2023年高考数学总复习第13讲：计数原理（附答案解析）

2023年高考数学总复习第13讲：计数原理

一.选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）

1.（5分）（2022•新高考II）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不

站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

2.（5分）（2022•北京）若C2x-1）4=a4x4+a3xi+a2x2+aix+«o>则αo+42+α4=（）

A.40B.41C.-40D.-41

3.（5分）（2022•山东模拟）在（/-2x+y）6的展开式中，含项的系数为（）

A.-480B.480C.-240D.240

4.（5分）（2022•广东三模）将5名核酸检测工作志愿者分配到防疫测温、信息登记、维持

秩序、现场指引4个岗位，每名志愿者只分配1个岗位，每个岗位至少分配1名志愿者,

则不同分配方案共有（）

A.120种B.240种C.360种D.480种

5.（5分）（2022∙道里区校级三模）举世瞩目的第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20

日在北京举办，某高校甲乙丙丁戊5位大学生志愿者前往/、B、C、。四个场馆服务，

每个场馆至少分配一位志愿者.由于工作需要甲同学不能去Z场馆，则所有不同的安排

方法种数为（）

A.72B.108C.180D.216

6.（5分）（2022春•番禺区校级期中）已知（2-%2）（l+2x）4的展开式中含χ3的项的系数

为（）

A.56B.60C.68D.72

7.（5分）（2022•济南二模）（2+x）（x+l）4的展开式中，常数项为（）

X

A.2B.6C.8D.12

8.（5分）（2022∙道里区校级二模）已知（支《）卿J展开式中，第3项的系数与倒数第

3项的系数之比为工，则展开式中二项式系数最大的项为第（）项.

