2023版高考数学一轮总复习10年高考真题分类题组9-3双曲线及其性质

9.3双曲线及其性质

考点一双曲线的定义和标准方程

1.（2017课标1文,5,5分）已知F是双曲线UχJ*l的右焦点,P是C上一点,且PF与X轴

垂直,点A的坐标是（1,3）,则AAPF的面积为（）

AɪB.∣C.∣D.∣

3232

答案D本题考查双曲线的几何性质.

易知F（2,0）,不妨取P点在X轴上方,如图.

•.•PFJ_x轴，

.∙.P（2,3）,∣PF∣=3,又A（l,3）,

ΛIAPI=1,AP±PF,

∙∙∙SwWx3Xl=∣.故选D.

（天津,分）已知双曲线（）的右焦点为点在双曲线的渐近线

2.20175,5srIra>0,b>0F,A

上,Z∖OAF是边长为2的等边三角形（0为原点），则双曲线的方程为（）

Λ,⅛lB,⅛l

412124

C.⅛-y2=lD.x⅛l

3J3

答案D不妨设点A在第一象限，由题意可知c=2,点A的坐标为（1,遥），所以江北,又

a

c2=a2+b2,所以a2=l,b2=3,故所求双曲线的方程为x2-y=l,故选D.

方法总结求双曲线方程的常用方法：（1）待定系数法:设出所求双曲线的方程,根据题意构

造关于a,b的方程组,从而求得a,b,写出双曲线的方程；（2）定义法:根据题意建立动点所满

足的关系式,结合双曲线的定义求出动点所满足的轨迹方程.

3.（2016天津理,6,5分）已知双曲线4-白1（b>0）,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径

4Zr

长的圆与双曲线的两条渐近线相交于Λ,B,C,D四点，四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方

程为（）

（%+%=22,①

答案D不妨设A（x0,%）在第一象限，由题意得上的∙2%=2b，②

Uo=^⅞.③

由①③得考嗯,④

所以02义∣6J⅛2⑤

,

〃1以年4入4，户l+62业

由②④⑤可得b2=12.

所以双曲线的方程为=L故选D.

思路分析抓住矩形的一个顶点的坐标,利用该顶点既在圆上又在渐近线上,再结合矩形的

面积建立方程组求解.

评析本题考查了圆和双曲线的方程与性质，考查了运算求解能力和方程的思想方法.

4.（2015安徽理,4,5分）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）

A.B.--y2=lC.--X=ID.y2-^l

4444

答案C由于焦点在y轴上,故排除A、B.由于渐近线方程为y=±2x,故排除D.故选C.

5.（2014天津理,5,5分）已知双曲线5-昌1（a>0,b>0）的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,

双曲线的一个焦点在直线1上,则双曲线的方程为（）

A.---^=lc.-D.--^=1

5202052510010025

答案A由题意得以2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则a?=5,b2=20,从而双曲线方程为

a

立巴1

520

2

6∙(2014江西文,9,5分)过双曲线C⅛l的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交

于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,0两点(0为坐标原点)，则双曲线C的

方程为()

A2V2A2V2A27A2V2

三

A.4v-1÷21B7.j9*lC.8*81DΛ12-4-1

答案A由双曲线方程知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近线方程为y"x,因此可设点

a

A的坐标为(a,b).设右焦点为F(c,0),由已知可知c=4,且∣AF∣=4,BP(c-a)W=16,所以有

(c-a)2+b2=c2,得a2-2ac+b2=0,又知c2=a2+b2,所以得az-2ac+cz-a2=0,即a=^=2,所以

b2=c2-a2=42-22=12.故双曲线的方程为*1,故选ʌ.

412

评析本题考查双曲线的标准方程的求法、双曲线的几何性质以及圆的定义,考查学生的运

算求解能力和逻辑推理能力.

