数学-2023年8月青岛高三数学期初模拟答案

青岛二中高三8月阶段性练习--数学试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

一、单选题

1.已知集合/=卜k<2},5={X|X2-2X-3<0},则ZU8=()

A.[-1,2)B.(2,3]C.(-1,3]D.(—8,3]

【答案】D

2.已知i为虚数单位，且iz=l+2i,则复数z的共辗复数在复平面内对应的点在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【详解】z=—=2-i,则]=2+i，所以对应点的坐标为(2,1)在第一象限，

1

故选：A.

【命题意图】

本题考查复数运算、共筑复数、复数的几何意义等知识，学生易错点是复数计算错误和忽略共规复数的条

件，考查学生数学运算和直观想象核心素养，本题属于基础题。

3.已知非零向量石满足(1+29，,-25)，且向量£在向量坂方向的投影向量是则向量万与♦的

夹角是()

兀e兀-兀c27t

A.-B.-C.-D.—

6323

【答案】A

【详解】\-[a+2b)1(a-2b),则他+2方.伍—=/一47=0，即同=2忖,

又•••向量5在向量々方向的投影向量，

-*/_*、

(|a|cos<a,b=^-^cos<a,b>b=

\h\l向)

则cos},今=*，且兀],则,&=

即向量M与B的夹角是

6

故选：A.

命题分析第1页，共21页

【命题意图】本题考查向量的数量积、投影向量、向量夹角的求解，考查学生数学运算和逻辑推理核心素

养，本题属于基础题。

4.已知cosa=卷，•兀，2兀），贝Usin-g-=（）

A.2/LB.-VLC.—D.

5555

【分析】由已知可求范围（亚，it）,贝"sin巴>0,进而根据二倍角公式即可计算得解sinq的值.

2422

【解答】解：：cosa=',aE（-|-K,2兀），

（3兀,皿），贝|jsin_2_>0,

242

"."cosa=—=1-2sin2-5-.可得sin2-SL=_k,

5225

故选：A.

【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化筒求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于

基础题.

5.若直线a,/,平面a满足aua,l^a,则“/，a”是“/_La”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】在aua,的前提下，由/_La不一定得到/J.a,反之成立，结合充分必要条件的判定方法

得答案.

【解答】解：auc,l《a,由/，。不能得到/La,/与a还可能平行或是相交不垂直；

反之，由/，夕,一定得到/La.

.,.若aua,IUa,则"/_L""是"/_La"的必要不充分条件.

故选：B.

6.社区居委会计划将6名志愿者平均分成3组，到3个不同地点服务，若每组去一个地点，每个地点都有人

服务，且甲、乙两名志愿者在同一个地点服务的分配方案有（）

A.18种B.36种C.72种D.144和।

【答案】A

C2c2

【详解】法一：先分组再排序Ur1A；=18

命题分析第2页，共21页

C2c2

法二：特殊元素优先安排，先安排甲、乙，再安排其他人员C>U^A；=18

A2

【命题意图】本题主要考查排列、组合及简单计数问题，考查数学运算、逻辑推理等核心素养。

7.已知动点”在直线h2x+2y-l=0上，动点N在直线4：2x+2y+l=0上，记线段MV的中点为尸，圆

G：x2+y2-2X-27+1=0,圆C?：x2+y2-4x-2y+l=0,A,8分别是圆G，C2上的动点.则|尸”|+|尸却

的最小值为()

A.3B.-C.V14-3D.V13-3

2

【答案】D

【详解】由题意，点动点M在直线4：2x+2y-1=0上，动点N在直线公2x+2y+l=0上,

线段的中点为P,可得点P在直线x+y=0上，

又由H+|PS|>G+也|-々=也卜也卜3,

点G(1,1)关于直线x+y=0对称的点C(-L-l),

则|pcj+|尸61=|PC|+|PC2|>|CC2|=V13,

所以+|尸却的最小值为V13-3.

