河南省豫西南联考2024届高三上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省豫西南联考2024届高三上学期期末数学试题一、单选题1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为全集，集合，所以，又因为集合，所以，故选：D.2.已知，则（）A. B. C.0 D.1〖答案〗A〖解析〗因为，所以，即．故选：A．3.设均为正数，且，，．则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗与的交点的横坐标为，与的图象的交点的横坐标为，与的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出．4.函数的图象在点处的切线方程为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以，，则所求切线方程为，即，故选：A.5.已知数列的前项和为，前项积为，满足，则（）A.45 B.50 C.55 D.60〖答案〗D〖解析〗根据题意：，两式作差可得，当时，，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，所以，故选：D．6.下列说法正确的是（）A.“直线与直线互相平行”是“”的充分不必要条件B.直线的倾斜角的取值范围是C.过点的直线分别与轴，轴的正半轴交于两点，若取最小值时，直线的方程为D.已知，若直线与线段有公共点，则〖答案〗C〖解析〗对于A中，若两直线平行，可得，解得，经检验满足题意，所以“直线与直线互相平行”是“”的必要不充分条件，所以A错误；对于B中，由直线，可得，所以斜率，设倾斜角为，可得，因为，所以，所以B不正确；对于C中，根据题意设直线，可得，所以，当且仅当时成立，此时直线的方程为，所以C正确；对于D中，由直线可化为，所以直线恒过定点，因为，结合图象可知,直线斜率，故D不正确.故选：C.7.已知函数在区间上单调，且满足.若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在区间上单调，，的对称中心为，且，，即，即，.又的对称中心为，，在区间上恰有5个零点，相邻两个零点之间的距离为，五个零点之间即，六个零点之间即，只需即可，即，又，.故选：B.8.已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根据题意，设点，则，过点作圆的切线，切点分别为A，B，则有，，则点A，B在以为直径的圆上，以为直径的圆的圆心为，半径，则其方程为，变形可得，联立，可得圆D和圆O公共弦为：，又由，则有，变形可得，则有，可解得，故直线恒过定点，点在圆上，，当时，C到直线AB的距离最大，M到直线AB的距离也最大，则点到直线距离的最大值为.故选:B.二、多选题9.下列说法正确的是（）A.若不等式的解集为，则B.若命题，，则的否定为C.在中，“”是“”的充要条件D.若对恒成立，则实数的取值范围为〖答案〗ABD〖解析〗选项A，由题意知，和2是方程的两根，所以，解得，，所以，即选项A正确；选项B，根据全称量词命题的否定形式，可知的否定为，，即选项B正确；选项C，由，知，所以或，即或，所以选项C错误；选项D，不等式可整理为，即对恒成立，所以，即，解得，即选项D正确．故选：ABD．10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.的最小正周期为B.当时，的值域为C.将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象D.将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称〖答案〗ACD〖解析〗由图可知，，函数的最小正周期，故A正确；由，知，因为，所以，所以，，即，，又，所以，所以，对于B，当时，，所以，所以的值域为，故B错误；对于C，将函数图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确；对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，因为当时，，所以得到的函数图象关于点对称，故D正确．故选：ACD．11.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD­A1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（）A.平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)B.平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)C.平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1)D.平面ABC1D1的一个法向量为(0，1，1)〖答案〗AC〖解析〗∵＝(0，1，0)，AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，∴AD⊥平面ABB1A1，∴A正确；∵＝(－1，0，0)，而(1，1，1)·＝－1≠0，∴(1，1，1)不是平面B1CD的法向量，∴B不正确；C中,AC1⊥，AC1⊥，，AC1⊥面B1CD1且＝(1，1，1)，∴C正确，D中，因＝(1，0，0)，∴·(0，1，1)＝0，又＝(0，1，1)，且(0，1，1)·(0，1，1)≠0，∴D不正确．故选：AC12.已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示.下列关于函数的结论正确的有（）A.函数的极大值点有个B.函数在上是减函数C.若时，的最大值是，则的最大值为4D.