辽阳市第一高级中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学科试卷（含答案）

高二下学期开学考试数学科试卷考试时间：120分钟满分：150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．2．在等差数列中，，则其前9项和的值为（

）A．-2 B．0 C．1 D．23．在数列中，若，且对所有满足，则（

）A． B．C． D．4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2023这2023个数中，能被7除余1且被9除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列的和为（

）A．30014 B．30016 C．33296 D．332975．技术在我国已经进入高速发展的阶段，手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：时间x12345销售量y（千部）若y与x线性相关，且线性回归方程为，则可以预测时，该商城手机的销量约为（

）千部.A． B． C． D．6．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．已知正项数列的前项和为，满足，则的最小值为（

）A．1 B． C．3 D．48．已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（

）A． B． C． D．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．数列中，，，，则（

）A．B．C．D．10．如图所示，棱长为3的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（

）A．B．当时，点到平面的距离为1C．AP∙DC1是定值D．与11．第24届冬奥会于2022年2月4日在北京和张家口联合举行.甲、乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有（

）A．若每个比赛区至少安排一名志愿者，则有240种不同的方案B．安排5名志愿者排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法C．若短道速滑必须安排两名志愿者，其余各安排一名志愿者，则有60种不同的方案D．已知5名志愿者身高各不相同，若安排5名志愿者拍照，前排两名，后排三名，后排要求身高最高的站中间，则有40种不同的站法三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知是等差数列的前项和,若,则数列的公差为．13．的展开式中的系数为（用数字作答）14．记为等差数列的前n项和，已知，，，{}的前n项和为，则=.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．圆截直线所得的弦长为，求的值16．在数列中，，，数列满足．（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前n项和．17．在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，，为线段的中点，过的平面与线段，分别交于点，(，不与端点重合).（1）求证：；（2）若，，是否存在点，使得二面角所成角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.18．某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A类（不参加课外阅读），B类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如下表：A类B类C类男生x53女生y33（I）求出表中x，y的值；（II）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加课外阅读与否”与性别有关；男生女生总计不参加课外阅读参加课外阅读总计（III）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名女生中A类人数和C类人数差的绝对值，求X的数学期望．附：K2=)P（K2≥k0）0.100.050.01k02.7063.8416.63519．已知椭圆的焦距和半长轴长都为2.过椭圆C的右焦点F作斜率为的直线l与椭圆C相交于P，Q两点.(1)求椭圆C的方程；(2)设点A是椭圆C的左顶点，直线AP，AQ分别与直线相交于点M，N.求证：以MN为直径的圆恒过点F.高二下学期开学考试数学科试卷（参考答案）一、单选题（每题5分，共40分）1-4．BBBD5-8．DDBC二、多选题（每题6分，共18分，部分选对得部分分，三个正确选项，漏选选对一个得2分，选对两个得4分，选错0分）9．ABD10．ABC11．ACD三、填空题（每题5分，共15分）12．213．014．四、解答题（共77分）15．（12分）【详解】·················4分因此圆心到直线距离为··················6分因为圆截直线所得的弦长为，所以··································12分（上述弦长公式正确，a的值计算错误扣2分）16．（16分）（Ⅰ）证明见解析；；（Ⅱ）.【详解】（Ⅰ）由，得，，∴，即，······················································4分又，∴数列是首项和公差均为1的等差数列．所以，·······································6分∴．

·················································8分（Ⅱ）∵，·····································10分∴．·····································12分∴.···············································16分17．（16分）（1）证明见解析；（2）存在，.【详解】（1）证明：（1）∵，且为线段的中点，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面···············1分又∵平面平面，∴，······················2分又，且平面平面，平面平面，∴平面，∴平面. ····························4分∵平面，∴.····································5分（2）解：连结PE,∵，为线段的中点，∴，又∵平面平面，平面平面，∴平面，····································································7分以为坐标原点，的方向为轴正方向,的方向为y轴正方向,的方向为z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系，······················8分则，，，，···············9分则，，，设平面的法向量为，则，即，不妨令，可得，·········11分，设，∴，设平面的法向量，则，即，不妨令，可得，·································································13分∵二面角所成角的余弦值为，∴，·······················14分化简得，∴或（舍），∴.即存在点，当时，使得二面角所成角的余弦值为.····16分18．（16分）（1）；（2）列联表见解析，没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；（3）.【详解】（1）设抽取的20人中，男、女生人数分别为，则,所以，·············································2分．·················································4分（2）列联表如下：男生女生总计不参加课外阅读426参加课外阅读8614总计12820································································5分的观测值，·················7分所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关．··················8分（3）的可能取值为0，1，2，3，··································9分则，····································10分，·························11分，·································12分，···········································13分所以．·······················16分19．（17分）(1)(2)证明见解析【详解】（1）由题意得，解得所以椭圆C的方程为；···································5分（2）F（1，0），A（-2，0），·······································6分设直线l的方程为，由得····················7分直线l过椭圆C的右焦点，显然直线l椭圆C相交.设P（，），Q，），则.······