山东省郯城第二中学2022-2023学年高一年级上册期末考试数学试题

郑城二中高一上学期期末数学试题

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.设S=a=ku+],kGZ=a\a=2阮keZ1§=a\a=Hc-,kGZ,

2

则下列结论错误的是（）

A.SI、u-SB.52c5

c.S]<JS2=SD.S\CS?=S

2.已知扇形的半径是2,面积是8,则扇形的中心角的弧度数是（)

1

A.1B.4C.2D.一

4

jr

3.设0<x<],记。=5亩工，b=esinx,c=lnsinx,则a,dc的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

4.如图，函数/（x）的图象类似汉字中的“冏”字，则其解析式可能为（）

A」（'）=点¥•1

B」(x)=flqC.“x)=ND./(x)=

5.记地球与太阳的平均距离为R,地球公转周期为T,万有引力常量为G,根据万有引

4储外

力定律和牛顿运动定律知：太阳的质量”=(kg).已知

GT2

R3

lg2。0.3,1g兀b0.5,1g券。28.7,由上面的数据可以计算出太阳的质量约为（）

A.2xl030kgB.2xl029kgC.3xl0MkgD.3xl029kg

ax~\x<\

6.已知函数〃x）=-x2-(2a-3)x-a,l<x<2(a>0且a.l)对于任意的实数再。马，

-2a-ln(x-l),x>2

都有（再-制（〃再）-/（七））<。成立，则°的取值范围是（）

试卷第1页，共5页

12

7.记函数/（工）=面"%+力+/。:>0）的最小正周期为7.

若丁<7〈乃，且y=/（无）

的图象关于点（技？]中心对称，贝九/[5）=（）

35

A.1B.C.D.3

22

8.已知函数/(X)=E：6X,X%

若关于x的方程4/（耳-4”（*）+2几+3=0有5个不

同的实根，则实数2可能的取值有（）

873

A.-1B.—C.——D.—

762

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的

四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，

有选错的不得分）

9.下列各式的值等于1的有（）

A.sin2(-x-l)+cos2(x+1)

C.cos(-5K)

sin(-3n+a)

10.欧拉公式（EulerFormula）e'"+1=0被数学家们称为“宇宙第一公式”.（其中无理

数

e=2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669

676277240766303535475945713821785251664274如果记e小数点后第"位上的数

字为打，则机是关于〃的函数，记为机=/（〃）.设此函数定义域（domain）为A,值域

（range）为B,则关于此函数，下列说法正确的有（）

A./（5）=8B.函数/（"）的图像是一群孤立的点

C.〃是相的函数D.BQA

11.下到说法正确的是（）.

A.若函数“X）的定义域为[0,2],则函数/（2x）的定义域为[0,4]

v*-L1

B.〃x）=3图象关于点（-2,1）成中心对称

C.基函数/（x）=（/-3m+3）户…在（0,+句上为减函数，则加的值为1

D.若x>0,则一厂+*-4的最大值是-3

X

试卷第2页，共5页

12.己知函数/3=m"+<：。50(〃€旷)，则下列说法正确的是()

A.”=1时，/(x)的最大值为近

B.〃=2时，方程〃x)=2sinx+|sinx|在［0,2可上有且只有三个不等实根

C.〃=3时，/(x)为奇函数

D.〃=4时，/'(X)的最小正周期为

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横

线上)

13.tana=2,则sin’a+sinacosa-cos,au.

14.如图，单位圆被点4,4,…，4分为12等份，其中4(1,0).角a的始边与工轴的非负

半轴重合，若a的终边经过点4,则cosa=；^sina=sinfa+yj-则角。

的终边与单位圆交于点.(从4,4,…中选择，写出所有满足要求的点)

15.写出一个同时满足下列两个条件的函数〃x)=.

①对€(0,+8),有/(中2)=/(百)+/(%)；

②当xe(4,+00)时，/(X)>1恒成立.

