新教材人教A版高中数学 选择性必修第一册 常考题型练习 04 直线方程“对称性”综合应用

专题4直线方程“对称性”综合应用

目录

【题型一】点关于直线对称......................................................................1

【题型二】直线关于点对称......................................................................2

【题型三】直线关于直线对称....................................................................4

【题型四】圆上两点关于直线对称................................................................6

【题型五】圆与圆关于直线对称..................................................................7

【题型六】函数和曲线关于直线对称.............................................................8

【题型七】光学性质............................................................................10

【题型八】直线综合............................................................................13

培优第一阶——基础过关练.....................................................................15

培优第二阶——能力提升练.....................................................................18

培优第三阶——培优拔尖练.....................................................................20

热点题型归纳

对称技巧：

如果对称轴所在的直线斜率是±1，即直线是y=±x+b型，可以利用反解对称轴法直接求出对称变换式子

y=±x+b/、

Γf1其中点（x°,y°）是所给点坐标，点（χ,y）是所求对称点坐标

[x=+y0-b

【题型一】点关于直线对称

【典例分析】

（2021•全国•高二专题练习）己知点A（1,-2）,B（m,n）,关于直线x+2y-2=0对称，则m+n的值是（）

A.-2B.3C.5D.7

【答案】C

【分析】先利用线段的中点公式求出线段AB的中点坐标，再把中点坐标代入直线x+2y-2=0,结合斜率关

系列方程组，求得利九，从而求得〃?+〃的值.

【详解】VA（1,-2）和8（加，〃）关于直线x+2y-2=0对称，

二线段AB的中点C（等，弓2）在直线x+2y-2=0上，

Λɪ+-2+n-2—0.m+2n-l,而"+〃X（一■-）—-1,得2/”-“=4,

2m-∖2

∖m+2n=l,

解方程组＜/可得〃?=3,〃=2,.∙.m+〃=5.故选：C

2m=4

【提分秘籍】

基本规律

点关于直线对称：

(I)点关于线对称：方程组法，设对称后点的坐标为(X,)，)，根据中点坐标及垂直斜率列方程组

(2)点A3")关于直线—+3y+C=0的对称点A'的,"),

【变式训练】

1.(2021•江苏连云港•高二期中)点(1,1)关于直线hx+y+2=0对称的点的坐标为()

A.(-1,-1)B.(—2,—2)C.(0,0)D.(一3,-3)

【答案】D

【分析】设点M(l,l)关于宜线Lx+y+2=0对称的点N的坐标(x,y),解方程IM=I,且等+券+2=0,

X-I22

即得解.

【详解】解：设点M(Ll)关于直线∕x+y+2=0对称的点N的坐标(x,y)

则MN中点的坐标为(gɪ,gɪ),

利用对称的性质得：KMN=*~~ɪɪɪ,U.—^―+j-ς-+2=0,

X-I22

解得：x=-3,y=-3,.,•点N的坐标(-3,-3),故选：D

2.(2021・江苏•高二期中)点(〃，匕)关于直线x+y+l=O的对称点是()

A.(-a—1,—/?—1)B.(―Z?-1,—a—1)

C.(-af—b)D.(-b,—a)

【答案】B

【分析】结合中点和斜率求得对称点的坐标.

—n-—b×/(-l)ʌ=-l.

(详解】设对称点为(机〃)，则｛"A

'/FM-LZ>It-1.H

所以对称点的坐标为(-b-1,-a-1).故选：B.

3.(2021・全国•高二课时练习)在平面直角坐标系XOy中，若点A与点8(2,1)关于直线V=》对称，则SinNAaV

等于()

A.-B.-C.@D.空

5555

【答案】D

【分析】利用任意角三角函数的定义求解即可.

【详解】由题意A(l,2),则SinNAO尸肝'=芈故选：D

【题型二】直线关于点对称

【典例分析】

（2022・全国•高二单元测试）直线4x+y+3a-1=0恒过定点M,则直线2x+3y-6=0关于点M对称的直

线方程为（）

A.2x+3y—12=0B.2x+3y+12=0C.3χ-2y—6=0D.2x÷3>,÷6=0

【答案】B

【分析】先求出定点M的坐标，再设出与直线2x+3y—6=0关于点例对称的直线方程，利用点到直线距

离公式求出答案.