4

A.3B.4C.5D.6

9.（5分）（2022•广西模拟）“双减”政策实施以来各地纷纷推行课后服务“5+2”模式，即

学校每周周一至周五这5天要面向所有学生提供课后服务，每天2个小时.某校计划按

第1页（共23页）

照“5+2”模式开展“学业辅导”，“体育锻炼”，“实践能力培养”三类课后服务，并且每

天只开设一类服务，每周每类服务的时长不低于2小时，不高于6小时，那么不同的安

排方案的种数为（）

A.60B.90C.150D.210

10.（5分）（2022春•灌云县校级月考）已知（3χ-l）（x+l）"的展开式中所有项的系数之

和为64,则展开式中含有一的项系数为（）

A.20B.30C.45D.60

二.多选题（共5小题，满分25分，每小题5分）

102+1,

（多选）11.（5分）（2022•如皋市模拟）设（l+2χ）=a0+a1x+a2x"∙+a10x0

则下列说法正确的是（）

A.αo=1

b10

∙a1+a2+-+a10=3-l

C.展开式中二项式系数最大的项是第5项

D.。2=9。1

（多选）12.（5分）（2022•茂名模拟）已知（2χ七J-）11的展开式共有13项，则下列说法

中正确的有（）

A.所有奇数项的二项式系数和为212

B.所有项的系数和为3口

C.二项式系数最大的项为第6项或第7项

D.有理项共5项

62

（多选）13.（5分）（2022春•莱阳市校级月考）设（2x+l）=αo+aι（x+l）+a2（XH）+-

+aβ（x+1）6,下列结论正确的是（）

A.ao-a∖+a2-a3+a4-as+«6—36

B.图+。3=-IOO

C.<71，Q2，Q3，Q4，。5，。6中最大的是〃2

D.当x=999时，（2x+l）6除以2000的余数是1

（多选）14.（5分）（2022春•船营区校级月考）关于

（2χ-l）99=ao+aιx+a2χ2+…+aggχ99,下列说法正确的是（）

第2页（共23页）

A.4i+02+Q3+…+"99=1

b99

∙aι-a2+a3--+a99=3-l

ɪ-§99

C，

a0+a2+a4+-+a98=^一

D.6∏+2α2÷3a3H----∏99α99=198

（多选）15.（5分）（2022•深圳模拟）已知（2-x）8=tzo÷α1x+α2x2÷β∙∙+asx8,贝IJ（）

A.6ro=28B.Qi+a2+…+。8=1

C.∖a∖∣÷∣ɑ2∣+∣Λ3∣+∙,∙+∣fl8∣=38D.41+2〃2+3。3+…+8。8=^8

三.填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）

16.（5分）（2022•浙江）已知多项式（x÷2）（x-1）4=ao+a∣x+a2x2+^3Λ3+Λ4x4÷a5x5,则

=，a∖+02+43+44+45=.

17.（5分）（2022•新高考I）（1-X）（x+y）8的展开式中今6的系数为（用数字

X

作答）.

8

18.（5分）（2022•宁河区校级模拟）二项式（q发—《1）的展开式中，常数项是.

5

19.（5分）（2022•河西区校级模拟）在（/_］）（2X1J）的展开式中，含X项的系数

X

为.

20.（5分）（2022•湛江二模）（81+工）（x-工）$的展开式中常数项为.

X3

四,解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）

21（10分）（2022春•淮安期中）设

-al-∣÷aɪx+a2x÷a3x+a4x+a5x+a6x+a7x÷a8x

（1）求〃0+。2+。4+〃6+。8的值；

（2）求S=（⅛+C⅛+C⅛+…+C驾+嚼除以9的余数;

（3）求αι+202+303+444+…+8。8的值.

22.（10分）（2022春•湖北期中）甲、乙、丙、丁、戊5人并排站成一排.

（1）若甲、乙不相邻，则有多少种不同排法？

（2）若甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则有多少种不同的排法？

（3）若甲不在最左，乙不在最右，则有多少种不同的排法？

23.（10分）（2022春•湖北期中）从5名男生和4名女生中选出4人去参加数学竞赛.

第3页（共23页）

（1）如果选出的4人中男生、女生各2人，那么有多少种选法？

（2）如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，那么有多少种选法？

（3）如果被选出的4人是甲、乙、丙、丁，将这4人派往2个考点，每个考点至少1人,

那么有多少种派送方式？

24.（10分）（2022春•响水县校级期中）已知二项式（X8

（1）求展开式的有理项；

（2）求展开式的系数最大项.

25.（10分）（2022春•山东月考）4个男同学，3个女同学站成一排.

（1）3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？

（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？

（3）甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？

第4页（共23页）

2023年高考数学总复习第13讲：计数原理

参考答案与试题解析

・选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）

1.（5分）（2022•新高考∏）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不

站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

【考点】排列、组合及简单计数问题.

【专题】计算题；整体思想；综合法；排列组合；数学运算.

【分析】利用捆绑法求出丙和丁相邻的不同排列方式，再减去甲站在两端的情况即可求

出结果.

【解答】解：把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有A^.A：=48种情况，

32

甲站在两端的情况有C!AA=24种情况，

2ɜ2

・・・甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有48-24=24种，

故选：B.

【点评】本题考查排列组合的应用，本题运用排除法，可以避免讨论，简化计算，属于

基础题.

2.（5分）（2022•北京）若（2x-1）4=6Γ4X4+6f3X3+tZ2X2÷Λix+^o»则QO+Q2+Q4=（）

A.40B.41C.-40D.-41

【考点】二项式定理.

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算.

【分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，求出“0和42,以及的值，可得结论.

【解答】解：（2χ-l）4=α4χ4+α3χ3+q2χ2+α]χ+

・・4o+α2+α4=-24=1+24+16=41,

故选：B.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题.

（5分）（2022•山东模拟）在（x2-2x+y）‘的展开式中，含x5y2项的系数为（）

A.-480B.480C.-240D.240

第5页（共23页）

【考点】二项式定理.

【专题】计算题；整体思想；综合法；二项式定理；数学运算.

