2023-2024学年河南省漯河高级中学高三（上）摸底数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省溪河高级中学高三（上）摸底数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下面四个命题正确的是（）

A.10以内的质数集合是｛1,3,5,7｝

B.0与｛0｝表示同一个集合

C.方程X2一4x+4=0的解集是｛2,2｝

D.由1,2,3组成的集合可表示为｛1,2,3｝或｛3,2,1｝

2.若复数Z所对应的点在第四象限，且满足Z2-2Z+2=0,则Z2=（）

A.1+iB.1-iC.-2iD.2i

3.已知四面体4-BCD的所有棱长都等于2,E是棱AB的中点，F是棱CD靠近C的四等分点，

则前•而等于（）

ʌ-~∖B-5C.一|D∙I

4.我国古代数学典籍A九章算术J）第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚

墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老

鼠第一天也进一尺，以后每天减半.问两鼠在第几天相遇？（）

A.第2天B.第3天C.第4天D.第5天

5.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥

的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面

正方形的边长的比值为（）

A.£1=IB.上C.≤I÷iD.≤I±i

4242

6.设直线，的方向向量为正平面ɑ的法向量为元，若COS位,盼=-?，则直线2与平面ɑ所成

的角为（）

A.≡B.ɪC.ID.⅞

33b6

7.若对任意正实数x,y都有（2y-》（）X-Iny）—A≤0,则实数Tn的取值范围为（）

A.（0,l]B.（0,e]

C.（-∞,0）U[1,÷∞）D.（-8,0）u[e,+∞）

8.函数/（X）=器的图象大致是（）

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知集合｛x∣∕+αx+b=0,α>0｝有且仅有两个子集，则下面正确的是（）

A.α2-b2≤4

B.a2÷i≥4

b

C.若不等式'2÷αχ-6<0的解集为（XL%2），则％1%2>0

D.若不等式％2+α%+bVC的解集为（%1，%2），且∣工1-%2∣=4,则C=4

10.已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为y=±2%,则双曲线E的离

心率为（）

A.yB"C浮D.φ

11.下列说法正确的是（）

A.点斜式y-%=k（x-XI）适用于不垂直于X轴的任何直线

B.斜截式y=kx+b适用于不垂直于X轴的任何直线

C.两点式益=急适用于不垂直于X轴和y轴的任何直线

D.截距式怖+<=1适用于不过原点的任何直线

12.己知函数/（X）=-％2仇X,则下列说法正确的是（）

A.函数f（x）在X=处取得极大值W

B.方程/（x）=0有两个不同的实数根

C代表）>/（冷>度）

D.若不等式k>/（x）+/在（0,+8）上恒成立，则k>e

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知函数/(x)=2x+α,g(x)=Inx-2x,如果对任意的XI,Λ⅛6[：,2],都有/(与)≤

9(外)成立，则实数ɑ的取值范围是

14.已知函数/(x)=lg(x2+2联一5①在［2,+8)上是增函数，则α的取值范围为

15.如图，某空间几何体由一个直三棱柱和一个长方体组成,

若AB=AA1=2AD=4,A1F-BlF-2yJ~2>P,Q,M,N分

别是棱4B,GE,BB1,4尸的中点，则异面直线PQ与MN所成

角的余弦值是.

16.在等差数列｛arι｝中，%=7,公差为d,前n项和为％,当且仅当n=8时Sn取得最大值,

则d的取值范围为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知等比数列｛azt｝的各项均为正数，且G⅛+=39,a5=2a4+3¾∙

(1)求｛%l｝的通项公式；

(2)数列｛bn｝满足bn=n+an,求｛%｝的前n项和T71.

18.(本小题12.0分)

如图，在平面直角坐标系Xoy中，点4(0,3),直线I：y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在［上.

(1)若圆心C也在直线y=x-l上，过点A作圆C的切线，求切线的方程：

(2)若圆C上存在点使|河*=2四。|,求圆心C的横坐标a的取值范围.

19.(本小题12.0分)

己知函数/(X)=桨，且f(1)=-4,/(2)=-2.

(1)求f(x)的解析式；

⑵判断/(x)在(-1,+8)上的单调性，并用定义证明.

20.(本小题12.0分)

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出

的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天

最高气温(单位：°C)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间

[20,25),需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计

划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为丫(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450

瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.

