中考数学知识点与经典题型练习 相似三角形中的“A”字型相似模型(解析版)

专题09相似三角形中的“A”字型相似模型

【模型展示】

【模型证明】

【题型演练】

一、单选题

1.如图，已知VAE>E:VA8C,若A。:AB=1:3,VABC的面积为9,则VADE的面积为（）

A

A.1B.2C.3D.9

【答案】A

【分析】根据相似三角形的性质得出萍=（：T，代入求出即可.

>ABCvɔ/

【详解】解：VΔADE^ΔABC,AD：AB=I:3,

...皂』ITl[

SABC13J

:△ABC的面积为9,

・SE_ɪ

••一AD——,

99

∙*∙SΔADE=1>

故选：A.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质定理，能熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方

是解此题的关键.

2.如图，在AABC中，DE//BC,若4E=2,EC=3,则△A。E与△ABC的面积之比为（）

A.4：25B,2：3C.4：9D.2：5

【答案】A

【分析】根据相似三角形的判定定理得到AAOEsZviBC,根据相似三角形的面积比等于相

似比的平方计算，得到答案.

【详解】解：∙.NE=2,EC=3,

.,.AC=AE+EC=5,

'：DE//BC,

.".Δ,ADE^∕∖ABC,

,

SABC[AC）25

故选：A.

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平

方是解题的关键.

3.如图，在AABC中，ZC=90o,BC=3,D,E分别在AB、AC±,将△ADE沿DE翻

折后，点A落在点A，处，若A，为CE的中点，则折痕DE的长为（）

B

Lɪ

CA,EA

A.ɪB.3C.2D.1

【答案】D

【详解】试题解析：由题意得：DEA.AC,

：.NOE4=90。，

'：AC=ZDEA,

•・•ZΛ=ZA,

J∆AED^∆ACfi,

.DEAE

••正一就‘

为CE的中点，

,,

.∖CA=EAf

.∖CA,=EA,=AE,

.AEDE1

,•-——,

ACBC3

ΛDE=1.

故选D.

4.如图.在AABC中，DE//BC,ZB=ZACD,则图中相似三角形有（）

A

A.2对B.3对C.4对D.5对

【答案】C

【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论.

【详解】VZB=ZACD,ZA=ZA,

：.∕∖ACD^ΛΛBC,

9

∖DE//BCf

：.∆ADE^∆ABC,

,∆ΛCD^ΔADE,

YDE〃BC,

：.ZEDC=ZDCB,

・：NB=NDCE,

：.ACDEsABCD,

故共4对,

故选：C.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定.注意掌握数形结合思想的应用，注意平行于三角形

的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.

5.如图，ΔABC中，A8=8,AC=6,NA=90。，点。在ΔABC内，且。B平分NABC,

OC平分/AC8,过点Z）作直线PQ,分别交A5、AC于点P、Q,若AAPQ与ΔABC相似,

则线段PQ的长为（）

35

A.5C.5或？D.6

O

【答案】B

【分析】分△APQS∕∖ABC,△APQs∕∖ACB两种情况，结合相似三角形的性质和三角形

内切圆求解即可.

【详解】解：若AAPQS∕∖ABC,

ΛZAPQ=ZABC,

.RBC条强矍,

.∙.ZPDB=ZDBC,

：BD平分NABC,

ΛZPBD=ZCBD,

.∙.ZPBD=ZPDB,

PB=PD,同理，DQ=CQ,

VAB=8,AC=6,ZA=90o,

∙'∙BC=√62÷82=10^

...用山APAQgAPAB4

设AP=x,m—=——=—=

3

.*.AQ=WX,

3

/.PB=PD=8-x,CQ=DQ=6--x,

7

ΛPQ=PD+QD=14--x,

若^APQ^∆ACB,

则理=丝=丝，

ACABBC

由题意知：D为aABC的内心，设AABC的内切圆交AB于M,交AC于N,

可知四边形AMDN为正方形，

/.NA=NAMD=NAND=NMDN=90。,

ΛAM√DN,AN〃DM,

ΛZMPD=ZNDQ,ZMDP=ZNQD,

Λ∆MPD<^∆NDQ,

.MPMD

'u~ND~~NQ1

VAB=8,AC=6,BC=IO,

6+8-10

/.DM=DN==2,

2

ΛAM=AN=2,

X2

设PM=x,则片质,

4

.'.NQ=-,

X

4

..APAQ-+2

•就一布•’即土吆=工_

/*!V-*/1D/C

68

3

解得：x=5或-2（舍）,

37

.*∙AP=—∏2=—,

22

735

.*.PQ=AP×BC÷AC=-×10÷6=—.