【分析】利用二项式定理求解.

【解答】解：（χ2-2χ+y）6的展开式中,

480.r5√,

.∙.含X5/项的系数为-480,

故选：A.

【点评】本题主要考查了二项式定理，属于基础题.

4.（5分）（2022•广东三模）将5名核酸检测工作志愿者分配到防疫测温、信息登记、维持

秩序、现场指引4个岗位，每名志愿者只分配1个岗位，每个岗位至少分配1名志愿者,

则不同分配方案共有（）

A.120种B.240种C.360种D.480种

【考点】排列、组合及简单计数问题.

【专题】计算题；转化思想；转化法；排列组合；数学运算.

【分析】5名核酸检测工作志愿者先选2人一组，然后4组全排列即可.

【解答】解：5名核酸检测工作志愿者选2个1组，有C52种方法，然后4组进行全排列,

有种，

24

共有C5>14=240种，

故选：B.

【点评】本题主要考查排列组合的应用，利用先分组后排列的方法是解决本题的关键，

是基础题.

5.（5分）（2022∙道里区校级三模）举世瞩目的第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20

日在北京举办，某高校甲乙丙丁戊5位大学生志愿者前往/、B、C、。四个场馆服务，

每个场馆至少分配一位志愿者.由于工作需要甲同学不能去Z场馆，则所有不同的安排

方法种数为（）

A.72B.108C.180D.216

【考点】排列、组合及简单计数问题.

【专题】计算题；方程思想；综合法；排列组合；逻辑推理；数学运算.

【分析】分两种情况讨论：①/场馆安排1人；②/场馆安排2人.再安排其余三个场

第6页（共23页）

馆的志愿者，结合分类加法计数原理可得结果.

【解答】解：分以下两种情况讨论：

①若/场馆安排1人，则其余4人分为三组，每组人数分别为2、1、1,分为三组后再

分配给8、C、。三个场馆，

此时,安排方法种数为

②若4场馆安排2人，则其余三个场馆各安排1人，此时，安排方法种数为cjA9=36∙

综上所述，不同的安排方法种数为144+36=180种.

故选：C.

【点评】本题主要考查排列组合及其相关计算，属于基础题.

6.（5分）（2022春•番禺区校级期中）己知（2-X2）（l+2x）4的展开式中含小的项的系数

为（）

A.56B.60C.68D.72

【考点】二项式定理.

【专题】计算题：整体思想；综合法；二项式定理；数学运算.

【分析】将二项式前一项展开并乘入后面的多项式，根据（l+2x）4展开式的通项，分别

求得各项中χ3的项的系数，相加即可.

【解答】解：（2-X2）（l+2x）4=2（l+2x）4-X2（l+2x）4,

其中（l+2x）4展开式的通项Tr+]=%.（2χ）r=C4∙2r∙χ^

.Z的项的系数为2C；23_C：,2=56,

故选：A.

【点评】本题主要考查了二项式定理，属于基础题.

7.（5分）（2022•济南二模）（2+x）（x+A）it的展开式中，常数项为（）

X

A.2B.6C.8D.12

【考点】二项式定理.

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算.

【分析】根据二项式定理化简即可求解.

【解答】解：根据二项式定理可得二项式的展开式的常数项为：2Xc^χ2χ（工）2=12,

4Y

故选：D,

第7页（共23页）

【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题.

8.（5分）（2022∙道里区校级二模）已知（√W招）11的展开式中，第3项的系数与倒数第

3项的系数之比为工，则展开式中二项式系数最大的项为第（）项.

4

A.3B.4C.5D.6

【考点】二项式定理.

【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；二项式定理；逻辑推理：数学运算.

【分析】直接利用展开式的运算和组合数的运算的应用求出结果.