7.(2016课标I,5,5分)已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,

flτ+n3zzr-n

则n的取值范围是()

A.(-1,3)B.(-1,√3)

C.(0,3)D.(0,√3)

答案A・・・原方程表示双曲线,且焦距为4,

'/+n>0,

∙*∙3∕z^-∏>0,①

4+n+3∕z^^n=4,

'层+n<Oy

或3层-n<0,②

、-(3∕-n)-(/+n)=4,

由①得m2=l,n∈(-l,3).②无解.故选A.

方法优化由题意可知(m2+n)(3m"-n)>0,J^f⅛-m2<n<3m2,从而m2+n>0,且3m2-n>0,所以

m2+n+3m2-n=22,解得m"=l,所以n∈(T,3).

8.(2015课标1文，16,5分)已知F是双曲线CdQl的右焦点,P是C的左支上一

点,A(0,6√6).当AAPF周长最小时,该三角形的面积为.

答案12√6

3

解析由已知得双曲线的右焦点F(3,0).设双曲线的左焦点为F',则F'(-3,0).由双曲线的

定义及已知得IPFl=2a+1PF'∣=2+PF'I.ZXAPF的周长最小，即PA∣+∣PF∣最

小.∣PA∣+∣PF∣=∣PA∣+2+∣PF'∣2∣AF'∣+2=17,即当A、P、F'三点共线时，AAPF的周长最小.

设P点坐标为Go,y0),y0>θ,由然得身6√δy0-96=0,所以y0=2√^或y0=-8√δ(舍去).

所以当AAPF的周长最小时，该三角形的面积S=^×6×6√6-∣×6×2√6=12√6.

9.(2015课标II文，15,5分)已知双曲线过点(4,√3),且渐近线方程为y=+∣x,则该双曲线的

标准方程为.

答案γ-y2=l

解析根据渐近线方程为x±2y=0,可设双曲线方程为χ2-4yJλ(λ≠0).因为双曲线过点

(4,g)，所以42-4×(√3)2=入，即λ=4.故双曲线的标准方程为9-yJl.

考点二双曲线的几何性质

1.(2020课标I文，11,5分)设F”F2是双曲线C:x2号1的两个焦点,0为坐标原点，点P在C

上且IOPl=2,则4PFE的面积为()

A，7B.3C.5-D.2

22

答案B由题易知a=l,b=√5,.∙.c=2,又∙.∙∣0P∣=2,.∙2PFE为直角三角形，易知

2222

IIPF1I-IPF2I∣⅛ΛIPF,∣+IPF2∣-2∣PF,∣∙IPF2∣=4,χ∣PF,∣+∣PF2∣=∣F,F2∣MC⅛I6.

∙∙∕PFJ∙∣PFZ∣H=6,.∙.S△外也WlPFJ♦m艮|=3,故选民

2.(2019课标I文，10,5分)双曲线C：W-今l(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C

STIT

的离心率为()

A.2sin40oB.2cos40oC—!—D，cos50°

*sin50o

答案D本题主要考查双曲线的性质，同角三角函数的基本关系式及诱导公式;考查考生的

运算求解能力和逻辑思维能力;考查的核心素养是数学运算.

由双曲线C⅛-⅞=l(a>0,b>0)可知渐近线方程为y=±⅛,

由题意知-^tanI30°,

a

又tanl30o=-tan50o,

4

Λ∙γ=tan50o,

・・・双曲线的离心率e^J7+⅝√l+tan250o=嘿-I-L^__1—,故选D.

a7MyjCoSN50ycos-oOcos50

方法总结求双曲线1(a>0,b>0)的离心率的常见方法：

arIr

(1)定义法:e3泞;(2)公式法:e=m∣=√l+tan2θ(θ为渐近线的倾斜角)；(3)方程思想：

利用题中条件得出关于a,b,c的方程,利用b'cz-a?转化为关于a,c的方程,最后利用e」转

a

化为关于e的方程,从而得出离心率e.

3.(2019北京文,5,5分)已知双曲线白产1(2>。)的离心率是强则2=()

ʌ.√6B.4C.2D.∣

答案D本题主要考查双曲线的几何性质，考查学生运算求解的能力以及方程的思想,考查

的核心素养为数学运算.