16.若定义在R上的函数/(x)满足：当国4；时，/(-sinx)+2/(sinx)=3sinxcosx,

且〃x+2)=/(x),则/(曰卜.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时写出必要的文字、证明过程

或演算步骤)

17.已知命题p：3x0e—x0—/n>0是假命题.

(1)求实数的取值集合3；

(2)设不等式(x-3a)(x-a-2)<0的解集为4,若xe8是xe/的必要不充分条件，求

实数。的取值范围.

试卷第3页，共5页

a

18.己知函数/(x)aeR,若/⑴=T

x

⑴求。值；

(2)判断函数/(x)的奇偶性，并用定义给出证明;

(3)用定义证明/(X)在区间(0,+8)上单调递增.

&sinZ+l_sin2C

19.记—SC的内角4仇。的对边分别为刑瓦c,已知

1—V2cosJ1+cos2C

(1)若B=E，求C；

⑵若3毓求篝的范围•

20.已知函数

,/'(x)=-2sin2R-(OC+(0>O,O<8<7r,xeR)为奇函数,

⑴求“X)的最小正周期和单调增区间；

TT57r

(2)若时，方程/(x)=,w有解，求实数机的取值范围.

_o12_

(3)将函数/(x)的图象向左平移方个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标

不变，再向上平移一个单位，得到函数g(x)的图象.填写下表，并用“五点法”画出g(x)

在［0,2可上的图象.

71兀13K

XH--

66~6~

02兀

g(x)

试卷第4页，共5页

21.2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、

“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好

的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然

艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松.某科研机构对变异毒株在一特定环境下进行观测,

每隔单位时间7进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的

数量，单位为万个，得到如下观测数据：

x(T)123456

y(万个)1050150

若该变异毒株的数量共单位：万个)与经过x(xeN')个单位时间T的关系有两个函数模

型y=px2+q与y-kax(k>Q,a>1)可供选择.

(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个.(参考数据:

收”2.236,痒2.449,lg2»0.301,lg6»0.778)

22.若在定义域内存在实数与，使得/(x°+l)=/(x°)+/⑴成立，则称函数有“飘移点”看.

(1)函数〃x)=L是否有“飘移点”？请说明理由；

X

(2)证明函数/(x)=/+2,在(0,1)上有“飘移点”；

(3)若函数/(x)=1glM］在(°，+°°)上有“飘移点”，求实数a的取值范围.

试卷第5页，共5页

参考答案

1.D

【分析】根据集合中角的特征分析集合间的关系即可得解.

【详解】因为S={a[a=表示终边落在y轴上角的集合，

5=1a|a=^7r+|,Aez|表示终边落在V轴正半轴上角的集合，

邑={ala="兀-]火ezj>表示终边落在V轴负半轴上角的集合，

所以E±S,S2^S,，uS?=S正确；S,nS2=0^S,故错误.

故选：D

2.B

【分析】扇形的圆心角的弧度数为半径为R,弧长为/,面积为S,由面积公式和弧长公式可

得到关于/和R的方程，进而得到答案.

【详解】由扇形的面积公式得:S=；伏，

因为扇形的半径长为2,面积为8,则8=gx2x/

所以扇形的弧长/=8.

设扇形的圆心角的弧度数为a,

由扇形的弧长公式得：/=|a|R,且R=2

即8=2同，解得|a|=4,所以扇形的圆心角的弧度数是4.

故选：B.

3.D

【分析】由0<x<5，可得0<sinx<l,从而可得0<a<l,c<0,[<b<e,即可比较a,6,c

的大小.

【详解】解：因为0<x苦，

所以0<sinx<1,即0<a<1；

所以ln(sinx)<0,即c<0；

所以lve*n*<e,即1幼<e；

所以c<a<6.

故选：D.

答案第1页，共13页

4.C

【分析】根据图象判断出函数的奇偶性，然后结合函数值的正负即可判断答案.

【详解】由题可知〃x）的图象关于夕轴对称，故/（X）为偶函数，排除B,D：对于A,/（x）＞0

恒成立，不符合题意.