【解答】解：根据二项展开式：T[+[=c：・（F）n^r.2r.号）r,

故第三项的系数为C：,22,倒数第三项C'?.2”-2,

C2.221

第3项的系数与倒数第3项的系数之比为工,则，a----------工

4Q∏-2.2n-24

解得n=6.

故展开式中二项式系数最大的项为第4项.

故选：B.

【点评】本题考查的知识要点：二项展开式，组合数的运算，主要考查学生的运算能力

和数学思维能力，属于基础题.

9.（5分）（2022•广西模拟）“双减”政策实施以来各地纷纷推行课后服务“5+2”模式，即

学校每周周一至周五这5天要面向所有学生提供课后服务，每天2个小时.某校计划按

照“5+2”模式开展“学业辅导”，“体育锻炼”，“实践能力培养”三类课后服务，并且每

天只开设一类服务，每周每类服务的时长不低于2小时，不高于6小时，那么不同的安

排方案的种数为（）

A.60B.90C.150D.210

【考点】排列、组合及简单计数问题.

【专题】计算题：分类讨论；综合法；排列组合；逻辑推理.

【分析】由题意，可分成两类，一类是有一科占三天共6小时，二类是有两科各占两天,

各有4小时，由此解决问题，按照先选科，再选天的步骤进行即可.

【解答】解：若有一科占三天，共6小时服务时间，则有C!∙C>AW=60种安排方案;

J/

若有两科各占两天，各有4小时服务时间,贝IJ有cg∙c∕cW=9o种安排方案;

J33

第8页（共23页）

故共有60+90=150种安排方案.

故选：C.

【点评】本题考查排列组合的应用问题，属于中档题.

10.（5分）（2022春•灌云县校级月考）已知（3x7）（x+l）"的展开式中所有项的系数之

和为64,则展开式中含有一的项系数为（）

A.20B.30C.45D.60

【考点】二项式定理.

【专题】转化思想；综合法；二项式定理：数学运算.

【分析】令X=1,可由各项系数和可得〃；利用二项展开式的通项公式，令r=3和2即

可求得结果.

【解答】解：令X=1,则2∙2"=64,解得：n=5；

则（x+l）"展开式的通项为：αχ5~r,

令5-厂=2，解得：r=3,贝∣J3xC>5^r=3C、3=30χ3;

令5-r=3,解得：r=2,贝U-LCEX3=-］（）*3；

，展开式中含有X3的项的系数为30-10=20.

故选:A.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性

质，属基础题.

二.多选题（共5小题，满分25分，每小题5分）

1021,

（多选）11.（5分）（2022•如皋市模拟）设（l+2χ）=a0+a1x+a2x+∙∙∙+a10χ°

则下列说法正确的是（）

A.αo=l

B，10

aι+a2+∙∙→a10=3-l

C.展开式中二项式系数最大的项是第5项

D.。2=9。1

【考点】二项式定理.

【专题】方程思想；转化思想；转化法：二项式定理；数学运算.

【分析】利用赋值法以及二项式定理求出对应系数进行判断即可.

第9页（共23页）

【解答】解：令X=0,得αo=l,故/正确，

令X=1,得αo+αi+α2+…+αιo=（1+2）∣°=3∣°,

即α1+α2+…+αιo=3∣°-1,故8正确，

展开式共11项，二项式系数最大的是第6项，故C错误，

。2=「j02∙22=180,ioXPz∙I=20,则α2=9αι成立，故Z）正确，

故选：ABD.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，利用赋值法进行求解是解决本题的关键，是

基础题.

（多选）12.（5分）（2022•茂名模拟）己知（2χ+∙L）n的展开式共有13项，则下列说法

山

中正确的有（）

A.所有奇数项的二项式系数和为2口

B.所有项的系数和为3口

C.二项式系数最大的项为第6项或第7项

D.有理项共5项

【考点】二项式定理.

【专题】整体思想；综合法；二项式定理；数学运算.

【分析】由二项式定理结合二项式系数的求法及展开式有理项问题逐一判断即可得解.

