2023-2024学年福建省莆田高二年级上册期末考试（返考）数学试题（含解析）

2023-2024学年福建省莆田高二上册期末考试(返考)数学试题

一、单选题

1.设全集。={123,4,5},4={1,2},Q：A=()

A.{1,2,3}B.{2,3,4}C.{3,4,5}D.{4,5}

【正确答案】C

【分析】利用补集的定义直接求解.

【详解】因为全集。={12.3.4,5},/={1,2},

所以务2={3,4,5}.

故选：C

2.已知£=(2,1),£+坂=6,则［=()

A.(-1,-2)B.卜L2)C.(-2,1)D.(-2,-1)

【正确答案】D

【分析】根据B=:求解即可.

【详解】解：因为a=(2,I),〃+^=6,所以5=-〃=(-2,-1).

故选：D

3.已知加eR,i为虚数单位，z=w+2+(w-l)i,若z为实数，则加取值为()

A.-1B.1C.-2D.2

【正确答案】B

【分析】根据复数的分类即可求解，为实数，则虚部为0.

【详解】z=，“+2+(〃?一l)i为实数，则加一1=0=＞加=1

故选：B

4.甲地下雨的概率为0.5,乙地下雨的概率为0.4,两地是否下雨相互独立，则两地同时下

雨的概率为()

A.0.2B.0.3C.0.6D.0.8

【正确答案】A

【分析】根据独立事件的概率公式即可求解.

【详解】解:记“甲地下雨”为事件A,则尸(⑷=0.5,

记“乙地下雨”为事件B,则尸(8)=0.4,

两地同时下雨的概率为P(AB)=P(4)P(B)=0.5x0.4=0.2.

故选：A.

5.下列函数中，在(0,1)为减函数的是()

1,,

A.y=xB.y_Y2C.y-xD.y=x

【正确答案】A

【分析】根据导函数的正负来判断原函数的单调性即可求解.

【详解】对于y=—,y'=q<0,所以在(0,1)为减函数,对于尸x；所以在

(0,1)单调递增)=—/，=2》>04=》3»=3/>0,故在(0/)单调递增.

故选：A

6.在718c中，~ABBC=0>4BC为()

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形

【正确答案】A

【分析】根据向量数量积为。可得即可得出结论.

【详解】解：因为方.而=0，所以荏1圮，则在48C中，ABJ.BC,£)8=90°,

所以48C为直角三角形.

故选：A.

4

7.已知sina=则sin("一a)=()

3c344

A.--B.一C.——D.-

5555

【正确答案】D

【分析】利用三角函数诱导公式求解即可.

44

【详解】解：因为sina=I，则sin(乃-a)=sin(z=g.

故选：D.

8.已知。>0,6>0,。6=4,则6的最小值是()

A.2B.4C.6D.8

【正确答案】B

【分析】由均值不等式求解即可.

【详解】-.-a>0,b>0,ab=4,

:.a+b>2y^b=4,当且仅当"6=2时等号成立，

故选：B

9.将^二丽以刀+》的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，则得到的新的解析式为()

6

./1c</<>>1、-1./4、__r•/冗、

A.y=s\n(-x-}~―)B.y=sin(3x+—)C.y=—sm(x+—)D.y=3sm(x+—)

366366

【正确答案】D

【分析】根据三角函数图象的变换关系进行求解即可.

【详解】解：V=sin(x+f)的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，

得到的新的解析式为：y=sin(x+£),整理得y=3sin(x+g).

366

故选：D.

10.VxeR,2*>0的否定是()

A.3xeR,2x>0B.3xeR,2v>0C.VxeR,2x<0D.3xeR,2x<0

【正确答案】D

【分析】用全称命题的否定可得结论.

【详解】解：命题“五力氏2'>0”为全称命题,该命题的否定为“玉eR,2、40”.

故选：D.

11.方是空间中两条不同的直线，“。力是异面直线''是b没有公共点''的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

条件

【正确答案】A

【分析】根据空间直线与直线的位置关系及充分不必要条件的定义即可求解.

