河南省新乡市2023-2024学年高二上学期1月期末测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省新乡市2023-2024学年高二上学期1月期末测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线和平行，则实数（）A.3 B.3或 C. D.或4〖答案〗A〖解析〗因为，所以，解得.故选：A.2.已知为平面的一个法向量，，则下列向量是平面的一个法向量的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗记，因为，所以，故是平面的一个法向量，故D正确.易知A，B，C中的向量均不与向量平行，所以均不能作为平面的一个法向量.故选：D.3.已知等比数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，当时，，可得，当时，，因为数列为等比数列，可得，解得.故选：D.4.在直三棱柱中，若，则与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，建立空间直角坐标系，设，则，所以，则，故与所成角的余弦值为.故选：C5.某阶梯大教室的座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多3个，已知第一排有5个座位，且该阶梯大教室共有258个座位，则该阶梯大教室最后一排的座位数为（）A.30 B.33 C.38 D.40〖答案〗C〖解析〗该阶梯大教室的座位数按照从小到大的顺序依次成等差数列，且首项为5，公差为3.设该阶梯大教室共有排，则，整理得，因为，所以.故该阶梯大教室最后一排的座位数为38.故选：C6.如图所示，在空间四边形中，点在线段上，且为线段的中点，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为点在线段上，且为线段的中点，所以.故选：B.7.在空间直角坐标系中，已知点，则点到直线的距离为（）A. B.2 C. D.4〖答案〗B〖解析〗因为，所以，则点到直线的距离.故选：B8.如图，椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上一点，为轴上一点，在以为直径的圆上，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，可设，则，由对称性知，由题可知，则，由椭圆的定义知，则，在中，，则，整理得，故的离心率为.故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.等差数列的前n项和为，若，，则（）A.的公差为1 B.的公差为2C. D.〖答案〗ACD〖解析〗设的公差为d，由，，得，解得，故A正确，B错误；，，C，D正确.故选：ACD10.已知圆，动直线过点，下列结论正确的是（）A.当与圆相切于点时，B.点到圆上点的距离的最大值为5C.点到圆上点的距离的最小值为2D.若点在上，与圆相交于点，则〖答案〗AB〖解析〗由题意得，圆的圆心为，半径为2，对于A项，如图所示，则，故A项正确；对于B项，如图所示，点到圆上点的距离的最大值为，故B项正确；对于C项，如图所示，点到圆上点的距离的最小值为，故C项错误．对于D项，直线的方程为，则点到直线的距离，所以，故D项错误．故选：AB.11.已知正方体所在空间内一点，且，，则（）A.B.三棱锥的体积为定值C.存在唯一的，使得平面平面D.存在唯一的，使得〖答案〗AB〖解析〗以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，,因为，故，即有，即，故点在线段上，有，则有，，则，故，故A正确；由点在线段上，且，又平面，平面，故平面，故点到平面距离不变，故三棱锥的体积为定值，故B正确；在正方体中，平面，，又平面，故，又平面，且平面，故平面，又平面，故平面平面恒成立，故C错误；，故，由，得，方程无解，故不存在实数，使得，故D错误.故选：AB.12.已知抛物线的焦点为F，过点F作互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点A，B，C，D，P，Q分别为，的中点，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（）A.B.C.若F恰好为的中点，则直线的斜率为D.直线过定点〖答案〗ABD〖解析〗A：设直线的方程为，，，联立方程组得，则，，所以，同理可得，所以，故A正确；B：由选项A知，，因为P分别为的中点，所以，同理可得，所以，当且仅当时，等号成立，故B正确．C：，若F为的中点，则．因为，所以．所以，故，所以，故C错误．D：当直线的斜率存在时，，所以直线的方程为，整理得，所以直线过定点；当直线的斜率不存在时，，直线的方程为，过点，所以直线过定点．故D正确．故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为__________.〖答案〗〖解析〗由题可知，解得，所以，故的焦距为.故〖答案〗：14.若数列满足，则__________.〖答案〗〖解析〗因为，，所以，，，所以是周期为3的数列，故.故〖答案〗为：.15.若直线是圆的一条对称轴，则点与该圆上任意一点的距离的最小值为__________．〖答案〗1〖解析〗由题可知，该圆的圆心为，直线过圆心，则，解得，则该圆的方程转化为，该圆圆心为，半径为，易知圆心与的距离为，故点与该圆上任意一点的距离的最小值为．故〖答案〗为：116.在首项为1的数列中，若存在，使得不等式成立，则的取值范围为______．〖答案〗或.〖解析〗结合题意：，则，所以，解得或，当为偶数时，，递增，可得的最小值为，则，递增，可得的最小值为,则,当为奇数时，，递减，可得的最大值为，，递减，可得的最大值为，，综上所述：要使得存在，使得不等式成立，只需或，所以的取值范围为或.故〖答案〗为：或.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.设等差数列的前项和为，已知.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若，求正整数的最大值.解：（1）设等差数列的公差为，依题意得，解得，所以（2）由（1）得，所以，所以.令，解得，即正整数的最大值为15.18.如图，在三棱锥中，平面.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）因为平面，且平面，所以.因为，所以，则.又平面平面，所以平面.（2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以.设平面的法向量为，由得令，得.设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.19.已知圆过点和，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）经过点的直线与圆相切，求的方程.解：（1）设圆的方程为，根据题意，可得，解得，所以圆的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由圆心到直线的距离等于圆的半径，可得，解得，则直线的方程为，即.故直线的方程为或.20.如图，三棱锥中，，为等边三角形，为上的一个动点.（1）证明：平面平面；（2）当时，求二面角的余弦值.解：（1）因为为等边三角形，所以，又，为公共边，故≌.作，垂足为，连接，由三角形全等易知.设，则，由题意得，且所以，解得，故，故.在中，因为，所以.又因为，平面，，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.设点，则，因为，所以，解得，所以，则.设平面的法向量为，则，解得，取，则，故.又因为平面的一个法向量为，所以，二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为.21.在数列中，已知.（1）证明数列是等比数列，并求的通项公式；（2）设，若数列与的公共项为，记由小到大构成数列，求的前项和.解：（1）由数列中，已知，可得，即，因为，所以数列是首项为4，公比为4的等比数列，所以，可得，即数列的通项公式为.（2）因为，可得，由数列与的公共项为，可得，所以，所以，即，所以，所以，所以.22.已知椭圆与双曲线的焦距之比为．（1）求椭圆和