【解答】解：由（2χ七/一）11的展开式共有13项，则〃=12,

对于选项由展开式二项式系数和为2%则所有奇数项的二项式系数和为2”,即选

项Z错误；

对于选项8,令x=l,得（2Xnɪ）∣2=3∣2,即所有项的系数和为3∣2,即选项8正

确；

对于选项C,由（2x七J-）11的展开式共有13项，则二项式系数最大的项为第7项，即

选项C错误；

第10页（共23页）

对于选项。，由(2x+」一)12展开式的通项公式为Tf=212',rχl2~q-,又OWrWI2,

3/-t-12

Vx

则厂=0、3、6、9、12时，12-冷€工，即展开式有理项共5项，即选项。正确，

故选：BD.

【点评】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式系数、展开式有理项问题，属基础

题.

2

(多选)13.(5分)(2022春•莱阳市校级月考)设(2x+l)6=αo+m(x+l)+a2(x+l)+∙∙∙

+o6(x+l)6,下列结论正确的是(〉

A.ao-a∖+a2~a3+a4-a5+«6=36

B.42+α3=-IOO

C.αι.«2，。3，。4,as，。6中最大的是及

D.当x=999时，(2x+l)6除以2000的余数是1

【考点】二项式定理.

【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；数学运算.

66

【分析】将已知等式转化为(2x+l)6=[2(x+l)-1]=[1-2(x+l)]=α0+αι(x+l)

+°2(x+l)2+∙∙+aβ(x+l)6,利用二项展开式的通项公式可求得αι,a2,“3,…，°6,

再逐项判断即可求解.

66

【解答】解：由(2x+l)6=[2(x+l)-1]=[1-2(x+l)]=α0+αι(x+l)+a2(x+l)

2+-+aβ(x+l)6)

A,令x=-2,贝IJao-αι+°2…-as+aβ=36>故/正确,

B,通项公式为刀+1=CW-2(X+1)Y=量(-2)'(x+l)I

贝!|.2=22「2=60,ti3=-23∩3=-160,'.a2+a3=6O-160=-100,故5正确，

L,6^6

C,'.Li=「1(-2)=-12,θ2=6O,。3=-160,a4=「4(-2)4=240,“5=「5(-

t∙6^6^6

2)5=-192,。6=¢6(-2)6=64,

.∙.最大的是“4,故C错误，

D,当x=999时，x+l=1000,a∖(x+l),aι(x+l)2,-,aβ(x+l)6都能被2000整除,

而no='O=l,所以(2x+l)6除以2000的余数是1,故。正确.

t,6

故选：ABD.

第11页(共23页)

【点评】本题考查了二项式定理，将已知等式转化为(2x+l)6=[2(x+l)-1]6=[1-2

2

(X+1)a="。+。](X+1)+a2(X+1)+-+aβ(x+l),是解题的关键，属于中档题.

(多选)14.(5分)(2022春•船营区校级月考)关于

99299

(2x-l)=a0+a1x+a2x÷∙∙∙+a99x-下列说法正确的是()

A.4i+Q2+Q3+…+〃99=1

B99

-a1-a2+a3-∙-+a99=3-l

「§99

c-a0+a2+a4+^"+a98=-2―

D.。1+2。2+3。3+…+99。99=198

【考点】二项式定理.

【专题】计算题；对应思想；综合法；导数的综合应用；二项式定理；数学运算.