综上：PQ的值为三.

O

故选B.

【点睛】本题考查J'相似三角形的判定和性质，三角形内切圆，角平分线的定义，有一定难

度，解题的关键是将三角形相似分两种情况讨论.

6.如图，在心ΔA8C中，NACB=90。，取AC的中点£>,连接30,点C关于线段BD的对

称点为点E,点F为线段CQ上的一个动点,连接AE.BD.BE.DE,已知AC=2后，BC=2,

AE=-,BDHAE,当EF+BF的值最小时，则一的值为()

3BF

【答案】C

【分析】设点M和点B关于AC对称，F为EM与AC交点，过点E作EG,AC于G,过

点E作EN_LBC,交BC延长线于点N,根据题意得出当EF+BF最小时点F的位置，再通

过平行线的性质得到∕EAG=∕BDC,从而求出EG的长，再判定四边形EGCN为矩形，得

EFNC

到CN,最后利用^MFCSMEN将,转化为"77求值即可.

BFCM

【详解】解：当EF+BF最小时，如图，点M和点B关于AC对称，F为EM与AC交点,

过点E作EGj_AC于G,过点E作ENJ_BC,交BC延长线于点N,

此时EF+BF的最小值即为EF+FM,即EM,

∙∙'AC=2不，点D为AC中点，BC=2,

ΛAD=CD=ʌ/ʒ，

..∕Rn小BC2>∕5

..IanZBDC=-----=------,

DC5

•；AE〃BD,

.∙.ZEAG=ZBDC,

.β.tanNEAG=,设EG=X,

AG5

解之得：X二入20或一20与（舍），

由题意可得：ZN=ZACB=ZEGC=90o,

・・・四边形EGCN为矩形,

/.EG=NC=-，

9

VAClBC,EN±BC,

.,.AC〃EN,

Λ∆MFC^MEN,

.MCMFl,,EFEFNC20C10

CNEFBFFMCM99

故选C.

【点睛】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，最短路径问

题，矩形的判定和性质，解题的关键是根据平行利用三角函数得到FG的长.

二、填空题

7.如图，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影子为CA（点尸、

A、C在一条直线上，点尸、B、。在一条直线上），不难发现AB〃C£>.已知AS=I.5”,

CD=45〃，点P到横杆AB的距离是bn,则点尸到地面的距离等于机.

A/.____∖B

/\

/\

Z、

Cz---------------------------D

【答案】3

【分析】易得A%BsZ∖PCC,利用相似三角形对应边的比等于对应高的比可得AB与Co

间的距离.

【详解】解：如图，作PFLCD于点F,

ξ

Z：\

A/._∖∖B

/tW

/\\

Z:、

Cz----------------ɪ——-D

F

∖'AB∕∕CD,

：.XPABsXPCD,PELAB,

：.XPABsXPCD,

.ABPE

"^CD~~PF,

即：—ɪɪ,

4.5PF

解得：PF=3.

故答案为：3.

【点睛】考查相似三角形的应用；用到的知识点为:相似三角形对应边的比等于对应高的比.

8.如图，矩形ABCD中，AD=2,AB=A,AC为对角线，E、F分别为边AB.CD±

的动点，且EFlAC于点M,连接AF,CE,求AF+CE的最小值是.