【详解】由Or+y+34-1=0得(x+3)α+(y-1)=O,

x+3=0

由：.M(一3,1).

y-l=O

设直线2r+3y—6=0关于点M对称的直线方程为2x+3y+C=0（Cx-6）,

.∣-6+3-6∣卜6+3+C∣

解得:C=12或C=-6（舍去）,

"√4+9-√4+9

.∙.直线2x+3y-6=0关于点M对称的直线方程为2x+3y+12=0.故选：B.

【提分秘籍】

基本规律

直线关于点对称:

（1方法一：可以取两个点，利用中点坐标公式求出对应点的坐标，再由两点求出直线方程）

（2）方法二：对称直线和原直线是互为平行线，且到点的距离相等，所以可以待定系数法，利用点

到直线距离公式求解（注意会有增根，增根对应的恰好是原直线方程）

【变式训练】

1.（2022•江苏•高二专题练习）直线Ly=2x+3关于点P（2,3）对称的直线/'的方程是（）

A.2x-y-5=0B.2x÷y-5=0

C.2x-y+5=0D.2x+γ+5=0

【答案】A

【分析】由题可得/和/'平行，设出方程，根据点尸到两直线距离相等即可求出.

【详解】因为/和/'关于点P对称，则两直线平行，可设，'方程为2x-y+。=。（⅛≠3）,

∣2×2-3+3∣∣2×2-3+⅛∣

点P到两直线的距离相等，则加2+.1）2=［22+（τ）2，解得%=T或3（舍去），

所以直线/'的方程是2x-y-5=0.

故选：A.

2.（2021•全国•高二专题练习）直线y=2x+l关于原点对称的直线方程是（）

A.y=2x-lB.y=-2x-i

C.y--2x+∖D.y=2x

［答案］A

【力析】由直线y=2χ+ι上任意两点，求出其关于原点对称的点，再求出斜率，进而得出所求方程.

【详解】点（0,1）,（1,3）在直线。=2/1上,则（0,-3）在所求直线上

所求直线的斜率Z=EW2=2,则所求直线方程为y=2（X-0）-1=2尤-1

故选：A

3.（2020・河北・元氏县第一中学高一阶段练习）与直线2x+3y-6=0关于点对称的直线方程是（）

A.3x-2y+2=0B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=0

【答案】D

【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为（X，y）,则其关于点对称的点的坐标为（2-兑-2-），）,代入

己知直线即可求得结果.

【详解】解析：

设对称的直线方程上的一点的坐标为（为y）,则其关于点（1,-I）对称的点的坐标为（2-X,-2-y）,以

（2-x,-2-y）代换原直线方程中的（χ,y）得2（2-x）+3（-2-y）-6=0,即2x+3y+8=0.

故选:D.

【题型三】直线关于直线对称

【典例分析】

（2022・全国•高二课时练习）若两条平行直线hx-2y+m=0（m>0g4:2x+〃y-6=0之间的距离是2遂，

则直线4关于直线4对称的直线方程为（）

A.%—2y—13=0B.X-2y+2=0

C.x-2y+4=0D.x-2y-6=0

【答案】A

【4析】利用两条直线平行的性质求出〃,再利用两条平行直线间的距离求出in,再由平行线间距离即可求

解.

【详解】因为直线4：x-2y+m=0（w>0）与32x+nγ-6=0,

所以"=-2χ2=-4,

又两条平行直线4：x-2y+w=0（m>0）⅛∕2≈2x+/y-6=0之间的距离是26，

所以占"+∣=26解得加=7。即直线八x-2y+7=0,/,：x-2y-3=0,

√4+16

设直线4关于直线I2对称的直线方程为X-2y+c=0,

1-3-71l-3-cl

则L=f,解得c=T3,故所求直线方程为x-2y-13=0,故选：A

【提分秘籍】

基本规律

线关于线对称：

①求交点；

②已知直线上取一个特殊点，并求其关于直线的对称点；

③两点定线即可.

