山西省吕梁市2024届高三第一次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山西省吕梁市2024届高三第一次模拟考试数学试题一、选择题1.设集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由解得，所以，，所以，，故选：A.2.已知复数，则（）A.1 B. C.2 D.4〖答案〗A〖解析〗，故选：A3.双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗依题意，，所以该双曲线的离心率.故选：A.4.宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形，它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目．在黄金矩形中，中点为，则的值为（）A. B. C.4 D.2〖答案〗D〖解析〗因为在黄金矩形中，，所以，故，而，，所以.故选：D.5.的值为（）A. B. C.2 D.4〖答案〗D〖解析〗，则，故选：D6.如图，“蒸茶器”外形为圆台状，上、下底面直径（内部）分别为，高为（内部），上口内置一个直径为，高为的圆柱形空心金属器皿（厚度不计，用来放置茶叶）．根据经验，一般水面至茶叶（圆柱下底面）下方的距离大于等于时茶叶不会外溢．用此“蒸茶器”蒸茶时为防止茶叶外溢，水的最大容积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，作出圆台的轴截面，设截面上部延长部分三角形的高为，由相似三角形性质，得，解得，设水到达最大容量时水面的圆面半径为，则，解得，水的最大容量为.故选：C.7.已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（）A. B. C.2 D.4〖答案〗B〖解析〗由题意得，，，，当垂直直线时，，，故选：B.8.已知函数满足，则下列结论不正确的是（）A. B.函数关于直线对称C. D.的周期为3〖答案〗D〖解析〗解法一：令，，则，解得，A正确；令，则，所以，即是偶函数，所以，所以函数关于直线对称，B正确；令，则，令，则，所以，C正确；令，则①，所以②，①②联立得，所以，，即的周期为，D错误；解法二：构造函数，满足，且，，A正确；，因为表示的图象向右平移个单位，且的图象关于轴对称，所以关于直线对称，B正确；由余弦函数的图象和性质可知，C正确；的周期，D错误；故选：D.二、选择题9.下列说法正确的是（）A.命题“”的否定是“”B.“”是“”的充分不必要条件C.若函数的定义域为，则函数的定义域为D.记为函数图象上的任意两点，则〖答案〗BCD〖解析〗对于A选项，“，”的否定为“”，故A错误；对于B选项，由，得，故或，因此是的充分不必要条件，故B正确；对于C选项，中，，中，，即，故C正确；对于D选项，,，，故D正确.故选：BCD.10.已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象先关于轴对称，然后再向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A. B.C.函数为奇函数 D.函数在区间上单调递增〖答案〗AD〖解析〗根据函数的部分图象，可得A＝2，，∴ω＝2，对于A选项，结合五点法作图，可得，故A正确，，将函数的图象平移后得到函数的图象，则，对于B选项，由，得到的对称轴为，显然不是其对称轴，故，故B错误，对于C选项，函数显然不是奇函数，故C错误，对于D选项，，的递增区间即的递减区间，令，解得，故的递增区间是，当时，的递增区间是，故D正确，故选：AD．11.已知正方体的棱长为1，点满足，（与三点不重合），则下列说法正确的是（）A.当时，平面B.当时，平面C.当时，平面平面D.当时，直线与平面所成角的正切值的最大值为〖答案〗ABD〖解析〗A，当时，即，则，可得，则，所以点在平面内，如图，因为，，面，面，故面，面，面，故面，，面，所以面面，又面，所以平面.故A正确；B，当时，，则，故点在直线上，直线与直线共线，如图，，，，平面，所以平面，即平面，故B正确；C，当当时，，所以，故为的中点，如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为，则，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，令，得，设平面的一个法向量为，则，令，得，则，所以平面与平面不垂直，故C错误；D，当，时，则，可知点在平面内，因为面面，则直线与面所成角即为直线与面所成的角，因为面，则直线与面所成的角为，得，又，即，则，得，当且仅当，即时等号成立，知的最小值为，则的最大值，所以直线与平面所成角的正切值的最大值为，故D正确.故选：ABD.12.画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆分别为椭圆的左、右焦点，，其短轴上的一个端点到的距离为，点在椭圆上，直线，则（）A.直线与蒙日圆相切B.椭圆的蒙日圆方程为C.若点是椭圆的蒙日圆上的动点，过点作椭圆的两条切线，分别交蒙日圆于两点，则的长恒为4D.