2024年高考第二次模拟考试数学试题（新高考Ⅱ卷01）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12024年高考第二次模拟考试（新高考Ⅱ卷01）数学第I卷（选择题）一、单项选择题1．已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由题设，或，所以，故选：B2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限〖答案〗B〖解析〗复数,故，则对应的点在第二象限，故选：B3．已知向量，，若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．〖答案〗D〖解析〗依题意，，解得，则，所以，故，故选：D．4．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗因为函数在上单调递增，所以在上单调递增，且在恒成立，所以，，解得所以，实数的取值范围为。故选：D5．已知圆：，过直线：上的一点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗圆：中，圆心，半径设，则，即则（当且仅当时等号成立），故选：A.6．已知是数列的前项和，则“”是“数列是公差为2的等差数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗已知，所以，当时，，所以数列是公差为2的等差数列；当数列是公差为2的等差数列时，因为不知首项，所以数列的前n项和不确定，所以是充分不必要条件，故选A7．已知，则（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗所以，所以故选:B.8．已知双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗因为双曲线的离心率为，所以，所以，又因为的渐近线方程为，且，所以渐近线方程为，故选A.二、多项选择题9．某校有名同学参加国家安全知识竞赛，甲同学得知其他名同学的成绩单位：分分别为，若这名同学的平均成绩为，则下列结论正确的是（

）A．甲同学的竞赛成绩为B．这名同学竞赛成绩的方差为C．这名同学竞赛成绩的第百分位数是D．从这名同学中任取一人，其竞赛成绩高于平均成绩的概率为〖答案〗AB〖解析〗根据题意，依次分析选项：对于A中，设甲的成绩为，则有，解可得，所以A正确；对于B中，甲的成绩为，则这名同学竞赛成绩的方差，所以B正确；对于C中，五人的成绩从小到大排列，依次为：、、、、，因为，则其第百分位数是，所以C错误；对于D中，五人的成绩中，高于平均分的有人，则从这名同学中任取一人，其竞赛成绩高于平均成绩的概率为，所以D错误．故选：AB．10．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是（单位：℃），环境温度是（单位：℃），其中、则经过t分钟后物体的温度将满足（且）．现有一杯的热红茶置于的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（

）（参考数值）A．若，则B．若，则红茶下降到所需时间大约为6分钟C．5分钟后物体的温度是，k约为0.22D．红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间多〖答案〗AC〖解析〗由题知，A选项：若，即，所以，则，A正确；B选项：若，则，则，两边同时取对数得，所以，所以红茶下降到所需时间大约为7分钟，B错误；C选项：5分钟后物体的温度是，即，则，得，所以，故C正确；D选项：为指数型函数，如图，可得红茶温度从下降到所需的时间（）比从下降到所需的时间（）少，故D错误．故选：AC．11．已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立，则（

）A．函数是R上的减函数 B．函数是奇函数C．若，则的解集为 D．函数()+为偶函数〖答案〗ABC〖解析〗设，且，，则，而，又当时，恒成立，即，，函数是R上的减函数，A正确；由，令可得，解得，令可得，即，而，，而函数的定义域为R，故函数是奇函数，B正确；令可得，解得，因为函数是奇函数，所以，由，可得，因为函数是R上的减函数，所以，C正确；令，易知定义域为R，因为，显然不恒成立，所以不是偶函数，D错误.故选：ABC.12．已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则以下结论正确的是（