由题意得e=ɪ=√5,又a2+b2=c2,Λ.,rr~e2-l=4,

asr<r

Vb2=l,Λa2=i.Va>0,Λa=∣.

易错警示把双曲线的离心率错认为e=JΓ^而出错.

4.(2018浙江,2,4分)双曲线的焦点坐标是()

A.(-√2,0),(√2,0)B.(-2,0),(2,0)

C.(0,-√2),(0,√2)D.(0,-2),(0,2)

答案B本小题考查双曲线的标准方程和几何性质.

∙.∙a2=3,b'l,.∙.c=√^F庐=2.又；焦点在X轴上，.∙.双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0).

易错警示求双曲线焦点坐标的易错点

(1)焦点在X轴上还是y轴上,容易判断错误；

(2)双曲线与椭圆的标准方程中a,b,c的关系式容易混淆.

5.(2015课标I理,5,5分)已知M(Xi),y0)是双曲线C：方=1上的一点,F1,B是C的两个焦点.

若丽•丽<0,则%的取值范围是()

A年)Bd)

CT,I乂等管)

5

答案A若丽•丽=0,则点M在以原点为圆心,半焦距C=行为半径的圆上,则

解得％=⅛可知:丽•丽<0=点M在圆x2+y2=3的内部n^4=%∈(-*与.故选A.

6.(2015课标II理，11,5分)已知A,B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上,ΔABM为等腰三

角形,且顶角为120。，则E的离心率为()

A.√5B.2C.√3D.√2

答案D设双曲线E的标准方程为。⅛l(a>0,b>0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M在第

erIr

一象限内，则易得M(2a,√5a),又M点在双曲线E上,于是筌-罕=1,≡∙

b2=a2,Λe-J1+∙⅛=V2.

7.(2015湖南文,6,5分)若双曲线/白1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率

frIr

为()

A∙1B∙7C.iD.∣

3433

答案D双曲线]■今1的两条渐近线方程为y≈±-x,则点(3,-4)在直线y="x上,即-4=-丝,

εrtraaa

所以4a=3b,即芸,所以e=Jl+∣=∣.故选D.

8.(2015重庆文,9,5分)设双曲线当-216>04>0)的右焦点是"左、右顶点分别是A∣,心

Sru

过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1BlA2C1则该双曲线的渐近线的斜率为()

A.±∣B.C.±1D.±√2

答案C不妨令B在X轴上方,因为BC过右焦点F(c,O),且垂直于X轴,所以可求得B,C两

点的坐标分别为卜,£),卜,-[),又A”&的坐标分别为(-a,0),(a,0),

所以宿(c+a,f),g(c-a,-ɪ),

因为A1BlA2C,所以施∙4C=0,

即(c+a)(c-a)~•丝0,

aa

6

即c2-a2-^=0,所以b2-^=0,

故冬1,即祖1,又双曲线的渐近线的斜率为土々故该双曲线的渐近线的斜率为±1.故选C.

araa

9.（2014课标I理,4,5分）已知F为双曲线C:Xjmyz=3m（m>0）的一个焦点,则点F到C的一条

渐近线的距离为（）

A.V3B.3C.V3mD.3m

答案A由题意知,双曲线的标准方程为£-4=1,其中a'3m,b2=3,故c=√7==6E,不

3m3

妨设F为双曲线的右焦点，故F（√^T瓦0）.其中一条渐近线的方程为y=⅛x,即χ-√⅛=0,由

y/m

点到直线的距离公式可得d=√3,故选ʌ.

√±l+2（-√Effl）L2-

评析本题考查双曲线的方程、性质以及点到直线的距离公式等基础知识,考查考生对知识

的灵活运用能力和运算求解能力.

