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文档简介
9.3双曲线及其性质
考点一双曲线的定义和标准方程
1.(2017课标1文,5,5分)已知F是双曲线UχJ*l的右焦点,P是C上一点,且PF与X轴
垂直,点A的坐标是(1,3),则AAPF的面积为()
AɪB.∣C.∣D.∣
3232
答案D本题考查双曲线的几何性质.
易知F(2,0),不妨取P点在X轴上方,如图.
•.•PFJ_x轴,
.∙.P(2,3),∣PF∣=3,又A(l,3),
ΛIAPI=1,AP±PF,
∙∙∙SwWx3Xl=∣.故选D.
(天津,分)已知双曲线()的右焦点为点在双曲线的渐近线
2.20175,5srIra>0,b>0F,A
上,Z∖OAF是边长为2的等边三角形(0为原点),则双曲线的方程为()
Λ,⅛lB,⅛l
412124
C.⅛-y2=lD.x⅛l
3J3
答案D不妨设点A在第一象限,由题意可知c=2,点A的坐标为(1,遥),所以江北,又
a
c2=a2+b2,所以a2=l,b2=3,故所求双曲线的方程为x2-y=l,故选D.
方法总结求双曲线方程的常用方法:(1)待定系数法:设出所求双曲线的方程,根据题意构
造关于a,b的方程组,从而求得a,b,写出双曲线的方程;(2)定义法:根据题意建立动点所满
足的关系式,结合双曲线的定义求出动点所满足的轨迹方程.
3.(2016天津理,6,5分)已知双曲线4-白1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径
4Zr
长的圆与双曲线的两条渐近线相交于Λ,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方
程为()
(%+%=22,①
答案D不妨设A(x0,%)在第一象限,由题意得上的∙2%=2b,②
Uo=^⅞.③
由①③得考嗯,④
所以02义∣6J⅛2⑤
,
〃1以年4入4,户l+62业
由②④⑤可得b2=12.
所以双曲线的方程为=L故选D.
思路分析抓住矩形的一个顶点的坐标,利用该顶点既在圆上又在渐近线上,再结合矩形的
面积建立方程组求解.
评析本题考查了圆和双曲线的方程与性质,考查了运算求解能力和方程的思想方法.
4.(2015安徽理,4,5分)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是()
A.B.--y2=lC.--X=ID.y2-^l
4444
答案C由于焦点在y轴上,故排除A、B.由于渐近线方程为y=±2x,故排除D.故选C.
5.(2014天津理,5,5分)已知双曲线5-昌1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,
双曲线的一个焦点在直线1上,则双曲线的方程为()
A.---^=lc.-D.--^=1
5202052510010025
答案A由题意得以2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则a?=5,b2=20,从而双曲线方程为
a
立巴1
520
2
6∙(2014江西文,9,5分)过双曲线C⅛l的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交
于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,0两点(0为坐标原点),则双曲线C的
方程为()
A2V2A2V2A27A2V2
三
A.4v-1÷21B7.j9*lC.8*81DΛ12-4-1
答案A由双曲线方程知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近线方程为y"x,因此可设点
a
A的坐标为(a,b).设右焦点为F(c,0),由已知可知c=4,且∣AF∣=4,BP(c-a)W=16,所以有
(c-a)2+b2=c2,得a2-2ac+b2=0,又知c2=a2+b2,所以得az-2ac+cz-a2=0,即a=^=2,所以
b2=c2-a2=42-22=12.故双曲线的方程为*1,故选ʌ.
412
评析本题考查双曲线的标准方程的求法、双曲线的几何性质以及圆的定义,考查学生的运
算求解能力和逻辑推理能力.
7.(2016课标I,5,5分)已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,
flτ+n3zzr-n
则n的取值范围是()
A.(-1,3)B.(-1,√3)
C.(0,3)D.(0,√3)
答案A・・・原方程表示双曲线,且焦距为4,
'/+n>0,
∙*∙3∕z^-∏>0,①
4+n+3∕z^^n=4,
'层+n<Oy
或3层-n<0,②
、-(3∕-n)-(/+n)=4,
由①得m2=l,n∈(-l,3).②无解.故选A.