21.(本小题12。分)

已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为X轴，y轴，且过(2,0),(C,净)两点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在直线，，使得直线，与圆/+y2=1相切，与椭圆C交于A,B两点，且满足初.OB=

0(。为坐标原点)？若存在，请求出直线I的方程，若不存在，请说明理由.

22.(本小题12.0分)

某新建小区规划利用•一块空地进行配套绿化,如图，已知空地的一边是直路ZB,余下的外围是

抛物线的一段，4B的中垂线恰是该抛物线的对称轴，。是AB的中点.拟在这块地上划出一个等

腰梯形4BCD区域种植草坪，其中力，B,C,。均在该抛物线上.经测量，直路AB段长为60米，

抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米.以。为坐标原点，力B所在直线为X轴建立平面直角坐

标系xθy.

(1)求该段抛物线的方程；

(2)当CO长为多少米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：10以内质数集合是{3,5,7},A错误;

0表示元素，不是第合，8错误；

根据集合元素的互异性可知/-4x+4=0的解集是{2},C错误;

根据集合元素的无序性可知，。正确.

故选：D.

根据集合的基本概念及集合元素的性质检验各选项即可判断.

本题主要考查了集合元素的性质的应用，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：因为复数Z满足：z2-2z+2=0,即(Z-I)2=—1,

故Z=1+i或Z=1-i,

因为复数Z所对应的点在第四象限，

故复数Z=I.-i,所以z2=-2i.

故选：C.

根据题意求出z,再根据复数Z所对应的点所在象限，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：如图：:E是棱4B的中点，F是棱CO靠近C的四等分点,

>--->---»---»1---»---»1---»

・・・Er=EB+BC+CF=々48+BC+；CO,

•・♦空间四面体D-ABC的每条棱长都等于2,

每个面都是等边三角形，

.∙.^EF-AC=(^AB+BC+ɪɛθ)∙AC

=^ABACCACB-^-CACD

24

1

4-

故选：D.

先根据前=,荏+能+；而，再由数量积公式求解即可.

24

本题考查数量积的求解，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的应用，属于基础题.

利用已知条件，逐步求出结果即可.

【解答】

解：第一天：大老鼠与小老鼠的打洞尺数：1+1=2；

第二天：大老鼠与小老鼠的打洞尺数：2+05=2.5,两天总和：2+2.5=4.5,

第三天：大老鼠与小老鼠的打洞尺数：4+0.25=4.25>0.5,

所以两鼠在第3天相遇,

故选:B.

5.【答案】D

【解析】解：设正四棱锥的高为儿底面边长为α,侧面三角形底边上的高为”,

⅛2=4×ɪ×ɪah.'

由题意可知,

h2=h'2-φ2，

因此有炉="2-（》2=a〃，即《）2—*一I=。，解得!=岑I,

因为）>。,

所以四=1±C.

a2

所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为年∙

故选：D.

根据正四棱锥的儿何性质列出等量关系，进而即可求解.

本题考查正四棱锥的结构特征，考查运算求解能力，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：由题意，设直线，与平面α所成角为巴

则sin。-∣cos(α,n)∣=三，

由e∈[o,"，则。=会

故选：A.

由题意，根据线面角与向量夹角的关系，可得答案.

本题主要考查直线与平面所成的角，考查运算求解能力，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：由于X为正实数，对不等式同时除以X变形可得：(§一》InI-六≤0,

化简得：(2-那≤Y=>(2e-刎≤*

XP

设t=1,^∖(2e-t)lnt≤-,t>0,

设f(£)=(2。-t)Znt,(t>0)

则其导数1(t)=Tnt+子一1,

又由t>0,则[⑷为减函数，且r(e)=-√ne+F-l=0,

则当t∈(Oe)时,∕,(t)>0,f(t)为增函数,

当t∈(e,+8)时,∕,(t)<0,/(t)为减函数,

则/«)的最大值为f(e),且/(e)=e,

若/(t)=(2e-t)∕nt≤最恒成立，必有e≤ɪ

解可得0<m≤l,即m的取值范围为(0,1],

故选:A.

首先利用x,y为正数将原不等式化简为(2e-3呜≤M然后构造函数f(t)=(2e-t)/nt,再求

出函数f(t)的最大值从而求得范围即可.

本题考查函数导数的应用，关键是转化和构造函数f(t),求出其最小值，属于中档题.