故选D

【命题意图】本题考查圆的方程、直线与直线的对称关系、点关于直线的对称知识；考查学生数形结合和

转化化归能力，考查学生数学运算、逻辑推理和直观想象核心素养；属于中档题。

8.已知函数/(x)=3sin0x+g'cos0x(<w>O)在区间上恰有两个极值点，则实数。的取值范围是

()

A.［"河8八B.「［河8八。「上“司20、1口.((2丁0—力

【答案】B

命题分析第3页，共21页

【详解】由题意，函数/(x)=27isin(s+£),令ox+J=/,所以/(x)=2sinf,

66

在区间上-9，不恰有两个极值点，

则函数/'(x)=2sinf恰有一个最大值点和一个最小值点在区间“詈+看,等+/，

3471C0冗冗„3c

----<----+—<——r820

结合图像，则o46:，，解答—3—co<—3,即8:4。<4,故选B.

7t7TCO7137t.3

—<——+—<——l<d><4

12362

【命题意图】本题考查三角恒等变换和三角函数的与。有关的性质，这是高考中的热点。考查学生数形结

合和转化化归能力，考查数学逻辑推理和直观想象核心素养，本题属于中档题。

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题中正确的是()

A.已知己(胡)=0.34,P(4)=0.71,则♦⑼)=0.37

B.对具有线性相关关系的变量x,几其线性回归方程为»=0.3x—w,若样本点的中心为(见2.8),则实数

C.已知一组数据：7,7,8,9,5,6,8,8,则这组数据的第30百分位数是8

D.抽取高三年级50名男生、50名女生的二模数学成绩，男生平均分123分，方差为60；女生平均分128

分，方差为40,则抽取的100名学生数学成绩的方差为80

【答案】AB

【详解】对于A,BA,B)互斥,P(B)=P(BA)+P(BA)=0.34+P(BA)=0.71,，尸(8彳)=0.37,故A正

对于B,•回归方程必过样本中心点，则2.8=0.3〃?-m，解得机=-4,故B正确；

对于C,依题意，这组数据共8个，从小到大排列为5,6,7,7,8,9,8,8,第30百分位数是7,故C

错误;

对于D,依题意,设50名男生为再,程…50名女生为必,外，…%o

命题分析第4页，共21页

-1£5y0,2-1282=40,50=50(40+1282),

>Uj=|,=i

1751

这100名学生的平均成绩£=^(50x123+50x128)=；-,

这100名学生数学成绩的方差

广:击自+训-12!1)、专区他123>50(4N12g四=56.25,故D错误.

故选：AB.

【命题意图】本题旨在考察学生对统计学中重要概念和数字特征的理解与应用,属中档题.

10.已知抛物线C:/=2勿（p>0）的焦点尸（0,2）,直线/与C交于尸、。两点，且2丽=而，尺（4,6）,若

过点P、。分别作C的两条切线交于点A,则下列各选项正确的是（）

A.|Pa=16B.pF|=4C.PQ1AFD.PA1QA

【答案】ACD

【详解】抛物线C的焦点F到准线的距离为P=4,所以，抛物线C的方程为x2=8〉，

设P（XQJ、。（£，力），由而=2万可知R为尸。的中点，

所以，再工》2且%=8,必+%=12,

由•“2一，”可得=（再-*2）（&+马）=昭-々）=8（v,-y2）,

x2=8%

所以，直线/的斜率为％也=J^二：1,则直线/的方程为y-6=x-4,可得夕=x+2,

再F

y=x+2

联“1，。可得X2-8X—16=0,所以，x,x=-16,

/=8y2

对函数y=上求导可得y'=WX，

所以，切线北的方程为了-必吟（x-xi)>即y=；X|X_；x：+1x；=；±x_:x；,

同理可知，切线2P的方程为了=,）

2X--X2,

4

117芭+X

"中X,X=12=4

联立,,可得2,即点4(4,一2),

112X.X

"产X-泊卜=丁7=-2

因为直线尸。。=x+2过点尸，所明1，尸。=必+%+4=16,A错；以尸=J(4_0j+(_2_2)2=4近，B

命题分析第5页，共21页

错；

-2-0

因为左==T，原°=1，所以，3/po=T，所以夕。,〃7,故C正确；

因为％尺|=8=；|P0|,且R为P0的中点，故|"R|=|H?|=|0R|,PALQA,故D正确.