故选：C.

5.A

【分析】利用对数运算性质计算即可.

??3

【详解】因为lg2“0.3,lg兀”0.5,怆彳228.7,

4储炉

所以由M得:

GT2

...21外

lgM=1g=lg4+lgTt-4-lg^p-

GT\

R3

=21g2+21g7c+lg—2x0.3+2x0.5+28.7=30.3,

Xlg2«0.3=>10°3«2,

所以MwZxQOkg.

故选:A.

6.D

【分析】根据函数的单调性列不等式，从而求得。的取值范围.

【详解】由于对于任意的实数x尸3，都有（占-々）（/（司）-/（乙））＜0成立,

所以/（x）在R上单调递减.

0<。<1

-工1

12

所以2，解得V

a1-1>-l-（2a-3）-a

-4-2（2a-3）-a>-2a-lnl

12

所以。的取值范围是

故选：D

7.A

答案第2页，共13页

【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.

【详解】由函数的最小正周期T满足＜万，得二（生〈"，解得2＜。＜3,

又因为函数图象关于点L，2〕对称，所以当。+£=%乃MeZ,且b=2,

I2）24

所以0=Z,所以0=2，/（x）=sin（；x+f）+2,

632V24J

所以/（£|=sin（¥+9+2=L

故选：A

8.C

【分析】作出函数/（x）的图象，结合图象可知关于的一元二次方程根的分布，根据一元

二次根的分布列出不等式求解即可.

【详解】作出函数/（x）=的图象如下，

2x-l,x＞0

因为关于x的方程4/2（x）-44/（x）+2/l+3=0有5个不同的实根,

所以关于/（X）的一元二次方程有两个不同的根，

且满足-l</(x)<0,-9<f2(x)<-l,或T</(x)<0,6(x)=0,或

人(x)=T,

令f=，(x),则4/-4力+22+3=0的两根满足Tj<0，-9<。2<-1时,

令g(f)=4f2_4〃+2/l+3,

g(-9)>0382+327>0

37

g(-l)<0,BP-62+7<0’解得一5＜2＜一/

g(0)>022+3>0

答案第3页，共13页

33

若4」-44+2/1+3=0的两根满足一1<4<0,G=0,则4=-,，此时％=0或乙=一5,不

符合要求，舍去，

71

若4/_4»+2；1+3=0的两根满足-1J<0,4=-1，贝1」彳=-二，此时/2=T或符

66

合要求，

37

综上—<—,

26

故选：C

9.AD

【分析】根据诱导公式以及同角关系即可结合选项逐一化简求解.

【详解】对于A,sin2(-x-l)+cos2(x+l)=sin21+1&cos?6+1)=1,故A正确,

对于B,sin^-y^=sin^-y+27r^=sin^-y^="sin^=-l,故B错误，

对于C,COS(-5TI)=COS5TI=COS7C=-1，故C错误，

(n、

cos—+a

对于D,------【--2------)-=-----s-i-n--a----=----s--i-n--a-=[故D正确，

sin(—3冗+a)sin(n+a)-sina

故选：AD

10.ABD

【分析】根据7=/(〃)的定义可知A正确；由〃eN*可知B正确；根据函数定义可知C错

误；根据Z=N*,机€1\1.可知口正确.

【详解】对于A,；e小数点后第5位上的数字为8,.•・/(5)=8,A正确；

对于B,•.FGN*,，/(〃)的图像是一群孤立的点，B正确；

对于C,由e的值可知：当,〃=8时，"=3,5,7,…，不符合函数的定义，C错误；

对于D,由题意知：4=N*;又zneN*,D正确.

故选：ABD.

11.BCD

【分析】利用抽象函数定义域的求法可判断A选项；利用函数的对称性的定义可判断B选

项；利用累函数的定义与单调性求出”的值，可判断C选项；利用基本不等式可判断D选

项.

