2022-2023学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省沈阳市高一(上)期末数学试卷

(含解析)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷

上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

1.己知集合4={x∣l0g2X<1},集合B={y∣y==2-x},则AUB=()

A.(0,+8)B.[0,2)C.(0,2)D.[0,+∞)

2.设函数/0)的定义域为(一1,3),则函数9(X)=余普的定义域为()

A.(-2,1)B.(-2,0)U(0,1)C.(0,1)D.(-∞,0)U(0,1)

3.在人类中，双眼皮由显性基因4控制，单眼皮由隐性基因α控制，当一个人的基因型为

Λ4或4α时，这个人就是双眼皮，当一个人的基因型为αα时，这个人就是单眼皮.随机从

父母的基因中各选出一个A或者α基因遗传给孩子组合成新的基因.根据以上信息，则“父

母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

4.当x<0时，函数y=x+()

A.有最大值-4B.有最小值一4C,有最大值4D.有最小值4

5.设a=k>g32,b=log64,c=log3e(2β),则()

A.c<b<aB,a<b<cC.b<a<cD,a<c<b

6.某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票.六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三

张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以力表示在甲抽奖箱中中奖的

事件，B表示在乙抽奖箱中中奖的事件，C表示两次抽奖均末中奖的事件.下列结论中正确

的是()

A.B.事件4与事件B相互独立

C.P(AB)与P(C)和为54%D.事件A与事件B互斥

7,我国东汉末数学家赵爽在倜髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后

人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,

如图所示.在“赵副弦图”中，已知荏=3前，AB=a^同=至，则荏=()

A.

B.

C.

D.

8.已知函数/(χ)=[μ+ιl∣,^D若/(χι)=/(到)=/(ɪɜ)=/(%4)(%1，支2/3/4互不相等)，

则巧+%2+乂3+工4的取值范围是(注：函数九(X)=X+；在(0,1]上单调递减，在(L+8)上单

调递增)()

A.(-∣,0)

B.[-ɪθ]

C.[θ,ɪ)

D.(01]

9,若某地区规定在一段时间内没有发生大规模群体病毒感染的标准为“连续10天,每天新

增疑似病例不超过7人”，根据该地区下列过去10天新增疑似病例的相关数据，可以认为

该地区没有发生大规模群体感染的是()

A.平均数为2,中位数为3

B,平均数为1,方差大于0,5

C.平均数为2,众数为2

D.平均数为2,方差为3

10.如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为元件1,元件2,元件3,元件4,电

流能通过元件1,元件2的概率都是p,电流能通过元件3,元件4的概率都是0.9,电流能

否通过各元件相互独立.已知元件1,元件2中至少有一个能通过电流的概率为0.96,则()

—元件3―

M—N

--1兀件2]，--1元件4I--

A.

B,元件1和元件2恰有一个能通的概率为

C.元件3和元件4都通的概率是0.81

D.电流能在M与N之间通过的概率为0.9504

11.在△4BC中，AD是中线，AG=2GD，则下列等式中一定成立的是()

A.AB+AC=2AD

B.AG=^AB+^AC

C.SMBC=3S&GBC

D.AG=jλB+jAC

12.氯(Radon)又名氟，是一种化学元素，符号是Rn.氢元素对应的单质是氮气，为无色、

无臭、无味的惰性气体，具有放射性.已知放射性元素氢的半衰期是3.82天，经X天衰变后

变为原来的αf(α>0且α≠1),¾0.8347-64=,贝∣J()

A,经过7.64天以后，空元素会全部消失

B.经过15.28天以后，氨元素变为原来的

C.α=0.834

D.经过3.82天以后剩下的氢元素是经过7.64天以后剩下的氨元素的

13.袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，

直到“中”华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利

用电脑随机产生O到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“中、华，民、族”

这四个字，以每三个随机数为一组，表示取三次的结果，经随机模拟产生了以下18组机数：

232321230023123021132220001231130133231031320122

由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为.

14.设2。=5匕=771,且2+则m.

ab----------

15.2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”

难求.甲、乙、丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，

若甲、乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为：，丙购买到冰墩墩的概率为右则甲、乙、

丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为.

16.在^ABC中，点F为线段BC上任一点(不含端点)，若而=χAB+2yAC(x>0,y>0).

则的最小值为.

17.已知N=(1,0),b=(2,1).

(I)当k为何值时,ka+(与W-2石共线；

(2)若彳S=1+3加记=五-Tn刃且力，B,C三点共线，求Tn的值.