【答案】5

【分析】AF与EC两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，

作CGuEF,且CG=E/，连接AG,又因点F是CC上是一动点，由三角形的边与边关系

AF+FG≥AG,只有当点尸在直线4G上时，A尸+FG最小，由平行四边形CEFG可知

FG=EC时•，可求AP+CE的最小值

【详解】解；如图所示：过点C作CG〃后，且CG=EF,连接FG,

设。F=X,则尸C=4—X,

当点A、F、G三点共线时，Ab+FG的最值小,

'：CGHEF,RCG^EF,

.∙.四边形CEFG是平行四边形；

ΛECHFG,EC=FG,

又；点4、F、G三点共线，

,AFHEC,

又Y四边形A8C。是矩形，

ΛAEHDC.NO=90°,

.∙.四边形4ECB是平行四边形，

又：EFIAC,

.∙.四边形AECF是菱形，

.∙.AF=FC=4-x,

在MADF中，由勾股定理得：

AD2+DF2=AF2

又∙.∙AZ>=2,DF=x,则AF=4—x,

22+x2=(4-X)2,

3

解得：X==,

2

.∙.AF=-,

2

在RfAZ)C中，由勾股定理得，

AC'=AD-+DC'=22+42,所以AC=26

∙*.AM=曲,

又,：MF/CG、

：.ZAMF=ZACG,NAFM=NAGC,

.∙.VAMFSVACG,

.AMAF

••---=---，

ACAG

5

即正=2,

2√5AG

：.AG=5,

又；AG=AF+尸G,FG=EC,

：.AF+EC=5,即最小值是5,

故答案为：5.

【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾

股定理和最短距离问题等知识点，解题的关键是掌握辅助线的作法以及相似三角形的性质与

判定.

9.如图，正方形ABeD边长为3,点E是Ao上一点，且AE=I,连接BE,过C作CF

垂足为F,CF交对角线80于G,将=BCG沿CG翻折得到∕∖HCG,CH交对角线8。于M,

贝IJSHGM=---------

AED

【答案*

【分析】过点G作GRLBC于凡过点H作HN〃BC交BD于N,由正方形性质可证明:

∆ABE^∆FCB,由勾股定理可求8凡由翻折性质可得△”GC也Z∖8GC,进而可证明：

S

△BHNs∕∖BED,可求得HM再由AaNMS∕∖C8M,可求得∙^3,再由△CGRs△(73尸

3,HGC

即可求得结论.

【详解】解：如图，过点G作GRJ_BCrR,过点、H作HN〃BC交BDTN

则NBRG=NCRG=90°,

,.∙CFlBE

.-.ZSFC=90°

NCBF+ZBCF=90。

正方形ABCD

.∙.ZA=ZASC=90o,AB=AD=BC=3

；.ZABE+NCBF=90。

:.ZABE=NBCF

.∖.ABE^.FCB

在RtABE中，BE=y∣AB2+AE2≈√32+l2ɪ√10

BFAEπr,BF1

BCBE3√10

oc.3√10

10

由翻折知：FH=BF=^-,8”二竺O,HC=BC=3,HGCnBGC

105

HNHBC:.BHNSBED

—,BPHN

DEBEVɪ

:∙HN=三HNMSoCBM

.HMHN_2

,~MC~~BC~~5

HM2

.∙.---=—,

HC7

.*jSHGMHM_2

SHGCHc~1

GRLBC,ZCBG=45°

:.BGR是等腰直角三角形，设BR=GR=X,则CR=3—x,

CGRSYCBF

GRBF_1X_13

即解得、

~CRCF-33≡x^3

1139

.,.SRCC=-XBCXGR=—×3×-=—

BCG2248

•♦0HGC-&

.C一冥_29_2

-ðHGM.IXW一女，

Q

故答案为：—■.

2o

【点睛】本题考查/正方形性质，翻折变换的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，全等

三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，三角形面积等知识点；解题关键是利用平行线

证明相似三角形进行转化，有一定难度，属于中考填空压轴题类型.

10.如图，在三角形ABC中，点。为边BC的中点，连接AO,将三角形ABZ）沿直线Az）翻

折至三角形ABC平面内，使得B点与E点重合，连接CE、BE,分别与边AC交于点H,

与AO交于点。,若A”=C”，AB=2√B,OB=4,则点A到线段BC的距离为.

【答案】y

【分析】如图，过点A作AT_LcB交CB的延长线于T.利用勾股定理求出A。，利用三角形

重心的性质求出。D,再利用勾股定理求出3。，利用相似三角形的性质求出AT即可.

【详解】解：如图，过点A作AT，。交CB的延长线于T.