故选：ACD.

【命题意图】本题设置求抛物线方程基本知识，分析出R为P0的中点，进而使用点差法求出直线方程.直线

与抛物线联立，列出韦达定理，写出两切线的方程，联立两切线的方程.这个过程中，考察学生的通性通法

的掌握情况，学生的运算能力，分析解决问题的能力.

11.已知函数〃*)=/-3/+2,则下列结论中正确的是()

A.导函数/'(X)的单调递减区间为(0,2)

B.〃x)的图象关于点(1,0)中心对称

C.过原点。只能作一条直线与/(x)的图象相切

D./(X)恰有两个零点

【答案】BC

【分析】先求出/'(X)=3X2-6X=3MX-2),利用二次函数知识求出函数的单调区间，可判断A,根据

/(l-x)+/(l+x)=0得到函数的中心对称，可判断B,利用导数的几何意义建立切点横坐标方程，根据根的

个数判断C,再由函数单调性、极值点结合图象对选项D作出判断即可.

【详解】因为/。)=/—3/+2,所以尸(X)=3/-6X=3(X-1)2-3,

则导函数/"(x)为对称轴是x=l,且开口向上的抛物线，

故其单调减区间为(-8,1),A错误；

因为/(l-x)+/(l+x)=(l-x)Ya-x),2+(1+x)3-3(l+x)2+2=0,

所以/(x)的图象关于点(1,0)中心对称，B正确；

设过原点(0,0)的直线与y=/(x)相切于点。，

则/'(，)=3f2-6t="3：：20,整理得2t3-3/_2=0,

令g(x)=2d-3X2-2,g'(x)=6x2-6x=6x(x-1),

命题分析第6页，共21页

令g'(x)>0，得x<0或X>1,令g'(x)<0,得0<X<1,

故g(x)有极大值g(0)=-2<0,极小值g⑴=-3<0,

由三次函数性质得g«)=0只有一个解，

则过原点。只能作一条直线与/(x)的图象相切，C正确；

令/"(x)=3x2-6x=3x(x-2)>0,得x<0或x>2,令/，(x)<0,得0cx<2,

所以函数f(x)有极大值/(0)=2>0,极小值/(2)=-2<0,

由三次函数性质得“X)=0有三个解，即/(X)有三个零点，

12.在棱长为2的正方体中，E,尸分别为8c的中点，贝U()

A.异面直线。乌与所成角的正弦值为苧

B.当三棱锥用-8勿'的所有顶点都在球。的表面上时，球O的体积为信

C.过点E,尸的平面截正方体/8CO-4与所得的截面周长为9+近

D.点P为正方形/圈GA内一点，当。尸〃平面用功时，。尸的最小值为迈

2

【答案】BD

命题分析第7页，共21页

【详解】对于A选项，DDJ/BB、,

.•.在R384尸中/BB、F即为异面直线DD｝与8尸所成的角,

“产嚼二舟考

••・异面直线。。与3尸所成的角的余弦值为苧.故A错误;

