江苏省淮安市淮阴区2023年数学九年级第一学期期末统考试题含解析

江苏省淮安市淮阴区2023年数学九年级第一学期期末统考试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题(每小题3分,共30分)1．已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是()A． B． C． D．2．方程2x（x﹣5）＝6（x﹣5）的根是（）A．x＝5 B．x＝﹣5 C．＝﹣5，＝3 D．＝5，＝33．如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为8，连接矩形ABCD各边中点E、F、G、H得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（）A．12 B．16 C．24 D．324．若点A、B、C都在二次函数的图象上，则的大小关系为（）A． B． C． D．5．已知抛物线y=﹣x2+bx+4经过（﹣2，﹣4），则b的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．46．已知一扇形的圆心角为，半径为，则以此扇形为侧面的圆锥的底面圆的周长为（）A． B． C． D．7．在平面直角坐标系中，点（-2，6）关于原点对称的点的坐标是（）A．(2，-6) B．(-2，6) C．(-6，2) D．(-6，2)8．已知压强的计算公式是p＝，我们知道，刀具在使用一段时间后，就会变钝．如果刀刃磨薄，刀具就会变得锋利．下列说法中，能正确解释刀具变得锋利这一现象的是()A．当受力面积一定时，压强随压力的增大而增大B．当受力面积一定时，压强随压力的增大而减小C．当压力一定时，压强随受力面积的减小而减小D．当压力一定时，压强随受力面积的减小而增大9．函数与抛物线的图象可能是（）．A． B． C． D．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sinA＝，则AC＝（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图所示的网格是正方形网格，△和△的顶点都是网格线交点，那么∠∠_________°．12．已知关于x的方程x2+3x+m＝0有一个根为﹣2，则m＝_____，另一个根为_____．13．Q是半径为3的⊙O上一点，点P与圆心O的距离OP＝5，则PQ长的最小值是_____．14．已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为____________．15．在锐角中，＝0，则∠C的度数为____．16．步步高超市某种商品为了去库存，经过两次降价，零售价由100元降为64元．则平均每次降价的百分率是____________．17．若线段AB=6cm，点C是线段AB的一个黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为cm（结果保留根号）．18．一个布袋里放有5个红球，3个黄球和2个黑球，它们除颜色外其余都相同，则任意摸出一个球是黑球的概率是____________.三、解答题(共66分)19．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，∠BCP＝∠A．（1）求证：直线PC是⊙O的切线；（2）若CA＝CP，⊙O的半径为2，求CP的长．20．（6分）先化简，再求值：，期中．21．（6分）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：（1）当t为何值时，△QAP是等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？22．（8分）如图1，抛物线y=－x2＋bx＋c的顶点为Q，与x轴交于A（－1，0）、B(5，0)两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式及其顶点Q的坐标；(2)在该抛物线的对称轴上求一点P，使得△PAC的周长最小，请在图中画出点P的位置，并求点P的坐标；(3)如图2，若点D是第一象限抛物线上的一个动点，过D作DE⊥x轴，垂足为E．①有一个同学说：“在第一象限抛物线上的所有点中，抛物线的顶点Q与x轴相距最远，所以当点D运动至点Q时，折线D－E－O的长度最长”，这个同学的说法正确吗？请说明理由．②若DE与直线BC交于点F．试探究：四边形DCEB能否为平行四边形？若能，请直接写出点D的坐标；若不能，请简要说明理由．23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm．动点P，Q从点A同时出发，点P沿AB向终点B运动；点Q沿AC→CB向终点B运动，速度都是1cm/s．当一个点到达终点时，另一个点同时停止运动．设点P运动的时间为t（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为S（cm2）．（1）AC=_________cm；（2）当点P到达终点时，BQ=_______cm；（3）①当t=5时，s=_________；②当t=9时，s=_________；（4）求S与t之间的函数解析式．24．（8分）（1）x2﹣2x﹣3＝0（2）cos45°•tan45°+tan30°﹣2cos60°2sin45°25．（10分）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：（1）根据图象，直接写出y与x的函数关系式；（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？26．（10分）如图，已知是原点，两点的坐标分别为，.（1）以点为位似中心，在轴的左侧将扩大为原来的两倍（即新图与原图的相似比为），画出图形，并写出点的对应点的坐标；（2）如果内部一点的坐标为，写出点的对应点的坐标.

