中考数学压轴题70题（初三内容）

∵抛物线与轴交于点（0，3），∴设抛物线解析式为 (1′)根据题意，得，解得∴抛物线的解析式为 (5′)(2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）（2′)设对称轴与x轴的交点为F∴四边形ABDE的面积====9 （5′）（3）(2′)相似如图，BD=；∴BE=DE=∴,即：,所以是直角三角形∴,且,∴∽(2′)【016】（1）由可知，，又△ABC为等腰直角三角形，∴，，所以点A的坐标是（）.（2）∵∴，则点的坐标是（）.又抛物线顶点为，且过点、，所以可设抛物线的解析式为：，得：解得∴抛物线的解析式为………7分（3）过点作于点，过点作于点，设点的坐标是，则，.∵∴∽∴即，得∵∴∽∴即，得又∵∴即为定值8.【017】解：(1)设抛物线的解析式为：,把A（3,0）代入解析式求得所以，设直线AB的解析式为：由求得B点的坐标为把，代入中解得：所以 6分(2)因为C点坐标为(１,4)，所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2所以CD＝4-2＝2 8分(平方单位)(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则，由S△PAB=S△CAB得：，化简得：解得，将代入中，解得P点坐标为【018】解（1）因为△=所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。…………（2分）（2）设x1、x2是的两个根，则，，因两交点的距离是，所以。…………（4分）即：变形为：……（5分）所以：，整理得：解方程得：，又因为：a<0，所以：a=－1所以：此二次函数的解析式为…………（6分）（3）设点P的坐标为，因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于，所以：AB=，所以：S△PAB=所以：即：，则当时，，即解此方程得：=－2或3，当时，，即解此方程得：=0或1综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是(－2,3),(3,3),(0,－3)或(1,－3)。…（12分）【019】解：（1），． （2分）（2）①当的圆心由点向左运动，使点到点并随继续向左运动时，有，即．当点在点左侧时，过点作射线，垂足为，则由，得，则．解得．由，即，解得．当与射线有公共点时，的取值范围为． （5分）②当时，过作轴，垂足为，有．，即．OxyEOxyEPCDBQAMF当时，有，．解得． （9分）当时，有．，即．解得（不合题意，舍去）． （11分）当是等腰三角形时，，或，或，或． （12分）第（2）题第（2）题xyBCODAMNN′xyBCOAMNP1P2备用图【020】（1）.……………4分（2）由题意得点与点′关于轴对称，，将′的坐标代入得，（不合题意，舍去），.……………2分，点到轴的距离为3.，，直线的解析式为，它与轴的交点为点到轴的距离为..……………2分（3）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于，把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式，得：（不舍题意，舍去），，.……………2分当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分，． 与关于原点对称，，将点坐标代入抛物线解析式得：，（不合题意，舍去），，．……………2分存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形．【021】解：（1）由已知，得，，，．． （1分）设过点的抛物线的解析式为．将点的坐标代入，得．故抛物线的解析式为． （3分）（2）成立． （4分）点在该抛物线上，且它的横坐标为，点的纵坐标为． （5分）yxDBCAyxDBCAEEOＭFKGG将点的坐标分别代入，得解得的解析式为．，． （7分）过点作于点，则．，．又，．．[来．．（3）点在上，，，则设．，，．①若，则，解得．，此时点与点重合．．②若，则，解得，，此时轴．与该抛物线在第一象限内的交点的横坐标为1，点的纵坐标为．．③若，则，[来解得，，此时，是等腰直角三角形．过点作轴于点，则，设，yxDyxDBCAEEOQPHGG(P)(Q)Q(P)．解得（舍去）．．（12分）综上所述，存在三个满足条件的点，即或或．【022】解：（1）设第一象限内的点B（m,n），则tan∠POB，得m=9n，又点B在函数 的图象上，得，所以m=3（－3舍去），点B为，而AB∥x轴，所以点A（，），所以；（2）由条件可知所求抛物线开口向下，设点A（a,a），B（，a），则AB=－a=,所以，解得.当a=－3时，点A（―3，―3），B（―，―3），因为顶点在y=x上，所以顶点为（－，－），所以可设二次函数为，点A代入，解得k=－,所以所求函数解析式为.同理，当a=时，所求函数解析式为；（3）设A（a,a），B（，a），由条件可知抛物线的对称轴为.(第24题(1))4x2(第24题(1))4x22A8-2O-2-4y6QBCD-44P点A（a,a）代入，解得，，所以点P到直线AB的距离为3或。(第24题(2)①)4x22A′8(第24题(2)①)4x22A′8-2O-2-4y6B′CD-44A′′将点B(2，n)的坐标代入，求得点B的坐标为(2，2)，则点B关于x轴对称点P的坐标为(2，-2)． ……1分直线AP的解析式是． ……1分令y=0，得．