答案第4页，共13页

【详解】对于A选项，若函数/(x)的定义域为[0,2],对于函数/(2x),则042x42,解

得04x41,

故函数〃2x)的定义域为[0,1],A错;

-4-x+lx+1x+1x+3

对于B选项，对任意的*=-2,/(-4-x)+/(x)=----------------1------—--F---

-4-x+2x+2x+2x+2

故函数/(X)的图象关于点(-2,1)对称，B对;

对于C选项，若募函数/(x)=(/n、3加+3)--4在(0,+“)上为减函数,

nr—3m+3=1

解得加=1,C对;

3加一4<0

对于D选项,若x>0,-/土x--=l-^x+—l<l-2^r--=-3,

4

当且仅当x=—nx=2时，等号成立，D对.

x

故选：BCD.

12.AD

【分析】A中，利用辅助角公式化简/(切，由正弦型函数最值求法可知A正确；B中，分

别在XE[0，可和不武兀,2可的情况下化简方程，根据sinx的值可求得方程根的个数，知B错

误；C中，由奇函数定义可知C错误；D中，利用同角三角函数关系和二倍角公式化简可得

/(X)=1COS4A+1,由余弦型函数最小正周期求法可知D正确.

【详解】对于A,当〃=1时，/(x)=sinx+cosx=^sin[x+：],则/(x)的最大值为友,

A正确；

对于B,当〃=2时，,/'(x)=sin2x+cos2x=l,则方程为2sinx+|sinx|=1；

当XE[0,可时，2sinx+|sinx|=2sinx+sinx=3sinx=1,贝ijsinx=g,

此时存在毛€(0,胃，使得sinx()=g,且sin(兀-%)=；；

当》€(兀,2兀]时，2sinx+|sinx|=2sinx-sinx=sinx=l,此时方程无解；

.•J(x)=2sinx+卜inx|在[0,2可有且仅有两个不等实根，B错误；

答案第5页，共13页

对于C,当〃=3时，/(x)=sin3x+cos3x,

则/(-x)=sin3(-x)+cos3(r)=-sin'+cos^xw-/(x),\/(x)不是奇函数，C错误;

对于D,当〃=4时,

f(x)=sin4x+cos4x=(sin2x+cos*12x]-2sin?xcos2x=1--sin22x

72

i1-cos4x1/3

=1--------------=-cos4x+—,

444

\/(x)的最小正周期7=专=；,D正确.

故选：AD.

【点睛】关键点点睛：本题考查三角恒等变换与三角函数性质的综合应用问题，解题关键是

能够将函数化简为N=/sin(5+p)或y=4cos(s+e)的形式，结合正弦函数和余弦函数的

性质来进行求解.

13.1

【分析】根据齐次式，利用弦切互化即可求解.

【详解】

22

.4/-222?\.sina-cosa+sinacosa

sin4a+sinacosa—cosa=(sina+cos~a)fein"a-cosa>sinacosa=------------；----------；-----------

'八)sin"a+cosa

tan2a-1+tan«_4-1+2_

tan2«+l4+1

故答案为：1

14.--4,4

【分析】求出终边经过4则对应的角。和i的关系.

【详解】=p所以终边经过4则a=12,/Z)

角a的始边与x轴的非负半轴重合，若a的终边经过点4,则a=彳,

r厂i、i27r7t1

朋，以cosa=cos—=-cos—=——

vsina-sin/.sina=sin(7cos^+coscrsin即

1/T71Tx4兀

sina=sina•—+cosa-----/.tana=V3z.a=—Hx,^=—

2233

即12/螭Z)3或午=(-#i12,/•螭Z)/=9

答案第6页，共13页

经过点4,4

故答案为：-］；4,4

15.1空2工(答案不唯一)

【分析】由/(X)满足的两个条件可以联想到对数函数，再根据对数函数的性质时行判断即可

得答案.