记点到直线的距离为，则的最小值为〖答案〗AC〖解析〗当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为、，所以点在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为，又由题意可得，，结合解得，，对于A选项，蒙日圆圆心到直线的距离为，所以，直线与蒙日圆相切，故A正确；对于B选项，的蒙日圆的方程为，故B错误；对于C选项，由题意可知，，所以为蒙日圆的直径，，故C正确；对于D选项，由椭圆的定义可得，，所以，，直线的方程为，点到直线的距离为，所以，，当且仅当时，等号成立，故D错误；故选：AC.三、填空题13.的展开式中的系数为______．（用数字作答）〖答案〗20〖解析〗的第项为，令，解得，令，得，代入通项可得展开式中的和项分别为：，分别与和相乘，得的展开式中项为，故的系数为20.故〖答案〗为：20.14.某市2018年至2022年新能源汽车年销量（单位：百台）与年份代号的数据如下表：年份20182019202020212022年份代号01234年销量1015203035若根据表中的数据用最小二乘法求得关于的回归直线方程为，据此计算相应于样本点的残差为______．〖答案〗〖解析〗依题意，，，代入回归直线，解得所以回归直线为当时，，因此残差，故〖答案〗为：15.设各项均为正数的数列的前项和为，前项积为，若，则______．〖答案〗〖解析〗由得即是以2为首项，2为公比的等比数列.故〖答案〗为：16.已知分别是函数和图象上的动点，若对任意的，都有恒成立，则实数的最大值为______．〖答案〗〖解析〗点到直线的距离，则，又，由知，和在上单调递增，所以在上单调递增，其值域为，又，令，令，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，因为对任意的，都有恒成立，所以，所以实数的最大值为.故〖答案〗为：.四、解答题17.已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．解：（1）由题意，得当当，适合上式.（2）所以.18.设的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）设的角平分线交于点，求的最小值．解：（1）.由正弦定理，得，即，即（2）由题意可得，即当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9.19.如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，．（1）线段上是否存在一点使得，若存在，求出的长，若不存在，说明理由；（2）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，求异面直线与之间的距离．解：（1）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为，，，，设为直线PB上一点，且，,又，所以存在点，满足，此时.（2）由（1）可得，则点到直线的距离∵∴所以异面直线PB与CD之间的距离为20.吕梁市举办中式厨师技能大赛，大赛分初赛和决赛，初赛共进行3轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛，参赛选手要在规定的时间和范围内，制作中式面点和中式热菜各2道，若有不少于3道得到评委认可，将获得一张通关卡，3轮比赛中，至少获得2张通关卡的选手将进入决赛．为能进入决赛，小李赛前在师傅的指导下多次进行训练，师傅从小李训练中所做的菜品中随机抽取了中式面点和中式热菜各4道，其中有3道中式面点和2道中式热菜得到认可．（1）若从小李训练中所抽取的8道菜品中，随机抽取中式面点、中式热菜各2道，由此来估计小李在一轮比赛中的通关情况，试预测小李在一轮比赛中通关的概率；（2）若以小李训练中所抽取的8道菜品中两类菜品各自被师傅认可的频率作为该类菜品被评委认可的概率，经师傅对小李进行强化训练后，每道中式面点被评委认可的概率不变，每道中式热菜被评委认可的概率增加了，以获得通关卡次数的期望作为判断依据，试预测小李能否进入决赛？解：（1）设“在一轮比赛中，小李获得通关卡”，则事件A发生的所有情况有：①得到认可的中式面点入选1道，中式热菜入选2道的概率为②得到认可的中式面点入选2道，中式热菜入选1道的概率为③得到认可中式面点和中式热菜各入选2道的概率为所以；（2）由题知，强化训练后，每道中式面点被评委认可的概率为，每道中式热菜被评委认可的概率为，则强化训练后，在一轮比赛中，小李获得通关卡的概率为，因为每轮比赛结果互不影响，所以进行3轮比赛可看作3重伯努利试验．用X表示小李在3轮比赛中获得通关卡的次数，则，∴，∴小李能进入决赛.21.已知直线与抛物线相切于点，动直线与抛物线交于不同两点异于点，且以为直径的圆过点．（1）求抛物线的方程及点的坐标；（2）当最小时，求直线的方程．解：（1）联立，消得，因为直线与抛物线相切，所以，解得或（舍去），当时，，解得，所以，所以抛物线C的方程为，点A的坐标为；（2）显然直线的斜率存在，可设为，由，消得，则，，且，因为以MN为直径的圆过点A，所以，即，整理可得，所以，化简得，所以，所以或，即或，当时，直线，即，所以直线过定点（舍去），当时，直线，满足，即，所以直线过定点，设点到直线的距离为，则当直线与垂直时，最大，又，所以，所以直线的方程为.22.已知函数．（1）求在处的切线方程