即所求点Q的坐标是(，0)． ……1分(2)①解法1：CQ=︱-2-︱=， ……1分故将抛物线向左平移个单位时，A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为． ……1分解法2：设将抛物线向左平移m个单位，则平移后A′，B′的坐标分别为A′(-4-m，8)和B′(2-m，2)，点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-m，-8)．(第24题(2)②)4x22A′8-2O-2-4y6B′CD-44A′′B′′直线(第24题(2)②)4x22A′8-2O-2-4y6B′CD-44A′′B′′故将抛物线向左平移个单位时A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为． ……1分②左右平移抛物线，因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短； ……1分第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短．……1分第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)．因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B′′(-b，2)，要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短． ……1分点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-b，-8)，直线A′′B′′的解析式为．要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，将点D(-4，0)代入直线A′′B′′的解析式，解得．故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为．……1分【024】解（Ⅰ），. 1分将分别代入，得，解得.函数的解析式为． 3分（Ⅱ）由已知，得，设的高为，，即.根据题意，，由，得.当时，解得；当时，解得.的值为. 6分（Ⅲ）由已知，得.，，，化简得.，得，.有.又，，，当时，；当时，；当时，. 10分【025】（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入得解得∴抛物线的解折式为…（2分）（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为即E点的坐标（，）又∵点E在直线上∴解得（舍去），∴E的坐标为（4，3）……（4分）（Ⅰ）当A为直角顶点时过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，设P1（a,0）易知D点坐标为（－2，0）由Rt△AOD∽Rt△POA得即，∴a＝∴P1（，0）……（5分）（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，P2点坐标为（，0）……（6分）（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3（、）由∠OPA+∠FPE＝90°，得∠OPA＝∠FEPRt△AOP∽Rt△PFE由得解得，∴此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0）……（8分）综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）（Ⅲ）抛物线的对称轴为…（9分）∵B、C关于x＝对称∴MC＝MB要使最大，即是使最大由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时的值最大．易知直线AB的解折式为∴由得∴M（，－）……（11分）【026】(1)配方,得y=(x–2)2–1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点为P(2，–1)．取x=0代入y=x2–2x＋1，得y=1，∴点A的坐标是(0，1)．由抛物线的对称性知，点A(0，1)与点B关于直线x=2对称，∴点B的坐标是(4，1)．2分设直线l的解析式为y=kx＋b(k≠0)，将B、P的坐标代入，有解得∴直线l的解析式为y=x–3．3分(2)连结AD交O′C于点E，∵点D由点A沿O′C翻折后得到，∴O′C垂直平分AD．由(1)知，点C的坐标为(0，–3)，∴在Rt△AO′C中，O′A=2，AC=4，∴O′C=2．据面积关系，有×O′C×AE=×O′A×CA，∴AE=，AD=2AE=．作DF⊥AB于F，易证Rt△ADF∽Rt△CO′A，∴，∴AF=·AC=，DF=·O′A=，5分又∵OA=1，∴点D的纵坐标为1–=–，∴点D的坐标为(，–)．(3)显然，O′P∥AC，且O′为AB的中点，∴点P是线段BC的中点，∴S△DPC=S△DPB．故要使S△DQC=S△DPB，只需S△DQC=S△DPC．过P作直线m与CD平行，则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于S△DPC，故m与抛物线的交点即符合条件的Q点．容易求得过点C(0，–3)、D(，–)的直线的解析式为y=x–3，据直线m的作法，可以求得直线m的解析式为y=x–．