2023年中考数学几何模型-全等三角形的五种模型（讲+练）（原卷版）

专题06全等三角形的五种模型

全等三角形的模型种类多，其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解,

这里就不在重复。

模型一、截长补短模型

①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。

如图所示，在BF上截取BM=DF,易证aBMC也ZkDFC(SAS),则MC=FC=FG,

ZBCM=ZDCF,

可得△MCF为等腰直角三角形，又可证NCFE=45。，ZCFG=90°,

ZCFG=ZMCF,FG〃CM,可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF,于是

BF=BM+MF=DF+CG.

②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。

如图所示，延长GC至N,使CN=DF,易证ACDF丝Z\BCN(SAS),

可得CF=FG=BN,NDFC=NBNC=135。，

又知/FGC=45。，可证BN〃FG,于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG,

所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.

例1如图,048c中,08=204,的平分线CD交A8于点D,已知AC=16,8c=9,贝l]BD

的长为()

A.6B.7C.8D.9

【变式训练1】如图，在0ABC中，AB=BC,EM8C=60。，线段AC与A。关于直线AP对称,

E是线段BD与直线AP的交点.

(1)若用DAE=15。，求证：射8。是等腰直角三角形；

(2)连CE,求证：BE=AE+CE.

【变式训练2】如图，在回ABC中，回ACB=(2ABC=40。，BD是0ABe的角平分线，延长BD至点

E,使得DE=DA,贝胞ECA=.

【变式训练3】已知四边形A8CD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重

合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC,CD于M,N.

⑴如图1,当M,N分别在边BC,CO上时，求证：BM+DN=MN

(2)如图2,当M,N分别在边BC,C。的延长线上时，请直接写出线段8M,DN,MN之间

的数量关系______________

⑶如图3,直线AN与BC交于P点，MN=10,CN=6,MC=8,求CP的长.

模型二、平移全等模型

A

例.如图，在EL4BC和用DEF中，B,E,C,F在同一条直线上，AB//DE,AB=DE,(?M=0D.(1)

求证：,ABC^DEF;(2)若8F=11,EC=5,求BE的长.

【变式训练1】如图，AB//CD,AB=CD点E、F在BC上，且BF=CE.

(1)求证：回ABEEBDCF(2)求证:AE//DF.

【变式训练2】如图，已知点C是的中点，CDSBE,且CD=BE.

(1)求证：0ACDiaaCBE.(2)若NA=87°,/。=32°,求朋的度数.

A

模型三、对称全等模型

(1)求证：Rt0ABC0Rt0DEF：(2)若0A=51°,求回BOF的度数.

【变式训练1】如图，EB交AC于M,交FC于D,AB交FC于N,NE=NF=90%ZB

=/C,AE=AF,给出下列结论：①N1=N2；②BE=CF；③aACN丝△ABM；④CD=

DN.其中正确的结论有（）

c

A.4个B.3个C.2个D.1个

【变式训练2】如图，AB=AC,BE_LAC于E,CF_LAB于F,BE,CF交于D,则以下结

论：①4ABE丝AACF；②aiiDF丝ZiCDE；③点D在NBAC的平分线上.正确的是（）

A.①B.②C.①②D.①②③

模型四、旋转全等模型

例.如图，EL4BC和EMOE中，AB^AC,AD=AE,^BAC^DAE,且点8,D,E在同一条直线上,

若®CAE+a4CE+aADE=130。，则蜘DE的度数为（）

A.50°B.65°C.70°D.75°

【变式训练1】如图，将正方形A8CD绕点A逆时针旋转60。得到正方形A8CD，，线段8,

8(，交于点E,若。£=1,则正方形的边长等于.

【变式训练1】如图，AC±BC,DC±EC,AC=BC,DCEC,

求证：(1)AACEsABCD；(2)AE±BD.

【变式训练2】如图，AB=AC,AE^AD，ZCAB=ZEAD^a.