【变式训练】

y=—X

1.（2022•江苏•高二专题练习）直线.3关于X=I对称直线/,直线/的方程是（）

A.ʌ/ɜɪ+y-2=0B.∖∣3x+y+2=0

C.x+√3y-2=0D.x+√3y+2=0

【答案】C

【分析】根据题意可知直线y=3χ与直线X=I交于点4（1,年），求出原点关于直线X=I对称的对称点8,

利用两点坐标求直线斜率公式和直线的点斜式方程即可得出结果.

【详解】如图，直线y=*x与直线X=I交于点A(l,*),直线y=等X过原点(0,0),

因为直线y=半X与直线/关于直线X=I对称,所以原点关于直线X=I的对称点为8(2,0),且直线/过点A、

B,

√3nG

则直线/的斜率为心_7一0_6，所以直线/的方程为y-0=-t(x-2),

^=_rr=_T3

即x+6y-2=0.故选：C

2.(2022•全国•高三专题练习)直线y=2x+l关于直线y=x对称的直线方程为()

A.x-3y+l=0B.x-3y-l=OC.x-2y-∖=OD.x-2γ+l=0

【答案】C

［分析］先联立方程［'12x+1得(τ,T),再求得直线y=2x+1的点(0,1)关于直线y=X对称点的坐标为

(1,0),进而根据题意得所求直线过点(T,T),(1,0),进而得直线方程.

fy=2x÷l/、/、

【详解】解：联立方程—得(TT),即直线y=2χ+ι与直线y=%的交点为(-1,-1)

［y=χ

设直线y=2χ+1的点((U)关于直线y=*对称点的坐标为(七,券)，

X。_%+1

97

所以一］,解得Xo=I,%=0所以直线y=2χ+ι关于直线y=χ对称的出线过点(τ,τ),(1,0)

I⅞

所以所求直线方程的斜率为所以所求直线的方程为y=g(x-l),即x-2y-l=0故选：c

3.(2022•全国•高三专题练习)与直线2x-y+l=O关于X轴对称的直线的方程为()

A.%-2y+l=0B.2x+y-l=0C.x+2y+l=0D.2x+y+l=0

［答案］D

【彳析】求出给定直线的斜率及与X轴的交点坐标，再利用对称的性质计算作答.

【详解】直线2x-y+l=0的斜率为2=2,与X轴交于点A(-g,O),

直线2x-y+l=0关于X轴对称的直线的斜率为Tt=-2,并且过点A,

由直线的点斜式方程得：y-0=-2(x+；),即2x+y+l=0,

所以所求直线的方程为：2x+y+l=0.

故选：D

【题型四】圆上两点关于直线对称

【典例分析】

（2020・全国•高二课时练习）若圆Y+尸-6x-2y=0上存在两点关于直线0x+⅛y-4=0对称，则ab的最大

值为（）

【答案】B

【解析】由题意可知直线6+勿-4=0必过圆心⑶1）,从而得3a+b=4,再利用基本不等式可求出成的最

大值

【详解】解：由圆的对称性可得，直线0r+by-4=0必过圆心（3,1）,所以3α+b=4.

所以4=3α+b..2属，所以她,不当且仅当b=2,Q=W时取等号，

ɔɔ

故选:B.

【提分秘籍】

基本规律

则对称直线必过圆心且与两点所在的弦中垂

【变式训练】

1.（2022•全国•高三专题练习）若直线y=依与圆（x+2）2+（y-l）2=l的两个交点关于直线2x-y+6=0对称，

则上,b的值分别为（）

A.k=—,b=5B.k——,b=—3

22

C.k=--,h=-4rD.k=2,b=5

2

【答案】A

【分析】由题意分析得知直线2x-y+0=0经过圆心求出也由直线y=H与直线2x-y+b=0垂直求出Jt即可.

【详解】因为直线>=区与圆（x+2>+（y-l）2=l的两个交点关于直线2x-y+b=0对称，

所以直线2χ-y+人。经过圆心（—2,1）,

且直线N=履与直线2χ-y+b=0垂直，

所以"72"”=°解得：\1.故选：A.