令x2–2x＋1=x–，解得x1=2，x2=，代入y=x–，得y1=–1，y2=，因此，抛物线上存在两点Q1(2，–1)(即点P)和Q2(，)，使得S△DQC=S△DPB． 【027】解：（1）由题意得6=a(－2＋3)(－2－1)，∴a=－2，∴抛物线的函数解析式为y=－2(x＋3)(x－1)与x轴交于B（－3，0）、A（1，0）设直线AC为y=kx＋b，则有0=k＋b，6=－2k＋b，解得k=－2，b=2，∴直线AC为y=－2x＋2（2）①设P的横坐标为a(－2≤a≤1)，则P（a，－2a＋2），M（a，－2a2－4a＋6）∴PM=－2a2－4a＋6－(－2a＋2)=－2a2－2a＋4=－2a2＋a＋14＋92=-2a+122+92，∴当a=-12时，PM的最大值为926分②M1（0，6）M2-14，678【028】解：（1）由题意得解得∴此抛物线的解析式为 3分（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.（第24题图）OACxyBEPD点关于对称轴的对称点是（第24题图）OACxyBEPD设直线的表达式为则解得∴此直线的表达式为把代入得∴点的坐标为（3）存在最大值，理由：∵即∴∴即∴方法一：连结，==，∵∴当时， 9分方法二：==，∵∴当时， 9分【029】解：（1），（-1，0），B（3，0）． 3分（2）如图14（1），抛物线的顶点为M（1，-4），连结OM．则△AOC的面积=，△MOC的面积=，△MOB的面积=6，∴四边形ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9． 6分说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．（3）如图14（2），设D（m，），连结OD．则0＜m＜3，＜0．且△AOC的面积=，△DOC的面积=，图14（2）△DOB的面积=-（），图14（2）∴四边形ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积==．∴存在点D，使四边形ABDC的面积最大为．（4）有两种情况：图14（3）图14（4）图14（3）图14（4）如图14（3），过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C．∵∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3．∴点E的坐标为（0，3）．∴直线BE的解析式为． 12分由解得∴点Q1的坐标为（-2，5）． 13分如图14（4），过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2．∵∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3．∴点F的坐标为（-3，0）．∴直线CF的解析式为． 14分由解得∴点Q2的坐标为（1，-4）．综上，在抛物线上存在点Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．【030】解：（1）设，把代入，得， 2分∴抛物线的解析式为：．顶点的坐标为． 5分（2）设直线解析式为：（），把两点坐标代入，得解得．∴直线解析式为． 7分，∴ 9分． 10分∴当时，取得最大值，最大值为． 11分（3）当取得最大值，，，∴．∴四边形是矩形．(E)12331DyCB(E)12331DyCBAP2xOFMH法一：过作轴于，交轴于点．设，则．在中，由勾股定理，．解得．∵，∴．由，可得，．∴．∴坐标． 13分法二：连接，交于点，分别过点作的垂线，垂足为．易证．∴．(E)12331DyCBA(E)12331DyCBAP2xOFMHNM由三角形中位线定理，．∴，即．∴坐标． 13分把坐标代入抛物线解析式，不成立，所以不在抛物线上． 14分【031】解：（1）C（3，0）；（2）①抛物线，令=0，则=，∴A点坐标（0，c）．∵，∴，∴点P的坐标为（）．∵PD⊥轴于D，∴点D的坐标为（）．……5分根据题意，得a=a′，c=c′，∴抛物线F′的解析式为．又∵抛物线F′经过点D（），∴．……………6分∴．又∵，∴．∴b:b′=．②由①得，抛物线F′为．令y=0，则．∴．∵点D的横坐标为∴点C的坐标为（）．设直线OP的解析式为．∵点P的坐标为（），∴，∴，∴．∵点B是抛物线F与直线OP的交点，∴．∴．∵点P的横坐标为，∴点B的横坐标为．把代入，得．∴点B的坐标为．∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC=OA），∴四边形OABC是平行四边形．又∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形．yxOBAyxOBADC(x=m)(F2)F1E1(E2)解得．．（2分）（2）当时，得或，∵，当时，得，∴，∵点在第四象限，∴． （4分）当时，得，∴，∵点在第四象限，∴． （6分）（3）假设抛物线上存在一点，使得四边形为平行四边形，则，点的横坐标为，当点的坐标为时，点的坐标为，∵点在抛物线的图象上，∴，∴，∴，∴（舍去），∴，∴． （9分）当点的坐标为时，点的坐标为，∵点在抛物线的图象上，∴，∴，∴，∴（舍去），，∴，∴．【033】（1）由抛物线经过点A(0，1)，C(2，4)，得解得∴抛物线对应的函数关系式为：． （2分）（2）当时，P点坐标为(1，1)，∴Q点坐标为(2，0)．当时，P点坐标为(2，3)，∴Q点坐标为(5，0)． （5分）（3）当≤2时，．