18,2018年4月4日召开的国务院常务会议明确将进一步推动网络提速降费工作落实，推

动我国数字经济发展和信息消费，今年移动流量资费将再降30%以上，为响应国家政策，某

通讯商计划推出两款优惠流量套餐，详情如下：

套餐名称月套餐费/元月套餐流量/M

A303000

B506000

这两款套餐均有以下附加条款：套餐费用月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量,

系统就会自动帮用户充值200OM流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统再次自动帮

用户充值200OM流量，资费20元，以此类推.此外，若当月流量有剩余，系统将自动清零,

不可次月使用.

小张过去50个月的手机月使用流量(单位：M)的频数分布表如下:

月使用流量分组

[2000,3000(3000,4000](4000,5000](5000l6000](6000,7000](7000,8000]

频数451116122

根据小张过去50个月的手机月使用流量情况，回答以下几个问题：

(1)若小张选择力套餐，将以上频率作为概率，求小张在某一个月流量费用超过50元的概率.

(2)小张拟从A或B套餐中选定一款，若以月平均费用作为决策依据，他应订购哪一种套餐？

说明理由.

19.已知函数/(x)=IogaX,g(x)=logα(2x+m-2),其中Xe[1,3],a>0且a≠l,meR.

(1)若m=5且函数Fa)=/(x)+g(x)的最大值为2,求实数a的值.

(2)当0<a<l时，不等式f(x)<2g(x)在x∈[1,3]有解，求实数6的取值范围.

20.甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为，

由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为，若甲输了上一盘棋，则

下一盘棋甲赢的概率就变为•已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢.

(1)求第四盘棋甲赢的概率；

(2)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率.

21.己知定义域为R的函数〃久)=£蒜是奇函数.

(1)求y=f(x)的解析式；

(2)若f(l0g4X∙Iog2+/(4-2a)>0恒成立，求实数a的取值范围.

22.定义：如果函数y=∕(x)在定义域内给定区间［α,b］上存在xo(α<x0<b),满足；，则

称函数y=f(x)是［α,句上的“平均值函数”,&是它的平均值点.

(1)函数y=2炉是否是［一1,1］上的“平均值函数”，如果是请求出它的平均值点，如果不是,

请说明理由；

(2)现有函数y=-22X+I+m-2x+1+1是［-1,1］上的平均值函数，求实数m的取值范围.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解:,・・集合A={x∣log2x<1}={x∣0<X<2},

集合B={y∖y=√2—x}={y∖y≥0},

・•・4UB=[0,+8)

故选：D.

求出集合4,集合B,再根据并集的定义，求出/UB.

本题考查对数不等式的解法，并集及其运算，考查运算求解能力，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：函数f(x)的定义域为(一1,3),则对于函数5(X)=舒崇，

(―1<1+X<3

应有，I-X>0,求得一2<X<0或0<X<1,

.1-X≠1

故函数9。)的定义域为(-2,0)U(0,1),

故选：B.

由题意，利用函数的定义域的定义和求法，得出结论.

本题主要考查函数的定义域的定义和求法，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：若“父母均为单眼皮”，即父母的基因型都是αα,所以孩子的基因型也一定为αα,

所以一定有“孩子为单眼皮”，

若“孩子为单眼皮”，则孩子的基因型αα,但是父母的基因型可能都是Aa或一个是Aa,一个是

aa,所以父母中有可能有双眼皮，

所以“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的充分不必要条件.

故选:A.

根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可.

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，

属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：TX<0,.X>0,

•••,当且仅当X=-2时等号成立，

故选：A.

利用基本不等式可直接得到函数的最值.

本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：由已知得，

a-b==,显然1n6-ln9<0,故a—b<0,a<b,排除4,C；

b—c===,

显然1—1∏2>0,ln2—InS<0.故b—c<0,得b<c,

故a<b<c.

故选：B.

因为a,b,C都大于零，可先换底，然后利用作差或作商法比较大小.

本题考查对数运算性质和换底公式，以及对数的大小比较问题，属于中档题.

6.【答案】ABC

【解析】解：由题意可知，，，

对于4,故/正确；

对于B,在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，B项正确；

对于C,由B可知，所以PQ4B),故C正确；

对于0,事件4与事件B相互独立而非互斥，故。错误.

故选：ABC.

分别求出P(A),P(B),进一步求出P(C)与PQ4B),判断AC选项，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱

抽奖互不影响，故事件4和事件B相互独立，判断BO选项.

本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了独立事件和对立事件的定义，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：因为荏=3前，

所以而=而+而=而+前=而+(EA+AD)=AB+(-AE+AD),

所以荏=通+而一荏，整理得，AE=(AB+AD)=a+b-

故选：A.

根据平面向量的线性运算法则，即可得解.

本题考查平面向量的线性运算，熟练掌握平面向量的加法和数乘的运算法则是解题的关键，考查

逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及计算能力，是中档题.

画出函数/(X)=腰得;<的图象，利用/GD=/(x2)=/(x3)=/(x4).转化求解勺+x2+

町+办的取值范围.

