MF=3−−∵以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，∴EF:MF=DE:AE=1:3或MF:EF=DE:AE=1:3，∴|t−2|:(t2−2t)=1:3解得t=2（舍去）或t=3或t=-3或t=13（舍去）或∴点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或−1综上所述，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或−1【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，圆内四边形的性质，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想等，第（2）问得出四点共固是解题关键；第（3）问得出△ADE是直角三角形并得出AD∶AE的值是解题关键．28．（2022·四川广安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．【答案】(1)y=(2)（-2，-4）(3)P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），−1，−2+【分析】（1）直接将B（0，-4），C（2，0）代入y=ax（2）先求出直线AB关系式为：y=−x−4，直线AB平移后的关系式为：y=−x−4+n，当其与抛物线只有一个交点时，此时点D距AB最大，此时△ABD的面积最大，由此即可求得D点坐标；（3）分三种情况讨论，①当∠PAB=90°时，即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：y=x+z，将A（-4,0）代入y=x+z得，解得：z=4，此时P点坐标为：（-1,3）；②当∠PBA=90°时，即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：y=x+t，将B（0，-4）代入y=x+t得，t=−4，此时P点坐标为：（-1,-5）；③当∠APB=90°时，设P点坐标为：−1，yp，由于PA所在直线斜率为：yp3，PB在直线斜率为：yp+4−1，yp【详解】（1）解：将B（0，-4），C（2，0）代入y=ax得：m=−44a+2+m=0解得：m=−4a=∴抛物线的函数解析式为：y=1（2）向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时△ABD的面积最大，∵12x2+x−4=0时，∴A点坐标为：（-4,0），设直线AB关系式为：y=kx+b（将A（-4,0），B（0，-4），代入y=kx+b（得：−4k+b=0b=−4解得：k=−1b=−4∴直线AB关系式为：y=−x−4，设直线AB平移后的关系式为：y=−x−4+n，则方程−x−4+n=1即12x∴n=−2，即12x2将x=-2代入抛物线解析式得，y=1∴点D的坐标为：（-2，-4）时，△ABD的面积最大；（3）①当∠PAB=90°时，即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：y=x+z，将A（-4,0）代入y=x+z得，−4+z=0，解得：z=4，∴PA所在直线解析式为：y=x+4，∵抛物线对称轴为：x=-1，∴当x=-1时，y=−1+4=3，∴P点坐标为：（-1，3）；②当∠PBA=90°时，即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：y=x+t，将B（0，-4）代入y=x+t得，t=−4，∴PA所在直线解析式为：y=x−4，∴当x=-1时，y=−1−4=−5，∴P点坐标为：（-1，-5）；③当∠APB=90°时，设P点坐标为：−1，∴PA所在直线斜率为：yp3，PB在直线斜率为：∵PA⊥PB，∴yp3·解得：yp1=−2+7∴P点坐标为：−1，−2+综上所述，P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），−1，−2+7，−1【点睛】本题主要考查的是二次函数图象与一次函数、三角形的综合，灵活运用所学知识是解题的关键．29．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与探究如图，某一次函数与二次函数y=x2+mx+n的图象交点为A(1)求抛物线的解析式；(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为；(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；(4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．【答案】(1)y=(2)（1，2）(3)25(4)N【分析】（1）将A（-1，0），B（4，5）代入y=x2+mx+n得到关于m（2）抛物线的对称轴为x=1，求出直线AB与对称轴的交点即可求解；（3）设Dd,d2−2d−3，则（4）根据题意画出图形，分情况求解即可．【详解】（1）解：将A（-1，0），B（4，5）代入y=x2+mx+n解这个方程组得m=−2n=−3∴抛物线的解析式为：y=x（2）解：如图，设直线AB的解析式为：y=kx+b，把点A（-1，0），B（4，5）代入y=kx+b，得−k+b=04k+b=5解得k=1b=1∴直线AB的解析式为：y=x+1，由（1）知抛物线y=x2−2x−3∵点C为抛物线对称轴上一动点，AC+BC≥AB，∴当点C在AB上时，AC+BC最小，把x=1代入y=x+1，得y=2，∴点C的坐标为（1，2）；（3）解：如图，由（2）知直线AB的解析式为y=x+1设Dd,d2则DE=(d+1)−d当d=32时，DE有最大值为（4）解：如图，∵直线AB的解析式为：y=x+1，∴直线与y轴的交点为D（0，1），OD=1∵A(−1,0)，OA=1∴OA=OD,∠DAO=∠ADO=45°，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论：①过点C作CM1⊥y轴于点M1，则ΔDM1依题意，知D与F重合，点N1②以M1为中心分别作点F，点C点的对称点M2,N2，连接C③延长N2M2到N3使N3M2=M④取M2C的中点N4，FC的中点F2，则M1综上所述，点N的坐标为：N【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的性质，正方形的判定，根据题意正确画图是解本题的关键．30．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图（1），二次函数y=−x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为3,0，点C的坐标为0,3，直线l经过B(1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标；(2)点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当PM=12MN(3)如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ=3PQ，连接DQ，当3AP＋4DQ的值最小时，直接写出【答案】(1)y=−x2(2)P点横坐标为1+2或1−2或2+(3)DQ=【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）设P（t，−t+3），则M（3）由题意可知Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由QG∥BC，求出点G(2，0)，作A点关于GQ的对称点A′，连接A′D与AP交于点Q，则3AP+4DQ=4(DQ+34AP)=4(DQ＋AQ)≥4A′D，利用对称性和∠OBC=45°【详解】（1）解：将点B3,0，C0,3∴−9+3b+c=0解得b=2∴y=−∵y=−x∴顶点坐标1,4；（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b，∴3k+b=0解得k=−1∴y=−x+3，设Pt,−t+3，则Mt,−t∴PM=t2−3t∵PM=1∴t2∴t2−3t=1当t2−3t=1解得t1=1+2当t2−3t=−1解得t3=2+3∴P点横坐标为1+2或1−2或2+3（3）解：∵C0,3，D点与C点关于x∴D0,−3令y=0，则−x解得x=−1∴A−1,0∴AB=4，∵AQ=3PQ，∴Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，∴QG∥BC，∴AQAP∴34∴AG=3，∴G2,0∵OB=OC，∴∠OBC=45°，作A点关于GQ的对称点A′，连接AD与AP交于点Q∵AQ=A∴AQ+DQ=A∴3AP+4DQ=4DQ+∵∠QGA=∠CBO=45°，AA∴∠A∵AG=A∴∠AA∴∠AGA∴A′设直线DA′的解析式为∴b=−32k+b=3解得k=3b=−3∴y=3x−3，同理可求直线QG的解析式为y=−x+2，联立方程组y=−x+2y=3x−3解得x=5∴Q5∵D0,−3∴DQ=5【点