S．当≤5时，．S． （8分）BADCOMBADCOMNxyP1P2【034】（1）过点作轴，垂足为，；又，，点的坐标为； 4分（2）抛物线经过点，则得到， 5分解得，所以抛物线的解析式为； 7分（3）假设存在点，使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形：若以点为直角顶点；则延长至点，使得，得到等腰直角三角形， 8分过点作轴，；，可求得点； 11分若以点为直角顶点；则过点作，且使得，得到等腰直角三角形， 12分过点作轴，同理可证； 13分，可求得点； 14分经检验，点与点都在抛物线上． 16分【035】解：（1）令，得解得，令，得ECByPA∴ABECByPA（2）∵OA=OB=OC=∴BAC=ACO=BCO=∵AP∥CB，∴PAB=，过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形令OE=，则PE=∴P∵点P在抛物线上∴解得，（不合题意，舍去）∴PE= 4分∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE= 5分(3)．假设存在∵PAB=BAC=∴PAAC∵MG轴于点G，∴MGA=PAC=在Rt△AOC中，OA=OC=∴AC=，在Rt△PAE中，AE=PE=∴AP= 6分GMCByPGMCByPA①点M在轴左侧时，则(ⅰ)当AMGPCA时，有=∵AG=，MG=即解得（舍去）（舍去）………7分GMCByPA(ⅱ)当MAGPCA时有GMCByPA即，解得：（舍去）∴M8分②点M在轴右侧时，则(ⅰ)当AMGPCA时有=MBEACNDMBEACNDFG图（1）H∴解得（舍去）∴M(ⅱ)当MAGPCA时有=即解得：（舍去）∴M∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似，M点的坐标为，，【036】解：（1）根据题意，得BAOCBAOCyx第26题图Q4Q3Q1Q2P3P1P2DCP4抛物线的解析式为，顶点坐标是（2，4）（2），设直线的解析式为直线经过点点（3）存在．，，，BOA·xy第28题图PH【037】解：（1）抛物线BOA·xy第28题图PH∴B（0，2）∵∴A（—2，3）（2）当点P是AB的延长线与x轴交点时，．当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时，在点P、A、B构成的三角形中，．综合上述：（3）作直线AB交x轴于点P，由（2）可知：当PA—PB最大时，点P是所求的点 8分作AH⊥OP于H．∵BO⊥OP，∴△BOP∽△AHP∴由（1）可知：AH=3、OH=2、OB=2，∴OP=4，故P（4，0）【038】解：实践应用（1）2；．；．（2）．拓展联想（1）∵△ABC的周长为l，∴⊙O在三边上自转了周．又∵三角形的外角和是360°，∴在三个顶点处，⊙O自转了（周）． ∴⊙O共自转了（+1）周．（2）+1．039】解（1）A（，0），B（0，3） 2分（每对一个给1分）（2）满分3分．其中过F作出垂线1分，作出BF中垂线1分，找出圆心并画出⊙P给1分．（注：画垂线PF不用尺规作图的不扣分）（3）过点P作PD⊥轴于D，则PD=，BD=， 6分yxOABDPFPB=PF=，∵△yxOABDPF∴，即即∴与的函数关系为（4）存在解法1：∵⊙P与轴相切于点F，且与直线相切于点B∴，∵，∴∵AF=，∴，∴11分把代入，得∴点P的坐标为（1，）或（9，15）12分【040】（1）①对称轴 （2分）②当时，有，解之，得，∴点A的坐标为（，0）． （4分）（2）满足条件的点P有3个，分别为（，3），（2，3），（，）． （7分）（3）存在．当时，∴点C的坐标为（0，3）∵DE∥轴，AO3，EO2，AE1，CO3∴∽∴即∴DE1 （9分）∴4在OE上找点F，使OF，此时2，直线CF把四边形DEOC分成面积相等的两部分，交抛物线于点M． （10分）设直线CM的解析式为，它经过点．则 （11分）解之，得∴直线CM的解析式为 （12分）【041】解：（1）∵AB是⊙O的直径（已知） ∴∠ACB＝90º（直径所对的圆周角是直角） ∵∠ABC＝60º（已知） ∴∠BAC＝180º－∠ACB－∠ABC＝30º（三角形的内角和等于180º） ∴AB＝2BC＝4cm（直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的一半） 即⊙O的直径为4cm．（2）如图10（1）CD切⊙O于点C，连结OC，则OC＝OB＝1/2·AB＝2cm．∴CD⊥CO（圆的切线垂直于经过切点的半径）∴∠OCD＝90º（垂直的定义） ∵∠BAC＝30º（已求）∴∠COD＝2∠BAC＝60º ∴∠D＝180º－∠COD－∠OCD＝30º∴OD＝2OC＝4cm ∴BD＝OD－OB＝4－2＝2（cm） ∴当BD长为2cm，CD与⊙O相切．（3）根据题意得：BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm；如图10（2）当EF⊥BC时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BAC∴BE：BA＝BF：BC即：（4－2t）：4＝t：2解得：t＝1如图10（3）当EF⊥BA时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BCA∴BE：BC＝BF：BA即：（4－2t）：2＝t：4解得：t＝1.6∴当t＝1s或t＝1.6s时，△BEF为直角三角形．