广东省潮州市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省潮州市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题一、选择题（本题共12道小题，其中1至8小题为单项选择题，9至12小题为多项选择题）（一）单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）1.已知椭圆的方程为，则该椭圆的（）A.长轴长为2 B.短轴长为 C.焦距为1 D.离心率为〖答案〗D〖解析〗由椭圆的方程可知：焦点在轴上，即，则.所以长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为.故选：D2.已知斜率为的直线经过点，则（）A. B. C.1 D.0〖答案〗B〖解析〗因为斜率为的直线经过点，所以，解得.故选：B.3.两平行直线，之间的距离是（）A. B. C.1 D.5〖答案〗A〖解析〗因为，所以，解得，所以两平行直线，之间的距离.故选：A4.抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设点.由抛物线可得：焦点坐标为，准线方程为.因为抛物线上一点到其焦点的距离为，所以根据抛物线的定义可得：，解得：，则.所以点到坐标原点的距离为.故选：C.5.正项等比数列与正项等差数列，若，则与的关系是（）A. B. C. D.以上都不正确〖答案〗C〖解析〗设等差数列公差为，则，又，，均为正项数列，.故选：C6.双曲线的渐近线与直线所围成的三角形面积为2，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗双曲线的渐近线方程为，将代入中，解得，故，故，故双曲线的离心率．故选：C.7.已知点在圆上，点，则当最小时，（）A. B. C. D.4〖答案〗B〖解析〗，，过,的直线方程为，即，圆的圆心坐标为，圆心到直线的距离，如图，当过的直线与圆相切时，满足最小或最大点位于时最小，位于时最大），此时，，故选：B8.如图，在棱长为2的正方体中，点分别在线段和上，则下列结论中错误的结论（）A.的最小值为2B.四面体的体积为C.有且仅有一条直线与垂直D.存在点，使为等边三角形〖答案〗C〖解析〗根据正方体的特征可知面，又面，所以，即是异面直线和的公垂线，当分别与重合时，最小值，最小值为2，故A正确；易知，所以，故B正确；易知是等边三角形，所以当是中点，而N与重合时，，又由A项可知当分别与重合时，，故C错误；如图所示，建立空间直角坐标系，则，可设，，若存在点，使为等边三角形，则有，由，由，解方程得，当舍去，又因为所以符合题意，即D正确.故选：C（二）多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9.已知直线，下列结论正确的是（）A.直线在轴上的截距为 B.当时，直线的倾斜角为C.当时，直线的斜率不存在 D.直线的斜率为〖答案〗AC〖解析〗直线，当时，，则直线在轴上的截距为，A正确；当时，直线斜率为，倾斜角为，B错误；当时，直线垂直于x轴，其斜率不存在，C正确，D错误.故选：AC10.在空间直角坐标系中，向量，则下列结论正确的是（）A.B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗ABD〖解析〗由可知，即A正确；当时，则，满足，因此，即B正确；当时，易知，所以，可知C错误；当时，可得，满足，可知，即D正确故选：ABD11.如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗焦点在x轴上，则标准方程中，解得或．又，，得，所以或．故选:BC．12.在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（）A.数列是等比数列 B.C. D.数列是等差数列〖答案〗BCD〖解析〗因为数列为等比数列，则，由，解得：或，则或，又为整数，所以，且，，所以B选项正确；又，所以，则，，，所以C选项正确；因为，所以不是等比数列，所以A选项错误；又有，所以数列是公差为1的等差数列，所以D选项正确；故选：BCD.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.圆心为且经过点的圆的标准方程是________．〖答案〗〖解析〗因为圆心为且经过点，所以半径,于是该圆的标准方程为：.故〖答案〗为：.14.设等比数列的前项和为，若，则实数________．〖答案〗〖解析〗根据题意，等比数列中，有，则，，，因为是等比数列，则有，即，解可得.故〖答案〗为：.15.已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，，则的最小值为________．〖答案〗5〖解析〗抛物线的焦点，准线方程为，如图所示：设点M在准线上的射影为D，由抛物线的定义知，所以使得的最小值，则求的最小值，当D，M，P三点共线时，最小，即点到准线的距离，则最小值为.故〖答案〗为：5.16.如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，且，则的面积是______.〖答案〗〖解析〗由已知，得，则，，在中，由余弦定理，得，所以，由，得，所以，化简解得，所以的面积为.故〖答案〗为：.三、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余各题每题12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知圆C方程为.（1）求圆C的圆心坐标及半径；（2）求直线被圆C截得的弦长.解：（1）由题得圆的方程为，所以圆的圆心坐标为，半径为2.（2）由题得圆心到直线的距离为，所以直线被圆C截得的弦长为.18.已知等差数列的前项和为，公比为的等比数列的前项和为，．（1）若，求数列的通项公式：（2）若，求．解：（1）由题知，令公差为，又，且，所以，又，所以，所以或，又，所以，则.（2）若，即，所以或，因为，所以，又，所以，所以.19.在空间直角坐标系中，是直角三角形，三个顶点的坐标分别为，，求实数的值．解：由于三个顶点的坐标分别为，，，，，当时，，即，解得或；当时，，即，解得或；当时，，即，无解；综上所述：的值为：或或或.20.数列的前项和为，且，在等差数列中，．（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和．解：（1）当时，，即；当时，由得，则两式相减得，即，，综上可知，是首项，公比的等比数列，则，即.设等差数列的公差为，则，即，解得，所以，即.故，.（2）由（1）知，，则①，②，①②得，整理得，即，所以21.如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，是边长为2的等边三角形，为的中点，．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的大小．解：（1）因为底面四边形是菱形，，所以是的中点，又是的中点，，平面，平面，平面.（2）底面四边形是菱形，，所以是，的中点，又是等边三角形，，又，，又，平面，平面.又，所以两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，由是边长为2的等边三角形，，可得，，，，，，，由已知得，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，所以，，所以直线与平面所成角的正弦值为，即直线与平面所成角为.22.在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，且过点，椭圆的上、下顶点分别为，右顶点为，直线过点且垂直于轴．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点在椭圆上（且在第一象限），直线与交于点，直线与轴交于点，试问：是否为定值？若是