当时，函数有个零点〖答案〗ABD〖解析〗由导数的正负性可知，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为、，B选项正确；函数有个极大值点，A选项正确；当时，函数最大值是，而最大值不是，C选项错误；作出函数的图象如下图所示，由下图可知，当时，函数与函数的图象有四个交点，D选项正确.故选：ABD.三、填空题13.设，函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_________〖答案〗〖解析〗由题意得，在上仅有两个不同的解，即在上仅有两个不同的解，即在上仅有两个不同的解，设，则在上的图象与直线仅有两个交点，作出及直线的图象如下图所示，由图象可知，．故〖答案〗为：．14.已知向量与夹角为，且，，则________．〖答案〗1〖解析〗依题意，，则有，由两边平方得：，即，解得：，所以.故〖答案〗为：115.已知椭圆：的左焦点为，直线与椭圆交于A，B两点，则的面积为___________.〖答案〗〖解析〗设，.则，点到直线的距离，所以.故〖答案〗为：16.若关于x的不等式恒成立，则的最大值是________________.〖答案〗〖解析〗由，，原不等式可化为.设，则，当时，，递增；，，递减.所以，在处取得极大值，且为最大值；时，.的图象恒在的图象的上方，显然不符题意；当时，为直线的横截距，其最大值为的横截距，再令，可得，所以取得最大值为.此时，，直线与在点处相切.四、解答题17.已知等差数列的前n项和为，且．（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和．解：（1）设等差数列的公差为,由题意得:解得:，所以的通项公式为，即.（2）令，则，即整理得：.18.绵阳市37家A级旅游景区，在2023年国庆中秋双节期间，接待人数和门票收入大幅增长．绵阳某旅行社随机调查了市区100位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表：喜欢旅游不喜欢旅游总计男性203050女性302050总计5050100（1）能否有的把握认为喜欢旅游与性别有关？（2）将频率视为概率，从全市男性市民中随机抽取2人进行访谈，记这2人中喜欢旅游的人数为，求的分布列与数学期望．附：0.05000100.001k3.8416.63510.828解：（1）因为，所以有的把握认为喜欢旅游与性别有关.（2）由表中数据可知：从全市男性市名中随机抽取一人，该人喜欢旅游的概率为，由题意可知：，的可能取值为0,1,2.所以，，，所以的分布列为：所以（或者）.19.如图，在四棱锥中，，，，，，，．（1）求证：平面平面；（2）若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：，，，，，平面，平面，平面，平面平面；（2）解：取的中点．连接、，由（1）知平面，平面，，如图，过点作，，，，，，，，，，由勾股定理可知，，平面，平面，，为的中点，，又，，平面，为直线与平面所成角，由（1）知，又，，，，，则，，，，直线与平面所成角的正弦值为．20.2023年第31届大学生夏季运动会在成都举行，中国运动员在赛场上挑战自我，突破极限，以拼搏的姿态，展竞技之美，攀体育高峰．最终，中国代表团以103枚金牌､40枚银牌､35枚铜牌，总计178放奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，引发了大学生积极进行体育锻炼的热情．已知甲､乙两名大学生每天上午､下午都进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下：体育锻炼目的情况（上午，下午）（足球，足球）（足球，羽毛球）（羽毛球，足球）（羽毛球，羽毛球）甲20天

10天乙10天10天5天25天假设甲､乙上午､下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率．（1）已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为，请将表格内容补充完整；（写出计算过程）（2）记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，求的分布列和数学期望；（3）已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率．解：（1）设事件C为“甲上午选择足球”，事件为“甲下午选择足球”，设甲一天中假炼情况为（足球，羽毛球）的天数为，则，解得，所以甲一天中锻炼情况为（羽毛球，足球）的天数为．体育锻炼项目的情况（上午，下午）（足球，足球）（足球，羽毛球）（羽毛球，足球）（羽毛球，羽毛球）甲20天15天5天10天10天10天5天25天（2）由题意知，甲上午､下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为；乙上午､下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为．记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，则的所有可能取值为，．，，所以的分布列为所以．（3）记事件为“上午室外温度在20度以下”，事件为“甲上午打羽毛球”，由题意知，.故若某天上午甲去打羽毛球，则这一天上午室外温度在20度以下的概率为．21.边长为4的正方形所在平面与半圆弧所在平面垂直，四边形是半圆弧的内接梯形，且.（1）证明：平面平面；（2）设，且二面角与二面角的大小都是，当点在棱（包含端点）上运动时，求直线和平面所成角的正弦值的取值范围.（1）证明：在正方形中，∵面面面，面面，∴面，∵面,∴，∵在以为直径的半圆上，∴，又∵面，面，又面，∴面面，（2）解：∵，∴又∵为二面角的平面角，∴，同理.在梯形中，.取的中点，以为轴正半轴，以平行于的方向为轴正半轴，以平面内垂直于的方向为轴正半轴，建立如图空间直角坐标系：则，设，，则，设平面的法向量为则，令，则，设直线和平面所成角为，则，设，则，令，当时，，当时，，令，任意，，因为，所以，，，所以，所以在上为减函数，故，所以，所以，所