新教材同步辅导2023年高中数学课时评价作业十八函数的极值

课时评价作业(十八)函数的极值

A级基础巩固

1.当函数y=x•2、取极小值时,x=()

11

A.—B.-C.-In2D.In2

ln2ln2

解析：由厂厂2',得y，笈+x-2J-In2.

令/力，得2*(1+*•In2)4).

因为2%,所以1奴•In2=0,解得x=-^~.

In2

答案:B

2.|多选题|已知函数片『(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，则下列四个结论正确的是

()

A.f(x)在区间(-3,1)内是增函数

B.当x=-l时,F(x)有极小值

C.f(x)在区间(2,4)内是减函数,在区间(-1,2)内是增函数

D.当X4时,f(x)有极小值

解析：由题图知f(x)在区间(-3,-1)和⑵4)内是减函数,在区间(-1,2)内是增函数,当

x=-i时,函数f(x)有极小值,当x之时，函数r(x)有极大值.

答案:BC

3.若函数f(x)=ax-lnx在x考处取得极值,则实数a的值为返.

解析：由题意,可知f'(x)=a*,r(f)=o,

所以a*小,解得a^/2.

4.函数F(x)上+lnx的极小值点为2.

X—

解析：由题意，知函数/U)的定义域是(0/8).

由f'(x)=9上工(1—得x=2.

xx\X/

当0G<2时,r'(x)'(x)单调递减；当x>2时,F'(x)>0,函数广(x)单调递增.所以当产2

时，函数f(x)取得极小值,故2为F(x)的极小值点.

5.(2023•广东佛山二模)已知函数F(x)-x有2个极值点见鸟则

X1+X2+f(x)+f〈x》过

解析：由题意可知，f'(X)=3/-1,令3/-14),得产土岸

所以f(x)的极值点为X磬和x=《

不妨令xi]*2=号,

贝ljx\+x2Kfix〉+f(x34),

所以x\+x2+f(x〉+f〈xj4).

6.设函数f{x}=x•(x-c)2在xC处有极大值,则。毛.

解析：因为/*'(才)=3/-40"?,/1(入)在广2处有极大值,所以/'乂2)4),即解得

c=2或c=6.

当cC时,/(x)考/_8犷4=(3厂2)(x-2).则当x>2时,6(x)为，函数F(x)单调递增，不符

合题意,所以cW2,所以c=6.

7•设,(X)备，其中a为正实数-

⑴当a号时，求F(x)的极值点;

⑵若/"(X)为R上的单调函数,求a的取值范围.

解:对,但求导得’3+：焉产

(1)当a1时,令f'(x)=0,则4/-8x+3=O,解得不弓,也号.

当X变化时,f'(X)和f(x)的变化情况如下表:

3

X+

卜8,3(14)2(p°°)

f'kx

+0-0+

)

f(x)单调递增极大值单调递减极小值互调递增

所以|是f(x)的极小值点,(是f(x)的极大值点.

⑵若F(x)为R上的单调函数,则£(X)在R上不变号.

结合f'(x)和条件己为,知笳-2"420在R上恒成立,

所以42才MaNa(aT)W0,

故0QW1.

B级能力提升

8.匡睡(2023•新高考全国H卷)若函数f(x)皿n4号(a*0)既有极大值也有极小

值,则()

A.bcX)B.abX^C.BD.ac<Q

解析：由题可知函数f(x)的定义域为(0,+8),

且g(x)_Q-_bJZcax2-bx~2c

xx2x3x3，

令ff(x)力，即aV-bx~2c工,

因为F(x)既有极大值也有极小值,所以ax-bx-2c=O有两个正根,设其为由,X2,则

不为2上»,荀生二^>0,d二片拎ac八,

aa

所以abX>,ac<0,

所以•ac=abe<Q,即bc<0.

故选BCD.

答案:BCD

9.若函数f(x)3-p"qx的图象与x轴相切于点(1,0),则函数f(x)的极小值为()

A.0B.-4C.-6D.1

2727

f

角窣析：由题意，知F(x)=3x-2px-qff(1)=3~2p~Q=OfAl)=1-0-q=0,

联立，得方程组胫W解得器2：

所以F(x)=x-2x+x,f'(x)=3jf/x+l.

由f'(x)=3/-Ax+14),解得x=l或舄.

易知1是函数f(x)的极小值点.

所以/1(x)极小值⑴=0.

答案:A

10」多空题|已知函数f(x)=xL3ax-l(aW0)在x=T处取得极值,若直线尸》与y=f{x)

的图象有三个不同的交点，则m的取值范围为(-3,1).若有两个不同的交点，则m的取值为心

或1.