对于B选项，如图所示，取EF的中点。一则/=0由，过。作

且使得。。=；8月=1,则。为三棱锥耳-8E尸的外接球的球心,

所以OE为外接球的半径,

3

:在HfAEB厂中，£F=V2.:.R2=OE2=00；A

2

4

.•.4=5万火3=后.故8项正确；

对于C选项，过点自、E、尸的平面截正方体

•.•平面AA.D.D〃平面BBGC,则过点A、E、F的平面必与与CG交于两点，

命题分析第8页，共21页

设过点。、E、尸的平面必与与CG分别交于M、N,

•.•过点4、E、尸的平面与平面四。。和平面88。。分别交于。m与EN,.•.4M||NF,同理可得

DtN\\ME,

如图过点A、E、尸的平面截正方体力88-44GA所得的截面图形为五边形

如图以。为原点，分别以方不比、的方向为X轴、y轴、Z轴正方向建立空间直角坐标系。-被Z,

则M（2,0,"7）,N（0,2,〃）,£（2,1,0）,F（1,2,0）,£>,（0,0,2）,

=丽=（0,2,〃一2）,丽=（2,0,加一2）,而

2

\-2m=n—2"3

■.■D}M\\NF,DtN\\ME,A。.解得:，

—2n-m—z.2

in——

3

2244

AM=—,CN=—,A{M=—,C、N=3,

:.在RbR4M中,R4=2,4M=g,；,同理：D1N=^^,

在放△M4E中，AM=~,AE=\,=同理：FN=—

333

在Rl/\EBF中,BE=BF=1,:.EF=6，

D、M+D、N+ME+FN+EF=2x^^+2x叵+母=2用+6,

33

即过点。、E、下的平面截正方体/8C0-48CQ所得的截面周长为2万+0.故C错误;

对于D选项，取4A的中点的中点N,取ND的中点S,连接MN,DM,DN,gSF,

SFMABHA、B、,SF=AB=AB、,

口仲即AA}〃BtF;4SHDM：.MDHBXF,同理可得ZW||BXE,

命题分析第9页，共21页

又；£)Af<Z面4瓦7,Bfu面B[EF,DNa面B^EF,B】Eu面8声,

:.DM//面B、EF,DN//面B】EF,又,；DMcDN=D,DM、DNu面DMN,

.1面DMN〃面片EF,又,：DP]/面B、EF,p©面J.fi.C.Z),,P轨迹为线段MV,

.,.在ADMN中，过。作DPLMN,此时。。取得最小值，

在Rtz\£)A〃中，RM=1,D、D=2,；.DM=B

在RtAORN中，D、N=l,D、D=2,：.DN=5

在RtAM£>|N中，D、N=1,D、M=\,：,MN=-Ji，

二如图，在比△。尸N中，DP=]DNZ-1等)=@J=半.故D项正确，

故选：BD.

【命题意图】本题重点考察线面位置关系，截面、外接球、空间角的掌握情况，题目中考察内容多，综合

性比较强，对学生的各项能力要求较高.重点考察学生空间想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，同时考

查学生运用所学知识解决新问题的能力，属于难题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(x+y)(2x—y)5的展开式中Fyi的系数为

【答案】-30

【详解】(x+y)(2x-y)s=x(2x-y)“+M2x-y)s,

5r

由(2x-y)s展开式的通项公式Tr+I=C'5(2x)-(-力’可得：

当r=4时,x(2x-炉展开式中的系数为C；X2X(-1)4=10；

当r=3时，y(2x-y7展开式中的系数为C；X22X(_1)3=_40,

则x2y4的系数为10-40=-30.

命题分析第10页，共21页

【命题意图】本题考查求两个多项式的积的特定项，考查学生转化化归和分类讨论的能力，考查数学运算

和逻辑推理核心素养，属于基础题.

14.函数/(x)=xln(-x),则曲线y=/(x)在x=-e处的切线与x轴、y轴所围成的图形的面积

为.