）A．圆锥底面圆的半径为2cmB．该圆锥的内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面在圆锥的侧面上）的侧面积的最大值为C．该圆锥的内接圆柱的体积的最大值时，圆柱的底面圆的半径与圆柱的高的比为D．该圆锥的内切球的表面积为〖答案〗ABC〖解析〗设圆锥底面圆的半径为，母线长为，依题意得，所以，根据圆锥的表面积为，解得cm,所以A正确;如图为圆锥和内接圆柱体的轴截面，由题可知，，设由相似关系得,即，解得，则内接圆柱的侧面积等于，当时侧面积最大，等于，所以B正确;内接圆柱的体积等于，，令，解得，令，解得，所以在单调递增，单调递减,所以当时圆柱体积最大，此时圆柱的高为，圆柱的底面圆的半径与圆柱的高的比为，所以C正确;设内切圆的圆心为半径为，因为,即所以因为圆锥的内切球的半径等于，所以内切球的体积等于，所以D错误.故选:ABC.第II卷（非选择题）三、填空题13.陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一（如图），一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为10cm，圆柱部分高度为7cm，该陀螺由密度为0.8g/cm3的木质材料做成，其总质量为96g，则此陀螺圆柱底面的面积．

〖答案〗15〖解析〗依题意，该陀螺的总体积为，设圆柱底面圆半径为r，则，解得，所以此陀螺圆柱底面的面积为.14．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有种〖答案〗14〖解析〗按照甲是否在天和核心舱划分，①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能；②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有种可能；根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能.15．已知函数,若函数的一个零点到最值点对应的横坐标距离的最小值为,则的值为.〖答案〗〖解析〗因为相邻的最值点与零点之间的区间长度为,也是函数的一个零点到最值点距离的最小值,从而,所以,.16．已知Q为抛物线C：上的动点，动点M满足到点的距离与到点F（F是C的焦点）的距离之比为则的最小值是.〖答案〗〖解析〗由题意得，等于点到准线的距离，过点作垂直准线于点，则，设动点，则，整理得，所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，所以，所以当四点共线时，最小，故.四、解答题17．的内角，，的对边分别为，，，已知，.(1)求及；(2)若，求边上的高.解：(1)因为，由正弦定理得，所以，又，所以，又，则.因为，即，又，所以，因为，所以.(2)由(1)及余弦定理，得.将，代入，得，解得或（舍去），则.因为，所以，设边上的高为，则.18．如图，在直三棱柱中，点分别是中点，平面平面．(1)证明：；(2)若，平面平面，求直线与平面所成角的余弦值．(1)证明：取中点G，连接，，∵分别是，中点∴且又∵且，∴∴四边形为平行四边形∴平面平面∴平面，∵平面，平面平面，∴(2)解：由三棱柱为直棱柱得平面，平面，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，平面，∴，∴，即，取棱中点，中点，连接,∵由三棱柱为直棱柱得平面，平面，∴，∵，∵，∵，平面,∴平面，∵点分别是中点,∴，∴平面．由(1)可知，∴为所求线面角记为，．在中．在中，∴，∴直线l与平面所成角的余弦值为19．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若，证明:.(1)解：，若，，即，此时在R上单调递减．若，解得，解得，∴在上单调递减，在上单调递增．(2)证明：∵，设，

，设

，∴在上单调递增，，．∴，在上单调递增．∴．∴．20．在数列中，，且对任意大于1的正整数，点在直线上．(1)求数列的通项公式；(2)已知，试比较与的大小．解：(1)在数列中，，且对任意大于1的正整数，点在直线上，，即，，所以数列是首项为，公差为的等差数列，.所以数列的通项公式为.(2)当时，，当时，，因为满足，所以.，.21．已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项.但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项.(1)如果小明不知道单项选择题的正确〖答案〗，就作随机猜测.已知小明知道单项选择题的正确〖答案〗和随机猜测概率都是，在他做完单项选择题后，从卷面上看，在题答对的情况下，求他知道单项选择题正确〖答案〗的概率；(2)假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为.已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择.记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数.求的分布列.解：(1)记事件A为“题目答对了”，事件B为“知道正确〖答案〗”，则，，，由全概率公式：，所求概率为.(2)设事件表示小明选择了i个选项，，表示选到的选项都是正确的.可能取值为0，2，5，，，.随机变量的分布列为02522．已知椭圆方程为（），离心率为且过点.(1)求椭圆方程；(2)动点在椭圆上，过原点的直线交椭圆于A，两点，证明：直线、的斜率乘积为定值；(3)过左焦点的直线交椭圆于，两点，是否存在实数，