云南省曲靖市2024届高三上学期第一次质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1云南省曲靖市2024届高三上学期第一次质量监测数学试题一、选择题1.在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题设，则，所以向量对应的复数为.故选：D.2.已知集合，，则中元素个数为（）A.2 B.3 C.4 D.6〖答案〗C〖解析〗由题意，中的元素满足，且，由，得，所以满足的有，故中元素的个数为4.故选：C.3.已知等比数列的前项和为，且，则（）A.36 B.54 C.28 D.42〖答案〗D〖解析〗根据题意设等比数列的首项为，公比为，易知；由可得，两式相除可得，即；所以.故选：D.4.已知变量关于的回归方程为，若对两边取自然对数，可以发现与线性相关．现有一组数据如下表所示：12345则当时，预测的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，由可得，如下表所示：由表格中的数据可得，，则有，解得，故，当时，.故选：C.5.为努力推进“绿美校园”建设，营造更加优美的校园环境，某校准备开展校园绿化活动．已知栽种某绿色植物的花盆可近似看成圆台，圆台两底面直径分别为18厘米，9厘米，母线长约为7.5厘米．现有2000个该种花盆，假定每一个花盆装满营养土，请问共需要营养土约为（）（参考数据：）A.1.702立方米 B.1.780立方米C.1.730立方米 D.1.822立方米〖答案〗B〖解析〗令（单位厘米），则花盆高，所以花盆的体积为，故2000个该种花盆共需要营养土约为立方厘米，即1.780立方米.故选：B6.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，因此，.故选：A.7.已知双曲线，过其右焦点作一条直线分别交两条渐近线于两点，若为线段的中点，且，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题设作出图形，双曲线渐近线为，，则直线，故，可得，故，即，又三角形BOF为等腰三角形，所以，则，整理得，即双曲线的渐近线方程为.故选：B8.已知，若点为曲线与曲线的交点，且两条曲线在点处的切线重合，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗设点横坐标为，则由可得，又可得，且两条曲线在点处的切线重合，所以切线的斜率，解得或（舍去），即点的横坐标为，由点为曲线：与曲线：的交点，所以，即，令，则，令可得，由知，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，当，则实数的取值范围为.故选：C.二、选择题9.函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（）A.B.函数的最小正周期是C.函数的图象关于直线对称D.将函数的图象向左平移个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对称〖答案〗AC〖解析〗由图可知，，函数的最小正周期满足，则，，B错；所以，，，可得，因为，所以，，则，可得，所以，，则，A对；，所以，函数的图象关于直线对称，C对；将函数的图象向左平移个单位长度以后，得到函数的图象，所得函数为非奇非偶函数，D错.故选：AC.10.已知函数的定义域为，且与都为奇函数，则下列说法一定正确的是（）A.为奇函数 B.为周期函数C.为奇函数 D.为偶函数〖答案〗BC〖解析〗根据题意由为奇函数可得，即；由为奇函数可得，即；所以可得，即，即可得为周期是4的周期函数，且，可得不是奇函数，即A错误；B正确；由周期性可知，因为为奇函数，所以也为奇函数，即C正确；因为，所以不是偶函数，即D.错误；故选：BC11.下列不等式正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗对于A选项，令，则，当时，，则函数在上单调递减，因为，则，即，即，即，所以，，A对；对于B选项，令，则，当时，，即函数在上为增函数，所以，，即，B对；对于C选项，令，其中，则对任意的恒成立，所以，函数在上为增函数，因为，则，所以，，C对；对于D选项，令，其中，则，令，由C选项可知，对任意的恒成立，所以，函数在上单调递增，则，则函数上单调递增，因为，则，即，又因为，即，D错.故选：ABC.12.如图所示，正方体的棱长为1，分别是棱的中点，过直线的平面分别与棱交于点，以下四个命题中正确的是（）A.四边形一定为菱形B.四棱锥体积C.平面平面D.四边形的周长最小值为4〖答案〗ACD〖解析〗由题意，正方体截面的性质易知，即为平行四边形，取为中点，因为分别是棱的中点，则为正方形，所以，则，故为菱形，A对；由到面的距离之和为底面对角线为，又为定值，B错；由菱形性质知，由正方体性质知面，面，则，又，面，故面，而面，所以平面平面，C对；在运动过程中，仅当它们为对应线段中点时，菱形各边最短且为1，此时为正方形，周长为4，D对.故选：ACD.