方法优化由题意可知(m2+n)(3m"-n)>0,J^f⅛-m2<n<3m2,从而m2+n>0,且3m2-n>0,所以
m2+n+3m2-n=22,解得m"=l,所以n∈(T,3).
8.(2015课标1文,16,5分)已知F是双曲线CdQl的右焦点,P是C的左支上一
点,A(0,6√6).当AAPF周长最小时,该三角形的面积为.
答案12√6
3
解析由已知得双曲线的右焦点F(3,0).设双曲线的左焦点为F',则F'(-3,0).由双曲线的
定义及已知得IPFl=2a+1PF'∣=2+PF'I.ZXAPF的周长最小,即PA∣+∣PF∣最
小.∣PA∣+∣PF∣=∣PA∣+2+∣PF'∣2∣AF'∣+2=17,即当A、P、F'三点共线时,AAPF的周长最小.
设P点坐标为Go,y0),y0>θ,由然得身6√δy0-96=0,所以y0=2√^或y0=-8√δ(舍去).
所以当AAPF的周长最小时,该三角形的面积S=^×6×6√6-∣×6×2√6=12√6.
9.(2015课标II文,15,5分)已知双曲线过点(4,√3),且渐近线方程为y=+∣x,则该双曲线的
标准方程为.
答案γ-y2=l
解析根据渐近线方程为x±2y=0,可设双曲线方程为χ2-4yJλ(λ≠0).因为双曲线过点
(4,g),所以42-4×(√3)2=入,即λ=4.故双曲线的标准方程为9-yJl.
考点二双曲线的几何性质
1.(2020课标I文,11,5分)设F”F2是双曲线C:x2号1的两个焦点,0为坐标原点,点P在C
上且IOPl=2,则4PFE的面积为()
A,7B.3C.5-D.2
22
答案B由题易知a=l,b=√5,.∙.c=2,又∙.∙∣0P∣=2,.∙2PFE为直角三角形,易知
2222
IIPF1I-IPF2I∣⅛ΛIPF,∣+IPF2∣-2∣PF,∣∙IPF2∣=4,χ∣PF,∣+∣PF2∣=∣F,F2∣MC⅛I6.
∙∙∕PFJ∙∣PFZ∣H=6,.∙.S△外也WlPFJ♦m艮|=3,故选民
2.(2019课标I文,10,5分)双曲线C:W-今l(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C
STIT
的离心率为()
A.2sin40oB.2cos40oC—!—D,cos50°
*sin50o
答案D本题主要考查双曲线的性质,同角三角函数的基本关系式及诱导公式;考查考生的
运算求解能力和逻辑思维能力;考查的核心素养是数学运算.
由双曲线C⅛-⅞=l(a>0,b>0)可知渐近线方程为y=±⅛,
由题意知-^tanI30°,
a
又tanl30o=-tan50o,
4
Λ∙γ=tan50o,
・・・双曲线的离心率e^J7+⅝√l+tan250o=嘿-I-L^__1—,故选D.
a7MyjCoSN50ycos-oOcos50
方法总结求双曲线1(a>0,b>0)的离心率的常见方法:
arIr
(1)定义法:e3泞;(2)公式法:e=m∣=√l+tan2θ(θ为渐近线的倾斜角);(3)方程思想:
利用题中条件得出关于a,b,c的方程,利用b'cz-a?转化为关于a,c的方程,最后利用e」转
a
化为关于e的方程,从而得出离心率e.
3.(2019北京文,5,5分)已知双曲线白产1(2>。)的离心率是强则2=()
ʌ.√6B.4C.2D.∣
答案D本题主要考查双曲线的几何性质,考查学生运算求解的能力以及方程的思想,考查
的核心素养为数学运算.