【042】（1）由得，代入反比例函数中，得∴反比例函数解析式为： 2分解方程组由化简得：，所以 5分（2）无论点在之间怎样滑动，与总能相似．因为两点纵坐标相等，所以轴．又因为轴，所以为直角三角形．同时也是直角三角形， 8分（在理由中只要能说出轴，即可得分．）【043】（1）解：∵直角梯形OAOAPDBQC当时，四边形为平行四边形．由题意可知：OAPDBQCOAPDBQCHE（2）解：设与相切于点过点作垂足为直角梯形由题意可知：为的直径，为的切线 5分在中，，即：，，，因为在边运动的时间为秒而，（舍去），当秒时，与相切． 8分【044】解（1）易求得点的坐标为由题设可知是方程即的两根，所以，所 （1分）如图3，∵⊙P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，设它们的交点为点O，连结DB，∴△AOC∽△DOC，则 （2分）由题意知点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D的坐标为（0，1） （3分）（2）因为AB⊥CD，AB又恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为，即 （4分）又，所以解得 （6分）【045】解：（1）由题意得，解得∴此抛物线的解析式为 3分（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.（第24题图）OACx（第24题图）OACxyBEPD则解得∴此直线的表达式为……5分把代入得∴点的坐标为6分（3）存在最大值 7分理由：∵即∴∴即∴方法一：连结== 8分∵，∴当时， 9分方法二：== 8分∵，∴当时， 9分【046】(1)∵∠A、∠C所对的圆弧相同，∴∠A＝∠C．∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴，∴PA·PB＝PC·PD；………3分(2)∵F为BC的中点，△BPC为Rt△，∴FP＝FC，∴∠C＝∠CPF．又∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE．∵∠A＋∠D＝90°，∴∠DPE＋∠D＝90°．∴EF⊥AD．OyxCDBOyxCDBAD1O1O2O3P60°（第22题答图）l∴OM2＝(2)2－42＝4，ON2＝(2)2－32＝11又易证四边形MONP是矩形，∴OP＝【047】（1）解：由题意得，点坐标为．在中，，点的坐标为．设直线的解析式为，由过两点，得解得直线的解析式为：．（2）如图，设平移秒后到处与第一次外切于点，与轴相切于点，连接．则轴，，在中，． 6分，，（秒）平移的时间为5秒． 8分【048】解：（1）对称轴是直线：，点A的坐标是（3，0）． 2分（说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分）（2）如图11，连接AC、AD，过D作于点M，解法一：利用∵点A、D、C的坐标分别是A（3，0），D（1，）、C（0，），∴AO＝3，MD=1．由得∴ 3分又∵∴由得∴函数解析式为： 6分解法二：利用以AD为直径的圆经过点C∵点A、D的坐标分别是A（3，0）、D（1，）、C（0，），∴，，∵∴…①又∵…② 4分由①、②得∴函数解析式为： 6分（3）如图所示，当BAFE为平行四边形时，则∥，并且＝．∵=4，∴=4，由于对称为，∴点F的横坐标为5． 7分yxOABCD图11yxOABCD图11EF根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上也存在点F，使得四边形BAEF是平行四边形，此时点F坐标为（，12）．当四边形BEAF是平行四边形时，点F即为点D，此时点F的坐标为（1，）．综上所述，点F的坐标为（5，12），（，12）或（1，）．【049】解：（1）解得， 1分在中，由勾股定理有，（2）∵点在轴上，，， 1分由已知可知D（6，4），设当时有解得，同理时， 1分在中，在中，，，（3）满足条件的点有四个， 4分说明：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，可参照本评【050】解：（1）（0，－3），b＝－，c＝－3． 3分（2）由（1），得y＝x2－x－3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）．∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5．由题意，得△BHP∽△BOC，∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5，∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5，∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t．∴OH＝OB－HB＝4－4t．由y＝x－3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）．∴OQ＝4t． 4分①当H在Q、B之间时，QH＝OH－OQ＝（4－4t）－4t＝4－8t． 5分②当H在O、Q之间时，QH＝OQ－OH＝4t－（4－4t）＝8t－4． 6分综合①，②得QH＝｜4－8t｜； 6分（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似． 