∖2k=-∖k=——

lI2

2.（2020•江西•南昌县莲塘第三中学高二期中）已知4-2,0）,8（0,2）,M,N是圆V+y?+依=0（%是常

数）上两个不同的点，P是圆上的动点，如果M,N两点关于直线x-y-1=0对称，则面积的最大值

是（）

A.3-√2B.3+√2C.2√2D.2+√2

［答案］B

【彳析】首先根据圆的对称性得直线χ-yτ=。过圆心，求得圆的方程，再求圆心到直线AB的距离d,则

圆上的点到直线A3的距离的最大值是d+r,即可得面积的最大值.

【详解】因为M,N是圆9+/+丘=o（%是常数）上两个不同的点，RM,N两点关于直线x-y-l=0对

称，所以圆心（-*o）在直线χ-y-i=o上，得-T-I=0,解得：k=-2,即圆的方程是

x2+∕-2x=0<=>(x-l)2+∕=l,直线AB:x-y+2=0,

圆心(1,0)至Il直线x-y+2=0的距离d=裳=|&,所以圆上的点到直线AB的最远距离为1+半，所以

co∕y>

△PA8面积的最大值为S=]1X∣4B∣X!+ɪ=3+0.

\/

故选：B

3.(2021•全国•高三专题练习(文))如果直线Ly=米-5与圆/+),2-2*+殁_4=0交于M、N两点，且M、

N关于直线2χ+y=0对称，则直线/被圆截得的弦长为()

A.2B.3C.4D.2√3

【答案】C

【解析】由题意推出圆心在直线上，求出机，求出圆的半径与弦心距，利用圆心距、半径、半弦长满足勾

股定理，求出弦长.

tn

【详解】因M、N关于直线2x+y=0对称，故圆心(1,-万)在直线2x+y=0上，.∙.zn=4.

又因为直线2χ+y=0与/：y=依-5垂直，.∙.-2xK=-l,.∙.K=:,

2

ɪ×ɪ-(-2)-5

设圆心(1,-2),至IJ直线1x-y-5=0的距离为d,:.d=—,---------=√5,圆的半径为

22

r=lλ∕(-2)+4+16=3.

.∙.∣MN∣=2√T%τ=4.故选：C.

【题型五】圆与圆关于直线对称

【典例分析】

(2022•全国•高二课时练习)己知圆G：(x-4+(y-A?=4(α,6为常数)与G+V-2x=0.若圆心Cl

与G关于直线χ-y=o对称，则圆G与G的位置关系为()

A.内含B.相交C.相切D.外离

【答案】B

【分析】根据条件求出G的圆心(α,b)，再根据G,C?圆心的距离即可判断.

【详解】依题意Q(1,0),所以G(0,l),又｛=2,r2=l,rl+r2=3,∣∕[-^∣=1,

22

∣C1C2∣=√1+1=√2∈(1,3),所以两个圆相交；

故选：B.

【提分秘籍】

基本规律

圆关于线对称：圆心对称，半径不变

【变式训练】

1.(2023•全国•高三专题练习)圆(x-1)2+(>2丫=2关于直线/：x+y-2=0对称的圆的方程为()

A.(X-4)2+(>>-1)2=2B.(%÷4)2+(y+l)2=2

C.(x-4)2+(y+l)2=2D.(x+4)2+(y-l)2=2

【答案】A

【分析】首先求出圆(>1丫+(尹2)2=2的圆心坐标与半径，再设圆心(1,-2)关于直线/:x+y-2=0对称的

点的坐标为(4,6),即可得到方程组，求出。、b,即可得到圆心坐标，从而求出对称圆的方程；

【详解】解：圆(x-iy+(y+2)2=2的圆心为(1,—2),半径厂=0,设圆心(1,一2)关于直线/:x+y-2=0对

称的点的坐标为(a,b),

f⅛+2(.