三、填空题13.若向量，，则向量在向量上的投影向量坐标为______．〖答案〗〖解析〗因为，，所以，所以向量在向量上的投影向量的坐标为.故〖答案〗为：.14.如图，在第一象限内，矩形的三个顶点，分别在函数的图象上，且矩形的边分别与两坐标轴平行，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是______．〖答案〗〖解析〗由题意，纵坐标都为2，则点横坐标为8，即点横坐标为8，所以A点的横坐标为，点纵坐标为，由为矩形及题图知：D点的坐标是.故〖答案〗为：15.已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，若外接圆半径与其内切圆半径之比为，则的离心率为______．〖答案〗〖解析〗由题意，在中，所以其外接圆半径，内切圆的半径为，故.故〖答案〗为：16.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则______，数列的前50项和为______．〖答案〗〖解析〗当时，①，当时，②，由①②可得，，所以，累加可得，，所以，令且为奇数)，，当时，成立，所以当为奇数，，当为奇数，，所以当为偶数，，所以故；根据所以的前项的和.故〖答案〗为：；四、解答题17.在中，内角的对边分别为，且．（1）求；（2）线段上一点满足，求的长度．解：（1）由题设及余弦定理知：，所以，又，，所以.（2）由题设，且，，在中，则，在中，则，综上，可得，则，故.18.已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，其前项和为，求使得成立的的最小值．解：（1）当时，，所以，则，而，所以，故是首项、公比都为2的等比数列，所以.（2）由，所以，要使，即，由且，则.所以使得成立的的最小值为10.19.2023年9月23日至10月8日、第19届亚运会在中国杭州举行．树人中学高一年级举办了“亚运在我心”乒乓球比赛活动．比赛采用局胜制的比赛规则，即先赢下局比赛者最终获胜，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛结束时，甲最终获胜的概率．（1）若，结束比赛时，比赛的局数为，求的分布列与数学期望；（2）若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即，求的取值范围．解：（1），即采用3局2胜制，所有可能值为，，，的分布列如下，23所以.（2）采用3局2胜制：不妨设赛满3局，用表示3局比赛中甲胜的局数，则，甲最终获胜的概率为，采用5局3胜制：不妨设赛满5局，用表示5局比赛中甲胜的局数，则，甲最终获胜的概率为，则，得.20.在图1的直角梯形中，，点是边上靠近于点的三等分点，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2．（1）求证：平面平面；（2）在棱上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由．（1）证明：根据题意，由直角梯形边长可知；又点是边上靠近于点的三等分点，所以，可得为等边三角形；连接，交于点，如下图所示：可得四边形为菱形，所以，即折起后，如下图所示：易知，又，满足，即；又，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面；（2）解：以为坐标原点，分别以为轴，方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则；可得，假设存在点满足题意，设，所以，则，由（1）可知平面，利用易得平面的一个法向量可取为设平面的一个法向量为，则，可得；所以，解得或（舍），此时，可得；即线段的长度为.21.已知斜率为的直线交抛物线于、两点，线段的中点的横坐标为．（1）求抛物线的方程；（2）设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于、两点，分别在点、处作抛物线的切线，两条切线交于点，则的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线的方程；若不存在，请说明理由．（1）解：设点、，因为直线的斜率为，则，因为线段的中点的横坐标为，则，，可得，所以，抛物线的方程为.（2）解：设点、，易知点，若直线的斜率不存在，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，设直线的方程为，联立可得，，由韦达定理可得，，由焦点弦长公式可得，对函数求导得，则直线的方程为，即，同理可知，直线的方程为，联立可得，即点，则，，所以，，即，且，所以，，当且仅当时，等号成立，故的面积存在最小值，且最小值为，此时，直线的方程为.22.已知函数．（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；（2）讨论函数的单调性；（3）设，当时，函数的图象在函数的图象的下方，求的最大值．解：（1）由题，函数的定义域为，则，，由于曲线在点处