10.（2014课标1文,4,5分）已知双曲线当空16>0）的离心率为2,则2=（）

k3

Λ.2B.-C，vD.1

22

答案D由双曲线方程知b?=3,从而<?=£+3,又e=2,因此金苧4,又a>0,所以a=l,故选D.

erar

11.（2013课标I理,4,5分）已知双曲线C9昌l（a>O,b>O）的离心率为苧,则C的渐近线方程

为（）

A.y=÷^∙xB.y=±1xC・y=±；XD.y=÷x

答案C∙∙3KT=Jf次,；.C的渐近线方程为y=±gx.故选C.

12.（2011课标全国理,7,5分）设直线1过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直，1

与C交于A,B两点，IABl为C的实轴长的2倍,则C的离心率为（）

Λ.√2B.√3C.2D.3

答案B不妨设双曲线C为《-al（a>O,b>O）,并设1过B（c,0）且垂直于X轴,则易求得

∣AB∣⅛

a

A—=2×2a,b2=2a2,

a

二离心率e故选b∙

7

13.（2016课标∏,∏,5分）已知F1,F2是双曲线E:白昌1的左,右焦点,点M在E上,MF,与X

轴垂直,SinNMF兄=1,则E的离心率为（）

A.√2B.∣C.√3D.2

答案A本题考查双曲线的几何性质;考查了学生的运算求解能力;考查了数学运算的核心

素养.

解法一：由MF1±X轴,可得M（-c,ΛIMF114

由sinZMF2Fl=∣,可得CoSNMFB=Jl-Gy等,

£1

"

又tanZMF2Fl-,Λ⅛≈⅛,∙∙b-=yac,

3

Vc2=a2+bz=>b2=c2-a2,Λc2-a2-γac=0=^e2-^e-l=0,又∙.'e>l,∙'∙e=√∑故选A.

解法二：由MF」X轴，得。，・♦.IMFJq由双曲线的定义可得IMF2∣=2a+1MF,∣=2a+p又

1a

sinZMF2F1~"T∣∙--,2~a=b,Je=庄续√Σ故选A.

I扬22a+--3N*

a

14.（2020课标ΠI文，14,5分）设双曲线（：:刍-白1（a>0,b>0）的一条渐近线为y=√2x,则C的离

εrZr

心率为.

答案√3

解析∙.∙双曲线Cr4-⅞=l（a>0,b>0）的一条渐近线为y=√2x,

srCr

.∙.驾历,.∙.双曲线C的离心率为J∕l+⅝√3.

15.（2018上海,2,4分）双曲线:/=1的渐近线方程为.

答案y=±iχ

解析本题主要考查双曲线的渐近线方程.

解法一：由双曲线:-/=1知a=4,b⅛l,

.∙.a=2,b=l,.∙.该双曲线的渐近线方程为y=+∣x.

8

解法二:令双曲线^y2=l中的“1”为“0”，即可得到双曲线的渐近线方程,即。-y2=0,.∙.该

44

双曲线的渐近线方程为y=±jx.

16.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系XOy中,若双曲线(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)

到一条渐近线的距离为日c,则其离心率的值是.

答案2

解析本题考查双曲线的性质.

双曲线的一条渐近线方程为bχ-ay≈0,则F(c,O)到这条渐近线的距离为

7⅛%.∙.b冬.∙.b*,又b≡=c⅛,Λc⅛Λe⅛2.

17.(2017课标Hl文，14,5分)双曲线WI(a>0)的一条渐近线方程为y⅛,则

εr9O

答案5

解析由题意可得看，

a5

所以a=5.

18.(2017北京理,9,5分)若双曲线x2-^l的离心率为6,则实数m=.

m

答案2

解析本题考查双曲线的性质.

由题意知,a2=l,b2=m.

∙∙∙e⅛=m⅜6⅜代，'m=?.

19.(2016山东理，13,5分)已知双曲线£:《-今1心>0,b>0).若矩形ABCD的四个顶点在E

erIr

上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且21ABI=31BCI,则E的离心率是.

答案2

f)ι2

解析由已知得IABl=ICDl=―,IBel=IADl=IFIF21=2c∙

a

因为2AB∣=3∣BC∣,所以