中考数学必背知识手册 四边形（公式、定理、结论图表）

知识必备07四边形（公式、定理、结论图表）

、思维导图

「、知识梳理I

考点一、四边形的相关概念

1.多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.

2.多边形的性质：（1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n-2）•180°；

（2）推论：多边形的外角和是360°；

（3）对角线条数公式：n边形的对角线有"（"二）条:

2

（4）正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.

3.四边形的定义：同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.

4.四边形的性质：（1）定理：四边形的内角和是360°；（2）推论：四边形的外角和是360°.

典例1：2022∙甘肃）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1,蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而

且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形.如图2,一个巢房的横截

面为正六边形ABCoE凡若对角线AO的长约为8〃“，则正六边形ABCoE尸的边长为（）

图1图2

A.2mmB.2∖[2,mmC.2y∕s∣n>nD.4mm

【分析】根据正六边形的性质和题目中的数据，可以求得正六边形A88EF的边长.

【解答】解：连接BE,CF,BE、CF交于点。，如右图所示，

,.∙六边形ABCDEF是正六边形，AD的长约为Smm,

：.ZAOF=60o,OA=OQ=O尸，OA和OO约为4〃加，

'.AF约为4mm,

故选：D.

图2

【点评】本题考查多边形的对角线，解答本题的关键是明确正六边形的特点.

典例2：（2022•柳州）如图，四边形ABCQ的内角和等于（）

B.270°C.360°D.540°

【分析】根据四边形的内角和等于360。解答即可.

【解答】解：四边形A8C。的内角和为360°.

故选：C.

【点评】本题考查了四边形的内角和，四边形的内角和等于360°.

考点二、特殊的四边形

1.平行四边形及特殊的平行四边形的性质

对角线相等

四个内角为90°

正平厂|■边平行I

方行

形四T对边相「I

边

形T对角相等

T对一线互相育I

T四条边相零1

―I对角线互相垂直I

-I对角线平分各丙面

2.平行四边形及特殊的平行四边形的判定

平行四边形

面积公式：S菱形=Jab=Ch.（a、b为菱形的对角线，c为菱形的边长，h为C边上的高）

2

S平行四边形=ah.a为平行四边形的边，h为a上的高）

典例3：（2022•朝阳）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，NEFG=90。，Z

EGF=60o,ZAEF=50o,则NEGC的度数为（）

A.100°B.80°C.70°D.60°

【分析】由平行四边形的性质可得AB〃OC,再根据三角形内角和定理，即可得到/GEF的度数，依据

平行线的性质，即可得到NEGC的度数.

【解答】解：四边形ABC。是平行四边形,

J.AB//DC,

：.NAEG=/EGC,

:NEFG=9Q",EGF=60",

ΛZGEF=30°,

ΛZGM=80°,

.∙.∕EGC=80°.

故选：B.

【点评】此题考查的是平行四边形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键.

典例4：（2022•鞍山）如图，在四边形ABC。中，AC与BD交于点、O,BElAC,DFLAC,垂足分别为点

E,F,且BE=DF,NABD=NBDC.求证：四边形48Cf＞是平行四边形.

【分析】结合已知条件推知A2〃C£＞；然后由全等三角形的判定定理A4S证得BE^4CDF,则其对

应边相等：AB=S最后根据“对边平行且相等是四边形是平行四边形”证得结论.

【解答】证明：...∕48O=∕8OC,

.∖AB∕∕CD.

.'/BAE=NDCF.

在AABE与ACDF中,

fZBAE=ZDCF

<ZAEB=ZCFD=OO0.

BE=DF

Λ∆ΛBE⅛ΔCDF(AAS).

：.AB=CD.

.∙.四边形ABCz）是平行四边形.

