江苏省连云港市2023-2024学年高二上学期期末调研考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省连云港市2023-2024学年高二上学期期末调研考试数学试题注意事项：1.考试时间120分钟，试卷满分150分.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设为实数，，，若，则的值为（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗由题意得，当，时，解得.本情况符合题意，其它情况下不符合题意，故排除.故选：B2.已知复数，（），若为纯虚数，则的值为（）A.2 B.1 C.0 D.〖答案〗A〖解析〗由于复数，，则，若为纯虚数，只需，解得.故选：A.3.若两条直线和平行，则实数的值为（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为两直线平行，所以，解得或，当时，两直线重合，舍去，故选：D4.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详析九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列，则（）A.58 B.57 C.210 D.220〖答案〗C〖解析〗由题意：，，，，.所以.故选：C5.若抛物线上的一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为（）A. B.1 C. D.2〖答案〗C〖解析〗由于点在抛物线上，设，由于，得：，解得或（舍去），所以点的横坐标为，抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可知：点到该抛物线焦点的距离等于其到准线的距离，所以点到该抛物线焦点的距离为：，故选：C.6.已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比是（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗设公差为，则，由题意，即，又，所以，，，，所以.故选：C.7.若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则此双曲线的离心率是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设双曲线的方程为，根据已知条件可得，解得，，所以双曲线方程为，，，，.故选：A.8.已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗∵，∴，设切点为，则，切线斜率，∴切线方程为，∵切线过原点，∴，整理得：∵存在过坐标原点的切线，∴，解得或，∴实数取值范围是.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列求导正确的是（）A. B.C D.〖答案〗BC〖解析〗，，，.故选：BC.10.已知关于，的方程（）表示的轨迹可以是（）A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线〖答案〗ABD〖解析〗因为，所以：当，如方程可化为，表示双曲线；当时，方程化为：，表示直线；当即时，方程可化为：，表示圆；当时，方程化为：，表示直线；当，如，方程可化为：，表示双曲线.故选：ABD11.已知圆：，则下列说法正确的有（）A.圆关于直线对称的圆的方程为B.直线被圆截得的弦长为C.若圆上有四个点到直线的距离等于，则的取值范围是D.若点是圆上的动点，则的取值范围是〖答案〗AC〖解析〗圆：，化成标准方程为，圆心坐标为，半径为.圆关于直线对称的圆，圆心坐标为，半径为，圆的方程为，A选项正确；圆心到直线的距离为，所以直线被圆截得的弦长为，B选项错误；若圆上有四个点到直线的距离等于，则圆心到直线的距离小于，即，解得，即的取值范围是，C选项正确；若点是圆上的动点，满足，则，由圆心坐标和半径可知，，则，所以的取值范围是，D选项错误.故选：AC12.已知数列前项和为，且，，，则（）A. B.C. D.为奇数时，〖答案〗ABD〖解析〗由，则，两式作差，得，，当为奇数，是首项为1，公差为3的等差数列，即；，当为偶数，是首项为2，公差为3的等差数列，即；所以，A对，，B对；，C错；为奇数时，，D对.故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线的准线方程是______.〖答案〗〖解析〗由得抛物线方程为，所以，所以抛物线的准线方程是，故〖答案〗为：.14.已知向量，，，，若，则与的夹角为______.〖答案〗〖解析〗设与的夹角为，由可得：，所以，则，所以，解得：.因为，所以.故〖答案〗：15.已知的一条内角平分线CD的方程为，两个顶点为，，则顶点C的坐标______．〖答案〗〖解析〗由题意可知：关于直线的对称点在直线上，设对称点为，则由，解得，所以直线BC的斜率为,所以直线（即）的方程为，即：．解方程组，求得点的坐标为．故〖答案〗为：.16.当______.时，函数在区间上取最小值.〖答案〗〖解析〗，因为，所以，由可得，解得或，即或，同理由可得，解得，故函数在和上单调递增，在上单调递减，所以函数的极小值点为，又，所以当时，有最小值.故〖答案〗为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角的对边分别为，，，.（1）求；（2）若，的面积为，求.解：（1）由，根据正弦定理，有，所以，又，得.（2）由于面积为，且，，所以，得.18.已知圆经过两点，，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）求过点且与圆相切的直线方程.解：（1）设圆心为，半径为，由，得，得，所以点坐标为，圆半径，所以圆的标准方程为：.（2）由，知点在圆上，由且，，知，所以过的圆切线方程为：.19.已知等差数列的前项和为，，；数列的前项和.（1）求数列与的通项公式；（2）若，求数列的前项和.解：（1）设数列的公差为，则，解得，所以.因为，当时，，两式相减得：.又，得，所以是以2为首项，公比为2的等比数列，所以.（2）由（1）知.则，，两式相减得：所以.20.数学课上，老师出示了以下习题：已知圆柱内接于半径为3的球，求圆柱体积的最大值.为了求出圆柱体积的最大值，小明和小亮两位同学分别给出了如下两种方案：（1）小明的方案：设圆柱的高为，请你帮他写出体积与之间的函数关系式，并求出圆柱体积的最大值；（2）小亮的方案：取圆柱底面圆上一点，连接，，设，请你帮他写出体积与之间的函数关系式，并求出圆柱体积的最大值.解：（1）设圆柱底面半径为，则有，（），所以，（）令，则，令，得又，所以，当时，，在区间上单调递增；当时，，在区间上单调递减.所以.故.所以圆柱体积的最大值为.（2）由题意可得当时，圆柱的高，圆柱的底面半径.所以，，令，（），则.令则，当时，.当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减.则，得.所以圆柱体积的最大值为.21.已知椭圆：（）经过点，.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点，，为椭圆上异于A的两点，且，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标.解：（1）由题意可得，解得，，故椭圆的标准方程为.（2）因为，为椭圆上异于A的两点，所以直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，，，联立方程，消去y得，则，整理得，由韦达定理得，，因为，，，，可得化简得，解得或，当时，直线的方程为，直线过点，不合题意；当时，恒成立，直线的方程为，所以直线过定点.22.已知函数（）.（1）记，讨论的单调性；（2）若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.解：（1）定义域为，得，当时，恒成立，在单调