2

【答案】Y

4

【详解】f'(x)=ln(-x)+l,f'(-e)=2,f(-e)=-e,

所以在(-e,-e)处的切线为y-(-e)=2[x-(-e)],

2

即：2*-丫+0=0,与*轴、y轴交点分别是(一会。)、(0,e),所以三角形的面积为言

【命题意图】本题主要考查运用导数求解函数的切线方程，考查学生数学运算核心素养，属于基础题。

15.设是等比数列｛a,｝的前〃项和.若a一o殳=2,54=4,则S8等于

a4

【解答】解：由题意，设等比数列｛斯｝的公比为4，则

21=1=2,S4=a〃i-q4)aia1

—L=4,」一=-4,

»41-q1-q1-q

版=*1-0

1-q1-q1-q

【点评】本题主要考查等比数列的基本计算.考查了方程思想，定义法，整体思想，以及逻辑推理能力

和数学运算能力.本题属基础题.

16.设ae(O,l),若函数/(x)=a、+(l+a).'在(0,+司上单调递增，则a的取值范围是.

命题分析第11页，共21页

解析

解析由函数的解析式可得/（x）=a*lna+（l+«）*ln（l+

a）》0在区间（0.+8）上恒成立，则（l+a）」n（l+a）》

r"na,即（手一需;a）在区间（°，+8）上恒成

立，故（上，而a+111,2）,

'a/In（然l十：a）、

故ln（l+a）>0.

［InQ+l）》-Ina,fa（a4-l）^l,后一］

故即故号」&aVl,

WVaV］，（0<a<b/

故实数a的取值范围是「告［，1）.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

94

在"8C中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,且(sin/+sinC)~=sii?8+《sin力sinC.

⑴求cosB和sinB的值;

45

（2）设点。在边力C上，且班）=2,8。是/Z8C的角平分线，求--+—f的最小值・

。一2c-75

i4

解：(1)因为(sin力+sinC)=sin2S+ysin/IsinC,

,44

由正弦定理可得(a+c)~=b2+~ac，即/+c?+2ac=〃-\--ac,

即a2+c2-b2—--ac,

5

_6

由余弦定理“°Aa2+c2-b2~sac3,又3£(0㈤，

laclac5

i------------4

所以sin8=Jl-cos?B=1.

(2)因为cos5=l-2sin咚=-3,解得sin0=2'6或sinO=-冬叵(舍去),

252525

又8。是NZ6C的角平分线，80=2,所以SZUK=S捻M+&D8C，

।[5]B

即一acsinB=—aBDsin—+—cBDsin—,即ac=45a+J5c,

22222

所以(a-J?)c=J?a,所以q＞石且c=H1%,

命题分析第12页，共21页

4545

----1----尸—----1---y=------

所以a-2c—y/5a—2y/5a亚

a-y/5

=+a—V5=-----+(a-2)+2—y/5>2^—2)+2-^5=6—5/5,

当且仅当'-=a-2,即。=4、c=20+160时取等号,

a-211

45

所以--+一瓶的最小值为6-6.

a-2c-j5

18.（本小题满分12分）

已知数列｛4｝为公差不为零的等差数列，其前〃项和为工，4,。2，%成等比数列，$5=25.

（1）求数列｛见｝的通项公式;

（2）已知数列｛4｝满足“=（一1）""巴上，设数列｛4｝的前n项和为。，求［的最小值.

anan+\

2

【答案】（1）a„=2n-l；⑵

【详解】

设数列｛。“｝为公差为d，%,。2，。5成等比数列，$5=25,则

(%+d/=a](q+4d)

2

d—2a}d=0

S—二25整理得

q+2d=5

,「dwO,解得q=l,d=2,・・.a〃=2〃-1

⑵因为…「就

2〃㈠「1]

(2«-l)(2n+l)22«+1)

所以0,（"）-（，+1）+…+（T）“*'（二一+二一）=-l+（-l）,rtl—1―,

“I"”2「3352n-l2n+lJ2\_2n+lj

所以当〃为奇数时，Z，=gl+Jf；由｛4｝递减，得

当〃为偶数时，7=；。-右），由｛Z,｝递增，得

所以看的最小值为

【命题意图】本题考查等差数列和等比数列的性质、裂项相消求和法等知识，考查学生运用方程思想求解

命题分析第13页，共21页

问题和通过分类讨论研究问题的能力，考查了学生数学运算和逻辑推理的核心素养。

19.(本小题满分12分)

由四棱柱ABCD-A^C.D,截去三棱锥G-后得到的几何体如图所示,四边形A.ADD.和ABCD是

JT

全等的边长为2的菱形，且==4。=3.