-1n,

—Γ×()=^fa=4

则=b-2，解得6=1，即圆(χ-iy+(y+2)2=2关于直线/：x+y-2=°对称的圆的圆心为(4,1)，

12=0〔

2-----2

半径r=&,

所以对称圆的方程为(x-4)2+(yT)2=2;故选：A

2.(2021•浙江・吴兴高级中学高二阶段练习)在平面直角坐标系Xo)，中，若圆G：(X-2y+(y-lf=4上存在

点M,且点M关于直线x+y+1=O的对称点N在圆G：(x+lf+(y+l)2=∕(r>0)上，则r的取值范围是

()

A.[√17-2,√17+2]B.[2√2-2,2√2+2]

C.[√13-2,√13+2]D.[√5-2,√5+2]

【答案】D

【分析】求得圆G关于直线χ+y+ι=o的对称圆的方程，转化为两圆有公共点，结合两圆的位置关系，即

可求解.

【详解】解：由题意知,圆G圆心G(2,l),半径4=2,圆C2圆心G(T-I),半径4=r,

2+Qb+1.

------+-----+1=0

22

G(2,1)关于x+y+1=0的对称点设为G(α,0)(α≠2),则，

口(T)=T

α-2''

解得《二j所以圆Cl关于x+y+l=°的对称圆C3：(x+2)2+(y+3)2=4,

由题意知，圆C?与圆C,有公共点，因为∣C2C3∣=J(-2+lf+(-3+l)2=&，

所以∣r-2∣≤6≤r+2,解得&-2≤r≤*+2,故选:D.

3.(2021.天津市咸水沽第二中学高二期中)已知圆C/：(x+l)2+(>-1)2=1,圆C2与圆C/关于直线x—y—

1=0对称，则圆C2的方程为()

A.(x+2)2+(γ-l)2≈lB.(χ-2)2+(y+2)2=l

C.(x+2F+(y+2)2=lD.(χ-2)2+(y-2)2=l

【答案】B

【解析】本题首先可以设出圆G的圆心，再根据圆。的方程得出它的圆心与半径，然后通过圆G与圆Cl关

于直线％-yτ=O对称得出圆G的圆心与半价，最后得出结果.

【详解】设。2(。力)，圆C∣:(x+l)2+(y—1)2=1,圆心G为(一1，1).半径为1.易知点c(—l,1)关于直

⅛-l

-----=—11

∕,+,,,.解得4=2/\

线X—y-1=0对称的点为Ca,则•b=-2'所以G(2一),所以圆G的圆心为

伫I一处U=O

22

C2(2,-2),半径为1,所以圆G的方程为(x—2)2+(γ+2)2=l.故选：B.

【题型六】函数和曲线关于直线对称

【典例分析】

(2022・全国•高三专题练习)设函数/(x)的图象与y=2""的图象关于直线y=f对称，若，祖+〃=2020,

f(-2m)+f(-2")=2,则”=()

A.1011B.1009C.-1009D.-1011

【答案】A

【分析】在函数y=f(x)的图象上取点(x,y),则关于直线y=-X对称点为(-y,-x),代入y=2r+α,

结合题目条件可得答案.

【详解】因为函数y=∕(x)的图象与y=2χ+α的图象关于直线y=-X对称，

令f(-2/77)=pf/(-2〃)=q,则p+q=2;故(-p,2m)1Q-q,2n)在y=2r+”的图象上，

[m=-p+a

所以2m=2ρ+α,2n=2y+a即1,两式相加得，%+鹿=-(P+夕)+2π,

f[n=-q+a

所以2〃="i+"+p+g=2020+2=2022,解得a=1011,故选：A.

【提分秘籍】

基本规律

曲线关于直线对称：

(1)对称轴直线多为特殊直线(竖直，或者斜率为±1),可以特殊化处理

⑵可以利用函数点(X。，f(x0)),利用对称轴特殊性，寻找对称点，代入计算化简

(3)如果对称轴不特殊，则转化为“求轨迹题型”

【变式训练】

1.(2021•全国•高二专题练习)若函数y=∕(χ-2)的图象关于直线χ=2对称，f(χ)对任意的实数X都有

f(x+4)-f(x)=2f(2),且/(I)=1,则/(2022)+/(2021)=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】由函数/(x-2)的图象关于直线x=2对称，得y=∕(x)关于x=0对称，即为偶函数，根据已知条

件赋值可求/(2)="-2)=O,可得"χ+4)=∕(x),所以函数是以4为周期的周期函数，计算化简可得所

求和.