7分①当H在Q、B之间时，QH＝4－8t，若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，∴t＝． 7分若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，即t2＋2t－1＝0．∴t1＝－1，t2＝－－1（舍去）． 8分②当H在O、Q之间时，QH＝8t－4．若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，∴t＝． 9分若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，即t2－2t＋1＝0．∴t1＝t2＝1（舍去）． 10分综上所述，存在的值，t1＝－1，t2＝，t3＝． 10分附加题：解：（1）8； 5分（2）2． 10分【051】⑴证明：∵BC是⊙O的直径∴∠BAC=90o又∵EM⊥BC，BM平分∠ABC，∴AM=ME，∠AMN=EMN又∵MN=MN，∴△ANM≌△ENM⑵∵AB2=AF·AC∴又∵∠BAC=∠FAB=90o∴△ABF∽△ACB∴∠ABF=∠C又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90o∴FB是⊙O的切线⑶由⑴得AN=EN，AM=EM，∠AMN=EMN，又∵AN∥ME，∴∠ANM=∠EMN，∴∠AMN=∠ANM，∴AN=AM，∴AM=ME=EN=AN∴四边形AMEN是菱形∵cos∠ABD=，∠ADB=90o∴设BD=3x，则AB=5x，，由勾股定理而AD=12，∴x=3∴BD=9，AB=15∵MB平分∠AME，∴BE=AB=15∴DE=BE-BD=6∵ND∥ME，∴∠BND=∠BME，又∵∠NBD=∠MBE∴△BND∽△BME，则设ME=x，则ND=12-x，，解得x=∴S=ME·DE=×6=45【052】解：（1）∵四边形OBHC为矩形，∴CD∥AB，又D（5，2），∴C（0，2），OC=2.∴解得∴抛物线的解析式为：……4分（2）点E落在抛物线上.理由如下：………5分由y=0，得.解得x1=1，x2=4.∴A（4，0），B（1，0）.∴OA=4，OB=1.由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，∴点E的坐标为（3，－1）.把x=3代入，得，∴点E在抛物线上.（3）法一：存在点P（a，0），延长EF交CD于点G，易求OF=CG=3，PB=a－1.S梯形BCGF=5，S梯形ADGF=3，记S梯形BCQP=S1，S梯形ADQP=S2，下面分两种情形：①当S1∶S2=1∶3时，，此时点P在点F（3，0）的左侧，则PF=3－a，由△EPF∽△EQG，得，则QG=9－3a，∴CQ=3－(9－3a)=3a－6，由S1=2，得，解得；②当S1∶S2=3∶1时，，此时点P在点F（3，0）的右侧，则PF=a－3，由△EPF∽△EQG，得QG=3a－9，∴CQ=3+（3a－9）=3a－6，由S1=6，得，解得，综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）………14分法二：存在点P（a，0）.记S梯形BCQP=S1，S梯形ADQP=S2，易求S梯形ABCD=8.当PQ经过点F（3，0）时，易求S1=5，S2=3，此时S1∶S2不符合条件，故a≠3.设直线PQ的解析式为y=kx+b(k≠0)，则，解得，∴.由y=2得x=3a－6，∴Q（3a－6，2）………10分∴CQ=3a－6，BP=a－1，.下面分两种情形：①当S1∶S2=1∶3时，=2；∴4a－7=2，解得；………………12分②当S1∶S2=3∶1时，；∴4a－7=6，解得；综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）…………14分[说明：对于第（3）小题，只要考生能求出或两个答案，就给6分.]【077】解：（1）把B（0，6）代入，得＝6………1分把＝0代入，得＝8∴点A的坐标为（8，0）……………3分（2）在矩形OACB中，AC＝OB＝6，BC＝OA＝8，∠C＝90°∴AB＝∵PD⊥AB∴∠PDB=∠C＝90°，∴∴∴又∵BC∥AE，∴△PBD∽△EAD∴，即，∴∵，∴（）……………7分（注：写成不扣分）②⊙Q是△OAB的内切圆，可设⊙Q的半径为r∵,解得r=2.………8分设⊙Q与OB、AB、OA分别切于点F、G、H可知，OF＝2∴BF＝BG＝OB－OF＝6－2＝4，设直线PD与⊙Q交于点I、J，过Q作QM⊥IJ于点M，连结IQ、QG，∵QI＝2，∴∴在矩形GQMD中，GD＝QM＝1.6∴BD＝BG+GD＝4+1.6＝5.6，由，得∴点P的坐标为（7，6）…………………11分当PE在圆心Q的另一侧时，同理可求点P的坐标为（3，6）………12分综上，P点的坐标为（7，6）或（3，6）．………………13分。【053】略【054】.解：（1）B（1，）（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（1,），得，因此（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.CBAOCBAOyx因此直线AB为，当x=－1时，，因此点C的坐标为（－1，）.DBADBAOyxP当x=－时，△PAB的面积的最大值为，此时.【055】解：（1）⊙P与x轴相切.∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，－8），∴OA=4，OB=8.