解析:因为/■(x)在x=T处取得极值,且f'(x)Ta,

所以(-l)-3X(-l)2-3a4),

所以a=l.

所以f{x)=/-3x-i,6(x)=3寸一3.

由f'(x)=0,解得xi=T,用=1.

当x<T时，f'(x)X;当-1<¥<1时，f'(x)<0;当x，l时，f'(x)>0.

所以由函数/1(»的单调性可知,f(x)在X=-1处取得极大值A-1)=1,在X=1处取得极小

值/,(1)-3.作出函数f(x)的大致图象,如图所示.

因为直线i与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,所以结合f(x)的图象可知,m的

取值范围是(-3,1).

根据图象可知，当勿=-3或m=l时,直线y=m与y=f{x)的图象有两个不同的交点.

11.已知函数F(x)4-alnx(a£R).

⑴当a=l时,求函数人x)在广1处的切线方程；

⑵求函数Hx)的极值；

⑶若函数f(x)在区间(2,+2上是增函数,试确定a的取值范围.

解：(1)当a=l时,_f(x)-x-lnx,

则£(x)=2x-,则f'⑴=1,/■⑴=1,

X

所以函数Ax)在处的切线方程为尸X.

⑵f(x)的定义域为(0,+8),F(X)之『2.

X

①当aWO时,『‘(X)为恒成立,所以函数F(x)不存在极值.

②当aX)时,令f'(x)或得x号(负值舍去).

当0々4时,f'(x)<0;当x>"时,f'(x)丸

所以当x号时,函数/U)有极小值,极小值为《亨芹学埠

⑶因为函数f(x)在区间⑵+2上是增函数，

所以当xd(2,+2时，/(x)之了上,0,即aW2f对xG(2,9)恒成立，所以W8.

X

C级挑战创新

12」多选题|若使函数f(x)w(lnx-ax)有两个极值点，则实数a的取值可以是()

解析：F'(x)=lnx-ax，C=Lnx-2ax+l.由题意知f'(x)■)有两个根，所以In

x-2ax+14有两个根，即尸Inx+\与y与ax恰有两个交点.若直线yNax恰与曲线尸Inx+\

一=2a,

相切于点(皿㈤，且以nx+l的导数/4则

y0=2ax0,解得2a=1,要使函数尸Inx+1

yo=ln%0+1,

的图象与y与ax的图象恰有两个交点，只需0<2a<l,即

答案:ACD

13」多选题|(2022•新高考全国I卷)已知函数f(x)=^-x+l,则()

A.f(x)有两个极值点

B.f(x)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心

D.直线gx是曲线y=f{x}的切线

解析：因为“X)寸-户1,所以6(x)=3x~l.

令f\x)X,解得x<号或若;令£(x)<0,解得号G号.所以f(x)在区间

(-8,-苧),(苧,+8)上单调递增,在区间(-日,/)内单调递减.

又函数『(X)的值域为R,且《-苧)义誓为,d苧)卷"x,所以f(x)有两个极值点，

有且仅有一个零点.故选项A正确,选项B错误.

又f{x}+f{-X)=x-x+\-x+x+\A则F(x)关于点(0,1)对称,故选项C正确.

假设直线产2x是曲线y=f5的切线,其切点为(a"),则门。2T=2,解得仁=:或

(2a=b,3=2

产=%显然点(1,2)和(-1,-2)均不在曲线y=fU上,故选项D错误.

S=2.

答案:AC

14.(2023•新高考全国H卷)

⑴证明：当0々<1时,x­/Ginx<x\

(2)已知函数f{x}=cosa^-ln(l-/),若x=0为f{x}的极大值点,求a的取值范围.

⑴证明：设g(x)刁r-/-sinx,(0,1),贝ljg'(x)=l-2『cosx,

设力(x)宙'(x),则"(x)=-2Mnx<0,

所以g'(x)在区间(0,1)内单调递减,所以g'(x)念'(0)或

所以g(x)在区间(0,1)内单调递减,所以g(x)念(0)4),

即x-x-sinx<0,(0,1),所以x-x<sinx、(0,1),

设〃(x)女-sinx,(0,1),贝!J〃'(x)-l-cosxX,

所以〃(x)在区间(0,1)内单调递增，

所以〃(x))〃(0)4),xR(0,1),即jr-sinxX),(0,1),

所以sinx〈x,(0,1).

综上可得,当0<Y<l时,x-x<sinx〈x.

(2)解：由题易得£(x)二-Hsinax+^\,

1-XZ

设r(x)=ff(x),贝！JVf(x)二一一cosax+2+2；

则f'(0)R,/(())=-]+2.

①若r70)=2-a>0,即