【详解】函数/(x-2)的图象关于直线x=2对称，

二由函数图象的平移可知函数y=f(x)关于x=0对称，即函数为偶函数，

"x)对任意的实数X都有/(x+4)-/(X)=2/(2),令x=-2可得,所以/(2)-〃-2)=2"2),

.∙.∕(-2)=-∕(2)=∕(2),.∙.∕(2)=∕(-2)=0,.∙.∕(x+4)=∕(x),即函数是以4为周期的周期函数,

.∙.∕(2022)=∕(4×505+2)≈∕(2)=0./(2021)=∕(4×505+l)=/(1)=1,

.∙.∕(2022)+γ(2021)=0+l≈l.故选：B

2.(2021.内蒙古・赤峰二中高二期末(理))设函数"x)=eαt与g(x)=力InX的图象关于直线x-y=0对称,

其中α,Z>eR且4>0.则。，方满足()

A.tz+⅛=2B.a=b=lC.Qb=ID.—=1

【答案】C

【分析】由题意可知函数/(x)=e'”图象上任意一点A(x,eαr)关于χ-y=0对称点A(e",x)在函数

g(x)=匕InX的图象上，代入利用对数的运算性质即可求解.

【详解】解：设A(Xe)是函数/(x)=eαt图象上任意一点，

则它关于直线aV=0对称的点A(eαv,x)在函数g(x)=ZHnx的图象上，

所以x=i>lne'"="x,即。5=1,故选：C.

3.(2020・湖南・雅礼中学模拟预测(理))若曲线y=e*关于直线>=工+〃2(加呈0)的对称曲线是)，=m"+。)+力，

则2的值为()

a

A.2B.-1C.1D.不确定

【答案】C

【分析】本题首先可以在曲线y=e'上任取一点尸(r,e'),然后设出点P关于直线y=χ+”的对称点Q,再然

后根据线段中点以及两条直线相互垂直的性质求出。点坐标，最后将Q点坐标带入y=In(x+α)+b中即可

得出结果.

【详解】在曲线y=e'上任取一点p(r,e'),设点P关于直线y=x+m(m≠θ)的对称点为。(玉,yl),

则PQ中点的“'JFL在直线y=x+wι上，即三产=(L+根，因为直线PQ与直线》=》+加垂直，所

Z+X

d+)1=-----L+"?

以一22

=-ι,联立V解得克I=--"?,y1=t+m,Q(e'-机J+M),

xl-1

因为点Q在曲线yTn(x+α)+Z?匕所以f+w=ln(e'-机+〃)+/?,对•切r∈R恒成立,

故α=机，b=m,-=1,故选：C.

a

【题型七】光学性质

【典例分析】

(2021.广东.广州市真光中学高二阶段练习)已知：A(-2,0),B(2,0),C(0,2),£(-1,0),F(l,θ),一束

光线从尸点出发射到4C上的。点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点).则尸。斜率

的取值范围是()

y

(1,3)D.(4,+∞)

【答案】D

(分析］先作出F关于BC的对称点P，再作P关于AC的对称点M,因为光线从F点出发射到BC上的。

点经8C反射后，入射光线和反射光线都经过/关于直线BC的对称点P点，又因为再经AC反射，反射光

线经过P关于直线AC的对称点，所以只需连接M4、ME交AC与点N,连接PN、BA分别交BC为点G、H,

则G,日之间即为点。的变动范围.再求出直线FG,的斜率即可.

【详解】VA(-2,0),8(2,0),C(0,2),

.∙.直线BC方程为χ+y-2=0,直线AC方程为x—y+2=0,

如图，作尸关于8C的对称点P,

VF(l,0),ΛP(2,1),再作尸关于AC的对称点M,则M(T,4),

连接M4、ME交AC与点N,则直线ME方程为X=-I,N(T,1),

连接PN、24分别交BC为点G、则直线PN方程为y=l,直线24方程为x-4y+2=0,

G(l,l),H.连接GF,HF,则G,”之间即为点O的变动范围.