8.【答案】C

【解析】解：由/(X)=空■,得r(X)=吐然，

X十，(x+l)

令g(x)=1+^-Inx,则g(x)=-妥一；=一娶<。，

∙∙∙g(x)在(0,+8)上单调递减，

又g(e)=；>0,g{e2}=1+ɪ-Ine2=ɪ-1<0,

・・.存在%0∈(e,e2),使得g(%o)=0.

则当％∈(O,q)时，g(%)>0,∕z(x)>0,

当工∈(Xo,+8)时，g(χ)<0,/'(%)<0,

ʌ/(%)在(0,%)上单调递增，在(&,+8)上单调递减.

故选：C.

求出原函数的导函数，利用导数研究函数的单调性，结合图象得答案.

本题考查利用导数研究函数的单调性，是中档题.

9.【答案】ABD

【解析】解:集合{无|/+αx+b=0,Q>0}有且仅有两个子集,则/=a2-4b=0,所以小=4b>

0,

对于∙4,因为a?—炉―4=—/+4b—4=~(b—2)2≤0,所以Q?—川4%选项A正确；

对于B,因为α?+l=4b+3≥2∕4bA=4,当且仅当4b=4时取等号，所以a?+：2%选项

bb一7bbb

B正确：

对于C,因为不等式/+。％-匕<0的解集为01，必)，所以XlX2=-匕<0,选项C错误；

对于0,因为不等式/+aχ+b<c的解集为(Xl,%2),且IXl-X21=4，

所以(X1+g)2—钗1Λ⅛=(XL-X2产，即a?—4(b—c)=16,化简得4c=16,解得c=4,选项

。正确.

故选：ABD.

由集合｛%|/+。％+匕=0,。>0｝有且仅有两个子集，得到判别式A=O,由此利用作差法判断A,

利用基本不等式判断B,利用根与系数的关系判断C与D.

本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系应用问题，是中档题.

10.【答案】AB

【解析】解：如焦点在工轴上，则渐近线方程y=±gx,可得即b=2α,贝IJe=JT=殍.

如焦点在y轴上，则渐近线方程y=±",可得即α=2b,则e=J1+φ2=<5.

故选：AB.

通过焦点所在的轴，结合渐近线方程，可得α,b的关系和离心率公式计算即可得到所求值.

本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线方程和渐近线方程的关系，考查运算能力，属

于基础题.

11.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本题考查了直线的方程使用范围，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

4点斜式适用于斜率存在的直线，即可判断出正误；

B,斜截式适用于斜率存在的直线，即可判断出正误；

C,两点式适用于不垂直于X轴和y轴的任何直线，即可判断出正误；

D,截距式;+W=1适用于不过原点的直线及不和坐标轴垂直的直线，即可判断出正误.

【解答】

解：4点斜式y-%=/CQ-Xl）适用于不垂直于不轴的任何直线，A正确；

A斜截式y=fcx+b适用于不垂直于％轴的任何直线，B正确;

C•两点式就=急适用于不垂直于X轴和y轴的任何直线，C正确；

D截距式2+W=1适用于不过原点的任何直线，不正确，例如和坐标轴垂直的直线不能用此截距

式，力错误.

故选：ABC.

12.【答案】AC

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数与方程思想、等价转化思想的应用，考查逻辑思维

能力与数学运算能力等核心素养，属于较难题.

根据题意，/(x)=-x2lnx=⅛∕,(x)=—x(l+2∕nx),由此对4、B、C、D四个选项逐一分析即可

得到答案.

【解答】

解：函数/"(x)的定义域为(0,+8),

,-2

/(x)=-2xlnx+χ——x(l+2lnx)<

令/'(X)=—x(l+2Znx)=0,

则1+2)X=0,解得X=盍，

当Xe(O,言)时,Jf(X)>o,f(x)单调递增;

当Xe(盍,+8)时，∕,(χ)<0,f(χ)单调递减，

所以当X=盍时，函数f(x)有极大值/(盍)=/，故选项4正确；

因为/GN=/>0,且当X→0Π寸，/(x)>0,当X→+8时/"(χ)<0,

所以方程/(x)=0不可能有两个不同的实数根，选项B错误；

因为函数f(x)在(0,盍)上单调递增，且盍>盍>言=；,

所以〃盍)>/(吉)>/6)，选项C正确；

不等式k>/(%)+产在(0,+8)上恒成立，即不等式攵>-x2lnx+/在(0,+8)上恒成立，

22

令g(%)=-xlnx+X9则g'(x)=%—2xlnx=x(l-2Znx),

令g'(%)=x(l—2Znx)=0,则1一2lnx=0,

解得％=当％∈(0,1^)时，g,(x)>0,g(x)单调递增；

当％∈(√r^1+8)时，g'(%)<0,g(x)单调递减.