【详解】解：因为由/(X)满足的两个条件可以联想到对数函数，

当/(x)=logzX时,

对VX1,x,e(0,+oo),/(中2)=log2(x,x2)=log2xt+log,x2=/(%()+/(x,)，满足条件①；

当X€(4,E)时，/(x)>k>g24=2>l,满足条件②.

故答案为：log/(答案不唯一)

16.——##-1.44

25

【分析】将-x代入已知等式，结合正余弦函数的奇偶性可构造方程组求得

/(sinx)=3sinxcosx,结合cosx20可化简得到/(sinx)=3sinx-71-sin2x；利用周期性可

知所求函数值为/1令sinx=-［即可求得结果.

【详解】当卜归：时，卜乂45，

?./(-sin(-x))+2/(sin(-x)j=f(sinx)+2/(-sinx)=-3sinxcosx；

[/(-sinx)+2/"(sinx)=3sinxcosx/、

由〈)、/(得：/'(sinx)=3sinxcosx,

(sinx)+If(-sinx)=-3sinxcosx

当国时，cosx>0,cosx=Vl-sin2x，/(sinx)=3sinx・、-sin2K；

【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数周期性求解函数值的问题，解题关键是能够灵活应

答案第7页，共13页

用正余弦函数的奇偶性，采用构造方程组的方式求得/'(sinx),利用周期性将自变量转化到

卜1川的范围内即可.

17.⑴8=(2,+8)

【分析】(1)由题意得到9是真命题，从而将问题转化为二次函数在区间内恒成立问题，

由此得解；

(2)先由必要不充分条件的性质得到集合A是集合8的真子集，再分类讨论得到解集A,

从而列不等式求得。的取值范围.

【详解】(1)因为命题-加20是假命题，

所以命题-:Vxe[―1,l],x2—X—m<0是真命题，

所以m>x2-x在上恒成立，

令〃X)=X2-X(-14X41),则/(x)开口向上，对称轴为x=g,

所以/(x)在-1,；)上单调递减，在(g,l上单调递增，

2

又/(T)=(T)2-(-l)=2,/(1)=1-1=0,所以/⑺耐=/(7)=2,

所以加>2,即用w(2,+oo),故8=(2,+8).

(2)因为xe8是xe/的必要不充分条件，

所以集合A是集合B的真子集，又3=(2,+8),

因为(x-3a)(x-a-2)<0对应的方程(x-3a)(x-a-2)=0的根为x=3a或x=a+2,

当3a>a+2,即a>l时，由(x-3a)(x-a-2)<0得a+2cx<3a,则Z=(a+2,3a),

所以a+222,则a20,故“>1；

当34=a+2,即a=l时，由(x-3a"x—a—2)<0得(x-3「<0,显然xe0,即/=0,满

足题意；

当3〃<“+2,即a<l时，由(x-3a)(x-a-2)<0得3a<x<a+2,则/=(3a,“+2),

22

所以3a22,贝1」“士—，故-4。<1；

33

答案第8页，共13页

2「2、

综上：fl>y,即"

18.（l）a=2；

（2）奇函数，理由见解析；

（3）证明见解析.

【分析】（1）将给定自变量及对应函数值代入计算即可.

（2）利用奇偶函数的定义直接判断作答.

（3）利用函数单调性定义，按步骤推理作答.

【详解】（1）函数/（.，）="-£中，因为/⑴=-1,则有解得。=2,

所以“=2.

2

（2）由（1）知，函数/（x）=x——是奇函数，

x

函数/。）=冗一一定义域为（一8,0）U（0,+8）,f（-X）=-X---=-U-4=~/W，

X-XX

2

所以函数/（》）=%—-是奇函数.

x

22

（3）Vx15x2G（0,+oo）,且石<工2，fW-f（x2）=xi----（x2一一）二（不一々）（1-

因为0<玉<X2，则再一/<°，再工2>0，即有/<1）一/（%2）<0，因此。（再）</（%2），

所以/（'）在区间（0,+力）上单调递增.