(1)求证：AAEC三AADB；(2)若a=90°，试判断BO与CE的数量及位置关系并

证明；

(3)若NC43=NE4Z)=tz,求NCE4的度数.

【变式训练3】如图①，在蜘8C中，购=90。，AB=AC=^2+1,BC=2+及，点、D、E

分别在边AB、AC上，且AD=AE=1,DE=丘.现将MDE绕点A顺时针方向旋转，旋转角

为a(00<«<180°).如图②，连接CE、BD、CD.

(1)如图②，求证：CE=BD；

(2)利用备用图进行探究，在旋转的过程中CE所在的直线能否垂直平分BD?如果能，请

猜想a的度数，画出图形，并将你的猜想作为条件，给出证明；如果不能，请说明理由；

(3)在旋转的过程中，当鼬CD的面积最大时，a=。.(直接写出答案即可)

备用图

模型五、手拉手全等模型

E

例.如图，B,C,E三点在一条直线上，A4BC和&DCE均为等边三角形，30与AC交

于点M，AE与CO交于点N.

(1)求证：AE=BD；(2)若把ADCE绕点C任意旋转一个角度，(1)中的结论还成立

吗？请说明理由.

【变式训练1】如图，回OAB和团OCD中，OA=OB,OC=OD,0AOB=0COD=9O°,AC、BD

交于点M.⑴如图1,求证：AC=BD,判断AC与BD的位置关系并说明理由；

(2)如图2,I?1AOB=0COD=6O°0^,E1AMD的度数为.

03：

SI

【变式训练2】如图，将两块含45。角的大小不同的直角三角板I3C0D和回AOB如图①摆放,

连结AC,BD.（1）如图①，猜想线段AC与BD存在怎样的数量关系和位置关系，请写出

结论并证明；（2）将图①中的回COD绕点。顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC,

BD,其他条件不变，线段AC与BD存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由.（3）将

图①中的回COD绕点。逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC,BD,其他条件不变，

线段AC与BD存在怎样的关系？请直接写出结论.

【变式训练3】已知：如图1,在AA8C和24。£中，NC=NE,ZCAE=ZDAB,

BC=DE.（1）证明AAB&AADE.（2）如图2,连接CE和80，DE,4。与BC

分别交于点M和N,ZDMB=56°,求ZACE的度数.（3）在（2）的条件下，若CN=,

请直接写出NCB4的度数.

D

课后训练

1.如图，已知AB=AD，3C=DE,且NC4£>=10°,ZB=Z£>=25°,Z£4B=120°,

则NEGE的度数为（）

A.120°B.135°c.115°D.125°

2.如图，（3ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EFI3AB于F,06=01+02,AB=CD,BF=

3.如图，？A2?C,30平分NA8C,BC=10,AB=6,则A£）=

4.如图，正方形A8CD,将边CD绕点D顺逆时针旋转a((T<a<90。)，得到线段DE,连接

AE,CE,过点4作4甩。后交线段CE的延长线于点F,连接BF.

(1)当AE=48时，求a的度数;

(2)求证：EWEF=45°；

(3)求证：AESiFB.

5.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,AB=AC,点E是BD上一点，且

AE=AD,ZEAD=ZBAC.

(1)求证：ZABD=ZACD；

(2)若/ACB=65。，求/BDC的度数.

6.如图①，在B4BC中，EIBAC=90°,AB=AC,点E在AC上(且不与点A、C重合)，在蜘8c

的外部作回CED,使EICED=90。，DE=CE,连接AD,分别以A8、A。为邻边作平行四边形ABFD,

连接AF.

(1)求证:EF=AE；

(2)将E1CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE,请判断线段

AF.AE的数量关系，并证明你的结论.

7.如图，在AABC中，ZACB=90",AC=BC,E为AC边的一点，F为AB边上一点，

连接CF,交BE于点D且/ACF=NCBE,CG平分NACB交BD于点G,

(