黑龙江省龙东地区五校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江省龙东地区五校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将〖答案〗答在答题卡上.选择题每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的〖答案〗无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：选修一直线与圆､圆锥曲线+选修性必修三结束.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知经过点和点的直线的方向向量为，则实数的值为（）A. B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗由题过点和点直线的方向向量为，所以.故选：D2.已知抛物线上的点到其焦点的距离为5，则（）A.1 B.2 C.4 D.8〖答案〗C〖解析〗因为抛物线的准线方程的为，由抛物线的定义可得，解得.故选：C3.设随机变量，则（）A.2 B.3 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗由题意得，故.故选：C.4.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线，则方程表示的圆锥曲线为（）A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不对〖答案〗A〖解析〗方程，即为方程表示：动点到定点的距离与到定直线的距离的比为且小于1，所以根据椭圆的定义得出其轨迹为椭圆.故选：A5.在的二项展开式中，各二项式系数之和为，各项系数之和为，若，则（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗B〖解析〗由，令可得各项系数之和为，又各二项式系数之和为，因为，则，解得或（舍去），所以，故选：B6.某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.1.若邻居浇水的概率为，该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.83，则实数的值为（）A.0.9 B.0.85 C.0.8 D.0.75〖答案〗A〖解析〗记为事件“盆栽没有枯萎”，为事件“邻居给盆栽浇水”，由题意可得，，由对立事件的概率公式可得.由全概率公式可得，解得.故选：A7.2023杭州亚运会于9月23日至10月8日举办，组委会将6名志愿者随机派往黄龙体育中心､杭州奥体中心､浙江大学紫金港校区三座体育馆工作，若每名志愿者只去一座体育馆工作，每座体育馆至少派1名志愿者，其中志愿者甲不去黄龙体育中心，则不同的分配方案种数为（）A.180 B.300 C.360 D.380〖答案〗C〖解析〗若甲单独一组：由于甲同学不去黄龙体育中心，所以先排甲共有种，再将其余5人分成两组共有种，分配到另外两个体育中心共有，所以此类情况共有种；若甲与其他志愿者一组：先安排甲共有种，然后将其余5人分成三组共有种，再将三组分配到三个体育馆共种，所以此类情况共有种.综上，不同的分配方案共有360种.故选：C.8.已知直线交圆于两点，则的最小值为（）A.9 B.16 C.27 D.30〖答案〗D〖解析〗由题设直线与轴的交点为，设弦的中点为，连接，则，即，所以，即，所以点的轨迹方程为，即的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，设直线为，则到的最小距离为，过分别作直线的垂线，垂足分别为，则四边形是直角梯形，且是的中点，则是直角梯形的中位线，所以，即，即，所以的最小值为30.故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.现有男女学生共10人，若从男生中选取1人，从女生中选取2人，共有36种不同的选法，则女生有（）A.3人 B.4人 C.8人 D.9人〖答案〗BD〖解析〗设女生有人，则男生有人，由题意得：，即，所以，所以，即，解得或或，由已知，所以或，故女生有4人或9人.故选：BD.10.若，其中为实数，则（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗令，则原式转化为，对A，令，得，故A正确；对B，由二项式定理得，故B错误；对CD，令，得，令，得，所以，所以，故C正确，D错误.故选：AC11.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率之积为，点是与的一个公共点，则（）A.双曲线的方程为B.C.为等腰三角形D.上存在一点，使得〖答案〗ACD〖解析〗设，椭圆的半长轴为，半短轴为，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为.由椭圆可知：.则，所以，，因为椭圆和双曲线的离心率之积为所以双曲线的离心率为2，则，解得，所以双曲线的方程为，故选项A正确；因为则由双曲线定义可知：，故选项B错误；根据对称性，不妨设在第一象限，由椭圆和双曲线的定义可得：，解得，即，所以为等腰三角形，故选项正确；假设上存在一点，使得，则点在以为直径的圆上，联立方程，方程组有解，所以上存在一点，使得，故选项D正确.故选：ACD.12.已知编号为的三个盒子，其中1号盒子内装有一个1号球，一个2号球和两个3号球；2号盒子内装有一个1号球，两个3号球；3号盒子内装有两个1号球，三个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（）A.在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到2号球的概率为B.第一次抽到3号球且第二次抽到2号球的概率为C.第二次抽到2号球概率为D.如果第二次抽到的是2号球，则它来自1号盒子的概率最大〖答案〗AB〖解析〗记第一次取得号球为事件，则，在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到2号球的概率为，即正确；第一次抽到3号球且第二次抽到2号球的概率为，即B正确；记第二次在第i号盒子内抽到2号球的事件分别为，而两两互斥，和为，且，记第二次抽到2号球的事件为，则，即C错误；由于原先2号盒子没有2号球，如果第二次取到的是2号球，则它来自1号盒子的概率为，它来自3号盒子的概率，即如果第二次抽到的是2号球，则它来自3号盒子的概率最大，故D错误.