4

：直线FG方程为x=l,直线F”的斜率为*=4,

5^

【提分秘籍】

基本规律

涉及到最短距离，可以利用“光学性质”：光走的路径最短，借助对称性来求解

【变式训练】

1.(2022•全国•高三专题练习)已知直线(：x-y+2=0,l2:x-y-2=0,直线垂直于4，3且垂足分

别为A,B,若C(T,0),D(4,0),贝“C4∣+∣AB∣+忸。的最小值为()

A.√10+2√2B.8+√2C.2√K)+2√2D.8

【答案】C

【分析】根据条件设出直线/3的方程X+y=2"，求出点A,B坐标，用,〃表示出IC4∣+∣A8∣+忸力，再借助

几何意义即可计算得解.

【详解】因直线4垂直于4，3则设直线〃的方程为：x+y=2m(meR),

(x+y=2m[x+y=2m

由-C得点A5-l,m+l),由〈-C得点仇机+l,∕n-l),而C(zT,0λ,D(z4,0λ,

[x-y=-2[x-y=2

于是得∣C4∣+∣A8∣+IBq=JG〃+3)2+(曰+1)2+2√2+√(w-3)2+(W-I)2,

而J(〃?+3)2+("+I)?+"(〃?—3)?+(加一I)?表示动点M(见⑼到定点^(-3,-l)HF(3,1)的距离的和，

显然,动点M(wj,m)在直线N=X上,点E(-3,-l)与F(3,l)在直线y=X两侧,因此，IMEI+1例尸∣≥∣EF∖=2√W,

当旦仅当点M是直线N=X与线段£F：y=gx(-3≤x≤3)的交点，即原点时取“="，此时"?=0,

从而得J(W+3)2+(++1)2+Jo_31+(+7)2取最小值2痴，

所以，当直线/3方程为：χ+y=o时，|。1|+|知+|即取最小值2屈+2&.

故选：C

2.(2022•重庆南开中学高二期末)平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为,50,0)48,0),8(8,6),C(0,6),

光线从OA边上一点4(4,0)沿与X轴成。角的方向发射到AB边上的《点，被48反射到BC上的鸟点，再

被BC反射到OC上的Λ点,最后被OC反射到X轴上的Bao)点,若fe(4,8),则tan。的取值范围是()

【分析】根据光线反射的性质，利用解三角形可得乙坐标，再由re(4,8)求解即可.

【详解】由题意，A[=4tan6,则B[=6-4tan。.=S-4,

tanθtanθ

612tanl96

c∕>=[8-(—--4)]tan(9=12tan6>-6,OP4=~<-)=一12ι即--12,0),

tanΘtanθtanΘtanΘ

1233

.」=-----12∈(4,8),解得二<tan6<3.故选：A

tan654

3.(2021•四川•成都市温江区第二中学校高二期末(理))己知两点A(T8),8(2,4),点C在直线y=χ+l上,

则IACl+∣8Cl的最小值为（)

A.2√13B.9C.√74D.10

【答案】C

【分析】根据给定条件求出B关于直线y=χ+i的对称点坐标，再利用两点间距离公式计算作答.

【详解】依题意,若8（2,4）关于直线y=χ+l的对称点*（见〃）,

连接48'交宜线y=x+l于点C',连接BC',如图,

1上任取点C,连接ACBC,B'C,显然，直线y=χ+l垂直平

则有IACl+18CI=IACl+∣g,C∣≥∣AB'∖=∖AC'∣+∣QC∣=∣AC∣+18C∣,当且仅当点C与C'重合时取等号,

二(IAa+1Bel)min=|AB'I=U-3尸+(8-3)2=5,故IACl+怛。的最小值为旧.故选：C

【题型八】直线综合

【典例分析】

（2021•江苏•高二专题练习）在ABC中，8=30°,BC=BAB=2,。是边8C上的点，及C关于直线

AZ）的对称点分别为8',C',则453'C'面积的最大值为（）

ʌ6r3石R,2Λ∕3γ.3—6

A.o.-------IX・--------L/.-----------

2777

【答案】A

【分析】由题意可得AABC为直角三角形，则以C为原点，C4为X轴，C8为），轴建立直角坐标系，根据直

线方程以及点到直线的距离表示出三角形的面积，利用导数结合函数的单调.即可求得最值得选项.