【详解】解：若a1是空间中两条不同的直线，且。房是异面直线，则a,b没有公共点；

若。力是空间中两条不同的直线，且。力没有公共点，贝!|。力是异面直线或。〃6,

故“凡方是异面直线''是"。力没有公共点”的充分不必要条件.

故选：A.

12.3,2,2,1,1的第50百分位数是()

A.1B.2.5C.2D.3

【正确答案】C

【分析】根据百分位数的计算5x50%=2.5,找从小到大排的第三个数即可.

【详解】将3,2,2,1,1从小到大排列为：1,1,2,2,3,第50百分位数是第三个数据2,

故选：C

13.函数曲线N=log“x+1恒过定点()

A.(0,1)B.(1,2)C.(1,1)D.(1,0)

【正确答案】C

【分析】由对数函数的性质可求解.

【详解】因为对数函数恒过点(L0),

所以函数曲线V=bg〃x+1恒过点(1,1).

故选：C

14.函数/(x)=sinx+>/Jcosx的最大值为()

A.1B.2C.1+V3D.20

【正确答案】B

【分析】根据辅助角公式化简即可求解.

【详解】/(x)=sinx+6cosx=2sin6+三)，故最大值为2

故选：B

15.函数/(x)=lnx+x-2的零点所在的一个区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【正确答案】B

【分析】因为/(x)=lnx+x-2为增函数，故代入区间端点逐个计算，左负右正即可.

【详解】因为/(x)=lnx+x-2为增函数，且/(l)=lnl+l-2=-l<0,/(2)=ln2+2-2=ln2>0

根据零点存在性定理知/(x)=lnx+x-2的零点在区间(1,2)内.

故选B

本题主要考查零点存在性定理.属于基础题型.

二、多选题

16.已知复数z在复平面上对应的点为Z（2,-l）,则（）

A.z=-l+2iB.|z|=5C.Z=2+JD.z-2是纯虚数

【正确答案】CD

【分析】根据题意得z=2-i,分别求模、共粗复数、化简z-2即可得到结果.

【详解】根据复数z在复平面上对应的点为Z（2,-l）,则z=2-i,所以A错；

目=旧不］=石，所以B错；

z=2+i＞所以C正确;

z-2=2-i-2=-i,所以D正确.

故选：CD.

本题主要考查复数的基本概念的理解，属于基础题.

17.从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取一张，则下列四组事件中，互为

对立事件的有（）

A.“这张牌是红心”与“这张牌是方块”

B.“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”

C.“这张牌牌面是2,3,4,6,10之一”与“这张牌是方块”

D.“这张牌牌面是2,3,4,5,6,7,8,9,10之一”与“这张牌牌面是Z,K,Q,J之一”

【正确答案】BD

【分析】根据对立事件定义判断.

【详解】选项A,任选一张牌可能即不是红心也不是方块，即两个事件可能都不发生，不对

立；

选项B,任选一张牌要么是红的要么是黑的，两个事件不可能同时发生，但必有一个发生，

B正确；

选项C,“这张牌牌面是2,3,4,6,10之一”与“这张牌是方块”可以同时发生，如选中的

是方块2,不互斥，当然不对立，C错；

选项D,“这张牌牌面是2,3,4,5,6,7,8,9,10之一”与“这张牌牌面是儿K,Q,J

之一”这两个事件不可以同时发生，但必有一个发生，它们是对立的，D正确.

故选：BD.

18.已知实数。<6<0,那么下列各式一定成立的是（）

A.a-b>0B.ac2<be2C.a2>b2D.—>—

ab

【正确答案】CD

【分析】利用不等式的基本性质求解.

【详解】解：因为。<6<0

,1111

所以a-6<0,-a>—h>0,（-即a2>6。，—<-->—>—•,

-a-bah

22222

ac-be=（a-b）c<0,gpac<be

所以，AB选项错误，CD选项正确.

