数学培优竞赛新方法(九年级)-第1讲-追问求根公式

第一讲追问求根公式正确的看法是，数学不仅拥有真，而且拥有非凡的美-----一种像雕塑那样冷峻而朴素的没，一种无须我们柔弱的天性感知的美，一种不具有绘画和音乐那样华丽堂皇的装饰的美，然而又是极其纯洁的美，是唯有最伟大的艺术才具有的严格的完美。知识纵横形如〔〕的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的根本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它答复了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等根本问题；它展示了数学的简洁美。降次转化是解方程的根本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。例题求解【例1】〔1〕方程的解为。〔2011年广东中考题〕〔2〕设是整数，方程的一根是，那么的值是。〔四川省竞赛题〕思路点拨：对于〔1〕，由知原方程必有一根为-1，即有因式，故可用因式分解法解；对于〔2〕，，把代入原方程，建立关系式。【例2】，那么〔〕。A、3B、5C、D、〔“五羊杯”邀请赛试题〕思路点拨：求出a的值再代入计算，那么计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如等。【例3】设方程求满足该方程的所有根之和。〔重庆市竞赛题〕思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号〔有时也用到绝对值性质，如〕，把绝对值方程转化为一般的一元方程求解【例4】如图，点是直线与双曲线的交点，△AOB的面积为，求直线AB的解析式。〔十堰市中考题〕思路点拨：设直线AB解析式为那么，解题的关键是由S△AOB建立关于a的一元二次方程。【例5】a是正整数，如果关于x的方程的根都是整数，求a的值及方程的整数根。〔全国初中数学联赛〕【例6】三个不同的实数满足，方程有一个相同的实根，方程也有一个相同的实根．求的值．〔2011年全国初中数学竞赛题〕学力训练根底夯实假设是方程的解，那么。〔荆州市中考题〕方程的两个根是等腰三角形的底和腰，那么这个三角形的周长为。〔青岛市中考题〕关于的方程的解是，那么方程的解是。〔2011年兰州市中考题〕假设使分式的值为0，那么的取值为〔〕。A、1或-1B、-3或1C、-3D、-3或-1〔芜湖市中考题〕假设关于的一元二次方程的常数项为0，那么的值为〔〕A、1B、2C、1或2D、0〔山东省中考题〕6、〔2005•浙江〕根据以下表格的对应值：x3.233.243.253.26ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a、b、c为常数〕一个解的范围是〔〕A、B、C、D、〔浙江省中考题〕先化简，再求值：，其中满足。〔2011年重庆市中考题〕、为方程的两实根，求代数式的值。〔芜湖市中考题〕是否存在某个实数，使得方程有且只有一个公共的实根？如果存在，求这个实数及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由。能力拓展设方程的较大根为，方程的较小根为，那么的值为。、是方程的两个根，、是方程的两个根，那么〔山东省竞赛题〕设方程的两根为、，那么方程的两根为。〔2011年四川省竞赛题〕、是方程的两个实数根，那么的值为〔〕。A、-1B、1C、D、〔太原市竞赛题〕三个关于的一元二次方程恰有一个公共实数根，那么的值为〔〕A、0B、1C、2D、3〔全国初中数学竞赛题〕方程的解的个数为〔〕A、1个B、2个C、3个D、4个〔2011全国初中数学联赛题〕方程的两根也是方程的根，求的值。〔全国初中数学联赛题〕17、：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t〔s〕，解答以下问题：

〔1〕当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

〔2〕设四边形APQC的面积为y〔cm2〕，求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；

〔3〕设PQ的长为x〔cm〕，试确定y与x之间的关系式．〔青岛市中考题〕设是方程的根，求的值〔太原市竞赛题〕假设关于的方程的各根为整数，求的