【解答】

令C=f01)=f(%2)=f(%3)=f(%4)，

设XlVX2V%3V%4，则有％I+%2=-2,X3∙X4=1»且2≤%3<L

故+冷+%3+%4=—2+%3+%4=-2+久3+

因为函数∕ι(x)=x+:在(0,1］上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

故知+?(2，|].

x

X1+x2+3+%4的取值范围是(O1]，

故选：D.

9.【答案】AD

【解析】解：对于4因10个数的平均数为2,中位数为3,将10个数从小到大排列，设后面4

个数从小到大依次为α,b,c,d,显然有d≥c≥b≥α≥3,而α+b+c+d≤14,则d的最

大值为5,A符合条件；

对于B,平均数为1,方差大于0.5,可能存在大于7的数，如连续10天的数据为：0,0,0,0,

0,0,0,0,0,10,其平均数为1,方差大于0.5,B不符合；

对于C,平均数为2,众数为2,可能存在大于7的数，如连续10天的数据为：0,0,0,2,2,

2,2,2,2,8,其平均数为2,众数为2,C不符合；

对于D,设连续10天的数据为刈，i∈∕V∖i≤10,因平均数为2,方差为3,

则有2i=1®-2)2=3,于是得(Xi-2)2≤30,而XiEN,i&N*,i≤10,因此Xi≤7,i∈N*,

i≤10,。符合条件.

故选：AD.

根据给定条件，利用平均数、中位数、方差的意义计算推理判断4D-.举例说明判断B,C作答.

本题考查了求平均数、众数、中位数与方差的问题，是中档题.

10.【答案】ACD

【解析】解：对于4由题意，可得GP(I-P)+p2=0.96,整理可得p2-2p+0.96=0,则(p—

1.2)(p-0.8)=0,则，故Z正确；

对于B,,故8错误；

对于C,0.9x0.9=0.81,故C正确；

对于D,元件3,元件4中至少有一个能通过电流的概率为GX0.9×(1-0.9)+弓x0.92=0.99,

则电流能在M与N之间通过的概率为0.96X0.99=0.9504,故。正确.

故选：ACD.

根据独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率的加法公式，可得答案.

本题主要考查了独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率的加法公式，属于基础题.

11.【答案】ABC

【解析】解：A,•；在△?!BC中，4。是中线，.∙.荏+前=2而，・••/正确，

B,•••在AABC中，AC是中线，南=2而，:前号同=*2港+前)=：而+"前，；.8正

确，。错误，

C,设AGBC的高为∕ι,∙.∙而=2而，则AABC的高为3九，

=

∙,∙SA∕∣8C~BC∙3>h—3--BC∙h—ɜ5ʌegɛ`∙'∙C正确，

故选：ABC.

利用平面向量的线性运算，中线的性质判断4B0,利用三角形的面积公式判断0.

本题考查平面向量的线性运算，中线的性质，三角形的面积公式，属于中档题.

12.【答案】BC

【解析】解：因为7.64=2X3.82天后，氢元素变为原来的，/错误；

经过3.82天以后剩下的氨元素是原来的，经过7.64天以后剩下的氨元素是原来的，。错误；

要使得氢元素变为原来的=()4,需要经过4X3.82=15.28天，8正确；

因为放射性元素氢的半衰期是3.82天，则/(3.82)=m,

所以α3∙82=,

因为0.8347∙64=(O.8343∙82)2=,

所以0,834362=,

所以α=0.834,C正确.

故选：BC.

由已知结合指数的运算性质，结合指数函数的性质可求.

本题主要考查了指数运算性质在实际问题中的应用，属于基础题.

13.【答案】

【解析】解：根据题意，随机数中只有021,001,130,031,103共5种情况，

则可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为，

故答案为：，

根据题意可得出满足题意的随机数，利用古典概型定义可解.

本题考查古典概型定义，属于基础题.

14.【答案】20

【解析】解：2a-Sb-m>0,

・.“C-_察Igm'Jh_旗Igm’

一+"1，

ab

...陋+娅=1,

IgmIgm

Igm-lg20,

则m=20.

故答案为：20.

把指数式化为对数式，再利用对数运算性质即可得出.

本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

15.【答案】I

【解析】解：因为甲乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为:.

所以甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率Pl=I-：=：.

同理，丙购买不到冰墩墩的概率P?=ι-∣=∣.

所以，甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率P3=Pi•02=：XI/

于是甲乙丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率P=I-P?=∣∙

ɔ3

故答案为：|.

先算出甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率，然后算出丙购买不到冰墩墩的概率，进而算出甲乙丙

3人都购买不到冰墩墩的概率，最后算出答案.

本题主要考查相互独立事件的概率，属于基础题.