【详解】解：在，ASC中B=30,BC=BAB=2,可得ABC为直角三角形，且C=90,

则以C为原点，CA为X轴，CB为y轴建立如图所示的直角坐标系.

则A(l,0),fi(θ,√3),C(0,0),设£>(O,X)(O<∕<√5),则直线AD：y=-Λ(x-l),

即/U+y-∕l=0.设88,与4。交于点E，则BE=怛二W，又因为直线8E：y-G=5x,即x-/l），+&=0.

√i7Irλ

此时C到直线BE的距离为〃=,所以58.=2χl^T,C'到88’的距高为6=El

√l+λ2√1÷221+A2

则所求面积S=k2χ怛比lx&=3"⑨

1+Λ2]+λ2

所以当Nw时，S'>0,当Xe时，S<0.

所以当力=迫时，s,,m=^,故选：A.

3IlldX2

【变式训练】

1.(2021•山东省日照实验高级中学高二阶段练习)将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸

折叠一次，使点(2⑼与点(々4)重合，点(2021,2022)与点(加,〃)重合，则??:+〃=()

A.1B.2023C.4043D.4046

【答案】C

【分析】设A(2,0),B(-2,4),进而根据题意得过点(2021,2022)与点(八〃)的直线与直线AB平行，再根据

斜率公式计算求解即可.

【详解】解：设A(Z0),8(-2,4),则AB所在直线的斜率为L=三三=T,

-2—2

由题知过点(2021,2022)与点(m,n)的直线与直线AB平行,

ɔfʌɔɔ

所以----=-1,整理得6+”=2021+2022=4043

∕n-2021

故选：C

2.(2022.全国•高二课时练习)已知平面上任意一点。(诟,人)，直线∕f=fcr+人，则点P到直线/的距离为

"当点"(题,与)在函数y=∕(x)图象上时，点P到直线/的距离为d=也花孝叫，请

参考该公式求出卜+

3-Ji≡T+r-3+

【答案】6-2垃##-20+6

x+3-用∣r-3+√l-f2∣

【分析】令u=&+,将问题转化为函数y=√1≡7图象上的点到直线

√Γ

x-)，+3=0、x+y-3=0的距离之和的四倍，即可求得最小值.

卜+3-Jj?卜-3+√I≡7∣Λ-+3-√1-√∣r-3+√l→i

【详解】令=近

U^√2+√2J，%=√5―

...%表示函数y=√Γ1图象上的点到直线X-y+3=0的距离，

〃2表示函数y=Ji二7图象上的点到直线x+y-3=0的距离，

二目标式几何意义：半圆y=√iM上的点到直线x-y+3=。、χ+y-3=0的距离之和的近倍,

3.(2021•全国•高二专题练习)在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在X轴和)，轴上运

动，点M是直线x+y-4=0上的动点，则∣M4∣+∣MB∣的最小值为.

【答案】4

【分析】设点A(α,0),B(0,b),则/+〃=9,求出点8关于直线x+y-4=0的对称点为E(Λ1,X),问题

转化为要使IMAl+∣M8∣最短，则需IABI最短，再由两点的距离公式和二次函数的性质可求得答案.

【详解】设点A(α0),3(0,b),则/+〃=9,点B关于直线x+y-4=0的对称点为BG,y),

x-4-b

则%,解得l

J小4=0yt=4

122

所以要使∣ΛM∣+∣M8∣最短，则需∣A8∣最短,

22

而IABI=λ∕(a-4+⅛)+4=J(α+B)2-8(α+4)+32，

Xa2+h2=9,设α=3cosab=3sin<9,^f⅛a+⅛=3sin0+3cos6,=3√2sin^+^,所以一30≤α+%≤3√J,

所以当α+b=4时(满足-3JΣ≤4+ZJ≤3五)，IAAl取得最小值，最小值为∣A8|=,4?—8x4+32=4，

所以∣K4∣+∣MB∣的最小值为4,

故答案为：4.

M分阶培优练

培优第一阶——基础过关练

1.(2023•全国•高三专题练习)点(1,2)关于直线x+y-2=0的对称点是()

A.(1,0)