由题意，OP=－k，∴PB=PA=8+k.在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径，∴⊙P与x轴相切.（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.∵△PCD为正三角形，∴DE=CD=，PD=3，∴PE=.∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，∴△AOB∽△PEB，∴，∴∴，∴，∴.当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－－8)，∴k=－－8，∴当k=－8或k=－－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.【056】解：（1）圆心在坐标原点，圆的半径为1，点的坐标分别为抛物线与直线交于点，且分别与圆相切于点和点，． 2分点在抛物线上，将的坐标代入，得：解之，得：抛物线的解析式为：． 4分OxyOxyNCDEFBMAP抛物线的对称轴为，． 6分连结，，，又，，． 8分（3）点在抛物线上． 9分设过点的直线为：，将点的坐标代入，得：，直线为：． 10分过点作圆的切线与轴平行，点的纵坐标为，将代入，得：．点的坐标为， 11分当时，，所以，点在抛物线上． 12分说明：解答题各小题中只给出了1种解法，其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数．【057】解:(1)由题知:……1分解得:……………2分∴所求抛物线解析式为:……………3分(2)存在符合条件的点P,其坐标为P(－1,)或P(－1,－)或P(－1,6)或P(－1,)………7分(3)解法①：过点E作EF⊥x轴于点F,设E(a,--2a＋3)(－3<a<0)∴EF=--2a＋3，BF=a＋3，OF=－a………………8分∴S四边形BOCE=BF·EF+(OC+EF)·OF=(a＋3)·(－－2a＋3)+(－－2a＋6)·（－a）……………9分=………………………10分=－+∴当a=－时，S四边形BOCE最大,且最大值为．……………11分此时，点E坐标为(－，)……………………12分解法②：过点E作EF⊥x轴于点F，设E(x,y)(－3<x<0)…………8分则S四边形BOCE=(3+y)·(－x)+(3+x)·y………9分=(y－x)=()…………………10分=－+∴当x=－时，S四边形BOCE最大，且最大值为．…………11分此时，点E坐标为(－，)……………………12分【058】解：（1）法一：由图象可知：抛物线经过原点，设抛物线解析式为．把，代入上式得： 1分解得 3分∴所求抛物线解析式为 4分法二：∵，，∴抛物线的对称轴是直线．设抛物线解析式为（） 1分把，代入得解得 3分∴所求抛物线解析式为． 4分（2）分三种情况：①当，重叠部分的面积是，过点作轴于点，2OABCxy1132OABCxy113P第26题图1QF在中，，，∴，2OAB2OABCxy113第26题图2QFGPH②当，设交于点，作轴于点，，则四边形是等腰梯形，重叠部分的面积是．∴，∴． 8分2OABCxy113第26题图3QFMPN③当2OABCxy113第26题图3QFMPN因为和都是等腰直角三角形，所以重叠部分的面积是．∵，，∴，∴，∴． 10分（3）存在 12分 14分【059】略【060】（1）解：把A（，0），C（3，）代入抛物线得 1分整理得 ………………2分解得………………3分∴抛物线的解析式为 4分（2）令解得∴B点坐标为（4，0）又∵D点坐标为（0，）∴AB∥CD∴四边形ABCD是梯形．∴S梯形ABCD＝ 5分设直线与x轴的交点为H，DODOBAxyCBCy=kx+1图(9)-1HT则H（，0），T（，） 6分∵直线将四边形ABCD面积二等分∴S梯形AHTD＝S梯形ABCD＝４∴ 7分∴ 8分EFMNGOBAxEFMNGOBAxy图(9)-2∴设M（m，）， 9分∵点M在抛物线上∴解得（舍去） 10分∴M点坐标为（3，）11分根据中心对称图形性质知，MQ∥AF，MQ＝AF，NQ＝EF，∴N点坐标为（1，） 12分【061】(1)解：法1：由题意得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs8(n＝2＋c，,2n－1＝2＋c.))……1分解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs8(n＝1，,c＝－1.))……2分法2：∵抛物线y＝x2－x＋c的对称轴是x＝eq\f(1,2)，且eq\f(1,2)－(－1)＝2－eq\f(1,2)，∴A、B两点关于对称轴对称.∴n＝2n－1……1分∴n＝1，c＝－1.……2分∴有y＝x2－x－1……3分＝(x－eq\f(1,2))2－eq\f(5,4).∴二次函数y＝x2－x－1的最小值是－eq\f(5,4).……4分(2)解：∵点P(m，m)(m＞0)，∴PO＝eq\r(2)m.∴2eq\r(2)≤eq\r(2)m≤eq\r(2)＋2.∴2≤m≤1＋eq\r(2).……5分法1：∵点P(m，m)(m＞0)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，∴m＝m2－m＋c，即c＝－m2＋2m.∵开口向下，且对称轴m＝1，∴当2≤m≤1＋eq\r(2)时，有－1≤c≤0.……6分法2：∵2≤m≤1＋eq\r(2)，∴1≤m－1≤eq\r(2).∴1≤(m－1)2≤2.