16.【答案】9

【解析】解：因为点F为线段BC上任一点(不含端点)，

若而=xAB+2yAC(<x>0,y>0).则x+2y=1,

=()(x+2y)=5+=9,当且仅当X=y且X+2y=1,即％=y=时取等号.

故答案为：9.

由已知结合向量共线定理可得X+2y=1,然后结合乘1法及基本不等式即可求解.

本题主要考查了向量共线定理，基本不等式求解最值，属于中档题.

17.【答案】解:(1)•••五=(1,0),b=(2,1).

.∙.ka+b=(k+2,1)'α—2h=(—3,—2),

又热+至与万一23共线，

.∙∙-2(k+2)-lx(-3)=0,

解得；

(2)48=a+3b=(7,3)>BC=a-m∙b=(l-2m,—m)，

∙.∙A,B、C三点共线，.∙.一7τn-3(l-2τn)=0,

解得m=-3.

【解析】(1)由已知求得kH+E与苍一2石的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解;

(2)由已知求得通,配的坐标，再由两向量共线的坐标运算求解.

本题主要考查了向量共线的性质，考查了方程思想，属于基础题.

18.【答案】解：(1)设使用流量X",流量费用为y,

依题意，当2000≤x≤3000时∙，y=30；

当3000<X≤5000时，y=50；

所以流量费用超过50元概率：P(y>50)=16^+2=I；

(2)设力表示A套餐的月平均消费，设'8表示B套餐的月平均消费，

.∙.五=4(30X4+50X16+70X28+90X2)=61.2,

五=击(50X36+70X14)=55.6,

∙∙∙yA>yβ<

故选套餐B.

【解析】(1)设使用流量xM,流量费用为y,所以流量费用超过50元概率：P(y>50)=等/=1

(2)分别求出订购A套餐和订购B套餐的月平均费用，比较大小后得答案.

本题考查函数在实际问题中的应用，考查概率统计问题，是中档题.

19.【答案】解：(1)当m=5时，g(%)=logα(2x+3),所以F(x)=/(x)+g(x)=logax+loga(2x+

2

3)=loga(2x+3x),x∈[1,3],

当a>l时，/(X)在定义城内单调递增，F(X)max=F(3)=logfl27=2,解得a=3百，

当0<a<1时，F(X)在定义域内单调递减，F(X)znax=F(I)=lo5a5=2,解得a=遮，不符合

题意，舍去，

综上，实数a的值为3遮；

(2)要使g(x)在X6[1,3]上有意义，则2x+τn-2>0,解得τn>0,

2

由f(x)<2g(x),BPIogax<loga(2x+m—2),因为0<a<l,所以x>(2x+m-2>,

即a>2x+m-2,得m<—2x+a+2,令t=t∈[1,V3]，记∕ι(t)=-2t?+t+2,

对称轴为C=ɪ,h(fymax=/i(ɪ)=-2X(抨+H2="

若不等式/(x)<2g(x)在X∈[1,3]有解，则m<-2%+«+2在％∈[1,3]有解

即在%∈有解，即?

m<h(t)ma4[1,3]nVO

综上所述，实数Tn的取值薇围为(0,1).

【解析】(1)将Tn=5代入函数得出?(X)解析式，根据复合函数同增异减的性质，分类时论a>l

和0<a<1即可；(2)由对数函数性质可得m>0,再由对数单调性可符τn<-2x+«+2,利

用换元法结合二次函数的性质求出不等式右边的最大值，即可得到m的取值范围.

本题考查函数性质，属于中档题.

20.【答案】解：(1)设第四盘棋甲扁为事件4,第四盘棋甲赢分两种情况：

①第三盘棋和第四盘棋都是甲赢，则P=X=,

②第三盘棋乙赢，第四盘棋甲赢，则P=X=,

则POI)=+=.

(2)设比赛结束时，甲恰好赢三盘棋为事件B,分三种情况:

①若甲赢第三盘，则概率为XX(1—)=,

②若甲赢第四盘，则概率为XX(1-)=,

③若甲赢第五盘，则概率为(1-)X=,

则P(B)=++=.

【解析】(1)第四盘棋甲赢分两种情况，再分别求出概率即可.

(2)若甲恰好赢三盘棋分三种情况，再分别求出概率即可.

本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式，属于中档题.

21.【答案】解：(1)因为函数f(x)=哥T是奇函数，

所以/(一X)=一/(x).即3二二=-3%露'

-r∣n∙3x-l_n-3x

加f以hy+1+3=.3+3》+1'

所以九・3》-1=一九+33

可得Tl=1,

所以函数/(X)=热券•

l-3x13x-112

-x=+x,

(2)由(1)知/(%)=3+3χ+ι-3'3+l-33(3+l)

易得f(X)在R上单调递减，

PO

由fOog4