由翻折的性质可知，AO垂直平分线段班,

••・ZAQB=90。，

VΛB=2√13,OB=4,

OA=^AB2-OB2=√(2√13)2-42=6,

∙∙∙AH=C",点。为边5C的中点，

点。是AABC的重心，

.∖OA=2OD,

.∙.OD=3,

.∙.BD=√OB2+OD2=√42+32=5，

ZBDO=ZADTYNBOD=NT=90。，

,ADOBSΔD7A,

OBDB

・•--=---»

ATAD

.45

..=—9

AT9

匹

5

故答案为：y

【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质以及重心的性质等

知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

11.如图，在矩形ABC。中，AB=2,BC=3,点E是边AB的中点，连接CE,将△BCE沿

CE折叠得到AFCE,CF与BO交于点P,则。尸的长为—.

B

【答案】晅

17

【分析】由勾股定理可求出EC的长,连接BF交CE于点G,作FHLBC于点”,PQlBC

于点。，根据相似三角形的性质求出8G的长，再根据面积等式列方程求出尸，的长，再根

据相似三角形的性质求出BQ与CQ的比，进而求出QP的长.

【详解】解：如图，连接8尸交CE于点G,作F4L8C于点从2。_1_8。于点。，

；四边形ABCO是矩形，

：.AB=DC=2,ZABC=ZBCD=90o,

∙.∙8C=3,

∙"∙.BD=y∣BC2+DC2=√32+22=√13；

"：AE=BE=-AB=-×2=∖,

22

∙*∙EC=yjBE2+BC2=√l2+32=√10；

由折叠得，CE垂直平分8尺

.,.NBGC=NEBC=9。°,

,：NGCB=NBCE,

MBGCSAEBC,

.GBBC

.•----------,

BEEC

.BCBE3×13√10

..GB=----------=.—=--------,

EC√ioio

・R□ɔ3√io3√10Y/i2Lz3√iδλ,9√K)

・・BF=2GB=2×-------=--------,CG=√BC~-GB~=3~-(--------)~=-------;

105λV1010

由LBGFH=LBF-CG得，-×3FH=-×^^-×2^,

2222510

9

解得，FH=-；

VZC∕∕F=90o,FC=BC=3,

.∙.CH=y∣FC2-FH2=J32-φ2=y

∖,PQ∕∕FH,

.∖ΛCPQ^∕∖CFH,

.CQPQ

"CH~FH'

12

•4=空=S=d

,"PQ~FH~9-]，

5

4

:∙CQ=]PQ,

；/BQP=/20X90。,

ΛPQ//DC,

:ABPQSABDC,

•BQ_PQ

••一，

BCDC

.BQBC_3

^~PQ~~DC~2,

3

：・BQ=QPQ,

3

.BPBQJ”9

'~DP=CQ=T^=^

3

.・.。尸」3。JXa=Mɪ

171717

故答案为：巫.

17

【点睛】本题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、

二次根式的化简以及用面积等式列方程等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅

助线，此题难度较大，计算烦琐，应注意检验所求的结果是否正确.

三、解答题

12.如图，AABO中，乙4=90。，AB=6cm,AD=12cm.某一时刻，动点M从点A出发沿

AB方向以ICm/s的速度向点8匀速运动；同时，动点N从点Q出发沿OA方向以2cm∕s的

速度向点A匀速运动，运动的时间为

2

(1)求f为何值时，AAMN的面积是AABO面积的§；

(2)当以点A,M,N为顶点的三角形与AABO相似时，求，值.

【答案】(1)A=4,t2=2.(2)r=3或M

【分析】(1)由题意得£＞汽=2£(cm),AN=(12-2r)cm,AM=tcm,根据三角形的面积

公式列出方程可求出答案；

(2)分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出f的值.

【详解】解：(1)由题意得。N=2r(cm),AN=(12-2/)cm,AM=tcm,

...△AMN的面积=LANMM=LX(12-2r)χt=6t-12,

22

VZΛ=90o,48=6Cm,AD=12cm

.∙.Z∖ABO的面积为LAB∙AD=Lx6x12=36,

22

2

・・•丛AMN的面积是^ABD面积的§,

2

.β.6∕-t2=-×36,

9

Λ?-6/+8=0,

解得〃=4及=2,

,2

答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△面积的§；

(2)由题意得IW=27(cm),AN=(12-2/)cm,AM=√cm,

若△AMVSA43D,

∣→-.AMAN12-2r

l则lll有方=茄'

12

解得r=3,

若4AMNSAADB,

皿士AMAN口t12-2/

则有——=—，即π——=-----

ADAB126

解得，=2/4，

答：当1=3或M时'以A、M、N为顶点的三角形与AABD相似.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进

行分类讨论是解题的关键.