故选：AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知展开式的常数项为60，则实数的值为__________.〖答案〗〖解析〗展开式的通项公式为，令，解得，所以常数项为，解得.故〖答案〗为：14.已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为__________.参考数据：若，则.〖答案〗0.84〖解析〗由题意知，该产品服从，则，所以，即抽到“可用产品”的概率为0.84，故〖答案〗为：0.8415.2023年10月26日神舟十七号载人飞船发射任务取得圆满成功，开启了我国空间站应用发展的新阶段.太空站内甲，乙､丙三名航天员分别出仓进行同一试验，已知甲､乙､丙试验成功的概率分别为，若三人能否试验成功相互独立，且三人中恰有2人试验成功的概率为，则三人中只有甲､乙两人试验成功的概率的最大值为__________.〖答案〗〖解析〗因为三人能否试验成功相互独立，且三人中恰有2人试验成功的概率为，所以，所以.所以（当且仅当时取“”），即.解得或，即或，又因为，所以，所以，当且仅当时取等号.三人中只有甲､乙两人试验成功的概率为.故〖答案〗为：16.已知在平面直角坐标系中，点，，动点满足，点为抛物线E：上的任意一点，在轴上的射影为，则的最小值为__________.〖答案〗〖解析〗设，已知，，则，化简整理得，所以点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，抛物线E：的焦点，准线方程为，，当且仅当A，P，M，F（P，M两点在A，F两点之间）四点共线时取等号，所以的最小值为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.某商场在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“禄”“寿”“喜”卡各两张，“财”卡三张.每位顾客从卡箱中随机抽取5张卡片，其中抽到“财”卡获得3分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“禄”“寿”“喜”“财”卡片各一张，则额外获得4分.（1）求顾客甲最终获得7分的不同的抽法种数；（2）求顾客乙最终获得11分的不同的抽法种数.解：（1）顾客甲最终获得7分，则需抽中1张“财”卡和4张其他卡，且不能抽齐“福”“禄”“寿”“喜”“财”，则不同的抽法种数为.（2）顾客乙最终获得11分的情况有2种：一种是抽中3张“财”卡和2张其他卡，另一种是抽齐“福”“禄”“寿”“喜”“财”卡，不同的抽法种数为.18.随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男､女各100人进行分析，从而得到如下列联表（单位：人）：偶尔或不网购经常网购合计男性4060100女性2080100合计60140200（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为我市市民网购的情况与性别有关联？（2）用分层抽样的方法，从偶尔或不网购和经常网购的市民中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人赠送礼品，设其中经常网购的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.附：，其中.0.100.010.0012.7066.63510.828解：（1）零假设：我市市民网购情况与性别无关.则，所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为我市市民网购的情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.（2）按分层抽样的方法从偶尔或不网购和经常网购的市民中随机抽取10人，则偶尔或不网购的人数为3，经常网购的人数为7，故的所有可能取值为，故的分布列为0123则.19.直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货销售金额稳步提升，以下是该公司2023年前6个月的带货金额：月份123456带货金额万元25435445495416542054（1）根据统计表中的数据，计算变量与的样本相关系数，并判断两个变量与的相关程度（若，则认为相关程度较强；否则没有较强的相关程度，精确到0.01）；（2）若与的相关关系拟用线性回归模型表示，试求关于的经验回归方程，并据此预测2023年10月份该公司的直播带货金额（精确到整数）.附：经验回归方程，其中，样本相关系数；参考数据：.解：（1）由已知可得.又，所以，则样本相关系数因为样本相关系数，所以与相关程度较强，且正相关.（2）设关于的经验回归方程为，其中，，所以关于的经验回归方程为.把代入得（万元）.所以预测2023年10月份该公司的直播带货金额为3443万元.20.已知双曲线经过点，直线是双曲线的一条渐近线.（1）求双曲线的方程；（2）设圆上一动点处的切线交双曲线于两点，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.解：（1）由题意，可设双曲线的方程为，将点的坐标代入得，因此双曲线的方程为.（2）当圆在点处切线斜率不存在时，点或，切线方程为或，由（1）及已知，得，则有，当圆在点处切线斜率存在且不等于时，设切线方程为，设点，则有，即，由消去得：，显然，由韦达定理可得，而，则，因此，在中，于点，则，又因为，所以，，所以，则，综上得为定值.21.某超市计划按天从厂家订购酸奶，每瓶进价为4元，零售价为6元，若进货不足，则该超市以每瓶5元的价格进行补货，若销售有余，则厂家以3元回购，为此该超市收集并整理了30天这种酸奶的销售记录，得到了如下数据：销售瓶数2030405060频数361263以频率代替概率，记为这家超市每天销售该酸奶的瓶数，表示超市每天购进该酸奶的瓶数.（1）求的分布列和数学期望；（2）以销售该酸奶所得的利润的期望为决策依据，在和之中选一个，应选用哪个？解：（1）根据表格可知的所有可能取值为：，且，，所以分布列为：2030405060010.20.40.20.1.（2）①当时，设为“超市销售该酸奶所得的利润”，则当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；所以的分布列为：53565951150.10.20.40.20.1，②当时，设为“超市销售该酸奶所得的利润”，则当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；所以的分布列为：03060901200.10.20.40.20.1，，故应选.22.已知椭圆：的左、右焦点分别是，，上顶点为，椭圆