故选：CD

19.设孙〃是两条不同的直线，a，B，7是三个不同的平面，则下列命题为假命题的是（）

A.若mua,〃//a,则加/〃B.若则a〃夕

C.若a"0,/3//y,机_La则加_LyD.若aCl4=〃,〃?//",则，"//a,w//£

【正确答案】ABD

【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断.

【详解】选项A,若加ua,〃//a,则机，〃可能平行也可能是异面直线，A错；

选项B,正三棱柱的两个侧面分别是平面a,£,一个底面是平面7,满足a_L7]_Ly,但a,4

相交，B错；

选项C,a//j3,mla=>mlj3,又/?///,二/，7,C正确；

选项D,&0夕=〃，机〃〃时，也可能是a内，不一定有m//a,D错，

故选：ABD.

20.对任意实数。力1,下列命题中真命题是（）

A.“a=b”是"ac=6c”的充要条件

B.“a+5是无理数”是“。是无理数”的充要条件

C.“a>6”是“/>从”的充分条件

D.“"5”是“"3”的必要条件

【正确答案】BD

【分析】通过反例可知AC错误；根据充要条件和必要条件的定义可知BD正确.

【详解】对于A,当c=0时，ac=bc,此时可以必要性不成立，A错误；

对于B,当a+5为无理数时，根据5为有理数，可知。为无理数，充分性成立；当。为无理

数时，根据5为有理数可得a+5为无理数，必要性成立；

・•.“a+5是无理数”是是无理数”的充要条件，B正确；

对于C,当b<a<0时，a2<h2>充分性不成立，C错误;

对于D,a<3=>a<5,必要性成立，D正确.

故选：BD.

三、填空题

2]•审=------------

【正确答案】2

【分析】根据指数基的运算，直接计算求值即可.

【详解】解.♦=（23）；=2

故2.

22.半径为夜的球的表面积为.

【正确答案】8》

【分析】利用球的表面积公式即可求解.

【详解】解：球的半径为尤，所以球的表面积为5=4万/2=4;rx2=8%.

故答案为.8〃

23.48C的内角48,C所对的边分别为。，4c,且a=6,4=60。，8=45、则

h=・

【正确答案】6

【分析】直接运用正弦定理计算即可.

。显

【详解】由正弦定理得：—三=[4""=。'包=当多=JJx%=;

sinJsin8sinAsin60

T

故血.

24.已知向量Z与加满足同=5,任=4,且"=io,则£与刃的夹角等于

【正确答案】9##60'

【分析】直接用数量积的定义求夹角即可.

【详解】依题意，cos(函=靛［=聂=；，•••£与石的夹角为。；

%.

四、解答题

25.在平面直角坐标系中，角。的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边

交单位圆于P点(|,丹

⑴求sin(e-c)的值:

(2)求tan(7+a)的值.

4

【正确答案】(1)§

⑵-7

【分析】先求出sincr和tana,在根据诱导公式和两角和正切公式计算即可.

4

4s44

【详解】(1)由题意，sina=-,tana=y=-,sin(^-a)=sina=-；

5335

5

71.4

/\tan+taner1+—

(2)tan£+a=----------------=—=-7；

I4),n.4

'71-tan—tana1——

43

综上，sin(7t-a)=*,tan(?+a)=-7.

26.某人通过计步仪器，记录了自己100天每天走的步数(单位：千步)得到频率分布表,

如图所示

分组频数频率

[4,6)50.05

[6,8)150.15

[8,10)200.20

[10,12)ah

[12,14)200.20

[14,16]100.1()

合计1001

A频率

0.100---------1—r-T—I

0.075-------r—

0.050--------------------

0.025-----r—

O；：I：0；2；4；6步数了千步

(1)求频率分布表中〃力的值，并补全频率分布直方图；

(2)估计此人每天步数不少于1万步的概率.

【正确答案】(1)。=30/=0.30；频率分布直方图见解析.

尾

【分析】(1)根据频率分布表可直接计算的值，根据〃力的值补全频率分布直方图即可.