∵点P(m，m)(m＞0)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，∴m＝m2－m＋c，即1－c＝(m－1)2.∴1≤1－c≤2.∴－1≤c≤0.……6分∵点D、E关于原点成中心对称，法1：∴x2＝－x1，y2＝－y1.∴eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs8(y1＝x12－x1＋c，,－y1＝x12＋x1＋c.))∴2y1＝－2x1，y1＝－x1.设直线DE：y＝kx.有－x1＝kx1.由题意，存在x1≠x2.∴存在x1，使x1≠0.……7分∴k＝－1.∴直线DE：y＝－x.……8分法2：设直线DE：y＝kx.则根据题意有kx＝x2－x＋c，即x2－(k＋1)x＋c＝0.∵－1≤c≤0，∴(k＋1)2－4c≥0.∴方程x2－(k＋1)x＋c＝0有实数根.……7分∵x1＋x2＝0，∴k＋1＝0.∴k＝－1.∴直线DE：y＝－x.……8分若eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs8(y＝－x，,y＝x2－x＋c＋eq\f(3,8).))则有x2＋c＋eq\f(3,8)＝0.即x2＝－c－eq\f(3,8).①当－c－eq\f(3,8)＝0时，即c＝－eq\f(3,8)时，方程x2＝－c－eq\f(3,8)有相同的实数根，即直线y＝－x与抛物线y＝x2－x＋c＋eq\f(3,8)有唯一交点.……9分②当－c－eq\f(3,8)＞0时，即c＜－eq\f(3,8)时，即－1≤c＜－eq\f(3,8)时，方程x2＝－c－eq\f(3,8)有两个不同实数根，即直线y＝－x与抛物线y＝x2－x＋c＋eq\f(3,8)有两个不同的交点.……10分③当－c－eq\f(3,8)＜0时，即c＞－eq\f(3,8)时，即－eq\f(3,8)＜c≤0时，方程x2＝－c－eq\f(3,8)没有实数根，即直线y＝－x与抛物线y＝x2－x＋c＋eq\f(3,8)没有交点.……11分【062】解：（1）连结与交于点，则当点运动到点时，直线平分矩形的面积．理由如下：∵矩形是中心对称图形，且点为矩形的对称中心．又据经过中心对称图形对称中心的任一直线平分此中心对称图形的面积，因为直线过矩形的对称中心点，所以直线平分矩形的面积．…………2分由已知可得此时点的坐标为．设直线的函数解析式为．则有解得，．所以，直线的函数解析式为：． 5分（2）存在点使得与相似．如图，不妨设直线与轴的正半轴交于点．因为，若△DOM与△ABC相似，则有或．当时，即，解得．所以点满足条件．当时，即，解得．所以点满足条件．由对称性知，点也满足条件．综上所述，满足使与相似的点有3个，分别为、、． 9分（3）如图，过D作DP⊥AC于点P，以P为圆心，半径长为画圆，过点D分别作的切线DE、DF，点E、F是切点．除P点外在直线AC上任取一点P1，半径长为画圆，过点D分别作的切线DE1、DF1，点E1、F1是切点．在△DEP和△DFP中，∠PED＝∠PFD，PF＝PE，PD＝PD，∴△DPE≌△DPF．∴Ｓ四边形DEPF＝2Ｓ△DPE＝2×．∴当DE取最小值时，Ｓ四边形DEPF的值最小．∵，，∴．∵，∴．∴．由点的任意性知：DE是点与切点所连线段长的最小值．……12分在△ADP与△AOC中，∠DPA＝∠AOC，∠DAP＝∠CAO，∴△ADP∽△AOC．∴，即．∴．∴．∴Ｓ四边形ＤＥＰＦ＝，即Ｓ＝． 14分（注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，请参照标准给分．）【063】解：（1）令二次函数，则 1分 2分过三点的抛物线的解析式为 4分（2）以为直径的圆圆心坐标为 5分为圆切线 6分 8分坐标为 9分（3）存在 10分抛物线对称轴为设满足条件的圆的半径为，则的坐标为或而点在抛物线上故在以为直径的圆，恰好与轴相切，该圆的半径为， 12分注：解答题只要方法合理均可酌情给分【064】解：ABABC∵∠AOC≠90°，∴∠ABC=90°，故BC⊥OC，BC⊥AB，∴B（，1）．（1分，）即s=，t=1．直角梯形如图所画．（2分）（大致说清理由即可）（2）由题意，y=x2+mx－m与y=1（线段AB）相交，得，（3分）∴1＝x2+mx－m，由(x－1)(x+1+m)=0，得．∵=1<，不合题意，舍去．（4分）∴抛物线y=x2+mx-m与AB边只能相交于（，1），∴≤－m－1≤，∴．①（5分） 又∵顶点P()是直角梯形OABC的内部和其边上的一个动点，∴，即．=2\*GB3②（6分）∵，（或者抛物线y=x2+mx－m顶点的纵坐标最大值是1）∴点P一定在线段AB的下方．（7分）又∵点P在x轴的上方，∴，∴．（*8分）=3\*GB3③（9分）又∵点P在直线y=x的下方，∴，（10分）即（*8分处评分后，此处不重复评分）=4\*GB3④由①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④，得．（12分）说明：解答过程，全部不等式漏写等号的扣1分，个别漏写的酌情处理．【065】（1）（4，0），． 2分． 4分（2）是直角三角形． 5分证明：令，则．．． 6分解法一：． 7分．是直角三角形． 8分解法二：，． 7分．，．即．是直角三角形． 8分GAOBxy图1DEFHCGAOBxy图1DEFHC，．． 9分解法一：设，则，，．=． 10分当时，最大．．，．，． 11分解法二：设，则．． 10分当时，最大．．，．CAOBxCAOBxy图2DGG当矩形一个顶点在上时，与重合，如图2，，．．解法一