【点评】本题主要考查了平行四边形的判定：（I）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组

对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

典例5：（2022•内江）如图，在团ABCO中，点E、尸在对角线BD上，且BE=。E

求证：（1）AABE@ACDF；

四边形AEb是平行四边形

【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB=CD,AB//CD,根据平行线的性质得到/A8。=NCCB,

利用SAS定理证明E四△CDF：

（2）根据全等三角形的性质得到AE=CF,ZAEB-ZCFD,根据平行线的判定定理证明AE〃。凡再

根据平行四边形的判定定理证明结论.

【解答】证明：（1）：四边形48Cn为平行四边形，

AB=CD,AB//CD,

：.NABD=NCDB,

在AABE和aCDF中，

'AB=CD

<ZABE=ZCDF-

BE=DF

.∙.∕∖ABACDF（SAS）；

（2）由（1）可知，∆ABE^∆CDF,

：.AE=CF,NAEB=NCFD,

Λ180o-NAEB=I80°-ZCFD,即NAEF=ZCFE,

J.AE//CF,

∖'AE^CF,AE//CF,

.∙.四边形AECF是平行四边形.

【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的对边平

行且相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键.

典例6；（2022•兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E为AD的中点，连接OE,Z

o

ABC=60,βD=4√3,贝IJOE=()

A.4B.2√3C.2D.√3

【分析】根据菱形的性质可得，/480=30°,ACLBD,则8O=2√E,再利用含30°角的直角三角形

的性质可得答案.

【解答】解：∙.∙四边形ABC。是菱形，ZABC=GOo,

：.BO=DO,ZABO=30o,AC±BD,AB=AD,

ΛBO=2√3.

∙"°=%0=2,

ð

.∙.A8=2ΛO=4,

；E为AO的中点，ZAC>D=90o,

：.OE=XW=2,

2

故选：C.

【点评】本题主要考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解

题的关键.

典例7：(2022•聊城)如图，中，点。是AB上一点，点E是4C的中点，过点C作C尸〃A8,交DE

的延长线于点F.

(1)求证：AD=CF-,

(2)连接AF,CD.如果点。是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形A。C尸是菱形，

证明你的结论.

【分析】(1)由CF//AB,得/AOF=/CF。，ZDAC^ZFCA,又AE=CE,WiI∆ADE^∆CFE(A4S),

即得A。=CE

(2)[1]AD=CF,AD//CF,知四边形A。CF是平行四边形，若AC_L8C,点。是AB的中点，可得Co

=XΛB=AD,即得四边形A。CF是菱形.

2

【解答】(1)证明：YC/〃A8,

.∙.ZADF=ZCFD,ZDAC=ZFCA,

：点E是AC的中点，

：.AE=CE,

：.ADE^ΛCFE(AAS),

."。=Ca

(2)解：当力C_L8C时，四边形AoC尸是菱形，证明如下：

由(1)知，AD=CF,

,JAD∕∕CF,

四边形ADCF是平行四边形，

'：ACkBC,

.'.△ABC是直角三角形，

:点。是AB的中点，

.∖CD=^AB=AD,

2

.∙.四边形AOC尸是菱形.

【点评】本题考查全等三角形的判定与性质及菱形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理及菱

形的判定定理.

典例8：(2022•广元)如图，在四边形ABCD中，AB//CD,AC平分∕D4B,AB=2CD,E为48中点，连

结CE.

(1)求证：四边形AEC。为菱形；

(2)若NO=I20°,DC=I,求AABC的面积.

【分析】(1)由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形AECo是平行四边形，由平行

线的性质和角平分线的性质可证AZJ=CC,可得结论：

(2)由菱形的性质可求AE=BE=CE=2,由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求BC,AC的长，

即可求解.