(2)根据频率分布表可得此人每天步数不少于1万步的天数，利用古典概型概率公式即可

求解.

【详解】(1)解：由频率分布表可得，。=10。-(5+15+20+20+10)=30,

6=1-(0.05+0.15+0.20+0.20+0.10)=0.30,

则频率分布直方图为：

(2)解：根据频率分布表可得，每天步数不少于1万步的天数为30+20+10=60天,

故此人每天步数不少于1万步的概率为尸=器=(.

2

27.已知函数

凶-1

(1)写出/(x)的定义域并判断“X)的奇偶性；

(2)证明：/(x)在xe(0,l)是单调递减.

【正确答案】(1)定义域为(3,一1)7(-1,1)。(1,内)，偶函数；

(2)证明见解析；

【分析】(1)直接求解函数定义域，并求解奇偶性即可：

(2)根据函数单调性的定义直接证明即可.

【详解】(1)解：由题知国一140,解得xx±l,

所以，函数的定义域为(9,7)5-域)u(l,+«)，

22

所以，丽=/(、),

所以，函数“X)为偶函数.

2

(2)解：当xe(0,l)时，/(%)=—,

设玉,々«0,1)且西<%,则72(；：丁)

因为x”》2e(0,l)且X[<七，所以々-再>0,x,-1<0,x2-l<0,(x1-l)(x2-l)>0,

所以，/(再)-/(々)>。，即/(再)>/(*2)

所以，/(x)在xw(0,1)是单调递减.

22

28.已知双曲线E：A-「=1。>06>0的右焦点为F,离心率e=2,虚轴长为2TL

a'b'

(1)求£的方程；

(2)过右焦点尸，倾斜角为30。的直线交双曲线于A、8两点，求|力回.

【正确答案】=

⑵3.

【分析】(1)由题意可得e=£=2,26=26，〃=解方程组求出a,b,c的值即可

a

求解；

(2)设N(x"J,8(々,必)，下(2,0)直线的方程为：尸亭(x-2)与双曲线方程联立消

去y可得玉+々，芭马，再由弦长公式即可求弦长

222右叫

，e=£=2,解得：b=百，所以双曲线E的方程为/-上=1.

【详解】(1)由题意可得:

a3

c2=a2i+b2C=2

(2)由(1)知：c=2,所以尸(2,0),可得直线力8的方程为：y=*(x-2),

y=—(x-2)

设4(西，必)，8(工2，%)，由｛1可得:8x~+4x—13=0，

，上=1

3

所以再+%=-1，x1x2=--

28

所以弦长|4B|=3.

29.在(丁_：］的展开式中，求:

⑴含1的项；

(2)展开式中的常数项.

【正确答案】(1)60/

(2)240

【分析】(1)利用二项展开式的通项公式即可求得展开式中含/的项；

(2)利用二项展开式的通项公式即可求得展开式中的常数项.

【详解】(1)展开式中的第『+1项为晨.(/广■[-：，=(-2丫晨”〜

其中尸=0,1,…,6,令中-3广=6,可得r=2,

故含X6的项为(-2)2CV=601；

(2)令12-3厂=0,可得r=4,

故展开式中常数项为(-2『C：=240.

30.已知(1—2%)7=〃0+4/工+。2/+…+。7工7，求：

(1)4/+〃2+…+〃7；

(2)。/+03+05+07;

(3)。。+。2+。4+。6；

(4)依|+㈤+㈤+…+\ci?\.

【正确答案】(1)一2；(2)-1094；(3)1093；(4)2187.

【详解】(1)根据所给的等式求得常数项4=1,令x=l，

GQ+tZj++...+%=—1

则q+Q,+...+%=-2

(2)在所给的等式中，令x=l,

可得：旬+。]+%+…+。7=-1①

令工=-1,

贝!J4-Q]+〃2-%+…―%=3，②

用①一②再除以2可得q+〃3+%+/=T094

⑶用①+②再除以2可得%+4+%+%=1093

(4