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行分析即可.【详解】x1、x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，这里a=1，b=-2，c=0，b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，所以方程有两个不相等的实数根，即，故A选项正确，不符合题意；，故B选项正确，不符合题意；，故C选项正确，不符合题意；，故D选项错误，符合题意，故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握相关知识是解题的关键.2、D【分析】利用因式分解法求解可得．【详解】解：∵2x（x﹣5）＝6（x﹣5）2x（x﹣5）﹣6（x﹣5）＝0，∴（x﹣5）（2x﹣6）＝0，则x﹣5＝0或2x﹣6＝0，解得x＝5或x＝3，故选：D．【点睛】本题考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3、B【分析】根据三角形中位线定理易得四边形EFGH的各边长等于矩形对角线的一半，而矩形对角线是相等的，都为8，那么就求得了各边长，让各边长相加即可．【详解】解：∵H、G是AD与CD的中点，

∴HG是△ACD的中位线，

∴HG=AC=4cm，

同理EF=4cm，根据矩形的对角线相等，连接BD，得到：EH=FG=4cm，

∴四边形EFGH的周长为16cm．

故选：B．【点睛】本题考查了中点四边形．解题时，利用了“三角形中位线等于第三边的一半”的性质．4、D【分析】根据反二次函数图象上点的坐标特征比较y1、y2、y3的大小，比较后即可得出结论．【详解】解：∵A()、B(2，)、C()在二次函数y=+k的图象上，∵y=+k的对称轴x=1，∴当x=0与x=2关于x=1对称，∵A,B在对称轴右侧,y随x的增大而增大，则y2＞y1，C在对称轴左侧，且，则y3＞y2，∴y3＞y2＞y1，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标关于对称轴对称的特征比较y1、y2、y3的大小是解题的关键．5、C【分析】将点的坐标代入抛物线的解析式求解即可．【详解】因为抛物线y=﹣x1+bx+4经过(﹣1，﹣4)，所以﹣4=﹣(﹣1)1﹣1b+4，解得：b=1．故选：C．【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质．解题的关键是掌握二次函数的性质，明确抛物线经过的点的坐标满足抛物线的解析式是解题的关键．6、A【分析】利用弧长公式计算出扇形的弧长，以此扇形为侧面的圆锥的底面圆的周长即是扇形的弧长.【详解】解：扇形的弧长＝，以此扇形为侧面的圆锥的底面圆的周长为．故选：A．【点睛】本题考查了弧长的计算：.7、A【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】解：点A（-2，6）关于原点对称的点的坐标是（2，-6），