13.在；ΛBC中，AB=W(加>0),。为AB上一点,过。作OE〃BC交AC于点E,连接CO.设

S

Sdce=s2,Sabc=St,求U的取值范围.

【答案】o<⅜≤∣

ɔl4

【分析】作AG,BC于尸点，交DE于G点,设AO=X,首先结合相似三角形的判定与性质

推出于DE和G受F的值，然后结合面枳公式进行列式，得出二次函数解析式，最后结合二次函

BCAF

数的性质以及自变量的取值范围进行判断即可.

【详解】解：如图所示，作AGJ_3C于尸点，交OE于G点，设Ao=X,

YDE〃BC,

Λ∆ΛDE^ΔAβC,

.DEADAGAEx

,,βC-Λβ-ΛF^ΛC-∕∏,

.GFm—x

•.---=-----,

AFin

DEGF

.S22'DEGFXm-xx(m-x)

*SlJ_BCA/7BCAFmmm2

2°

∙.∙点。在AB上，ιn>Of

∙∖O<x<m----<O,

fm~

.∙.抛物线今的开口向下，且当X=：时，今取得最大值为

ɔɪ2ɔɪ4

当X=O和X=E时，均有今=。，

综上分析，。•的取值范围是。＜称4：.

dIðl4

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，二次函数的性质运用等，掌握相似三角形的判

定与性质推出相关线段的比例，以及熟练运用二次函数的性质分析是解题关键.

14.RtABC中，ZC=90o,AC=20cm,BC=15cm,现有动点P从点4出发，沿AC向

点C方向运动,动点。从点C出发,沿线段CB也向点B方向运动,如果点P的速度是4cm∕s,

点Q的速度是2cm∕s,它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.设运

动时间为，秒.

(1)求运动时间为多少秒时，P、。两点之间的距离为IOCm?

(2)若一CPQ的面积为S,求S关于f的函数关系式.

(3)当f为多少时，以点C,P,。为顶点的三角形与；ABC相似？

22

【答案】(1)3秒或5秒；(2)S=(20r-4r)cmi(3)f=3或r=弓

【分析】(1)根据题意得至!]AP=4rcm,CQ=2tcm,AC=20cm,CP=(20-4r)cm,根据三角

形的面积公式列方程即可得答案；

(2)若运动的时间为fs,则CP=(20-4f)cm,CQ=2tcm,利用三角形的面积计算公式，即

可得出S=20f-4*,再结合各线段长度非负，即可得出t的取值范围；

分①心和②用利用相似三:角形得出比例式，建

(3)RGCPQs4C4BSRfJAQ5A,

立方程求解，即可得出结论.

【详解】(I)解：由运动知，AP=4tcm,CQ=Ilcm,

VAC=20cmι

ΛCP=(20-4r)cm,

在RtACPQ中，

CP2+CQ2=PQ2,

B∣l(20-4r)2+(2∕)2=102:

/=3秒或r=5秒

(2)由题意得AP=4f,CQ=It,则CP=20-4r,

因此Rt..CPQ的面积为S=→(20-4r)×2r=(20z-4r2)cm2；

(3)分两种情况：

①当Rf"PQs放AC时，g=当，即兰之=当解得/=3；

CACo2。15

②当RfACPQsm"BA时，＜CP=胃CO，即20受-4竺/=2工t，解得f=4:0∙

CBCA152011

因此f=3或f=丁40时，以点C、P、。为顶点的三角形与ΛBC相似.

【点睛】本题考查了勾股定理,相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键.

ΛΓAE

15.如图，在AABC中，点。在边A8上，点E、点尸在边AC上，DE//BC—=—.

fFEEC

(1)求证：DF//BE；

(2)如且AF=2,EF=4,AB=6√3.ADE^ΔAEB.

Λ∩ApApΛΓ)

【分析】(1)由题意易得黑=芸，则有M=黑，进而问题可求证;

BDECFEBD

(2)由(1)及题意可知空="=:，然后可得AD=2右，进而可证空=42=3，最

BDEF2ABAE3

后问题可求证.