【分析】令二项式中的x=0、x=l,可判断选项/,再令二项式中的X=-1,可判断选

项8,联合二项式中的x=l、X=-1时的表达式可判断选项C,利用导数判断选项D∙

【解答】解：令x=0得(-1)99=αo,即αo=-l,

令X=I得(2-1)99=ao+a∣+a2jt-a3+a4+.......+a99,①

即0o+m+α2+03+"4+.......+α99=1>

故m+α2+α3+α4+........+499=2,

故选项/错误；

令X=_1得(-2-I)99=ao-a∖+a2-a3+a4+..........499,②

故a∖-a2+a3-a4..........+α99=_I+399,

故选项B正确；

①+②得，

1-399

-

a0+a2+a4+∙∙'+a98=^，

故选项C正确；

99299,

•：(2χ-l)=a0+a1x+a2x÷'"÷a99x

982398

・・・求导得99X2(2r-1)=l÷2^2r+3tZ3X+4^+........÷99Λ99X,

令X=I得〃1+2。2+3。3+…+99Q99=198,

故选项D正确；

故选：BCD.

第12页(共23页)

【点评】本题考查了二项式定理及导数的综合应用，属于中档题.

（多选）15.（5分）（2022•深圳模拟）已知（2-x）8=ao+a∖x+av^∙^t-αsx81则（）

A.ao=28B.α1+α2+…+。8=1

C.∖a1∣+∣Λ2∣+∣<23∣+,∙∙+∣αs∣=38D,αι+2α2+343+…+8.8=-8

【考点】二项式定理.

【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；数学运算.

【分析】利用赋值法可判断/8C,对X求导后利用赋值可判断D

【解答】解：取x=0,可得ao=28,故Z正确；

即X=1,可得“ι+α2+…+α8=1-故8不正确；

取x=-l,可得IalI+㈤+向+…+隧|=38-2®,故C不正确；

对已知等式两边对X求导数可得-8（2-x）7=α1+2a2x+*∙∙+8agx7，

取x=l,可得m+2.2+3"3+…+848=-8,故。正确.

故选：AD.

【点评】本题考查赋值法求代数式的值，属中档题.

≡.填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）

16.（5分）（2022•浙江）已知多项式（x+2）（x-1）4=ao+a∖x+avc1+avcl+a4x^+a5r',贝∣J"2

—8,a1+α2÷Λ3+β4÷<75—~2.

【考点】二项式定理.

【专题】整体思想；综合法；二项式定理；数学运算.

【分析】。2相当于是用（X+2）中的一次项系数乘以（X-I）4展开式中的一次项系数加

上（x+2）中的常数项乘以（X-I）4展开式中的二次项系数之和，分别令χ=o,X=I,

即可求得a∖+a2+a3+a4+a5的值.

4432

【解答】解：V（ɪ-ɪ）=x-4X+6X-4X+∖,

∕∙C12—~4+12=8；

令X=0,则〃o=2,

令X=1,则ao+a1+a2+a3+α4÷ɑ5=0，

.'.41+42+03+44+05=-2.

故答案为：8,-2.

【点评】本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题.

第13页（共23页）

17.（5分）（2022•新高考I）（1-工）（x+y）8的展开式中χ276的系数为-28（用数

X

字作答）.

【考点】二项式定理.

【专题】方程思想；转化法；二项式定理；数学运算.

【分析】由题意依次求出（x+y）8中J.,χ3y5项的系数，求和即可.

【解答】解：（x+y）8的通项公式为7μι=C8d-y,

5

C53

当r=6时,,当r=5时，T68Xy

(1-ɪ)(χ+y)8的展开式中X2/的系数为哈28-56=-28∙

XO(4,ɔ∙O'

故答案为：-28.

【点评】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是基础题.

Q8

18.（5分）（2022•宁河区校级模拟）二项式（爽一改1_）的展开式中，常数项是7.

【考点】二项式定理.

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算.

【分析】求出展开式的通项公式，然后令X的指数为0,进而可以求解.

8-4r

【解答】解：展开式的常数项为Tf=q（★）8=（得_）「=（7/（一/）`M,

令8-n=0,解得r=2,

3

所以展开式的常数项为Cg・（1）2=7,

故答案为：7.

【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题.

5

21

19.（5分）（2022•河西区校级模拟）在（x-l）（2X-Λ）的展开式中，含X项的系数为一

X

40.