(1)求三棱锥C—4/0的体积；

(2)求直线和平面"D4所成角的正弦值.

【答案】⑴――(2)'

213

【详解】

(1)取/。中点0,连接4。,。。，则COLAD,则力DJ_平面4。。,

[2

则七一=§,力。,s%0c，4。=c。=4。=3，/•/4℃=]4，

，SM\℃="O.CO=L忑忑巫=巫，

21224

,T7一"，_i。36_6

V

••C-AXAD=]ND.S.oc=12,-^―=—•

(2)以。为原点，以。C,。。所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系

•••AD1平面4。。，ADu平面Z8CZ),

平面4。。，平面Z8CQ,交线为CO,过点同作4"_LOC,则

A.H1平面Z8CZ),

3'令

x+y+—z=O

y=0

命题分析第14页，共21页

x=5则7=（VJ,o,i）,

设直线CDX和平面DDA所成角为。,

则______.

.八CD,•n3V13

sin0==-----

|同〃|26

【命题意图】本题属于中档题，题目的设计重在考察学生对于几何体性质的判断、线面位置关系的判断，

以及如何求几何体的体积与线面角.既考察学生空间想象能力，逻辑推理能力，运算能力，同时考察学生运

用知识解决问题的能力.

20.(本小题满分12分)

为提升学生的身体素质，学校利用课余时间积极组织各项体育活动，同时对每位参与运动的同学进行跟踪

记录，以便更好的了解每个同学的参与运动的情况和能力水平，甲同学作为足球运动的爱好者，自加入足

球队以来参加过100场比赛：甲作为前锋出场20次，其中获胜14次；甲作为后卫出场30次，其中获胜21

次；甲作为中锋出场25次，其中获胜20次；甲作为守门员出场25次，其中获胜20次.用该样本的频率估

计概率，则:

(1)甲参加比赛时，求某场比赛中甲所在队获胜的概率；

(2)现有6支足球队，进行单循环比赛，即任意两支队伍均有比赛，规定至少3场获胜才可晋级。教练决

定每场比赛均派甲上场，已知甲所在队顺利晋级，记其获胜的场数为X,求X的分布列和数学期望.

【答案】(1)0.75(2)分布列见解析，EX=子

34

【详解】(1)设4="甲担任前锋"；4=”甲担任后卫“；4=”甲担任中锋“；4="甲担任守门员"；8=“某

场比赛中甲所在队获胜“；

则尸(4)=~^*=0.2,P(A-,}==0.3,P(A,}==0.25,P(A.\==0.25；P(B\A.)==0.7,

v17100v27100、”100v47100v720

2120

P(B\A2)=—=Q.7,P(5M3)=—=0.8,

20

P(8|4)=石=0.8

由全概率公式可得：

p(8)=p(4)尸(3|4)+P(4)P(3|4)+P(4)P(8|4)+尸(4)尸(5|4)

=0.2x().7+0.3x0.7+0.25x0.8+0.25x0.8=0.75.

所以甲参加比赛时，某场比赛中甲所在队获胜的概率是0.75.

命题分析第15页，共21页

(2)设G="5场中有i场获胜”(i=3,4,5),D="甲所在队顺利晋级”,

券则叫=需

尸C0=c；怒,尸(G0=C

尸-3):尸如上黯=|^^，同理可得P(X=4)=*⑶=号需=部4,

9

34

则X的分布列为:

X345

5159

P

L73434

5,15<9_135

E(X)=3x—+4xF5x—=---

v717343434

【命题意图】本题属于中档题，设置切合实际的背景，考察学生快速提取信息能力.重点考察学生的读题审

题能力，通过阅读，确定第一问为全概率应用，着重考察学生对于全概率公式和条件概率的应用.第二问为

条件概率的应用，让学生结合所学公式和题目，求解分布列与数学期望.