由题意得e=ɪ=√5,又a2+b2=c2,Λ.,rr~e2-l=4,
asr<r
Vb2=l,Λa2=i.Va>0,Λa=∣.
易错警示把双曲线的离心率错认为e=JΓ^而出错.
4.(2018浙江,2,4分)双曲线的焦点坐标是()
A.(-√2,0),(√2,0)B.(-2,0),(2,0)
C.(0,-√2),(0,√2)D.(0,-2),(0,2)
答案B本小题考查双曲线的标准方程和几何性质.
∙.∙a2=3,b'l,.∙.c=√^F庐=2.又;焦点在X轴上,.∙.双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0).
易错警示求双曲线焦点坐标的易错点
(1)焦点在X轴上还是y轴上,容易判断错误;
(2)双曲线与椭圆的标准方程中a,b,c的关系式容易混淆.
5.(2015课标I理,5,5分)已知M(Xi),y0)是双曲线C:方=1上的一点,F1,B是C的两个焦点.
若丽•丽<0,则%的取值范围是()
A年)Bd)
CT,I乂等管)
5
答案A若丽•丽=0,则点M在以原点为圆心,半焦距C=行为半径的圆上,则
解得%=⅛可知:丽•丽<0=点M在圆x2+y2=3的内部n^4=%∈(-*与.故选A.
6.(2015课标II理,11,5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,ΔABM为等腰三
角形,且顶角为120。,则E的离心率为()
A.√5B.2C.√3D.√2
答案D设双曲线E的标准方程为。⅛l(a>0,b>0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M在第
erIr
一象限内,则易得M(2a,√5a),又M点在双曲线E上,于是筌-罕=1,≡∙
b2=a2,Λe-J1+∙⅛=V2.
7.(2015湖南文,6,5分)若双曲线/白1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率
frIr
为()
A∙1B∙7C.iD.∣
3433
答案D双曲线]■今1的两条渐近线方程为y≈±-x,则点(3,-4)在直线y="x上,即-4=-丝,
εrtraaa
所以4a=3b,即芸,所以e=Jl+∣=∣.故选D.
8.(2015重庆文,9,5分)设双曲线当-216>04>0)的右焦点是"左、右顶点分别是A∣,心
Sru
过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1BlA2C1则该双曲线的渐近线的斜率为()
A.±∣B.C.±1D.±√2
答案C不妨令B在X轴上方,因为BC过右焦点F(c,O),且垂直于X轴,所以可求得B,C两
点的坐标分别为卜,£),卜,-[),又A”&的坐标分别为(-a,0),(a,0),
所以宿(c+a,f),g(c-a,-ɪ),
因为A1BlA2C,所以施∙4C=0,
即(c+a)(c-a)~•丝0,
aa
6
即c2-a2-^=0,所以b2-^=0,
故冬1,即祖1,又双曲线的渐近线的斜率为土々故该双曲线的渐近线的斜率为±1.故选C.
araa
9.(2014课标I理,4,5分)已知F为双曲线C:Xjmyz=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条
渐近线的距离为()
A.V3B.3C.V3mD.3m
答案A由题意知,双曲线的标准方程为£-4=1,其中a'3m,b2=3,故c=√7==6E,不
3m3
妨设F为双曲线的右焦点,故F(√^T瓦0).其中一条渐近线的方程为y=⅛x,即χ-√⅛=0,由
y/m
点到直线的距离公式可得d=√3,故选ʌ.
√±l+2(-√Effl)L2-
评析本题考查双曲线的方程、性质以及点到直线的距离公式等基础知识,考查考生对知识
的灵活运用能力和运算求解能力.