9

【详解】解：⑴：DE//BC9

.ADAE

・・=,

BDEC

AFAE

•~FE~~EC

.AFAD

't~FE~^D

.∖DF∕∕BE;

(2)VAF=2,EF=49

Δ∩ΔΓ↑

・・・由(1)可知，—=—=AE=6

BDEF2f

VAβ=6√3，

：.AD=-AB=2y∕i,

3

.AE_6√3AD_266

"AB'

•.•-A-E-=-A--D=-√-3-,

ABAE3

∙/ZA=ZA,

二∆ADE∞∆AEB.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

16.矩形ABC。中，AB=Cr)=3cm,AD=BC=Acm,AC是对角线，动点尸从点A出发沿

方向向点匀速运动，速度为动点。从点出发沿方向向点。匀速运动，

ACCIem/s;CCO

速度为2cm∕s.过点P作BC的垂线段P”，运动过程中始终保持P"与BC互相垂直，连接

HQ交AC于点0.若点P和点。同时出发，设运动的时间为/(s)(0<Γ<l.5),解答下列

问题：

(1)求当，为何值时，四边形PHCQ为矩形；

(2)是否存在一个时刻，使”。与AC互相垂直？如果存在请求出f值；如果不存在请说明

理由；

75

(3)是否存在一个时刻，使矩形ABCC的面积是四边形PHCQ面积的9，如果存在请求

44

出，值；如果不存在请说明理由.

【答案】⑴t=j∣;⑵存在，f=等(3)存在，E

【分析】(1)当四边形PHCQ为矩形时，PH=CQ,利用相似三角形的性质求出尸”，CH,

构建方程求解即可；

(2)证明-“CQ-ABC,由相似的性质得出，工笔,由此构建方程求解即可;

ABBC

75

(3)根据矩形ABCD的面积是四边形P”CQ面积的,构建方程求解即可.

τ447

【详解】解：(1)∙.∙AB=3,BC=4,

ΛAC=√32+42=5,

由题可得：AP=tfCP=5-t,CQ=Z,

四边形ABCO是矩形，

.∙.NB=90。，

PH上BC,

.∙.NeHP=ZB=90。,

ZPCH=ZACB,

.∙.PCHACB,

PHCHPC,PHCH5-t

——=——=——,π即1——=——=-----,

ABCBAC345

34

.∙.Pλ∕=j(5-r),c∕7=-(5-r),

当四边形P"c。为矩形时，PH=CQ,

∙^(5~Z)=2/,

解得：r=∣∣,

当f=j∣时，四边形丽。为矩形；

(2)存在一个时刻，使AQ_LAC,

当HQ_LAC时，ZQHC+ZACB^90°,

z≤R4C+ZACB=90°,

/.ZQHC=ZBACT

,NHCQ=NB=90。,

HCQ.ABC,

.∙,生=丝，β∖lCHBC=ABCQ,

ABBC

4

.∙.-(5-r)×4=3×2r,

解得：f=去40,

23

当，="40时，HQ1AC；

23

(3)存在,

由题意得：3x4=至χLχ[2∕+2(5-f)]χW(5-r),

44255

13

解得：f=l或/(舍去),

・∙.当E时，矩形ABCo的面积是四边形映Q面积的去

【点睛】本题属于四边形综合问题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相

关的知识点是解决本题的关键.

17.图，AB〃GH〃CD,点、H在BCk,AC与BD交于点G,AB=2,Cn=3,求GH的

长.

D

【答案】I

【分析】根据平行线分线段成比例定理，由AB〃G〃，可证由性质得出

器=器由的〃S,可证△BG…DC由性质得出黑=黑，将两个式子相加,

即可求出G”的长.

【详解】解：：A8〃CW,

ΛZA=ZHGC,ZABC=ZGHC,

：.XCGHS[∖CAB,

.GHCH

Φ"AF-BC

'：GH//CD,

JND=NHGB,NDCB=NGHB,

ΔBGHSABDC,

.GHBH

'~CD~~BC

.GHGHCHBH,

1*ABCDBCBC'

VAB=2,CD=3,

.GHGH

..-----÷------=1a,

23

解得：GW=I.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线性质，熟练掌握相似三角形的判定和

性质是解题的关键.