22

21.已知椭圆C:£+方=l(a>b>0)的离心率为g左、右焦点分别为片,入，直线x=，"与椭圆C交于4

B两点、,且月的周长最大值为8.

(1)求椭圆C的标准方程;

3

(2)如图，P,0是椭圆C上的两点，且直线。尸与。。的斜率之积为(。为坐标原点)，。为射线OP上

一点，且线段。。与椭圆C交于点E,\QE\=2^\ED\,求四边形OPE。的面积.

【答案】⑴工+J1

43

⑵苧

命题分析第16页，共21页

【分析】（1）由题意可知，当过右焦点石时，A/8月的周长取最大值4a=8,求得。=2,通过离心率

可求得c=l,"=3,即可求得标准方程；

（2）设P&,乂）,。（占，为），由题目条件可得3中2+4凹力=°，由I便1=$E0』。?且尸。可得四边形OPEQ

面积为当直线尸。斜率为0时，易得以”°=6；当直线斜率不为。时，将直线尸。方程与椭圆方

程联立后，利用韦达定理，结合3再％+4乂%=0,可得2『=3毋+4,后可得=百，即可求解

【详解】（1）设48与x轴的交点为“，

由题意可知以川引”丹,

则M用+MH区|/不|+|力行|=2a,

当N8过右焦点用时，A/8耳的周长取最大值4a=8,所以。=2,

c1

因为椭圆C的离心率为2=-=；,所以。=1,从=a2-c2=3,

a2

所以椭圆。的标准方程《+广=1

43

2222

（2）设尸（士,必），。（々，%），因P，0均在椭圆上，贝+今+半=1.

又则坐=-1=3再々+4必%=°.

"4再/4

222

由|。£|=§|9）|,|。尸|=|尸0可得号小?=不％加=WSgpQ，

.7

则四边形OPEQ面积为（SWPQ.

当直线产。斜率为0时，易知％8=-自0,又kop%Q=q,则的p=±日.

f-［也

x1=7Z

根据对称性不妨取心.=更，M>0,由'一万”得，V6，

222

（3x+4y=\2M二3

命题分析第17页，共21页

a”。=；X2应X手

当直线斜率不为0时，设P0的方程为》=〃沙+，，将直线方程与椭圆方程联立有:

消去x得：（3加2+4）/+6机。+3*-12=0.

3x+4y=12、7

△=36〃，*-4（3w2+4）（3*-12）＞0,

由韦达定理，有必+为=二^-,乂力="尸2

'23m2+4123m2+4

所以3再毛+4必力=3（孙+，）（掰%+，）+4yM=0n

222

（3m+4）y,y2+3mt（y,+yj+3/=0=＞（3m+_18：t_+3r=0=;

\/刀，2'刀\73/+43/+4

2tl—3/-4=0n2/2=3〃?2+4，3m2=2t2-4,

代入A＞0可得12（2/-4）『-4x2r2（V一场＞0,解得rwO,

\PQ\=，（占一4+他-%）。=J"?"-，（必+%『-4必力=V1+w2JfT^7\~

八3加+4J5m+4

=衍产（-九3/回=26・军,

X（3/+4）p|

又原点到直线PQ距离为-r=,则此时S.OPQ=1X-JLX2石X呼口=73.

Vi+w22Vw2+i|q

综上可得，s△。也=6,四边形OPE0面积为拽.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:

（1）设直线方程，设交点坐标为（国,必）,（X2，%）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或V）的一元二次方程，必要时计算A：

（3）列出韦达定理；

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(4)将所求问题或题中的关系转化为王+