19.⑴鸟

v712

rry[6+y/2

（2）V2,---

【分析】（1）利用二倍角、辅助角和两角和差公式化简已知等式可求得sin（c-；]=；,结

合C的范围可求得结果：

（2）由正sinBuS'sin（C-可知C=8+四或C=亚一8,结合8的范围可确定C=8+2,

I41444

利用两角和差公式化简得到包£=克+变一由tan8的范围可求得结果.

sinB22tanB

■、斗心、八、二&sinZ+lsin2cV2sin+12sinCcosCsinC

【详解】（1）由一7=----=-----—得zs：—-----=—~~7TT-；=-7；，

1-V2cosJ1+cos2Cl-yr]2cosAl+2cos~C-lcosC

V2sinAcosC+cosC=sinC->/2cosAsinC，

答案第9页，共13页

即收sin4cosc+&cos4sinC=V"^si，A+。=sinC-cosC,

V2sinB=y/^sinfc—，,,,sinC——,

571

(2)由(1)知：J^sin8=j?sin(c-：

It兀「兀兀，7兀,

*/B€A+CeC——e——A,---A

6544212

=C--|=--C,即C=8+二或C=^_8；

4V4J444

.•.当C=2_8时，Cw兀，二，不合题意，.•.C=8+f,

_64J4L12」4

sin(8+4]①sin8+立cos8rr

.sinC_I4)22V21,

sinBsinBsinB22tanB

...熹中可•.篝小学

jrjr

20.⑴最小正周期7=兀：单调递增区间为-彳+桁，7+也（AreZ）

(2)[-73,2]

（3）表格和图象见解析

【分析】（1）根据相邻两个对称轴之间距离为半个最小正周期可得T;利用二倍角和辅助角

公式化简得到/（》）=2疝（2郎+。-。|,由最小正周期和正弦型函数奇偶性的定义可求得

,由此可得〃x）=2sin2x；利用整体代换的方式，令-：+2版42》4尹2日［€Z）即

可解得单调递增区间；

（2）根据正弦型函数值域的求法可求得了（x）的值域，即为根的取值范围;

（3）根据三角函数的平移和伸缩变换原则可求得g（x）,根据五点法可补全表格，并描点得

到g（x）图象.

【详解】（1）・••/（X）相邻两个对称轴之间的距离为\/（万）的最小正周期7=兀;

v/（X）=cos--2cax-（p\-\-6cosQm+0）+•1=sin@©+9>工os,3+9）

答案第10页，共13页

=2sin(26yx+(p-yj,

-解得：co=\,A/(x)=2sinf2x+^-^.|,

2(ov5)

••,/(X)为奇函数，.,.e-1=E(左eZ),解得：*=g+E(“€Z),

*/0<^?<7t,:.(p=],f(A:)=2sin2x；

令一5+2E<2x+2ATE(kGZ),解得：一:+EKxK：+ht(%£Z),

\/(x)的单调递增区间为一；+而,：+"(金Z).

「IrrI—-

(2)当xe时，2xe—y,-^—,sinlxe--—,1,则/(x)e〔—6,2〕；

••・若方程/(x)=机有解，则〃[的取值范围为[-G,2].

(3)/(x)向左平移巳个单位长度得：y=2sin2卜=2sin(2x+1,

将y=2sin(2x+£)横坐标伸长到原来的2倍得：y=2sin卜+J

将y=2sin(x+^向上平移一个单位得：g(x)=2sinQ+己)+1；

则g(x)在［0,2兀］上的图象如下图所示:

21.(l)y=初.(%〉0,4>1)更合适，y=2.郃)x；

答案第11页，共13页

(2)11.

【分析】⑴将x=2,y=10和x=4,y=50分别代入两种模型求解解析式，再根据x=6的

值，即可判断.

(2))设至少需要x个单位时间，则2(6)'刊0000,再结合对数的计算方法即可求解.

4p+q=10

［详解］(1)若选y-px2+q(p>0),将x=2,y=10和x=4,y=50代入可得,

\6p+q=50'

P=Hy10210..K.10210…