【解答】(1)证明：为AB中点，

.,.AB^2AE=2BE,

∖"AB=2CD,

：.CD=AE,

又：AE〃C£),

.∙.四边形AECD是平行四边形，

,.'AC平分ND48,

：.ZDAC=ZEAC,

∖"AB∕∕CD,

：.ΛDCA=ACAB,

：.ADCA=ΛDAC,

：.AD=CD,

平行四边形AEC。是菱形；

(2)Y四边形AEC。是菱形，/0=120°,

；.AD=CD=CE=AE=2,ND=I20°=ZAEC,

：.AE=CE=BE,NCEB=60°,

ΛZCAE=30o=ZACE,Z∖CE8是等边三角形，

."E=BC=EC=2,/8=60°,

ΛZACB=90°,

.∙.AC=√3BC=2√3,

SAABC=AXΛC×BC=-i×2×2√3=2√3∙

【点评】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决

问题是解题的关键.

典例9：(2022•青海)如图，矩形ABC。的对角线相交于点O,过点。的直线交AZ),BC于点E,F,若42

=3,BC=4,则图中阴影部分的面积为6.

ED

B

【分析】首先结合矩形的性质证明440E〈ZXCOE得AAOE、aCOF的面积相等，从而将阴影部分的

面积转化为aBDC的面积.

【解答】解：：四边形A8C。是矩形，48=3,

.∖OA=OC,AB=CD=3,AD//BC,

：.NAEO=NCFO;

又,：NAOE=NCOF,

在AAOE和ACOf■中，

"ZAEO=ZCFO

•OA=OC>

ZAOE=ZCOF

ΛΔAOE^ΔCOΓ,

:∙SMOE=SZCOF,

.".SfflSJ=SAAOaSABOF+SACOD=SACOF+S4BOF+S^COD=SABCD，

,∙,SBCD=-BC∙CD=-×4×3=6，

Δ22

∙'∙S阴影=6.

故答案为6.

【点评】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影

部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键.

典例10：(2022•巴中)如图，EIABCQ中，E为BC边的中点，连接AE并延长交。C的延长线于点尸，延长

EC至点、G,使CG=CE,连接。G、DE、FG.

(1)求证：AABE注AFCE；

(2)若AO=2A8,求证：四边形OE尸G是矩形.

【分析】(I)由平行四边形的性质推出A8〃c/),根据平行线的性质推出NEA8=NCFE,利用AAS即

可判定ZXABE丝△FCE；

(2)先证明四边形OEFG是平行四边形，再证明OF=EG,即可证明四边形OEFG是矩形.

【解答】证明：(1)：四边形ABC。是平行四边形，

.∖AB∕∕CD,

.∙.NEAB=NCFE,

又YE为BC的中点，

：.EC=EB,

在AABE和△PCE中，

'/EAB=/CFE

∙ZBEA=ZCEF-

EC=EB

Λ∆ABE^∆FCE(AAS)；

(2)V∆ASE^∆FCE,

.".Aβ=CF,

；四边形ABC。是平行四边形，

.".AB^DC,

：.DC=CF,

又YCE=CG,

：.四边形DEFG是平行四边形，

为BC的中点，CE=CG,

：.BC=EG,

又；A£>=BC=EG=2AB,DF=CD+CF=2CD=2AB,

：.DF=EG,

平行四边形OEFG是矩形.

【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行

四边形的判定与性质，证明XABE迫XFCE是解题的关键.

典例U:(2022∙云南)如图，在平行四边形A8C。中，连接B。，E为线段AO的中点，延长8E与CO的

延长线交于点F,连接AF,NBDF=90°.

(1)求证：四边形ABA尸是矩形;

(2)若Ao=5,DF=3,求四边形ABC尸的面积S.

【分析】(1)由四边形ABC。是平行四边形，得NBAE=NFDE,而点E是AQ的中点，可得48EA

FEDCASA),即知EF=EB,从而四边形ABDF是平行四边形，又/8。尸=90°,即得四边形A8。尸是

矩形；

(2)由∕AFD=90°,AB=OF=3,AF=BD,VAD2-DF2=VB2-32=4'S矩胫ABDF=D户AB

=12,四边形ABC。是平行四边形，得Cf>=A8=3,从而S△"<»=工8O∙CD=6,即可得四边形ABb

2

的面积S为18.