【考点】二项式定理.

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算.

【分析】求出展开式的含X的项，再求出X项的系数.

【解答】解：展开式中含X的项为"∙c"2χ）2（L）3-iXcW（2χ）3（_L）2=-40x,

DYOγ

故X的系数为-40,

第14页（共23页）

故答案为：-40.

【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题.

20.(5分)(2022•湛江二模)(81+工)(x-1)5的展开式中常数项为__乌_.

X3-81―

【考点】二项式定理.

【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑推理.

【分析】将原式化为81(χ-l)5+l(ɪ-ɪ)5,再利用组合的知识求解.

3x3

【解答】解：原式=81(x-1)5+A(X-1)5,

3x3

故原式展开式中的常数项为81XCc(二)5Jc]χ∙(」)4=_22.

53X5381

故答案为：J2

81

【点评】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.

四.解答题(共5小题，满分50分，每小题10分)

21(10分)(2022春•淮安期中)设

1

/n-∙ι\8_..2.ɔ,4I5.6,I.8

UxI)-a0+aɪx+a2x÷a3x+a4x+a5x÷a6x+a7x+a8x

(ɪ)求。0+。2+。4+。6+。8的值；

⑵求S=C；7+喙+*+…+C符+嚼除以9的余数;

(3)求41+2〃2+3。3+4。4+…+8四的值.

【考点】二项式定理.

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算.

【分析】(1)分别令X=1,X=-1,可得。0+。2+。4+〃6+。8的值；

(2)根据S=CJ7+喙+*+…+啜+嚼=(I+1)27^1=89^1=<9-1)9-1,按

IΛΛIMI乙rCaI

照二项式定理展开，可得结论，

(3)对所给的等式求导数，再令X=1,可得αι+2α2+343+…+8々8的值.

【解答】解：(1)*.*(3x-1)8=Qo+mχ+α2x2+α3χ3∙ι----i-ɑsɪ8,

令X=1,可得ao+a1+6f2+^3÷∙*φ+^8=28(1),

令X=-1,可得40-41+Q2^“3+…+48=4*②，

88

①+②并除以2可得，40+。2+〃4+。6+。8=—~~苧一，

第15页(共23页)

(2)由于S=C%+吸+*+•••+C驾+嚼=(1+1)27-1=227-1=89-I=(9-1)9

乙/4rc»I&Ic»I

-1

=pO∙9^-pl∙9^÷r,2∙9^-p3∙9^÷∙∙∙÷pθa9-09-ɪ,

υ9L,9υ9υ9υ9υ9

显然，除了最后二项以外，其余的各项都能被9整除，故S除以9的余数，即-1-1除

以9的余数，

故S除以9的余数为7,

2

(3)对于(3χ-1)8=αo+αιχ+α2x+α3χ3+…+αgχ8,

两边对X求导数可得24(3x-1)7=αι+202x+3α3x2+…+84⅛r7,

再令x=l,可得“1+2。2+3。3+…+8"8=24X27.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公

式，求函数的导数，属于中档题.

22.(10分)(2022春•湖北期中)甲、乙、丙、丁、戊5人并排站成一排.

(1)若甲、乙不相邻，则有多少种不同排法？

(2)若甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则有多少种不同的排法？

(3)若甲不在最左，乙不在最右，则有多少种不同的排法？

【考点】排列、组合及简单计数问题.

【专题】转化思想；转化法；排列组合；数学运算.

【分析】(1)利用不相邻问题插空法进行求解，

(2)利用相邻问题捆绑法进行求解，

(3)利用排除法进行求解即可.

【解答】解：⑴先排其他3人，3人之间有4个空，然后利用插空法排甲乙，则有MAj

=72,

(2)甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则甲乙看作一个元素，且甲乙只有一种位置关系，

则有A：=24,

(3)当甲在最左时有A：=24，当乙在最右边时有A：=24，当甲在最左，乙在最右时有

43,

3

则甲不在最左，乙不在最右，则有AE-Aj-A：+A,=7&

第16页(共23页)

【点评】本题主要考查简单的计数问题，利用相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法以及

复杂问题排除法进行求解是解决本题的关键，是中档题.