18.一块直角三角形木板的面积为1.5n√,一条直角边AB为1.5m,怎样才能把它加工成一

个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪

位木匠的方法符合要求(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留).

C

(Φ)(Z)

【答案】乙木匠的加工方法符合要求.说明见解析.

【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出两种加工方式中正方形的边长，边

长最大就符合要求；由已知三角形的面积和条直角边的边长可求出其余两边的边长，根据

乙加工方案中的平行关系得到相似三角形，根据相似三角形对应变成比例，可求出正方形的

边长；根据甲加工方案中，根据相似三角形的高的比等于边长比，可求出正方形的边长，对

比两方案的边长即可知谁符合要求.

【详解】解：作AC于H,交DE于M,如图

2×1.5

BC==2

1.5

∙.∙AC=yjAB2+BC2=√1.52+22=*

2

SΛHC=-

ZAAΛt>C2ACBH

×∖,DE∕∕AC

.DEBM

6

----XOΛ

*=⅛∙,解得X哼

25

设正方形的边长为X米，如图乙

YDE//AB

.DECD

X2-x，解得Xq

1.52

・・6、30

•一>—

737

，乙木匠的加工方法符合要求.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析、解决问题的能力，正确理

解题意，建立数学模型，把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键.

19.如图，已知。是BC的中点，M是Ao的中点.求⑷V:NC的值.

【答案】ɪ

【分析】解法1:过点力作Ae的平行线交8N于点，,构造“A”型和“8”型,得出BDHS二BCN

和HMSANM,再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；

解法2：过点C作A。的平行线交BN的延长线于点H,构造力”型和“8”型，得出4BDMSBCH

和AAMNsACHN,再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案：

解法3：过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H,构造“A”型和“8”型，得出

AAHMSADBM和AAHNsMBN,再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答

案；

解法4：过点。作BN的平行线交AC于点，，根据三角形中位线定理得出AN=NH=C”,

即可得出答案;

【详解】解法1：如图2,过点力作AC的平行线交BN于点"

所以BDHSBCN,

所以也=处

CNBC

因为。为BC的中点，所以瑞=器

因为DHllAN,所以DHMs：ANM,

所以黑嗡

所以也=也=I

因为例为AO的中点,

ANAM

所以。H=⑷V,

所噎I

解法2：如图3,过点C作4〃的平行线交BN的延长线于点机

因为DMUCH,所以ABDMSBCH,

所以也=处

CHBC

「、，c、，C八,,,.L,…DMBD1

因为。为BC的中点，所以Kr===彳

CnBC2

因为M为4。的中点，所以40=DM,

AM1

所ecμ以l石厂5

因为DMUCH,

所以AAMNsACHN,

所以跑=州」

CNCH2

因为A4//8。，所以AAHMSADBM,

所以也=国£

BDDM

因为M为4。的中点，所以AM=DW,所以AW=B£>.

因为A”∕∕8f),所以AAHNsACBN,

所以我=桀

因为。为BC的中点，且A"=3E>,

≡≡=≡4

在，ADH中,

因为M为A。的中点，MNHDH,

所以N为A”的中点，即AN=N

在ACBN中,因为。为BC的中点，DHHBN,所以〃为CN的中点，即CN=HN,

所以AN=NH=CH.

由ZAN1

所以而=子

20.如图，A3C中，中线AD,BE交于点F,EG//8C交AO于点G.

（2）如果BO=4百，DF=4,请找出与aBDA相似的三角形，并挑出一个进行证明.

【答案】（1）3；（2）ΛBDA^ΛFGE,证明见解析

【分析】（1）先证明MGESAM）C,再证明aG"S435P,得到。F=2G∕7,则问题可解;

（2）根据题意分别证明△瓦MSzλFDB,问题可证.

【详解】解：（1）。是BC的中点，E是AC的中点，

BD=CD，AE=CE，

GEHBC,

..ΛAGE^ΛADC,

.AGGEAEI

,'AD~CD~AC~2f

.∙.AG=GDf2GE=CD=BD,

GEHBC,

:.AGEFSADBF,

.GEGF1

,β5^DF-2,

.∙.DF=2GF,

.'.AG=DG=3GF,

.•芈=3.