所以当X=时，函数g(χ)有最大值，g(J^河=|,所以k>5,选项。错误.

故选：AC.

13.【答案】(一8,bι2-8]

【解析】

【分析】

本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，解题的关键是转化为/(x)mαx≤g(x)min,属于简单

题.

求导函数，分别求出函数f(x)的最大值，g(x)的最小值，进而可建立不等关系，即可求出ɑ的取值

范围.

【解答】

解：求导函数，可得g'(x)=(-2=三空，X∈[∣,2],g'(x)<0,

则9。)在原2]上单调递减，

∙∙∙g(χ)mbι=g(2)=伍2-4，

V/(x)=2x÷ɑ,

二/co在Ea上单调递增，

λf(.x)max=/(2)=4+Q,

•••对任意的与,句∈g,2],都有/01)≤g(%2)成立，

即/Ql)mαx≤5fe)min>

ʌ4+α≤ln2-4,

ʌa≤1∏2—8.

故答案为(一8,仇2-8].

14.【答案】[一2,4)

【解析】解：函数/(%)=lg(/+20x-5α)在[2,+8)上是增函数，

2

可得：(71?c解得αe1-2,4).

故答案为：[-2,4).

利用对数函数的定义域以及二次函数的单调性，转化求解即可.

本题考查符号函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力.

15.【答案】喈

【解析】解：如图，以点。为坐标原点，DA,DC,DDl所在直

线分别为X轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标系,

VAB=AA1=2AD=4,4F=BlF=2√~∑,

.∙.P(2,2,0),(J(0,3,5),M(2,4,2),N(2,l,5),

.∙.^PQ=(-2,1,5),WV=(0,-3,3),

PQMN12_2v∏L5

COS<^PQMN>=

t西I丽√30×3√^―15

•・,异面直线PQ与MN所成角为锐角，

••・异面直线PQ与MN所成角的余弦值为喑.

故答案为：察.

以点。为坐标原点建立空间直角坐标系，求得丽,而，利用向量的夹角公式即可得解.

本题考查异面直线所成角的定义及其余弦值求解，考查空间向量的运用，考查运算求解能力，属

于基础题.

16.【答案】(―1,—ɪ)

【解析】

【分析】

本题主要考查等差数列的前Zl项和公式，解不等式组，属于基础题.

根据题意当且仅当n=8时Sn取得最大值，得到S7<S8,S9<S8,联立得不等式组，求解得d的取

值范围.

【解答】

解：∙∙∙Sn=In+d,当且仅当n=8时Sn取得最大值，

.(5<S∏,f49+21d<56+28d

781j,

"U9<S8'(63+36d<56+28d

解得：U(d>-Z-1-

IO

综上：d的取值范围为(—1,—$.

故答案为：(―1,—，).

O

(a+%+04=39

17.【答案】解：(1)•••2

.&=2a4+ɜɑɜ

231

(α1(ρ÷q+q)=39q>0,解得QJV

432

Ia1Q=2α1q+3a1q

n1

ʌan=3-;

(2)由题可知%=zι+3n-ι,

n-1

∙*∙Tn=1+2+…+7ι+l+3i+…+3,

Tn(l+n),l-3n3n+π2+π-l

∙"n=^+ττ=2-

【解析】(1)根据条件建立关于%，q的方程组，然后解出即可得答案;

(2)利用分组求和法求出答案即可.

本题主要考查数列的求和，考查转化能力，属于中档题.

