数学-江西省赣州市2024届高三下学期3月摸底考试试题和答案

赣州市2024年高三年级摸底考试数学试卷A.A.1B.C.2D.4 A.B.C.D.4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AD的中点，过B1且平行于平面A1BE的平面截正方体所得截面面积为()A.B.C.D.25.在平行四边形ABCD中，AB=3,ADA.16B.14C.12D.106.若一组样本数据x1,x2,…,x8的方差为2,(-1)ixi=-2,yi=xi+(-1)i(i=1,2,…,8)，则样本数据y1,y2,…,y8的方差为()A.1B.2C.2.5D.2.758.在边长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是BC的中点，点P是侧面ABB1A1内的动点（含四条边且tan人APD=4tan人EPB，则P的轨迹长度为()π2π4π8πA.B.C.D.nnnnC.数列{an}为单调数列D.数列{Sn}为单调数列10.已知函数f(x)=sinx+sin2x+sin3x，则()A.2π是f(x)的一个周期B.f(x)的图象关于原点对称C.f(x)的图象过点(π,0)D.f(x)为R上的单调函数11.曲线C是平面内与两个定点F1(0,1),F2(0,-1)的距离的积等于的点P的轨迹，则()A.曲线C关于坐标轴对称B.ΔF1PF2周长的最小值为2+C.P到y轴距离的最大值为D.P到原点距离的最小值为(211)714.已知P是抛物线E:x2=y上异于顶点的点，E在P处的切线l分别交x轴、y轴于点S,T，过P作l的垂线分别交x轴、y轴于点M,N，分别记ΔPMS与ΔPNT的面积为S1,S2，则的最小值为.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，人ABC=人BCD=90。,PAl平面（1）求点D到平面PBC的距离：（2）求二面角M-AD-B的正切值.某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试.已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为m，其中0<m<1，技能测试是否通过相互独立.（1）若m=.求该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率；（2）已知甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求m的取值范围.己知椭圆C:+=1(a>b>0)过点1,，椭圆C的右焦点与点Q(2,-2)所在直线的斜率为-2.（2）若过Q的直线l与椭圆C交于A,B两点.点P(3,0).直线PA,PB分别交椭圆C于点M,N，直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.已知函数f(x)=ex-1-lnx.（2）已如m>0.若函数g(x)=f(x)-m(x-1)有唯一的设数列A:a1,a2,…,aN(N2).如果对小于n(2nN)的每个正整数k都有ak>aa.则称n是数列A的一个“D时刻”.记D(A)是数列A的所有“D时刻”组成的集合，D(A)的元素个数记为card(D,A).（1）对数列A:-1,1,-2,2,-3,3，写出D(A)的所（3）证明：若数列A满足an-an-1-1(n=2,3,4,…,N)，则card(D,A)a1-aN.赣州市2024年高三年级摸底考试数学（理科）参考答案题号12345678答案ABBAACDD题号9答案BCABCABD 215.解1）由PAL平面ABCD，可得V三棱锥P一BCD=SΔBCD.PA令点D到平面PBC的距离为d，则V三棱锥D一PBC=SΔPBC.dV三棱锥DPBC=V三棱锥PBCD，可得SΔPBC.d=SΔBCD.PAΔPBCΔPBC由PAL平面ABCD,ZABC=90。，可得BCL则d==，即点D到平面PBC的距离为（2）设O为AC的中点，过O作OHLAD交AD于H，连结OM,HM∵M是PC的中点OM∥PA,：OML平面ABCD：OMLAD,：ADL平面MOH,：ADLMH，：ZMHO为二面角M一AD一B的一个平面角又SΔAOD=AD.OH=SΔADC=x,2且AD=，可得OH=OMOH则tanzMHOOMOH3即二面角M-AD-B的正切值为说明：也可以利用向量法!16.解1）记“该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项”为事件A2（2）分别记“该应聘者应聘甲、乙公司三项专业技能测试中通过的项目数为ξ,n”由题设知：ξ~B3,n的所有可能取值为0,1,2,3故n的分布列为n0123P1-m7-6m10-3m5m91-m7-6m10-3m5m2m+3 x-ll2-c17.解1）由题意可设椭圆的半焦距为c，且椭圆C的右焦点为(c,0)|--=-222,22（2）设l的方程为x=m(y+2)+2，设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4)，则直线PA的方程为21-3)+3y12y2+12(x1-3)y1y+122(2-x1)y2+(x1-3)y1y+y=0y4-y343x-x43y2y1212-x22121x-2x-221y2(2-x1)-y1(2-x2)=m(y1-y2)==2，故直线MN的斜率是定值，且定值为218.解1f(x)=ex-1-lnx,:f'(x)=ex-11x:f''(x)=ex-1:当x>0时，f'(x)=ex-1-为增函数:当xe(0,1)时，f'(x)<0,f(x)单调递减；f'(x)>0,f(x)单调递增.:f(x)的减区间为(0,1)，增区间为(1,+构)（2g(x)=f(x)-m(x-1)=ex-1-lnx-mx+m(m>0):g'(x)=ex-1--m(x>0,m>0)(x)在:g(x)min=g(t)=et-1-lnt-mt+m若方程g(x)=ex-1-lnx-mx+m=0有唯一的实数x0，则x0=t>1t-1-1-m=0,:t-1-lt-mt+m=0消去m可得(2-t)et-1-lnt+1-=0(t>1)令ht-1-lnt+1-(t>1)，t-1-+t-1:h(t)在t=(1,+构)上为减函数且h19.解1）由题设知当n=3时，a1>a3,a2>a3，故n=3是数列A的一个“D时刻”1,2,3,4)，即n=5也是数列A的一个“D时刻”=6时，若D(A)中的四个元素是由集合A中的元素4,3,2,1或5,3,2,1或5,4,2,1或5,4,3,1引起的2.若由5,3,2,1引起，即5，3，2，1从左往右排列，则4必须排在3的后3.若由5,4,2,1引起，即5,4,2,1从左往右排列，则3必须排在2的后面，共2种；4.若由5,4,3,1引起，即5,4,3,1从左往右排列，则2必须排在1的后面，共1种综上，符合card(D,A)=4的数列A有15种另解：因为数列A:a1,a2,…,a6={1,2,3,4,5,6}，由题意可知D(A)中的四个元素为2,3,4,5}共有1种情况；综上，符合card(D,A)=4的数列A有15种（3）①若card(D,A)=0，由a1aN，所以a1-aN0，即card(D,A)a1-aN成立2m且2ijN