10.(2014课标1文,4,5分)已知双曲线当空16>0)的离心率为2,则2=()
k3
Λ.2B.-C,vD.1
22
答案D由双曲线方程知b?=3,从而<?=£+3,又e=2,因此金苧4,又a>0,所以a=l,故选D.
erar
11.(2013课标I理,4,5分)已知双曲线C9昌l(a>O,b>O)的离心率为苧,则C的渐近线方程
为()
A.y=÷^∙xB.y=±1xC・y=±;XD.y=÷x
答案C∙∙3KT=Jf次,;.C的渐近线方程为y=±gx.故选C.
12.(2011课标全国理,7,5分)设直线1过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,1
与C交于A,B两点,IABl为C的实轴长的2倍,则C的离心率为()
Λ.√2B.√3C.2D.3
答案B不妨设双曲线C为《-al(a>O,b>O),并设1过B(c,0)且垂直于X轴,则易求得
∣AB∣⅛
a
A—=2×2a,b2=2a2,
a
二离心率e故选b∙
7
13.(2016课标∏,∏,5分)已知F1,F2是双曲线E:白昌1的左,右焦点,点M在E上,MF,与X
轴垂直,SinNMF兄=1,则E的离心率为()
A.√2B.∣C.√3D.2
答案A本题考查双曲线的几何性质;考查了学生的运算求解能力;考查了数学运算的核心
素养.
解法一:由MF1±X轴,可得M(-c,ΛIMF114
由sinZMF2Fl=∣,可得CoSNMFB=Jl-Gy等,
£1
"
又tanZMF2Fl-,Λ⅛≈⅛,∙∙b-=yac,
3
Vc2=a2+bz=>b2=c2-a2,Λc2-a2-γac=0=^e2-^e-l=0,又∙.'e>l,∙'∙e=√∑故选A.
解法二:由MF」X轴,得。,・♦.IMFJq由双曲线的定义可得IMF2∣=2a+1MF,∣=2a+p又
1a
sinZMF2F1~"T∣∙--,2~a=b,Je=庄续√Σ故选A.
I扬22a+--3N*
a
14.(2020课标ΠI文,14,5分)设双曲线(::刍-白1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=√2x,则C的离
εrZr
心率为.
答案√3
解析∙.∙双曲线Cr4-⅞=l(a>0,b>0)的一条渐近线为y=√2x,
srCr
.∙.驾历,.∙.双曲线C的离心率为J∕l+⅝√3.
15.(2018上海,2,4分)双曲线:/=1的渐近线方程为.
答案y=±iχ
解析本题主要考查双曲线的渐近线方程.
解法一:由双曲线:-/=1知a=4,b⅛l,
.∙.a=2,b=l,.∙.该双曲线的渐近线方程为y=+∣x.
8
解法二:令双曲线^y2=l中的“1”为“0”,即可得到双曲线的渐近线方程,即。-y2=0,.∙.该
44
双曲线的渐近线方程为y=±jx.
16.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系XOy中,若双曲线(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)
到一条渐近线的距离为日c,则其离心率的值是.
答案2
解析本题考查双曲线的性质.
双曲线的一条渐近线方程为bχ-ay≈0,则F(c,O)到这条渐近线的距离为
7⅛%.∙.b冬.∙.b*,又b≡=c⅛,Λc⅛Λe⅛2.
17.(2017课标Hl文,14,5分)双曲线WI(a>0)的一条渐近线方程为y⅛,则
εr9O
答案5
解析由题意可得看,
a5
所以a=5.
18.(2017北京理,9,5分)若双曲线x2-^l的离心率为6,则实数m=.
m
答案2
解析本题考查双曲线的性质.
由题意知,a2=l,b2=m.
∙∙∙e⅛=m⅜6⅜代,'m=?.
19.(2016山东理,13,5分)已知双曲线£:《-今1心>0,b>0).若矩形ABCD的四个顶点在E
erIr
上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且21ABI=31BCI,则E的离心率是.
答案2
f)ι2
解析由已知得IABl=ICDl=―,IBel=IADl=IFIF21=2c∙
a
因为2AB∣=3∣BC∣,所以
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