故选：A．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键．8、D【解析】如果刀刃磨薄，指的是受力面积减小；刀具就会变得锋利指的是压强增大．故选D.9、C【分析】一次函数和二次函数与y轴交点坐标都是(0,1)，然后再对a分a>0和a<0讨论即可．【详解】解：由题意知：与抛物线与y轴的交点坐标均是(0,1)，故排除选项A；当a>0时，一次函数经过第一、二、三象限，二次函数开口向上，故其图像有可能为选项C所示，但不可能为选项B所示；当a<0时，一次函数经过第一、二、四象限，二次函数开口向下，不可能为为选项D所示；故选：C．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的图像关系，熟练掌握函数的图像与系数之间的关系是解决本类题的关键．10、A【分析】先根据正弦的定义得到sinA==，则可计算出AB=5，然后利用勾股定理计算AC的长．【详解】如图，在Rt△ACB中，∵sinA＝，∴，∴AB＝5，∴AC＝＝1．故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．二、填空题(每小题3分,共24分)11、45【分析】先利用平行线的性质得出，然后通过勾股定理的逆定理得出为等腰直角三角形，从而可得出答案.【详解】如图，连接AD，∵∴∴∵∴∴∴故答案为45【点睛】本题主要考查平行线的性质及勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理及平行线的性质是解题的关键.12、2x＝﹣1【分析】将x＝﹣2代入方程即可求出m的值，然后根据根与系数的关系即可取出另外一个根．【详解】解：将x＝﹣2代入x2+3x+m＝0，∴4﹣6+m＝0，∴m＝2，设另外一个根为x，∴﹣2+x＝﹣3，∴x＝﹣1，故答案为：2，x＝﹣1【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：，．13、1【分析】根据点与圆的位置关系即可得到结论．【详解】解：∵Q是半径为3的⊙O上一点，点P与圆心O的距离OP＝5，根据三角形的三边关系，PQ≥OP－OQ（注：当O、P、Q共线时，取等号）∴PQ长的最小值＝5-3＝1，故答案为：1．【点睛】此题考查的是点与圆的位置关系，掌握三角形的三边关系求最值是解决此题的关键．14、8或1．【解析】试题分析：如图1所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=4，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=，∴S△ABC=BC•AD=×6×=8；如图2所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=12，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=8，∴S△ABC=BC•AD=×6×8=1；综上，△ABC面积的所有可能值为8或1，故答案为8或1．考点：解直角三角形；分类讨论．15、75°【分析】由非负数的性质可得：，可求，从而利用三角形的内角和可得答案．【详解】解：由题意，得sinA＝，cosB＝，解得∠A＝60°，∠B＝45°，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，故答案为：75°．【点睛】本题考查了非负数的性质：偶次方、三角形的内角和定理，特殊角的三角函数值，掌握以上知识是解题的关键．16、20%【分析】设平均每次降价的百分率是x，根据“经过两次降价，零售价由100元降为64元”，列出一元二次方程，求解即可．【详解】设平均每次降价的百分率是x，根据题意得：100(1﹣x)2=64，解得：x1=0.2，x2=1.8(舍去)，即平均每次降价的百分率是20%．故答案为：20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．17、3（﹣1）【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【详解】根据黄金分割点的概念和AC＞BC，得：AC=AB=×6=3（﹣1）．故答案为：3（﹣1）．18、0.2【分析】利用列举法求解即可.【详解】将布袋里10个球按颜色分别记为，所有可能结果的总数为10种，并且它们出现的可能性相等任意摸出一个球是黑球的结果有2种，即因此其概率为：.【点睛】本题考查了用列举法求概率，根据题意列出所有可能的结果是解题关键.三、解答题(共66分)19、（1）见解析；（2）2【分析】(1)欲证明PC是⊙O的切线，只要证明OC⊥PC即可；(2)想办法证明∠P=30°即可解决问题．【详解】(1)∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∵∠PCB=∠A，∴∠ACO=∠PCB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP，∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；(2)∵CP=CA，∴∠P=∠A，∴∠COB=2∠A=2∠P，∵∠OCP=90°，∴∠P=30°，∵OC=OA=2，∴OP=2OC=4，∴PC==2．