23.（10分）（2022春•湖北期中）从5名男生和4名女生中选出4人去参加数学竞赛.

（1）如果选出的4人中男生、女生各2人，那么有多少种选法？

（2）如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，那么有多少种选法？

（3）如果被选出的4人是甲、乙、丙、丁，将这4人派往2个考点，每个考点至少1人,

那么有多少种派送方式？

【考点】排列、组合及简单计数问题.

【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；数学运算.

【分析】（1）用组合知识直接求解：

（2）先求出若小王和小红均未入选时的选法，从而求出如果男生中的小王和女生中的小

红至少有1人入选时的选法；

（3）分两种情况进行求解，再使用分类加法计数原理进行求解.

【解答】解：⑴从5名男生中选2名，4名女生中选2人，属于组合问题，WCi=60,

故有60种选法：

（2）若小王和小红均未入选，则有c；=35种选法，故男生中的小王和女生中的小红至

少有1人入选,则有C,-¢4=126-35=91种选法;

（3）若2个考点派送人数均为2人，则有CiCW=6种派送方式，

若1个考点派送1人，另1个考点派送3人，则有C：CWA^=8种派送方式，故一共有

8+6=14种派送方式.

【点评】本题主要考查两大计数原理及组合的应用.考查了定义法，间接法，逻辑推理

能力和数学运算能力.本题属基础题.

24.（10分）（2022春•响水县校级期中）已知二项式&

（1）求展开式的有理项；

（2）求展开式的系数最大项.

【考点】二项式定理.

【专题】方程思想；综合法；二项式定理；数学运算.

第17页（共23页）

【分析】（1）先写出二项式展开式的通项，再令8-∣r为整数，解出r的值，然后代回

通项公式，即可得有理项;

^c^∣）r>cΓ1φr+1

（2）假设第什1项的系数最大，由｛解出r的值，即可.

c^∣）r<cΓ1（⅛）r-1

【解答】解：（1）项式（X展开式的通项为

8专ɪ

一「工θ-r3r且，

τɪr+1^^8x(ɪ),OWrW8WN*,

当8-∣r为整数时，展开式中取得有理项，即r=0或r=3或r=6,

所以Tl=X8，T4=c⅛4(^∣)3=7x*丁7=4°⅛,

故展开式的有理项有7x3ɪ.

16

cθg)r≥Cδ+1(^⅛)r+11

解

（2）假设第什1项的系数最大，贝必，即《产H⅛》;解

c⅛φr<cΓ1φr-1

得2«,

因为OW厂W8且r∈N*,所以厂=2或厂=3,

1616

23434

所以T3=(⅛3(y)=7χ'T4=CgX(-∣)=7X-

16

故系数最大的项为7χT,7x4.

【点评】本题考查二项式定理，熟练掌握二项式展开式的通项公式，理解有理项与系数

最大项等概念是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

25.（10分）（2022春•山东月考）4个男同学，3个女同学站成一排.

（1）3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？

（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？

（3）甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？

【考点】排列、组合及简单计数问题.

【专题】计算题；转化思想；转化法；排列组合；数学运算.

【分析】（1）根据据题意，分两步进行分析：①3个女同学进行全排列，看成一个整体,

第18页（共23页）

②把这个整体和4个男同学进行排列，由分步计数原理计算可得答案；

（2）根据题意，分两步进行分析：①先排4个男同学，②4个男同学之间有5个空挡,

任找3个空挡把3名女同学放进去，由分步计数原理计算可得答案；

（3）根据题意，先用捆绑法排甲乙，再用插空法排丙，由分步计数原理计算可得答案.

【解答】解：（1）根据