GF

（2）≡k∣BD=4√3,W=4时，

由（1）可得

GF=-DF=2,AG=DG=3GF=6,AD=2AG=12,

2

GE=LBD=26,

2

处=递=5殁=∕=G,

DF4BD4√3

.ADBD

''~BD~~DFi

又∙ZBDG=ZADB9

:.ABDA^AFDB,

色=6黑=与=5

GFBD4√3

.ADGE

'~BD~~GF,

GEHBC,

：.ZADB=∕EGF,

AS△/?GE.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解答关键是根据题意选择适当方法证明三角

形相似.

APAD

21.如图，在A48C中，点EV分别在4B,AC上，且爷=罢.

AFAC

（1）求证：MEFMBC；

（2）若点。在8C上，AD与EF交于点G,求证：—.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论；

（2）根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得E/〃8C,于是可得^AEG^∆ABD,

ΔAGF‹^∕∖ADC,再根据相似三角形的性质即可推出结论.

【详解】解：（1）在△AfiF和△ABC中，

AEAB

,.∙ZEAF=ZBAC,

AF~AC

.∖∆AEF^∆ABCi

(2)VΛAEF^∕∖ABC,

：.NAEF=NABC,

.".EF∕∕BC,

.∖∆AEG‹^∕∖ABD,ΔAGF^∆ADC,

.EGAGFGAG

.EGFG

"~BD^^CD'

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握相似三角形的判定

和性质是解题关键.

22.如图，在平行四边形ABC。中，AD=AC,NAZ)C=α,点E为射线3A上一动点，且

AE<AB,连接。E,将线段0E所在直线绕点。顺时针旋转a交84延长线于点H,DE所

在直线与射线CA交于点G.

(1)如图1,当a=60°时，求证：ZAD晔XCDG;

(2)当a≠60。时，

①如图2,连接HG,求证：&ADC-XHDG;

②若A8=9,BC=I2,AE=3,请直接写出EG的长.

【答案】(1)证明见详解；(2)①证明见详解；②EG的长为之叵或士叵.

22

【分析】(I)AO=AC,ZADC=60°,可证△ACD为等边三角形，根据四边形ABeQ为平

行四边形，可得AB=CO=BC=AO,ZB^ZADC=60°,AD^BC,可得N/MO=N8=60。=NGCO,

由/GOH=/CD4=60°,可证//MO=NCOG,即可证△AOH卷ZXCQG(ASA)；

(2)①根据AO=AC,ZADC=a,可得∕4CO=N4OC=a,根据四边形48C。为平行四边

形，可得∏ΓWZHAD=ZADC=a=ZGCD,由NGOH=a=NAOC,可得/AOH

=NCDG即可：

②根据点E的位置分两种情况，当点E在AB上时，过C作CN上ABTN,过G作GMlAE

于M,根据四边形ABC。为平行四边形，AB^DC,AB=DC=9,AD=BC=U,可证

ΔAGE-ΔCGD,得出AG=3,CG=AC-AG=I2-3=9,根据等腰三角形三线合一性质可得

AN=BN=3AB=3,根据勾股定理CN=NBC°-B储=等5,由GM〃CN,再

证△AΛ∕GsZsAM7,pɪ>j<AM=ɪAN--,GM=ɪCN-,EM=AE-AM=3--=—,根

484888

3√55?述，当点在延长线上，过作

22E84C

据勾股定理EG=yJME+GM=

2

CNLAB于N,过G作GM_LAE于M,由AE^CD,∆GAES∕∖GCD,可求GA=6,由GM〃CN,

可证AGMASZ^CΛ¼,可得GM=LCN=L公匡=逮"AM=J∕W=Lχ2=2,

22224

93I---------------33√14

EM=AE-AM=3--=~根据勾股定理EG=JGM?+EM

【详解】(1)证明：'：AD=AC,ZADC=60°,

Λ∆ACD为等边三角形，

・・・四边形ABCD为平行四边形，

,AB=CD=BC=AD,NB=NAoC=60。，AD〃BC,

/.NHAD=/8=60。=NGCD,

•：NGDH=NCDA=6。。,

：.N"∕λ4+NAOG=NCDG+∕AOG=60°,

.'.ZHDA=ZCDG1

⅛ΔADHCQG中

ZADH=ZCDG

AD=CD

NHAD=NGCD

>ADHQ/XCDG(A5A)；

A

D

E

B