【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．20、，1【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值化简代入计算可得．【详解】原式，当时，原式．【点睛】此题考查分式的化简求值，特殊角的三角函数值，解题关键在于掌握运算法则21、（1）t=2s；（2）t=1.2s或3s．【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得QA=AP，从而可以求得结果；（2）分与两种情况结合相似三角形的性质讨论即可.【详解】（1）由QA=AP，即6-t=2t，得t=2(秒)；（2）当时，△QAP～△ABC，则，解得t=1.2(秒)当时，△QAP～△ABC，则，解得t=3(秒)∴当t=1.2或3时，△QAP～△ABC.22、（1）y-（x-2）2+9，Q（2，9）；（2）（2，3）；作图见解析；（3）①不正确，理由见解析；②不能，理由见解析.【分析】（1）将A（-1，0）、B（1，0）分别代入y=-x2+bx+c中即可确定b、c的值，然后配方后即可确定其顶点坐标；（2）连接BC，交对称轴于点P，连接AP、AC．求得C点的坐标后然后确定直线BC的解析式，最后求得其与x=2与直线BC的交点坐标即为点P的坐标；（3）①设D（t，-t2+4t+1），设折线D-E-O的长度为L，求得L的最大值后与当点D与Q重合时L=9+2=11＜相比较即可得到答案；②假设四边形DCEB为平行四边形，则可得到EF=DF，CF=BF．然后根据DE∥y轴求得DF，得到DF＞EF，这与EF=DF相矛盾，从而否定是平行四边形．【详解】解:（1）将A（-1，0）、B（1，0）分别代入y=-x2+bx+c中，得，解得∴y=-x2+4x+1．∵y=-x2+4x+1=-（x-2）2+9，∴Q（2，9）．（2）如图1，连接BC，交对称轴于点P，连接AP、AC．∵AC长为定值，∴要使△PAC的周长最小，只需PA+PC最小．∵点A关于对称轴x=2的对称点是点B（1，0），抛物线y=-x2+4x+1与y轴交点C的坐标为（0，1）．∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小．设直线BC的解析式为y=kx+1，将B（1，0）代入1k+1=0，得k=-1，∴y=-x+1，∴当x=2时，y=3，∴点P的坐标为（2，3）．（3）①这个同学的说法不正确．∵设D（t，-t2+4t+1），设折线D-E-O的长度为L，则L=−t2+4t+1+t=−t2+1t+1=−(t−)2+，∵a＜0，∴当t=时，L最大值=．而当点D与Q重合时，L=9+2=11＜，∴该该同学的说法不正确．②四边形DCEB不能为平行四边形．如图2，若四边形DCEB为平行四边形，则EF=DF，CF=BF．∵DE∥y轴，∴，即OE=BE=2.1．当xF=2.1时，yF=-2.1+1=2.1，即EF=2.1；当xD=2.1时，yD=−(2.1−2)2+9=8.71，即DE=8.71．∴DF=DE-EF=8.71-2.1=6.21＞2.1．即DF＞EF，这与EF=DF相矛盾，∴四边形DCEB不能为平行四边形．【点睛】本题考查二次函数及四边形的综合，难度较大．23、（1）8；（2）4；（3）①，②22；（4）【分析】（1）根据勾股定理求解即可；（2）先求出点P到达中点所需时间，则可知点Q运动路程，易得CQ长，；（3）①作PD⊥AC于D，可证△APD∽△ABC，利用相似三角形的性质可得PD长，根据面积公式求解即可；②作PE⊥AC于E，可证△PBE∽△ABC，利用相似三角形的性质可得PE长，用可得s的值；（4）当0＜t≤8时，作PD⊥AC于D，可证△APD∽△ABC，可用含t的式子表示出PD的长，利用三角形面积公式可得s与t之间的函数解析式；当8＜t≤10时，作PE⊥AC于E，可证△PBE∽△ABC，利用相似三角形的性质可用含t的式子表示出PE长，用可得s与t之间的函数解析式.【详解】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得（2）设点P运动到终点所需的时间为t，路程为AB=10cm，则点Q运动的路程为10cm，即cm所以当点P到达终点时，BQ=4cm.（3）①作PD⊥AC于D，则∵∠A=∠A．∠ADP=∠C=90°，∴△APD∽△ABC．∴．即∴．∴．②如图，作PE⊥AC于E，则∵∠B=∠B．∠BEP=∠C=90°，∴△PBE∽△ABC．∴．即．∴．∴．（4）当0＜t≤8时，如图①．作PD⊥AC于D．∵∠A=∠A．∠ADP=∠C=90°，∴△APD∽△ABC．∴．即．∴．∴．当8＜t≤10时，如图②．作PE⊥AC于E．∵∠B=∠B．∠BEP=∠C=90°，∴△PBE∽△ABC．∴．即．∴．∴．综上所述：【点睛】本题考查了二次函数在三角形动点问题中的应用，涉及的知识点有勾股定理、相似三角形的判定与性质，灵活的应用相似三角形对应线段成比例的性质求线段长是解题的关键.24、（1）x1＝3，x2＝﹣1；（2）1﹣【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1．（2）原式＝×1+×﹣2××2×＝+1﹣＝1﹣【点睛】此题考查的是解一元二次方程和特殊角的锐角三角函数值，掌握用因式分解法解一元二次方程和各个