18.【答案】解：(1)由题设点C(Q,2Q-4),又C也在直线y=x-l上，∙∙∙2Q-4=Q-1,∙∙∙Q=3,

-OC：(X-3)2+(y-2)2=1,

由题，过4点切线方程可设为y=kx+3,B∣J∕cx-y+3=0,

∣31+1∣—

则了『一1,解得：⅛=0,3

Jfc2+ι4,

3

-X+3

・・•所求切线为y=3或y4

(2)设点C(∕2Q-4),M(XOJ。)，•・•MA=2M0,4(0,3),0(0,0),

・・

•XQ÷Oo-3)2=4(诏+M),即诏+光=3-2y0f

22

又点M在圆C上(x0—a)+(y0—2α+4)=1,两式相减得QXO+(2α—3)y0———8a+

9)=0,

∣5ɑ2+(2α-3)(2α-4)-(⅛-8α÷9)∣

由题以上两式有公共点，∙∙∙j~~J；-----------≤1,

2

Ja2+(2α-3)

整理得：浮-6α+3∣≤√5α2-12α+9,即(5α?一I2α+6y≤4(5α?-12α+9),

令t=5α2-12α+6,贝≤4(t+3),解得：一2≤t≤6,ʌ-2≤5a2-12a+6≤6,

解得：0≤α≤ɪ.

【解析】(1)设点C(α,2α-4),又C也在直线y=x-1上求出ɑ,通过圆的方程过4点切线方程可

设为y=kx+3.利用得到直线的距离公式，求解k,得到切线方程.

(2)设点C(α,2α-4),M(x0,y0)＞通过M4=2M。，求出M的轨迹方程，通过两个圆有公共点，转

化求解ɑ的范围即可.

本题考查直线与圆的位置关系的应用，轨迹方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档

题.

19.【答案】解:(1)根据题意,函数f(x)=誓，且f(l)=-4,/(2)=-2.

K∣J∕(1)=等=-4,/(2)=誓=-2,

解可得：α=2,b=—10,

则/O)=ɪ:

(2)根据题意，判断f(x)在(一1,+8)上的单调递增,

2x-10C12

证明：/(%)=—L―,

x+1x+1

1212

则2212__J2_=12X应一”2

设一1<与V如/N)-/(x2)=(-⅛-(-⅛

kɪ十JL%2十]制+1%ι+l(%]+l)(%2+l)'

又由一IVXlVX2，则Xl+l>0,X2+1>θ»Xl-X2<3

故/(与)一/(g)<0，

/^(x)在(一L+8)上的单调递增.

【解析】(1)根据题意，将两个点的坐标代入函数的解析式，计算可得a、b的值，即可得函数解析

式；

(2)根据题意，利用作差法分析可得结论.

本题考查函数解析式的计算以及单调性的判断，注意求出函数的解析式，属于基础题.

20.【答案】解：(1)由前三年六月份各天的最高气温数据，

得到最高气温位于区间［20,25)和最高气温低于20的天数为2+16+36=54,

根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：OC)有关.

如果最高气温不低于25,需求量为500瓶，

如果最高气温位于区间［20,25),需求量为300瓶，

如果最高气温低于20,需求量为200瓶，

二六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率P=g=∣.

(2)当温度大于等于25。C时，需求量为500,

Y=450X2=900元，

当温度在［20,25)。C时，需求量为300,

r=300×2-(450-300)×2=300元，

当温度低于20。C时，需求量为200,

X=400-(450-200)×2=-IOO元，

当温度大于等于20时，y>0,

由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20。C的天数有：

90-(2+16)=72,

.•・估计y大于零的概率P=得W

【解析】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知

识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题.

(1)由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间［20,25)和最高气温低于20的天

数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率.

(2)分别求出当温度大于等于25。C时，当温度在［20,25)。C时，当温度低于20。C时的利润丫，由此能

估计Y大于零的概率.

21.【答案】解：(1)设椭圆C的方程为τn%2+ny2-∣ζm>o,n>0,m≠n).

因为过(2,0),(C,年)两点，

4TTL—ɪ

3m+∣n=ΓW‰=∣,n=∣,

{4

所以椭圆C的方程为t+<=L

43

(2)假设存在直线1满足题意.

(i)当直线1的斜率不存在时，此时珀勺方程为久=±1.

当心X=I时，4(1,∣),B(1,-∣),亚•布≠0,

同理可得，当心X=-I时，OAOB≠0.

(ii)当直线，的斜率存在时，设I的方程为y=kx+m,设A(XI,yj,B(x2,y2),

因为直线I与圆。相切，所以J⅛=L即62=好+1①，

y=kx+m,

x2y2整理得(3+4∕f2)/+8∕σnx+4m2-12=0,

IT+T=1-

Δ=48(4∕C2-m2+3)=48(3∕c2+2)>0,