【解答】(1)证明：Y四边形ABCO是平行四边形，

.∖BA∕∕CD,

：./8AE=ZFDE,

；点E是Ao的中点，

.".AE=DE,

在45EA和aFED中，

'NBAE=NFDE

-AE=DE，

ZBEA=ZFED

ΛΔBEA^∆FED(ASΛ),

.,.EF=EB,

又：AE=DE,

：.四边形ABDF是平行四边形，

；NBDF=90°.

.∙.四边形4BD尸是矩形；

(2)解：由(1)得四边形ABOF是矩形，

ΛZAFD=-Wo，AB=OF=3,AF=BD,

∙,∙ΛF=√AD2-DF2^y∣52-32=4,

：.S^iABDF=DF∙AF=3×4=l2,BD=AF=4,

V四边形ABCD是平行四边形，

.∖CD=AB=3,

,

..SΛBCD=-BD∙CD=-^×4×3=6,

22

.∙.四边形ABCF的面积S=S^iΛBDF+S^BCD=12+6=18,

答：四边形ABCF的面积S为18.

【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及矩形的判定，全等三角形判定与性质，勾股定理及应用

等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明aBEAgZ∖FED

典例12：（2022•重庆）如图，在正方形ABCo中，对角线AC、80相交于点。E、P分别为AC、BD上一

点，KOE=OF,连接ARBE,EF.若乙4/E=25°,则NCBE的度数为（）

Ar=--------------------------7lD

A.50°B.55°C.65°D.70°

【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全

等三角形的判定与性质解答即可.

【解答】解：•••四边形ABCO是正方形，

NAOB=NAo£>=90°,OA=OB=OD=OC.

.∙.AOE尸为等腰直角三角形,

：.ZOEF=ZOFE=45°,

VZAFE=25Q,

ΛZAFO^ZAFE+ZOFE-IOo,

：.ZFAO=IOo.

在AAO尸和ABOE中,

rOA=OB

■/AOF=NBOE=90°，

OF=OE

:.4AOF竺丛BOE(SAS).

ΛZMO≈AEBO=IQo,

：OB=OC,

...△08C是等腰直角三角形，

，∕O8C=/OCB=45°,

；.NCBE=NEBO+NOBC=65°.

故选：C.

【点评】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三

角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键.

典例13：(2022•邵阳)如图，在菱形ABCO中，对角线AC,80相交于点。，点E,F在对角线BQ上，且

BE=DF,OE=OA.

求证：四边形AEC尸是正方形.

【分析】先证明四边形AECF是菱形，再证明EF=AC,即可得出结论

【解答】证明：：四边形A8C。是菱形，

.,.ACl.BD,OA=OC,OB=OD,

YBE=DF,

J.OE=OF,

.∙.四边形AEC尸是菱形；

'.'OE=OA=OF,

JOE=OF=OA=OC,BPEF=AC,

.∙.菱形AECF是正方形.

【点评】本题主要考查了菱形的性质与判定，正方形的判定，掌握相关定理是解题基础

考点三、梯形

1.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.

(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底.

(2)不平行的两边叫做梯形的腰.

(3)梯形的四个角都叫做底角.

2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.

3.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.

4.等腰梯形的性质：

(1)等腰梯形的两腰相等；(2)等腰梯形同一底上的两个底角相等.(3)等腰梯形的对角线相等.

5.等腰梯形的判定方法：

(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)；

(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；

(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.

6.梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.

7.面积公式：S=J(a+b)h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高).

2

【要点诠释】

解决四边形问题常用的方法

(1)有些四边形问题可以转化为三角形问题来解决.

(2)有些梯形的问题可以转化为三角形、平行四边形问题来解决.

(3)有时也可以运用平移、轴对称来构造图形，解决四边形问题.

典例14：(2021•毕节市)如图，拦水坝的横断面为梯形ABa),其中AD〃8C,NABC=45°,NDCB=

30°,斜坡AB长8加，则斜坡CD的长为()

AD

A.6Λ∕2WB.Sy[