2023-2024学年四川省绵阳市游仙区九年级（上）第一次诊断数学试卷

第1页（共1页）2023-2024学年四川省绵阳市游仙区九年级（上）第一次诊断数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）1．（3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）以原点为中心，把点A（4，﹣5）逆时针旋转180°，则点B的坐标为（）A．（4，5） B．（﹣4，5） C．（5，﹣4） D．（5，4）3．（3分）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+＝0根的情况，下列说法中正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定4．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝50°．在同一平面内，使得CC′∥AB，则∠CAC′等于（）A．30° B．50° C．60° D．80°5．（3分）二次函数y＝﹣（x+2）2+5的图象如何平移就能得到y＝﹣x2的图象（）A．向左平移2个单位，再向上平移5个单位 B．向左平移2个单位，再向下平移5个单位 C．向右平移2个单位，再向上平移5个单位 D．向右平移2个单位，再向下平移5个单位6．（3分）兴化市“菜花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为20万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（）A．20（1+2x）＝28.8 B．28.8（1+x）2＝20 C．20（1+x）2＝28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2＝28.87．（3分）二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+c的图象如图所示，则满足ax2+bx＜mx的x的取值范围为（）A．﹣3＜x＜0 B．x＜﹣3或x＞0 C．x＜﹣3或x＞1 D．0＜x＜38．（3分）若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（）A．120° B．180° C．240° D．300°9．（3分）如图，已知O（0，0）、A（4，0），以每秒3个单位的速度向右做匀速运动；动直线l从点A的位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动．若它们同时出发，运动的时间为t秒，它们都停止运动．当直线l与以P为圆心，l为半径的圆相切时（）A． B． C．或 D．或10．（3分）如图，已知抛物线经过点B（﹣1，0），A（4，0），与y轴交于点C（0，2），则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线x＝；②抛物线的最大值为；③∠ACB＝90°；④OP的最小值为．则正确的结论为（）A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④11．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，AD＝7，CE＝5（）A．3 B． C． D．12．（3分）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与抛物线y＝x2交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的个数为（）①x1•x2＝﹣4；②y1+y2＝4k2+2；③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2A．0个 B．1个 C．3个 D．2个二.填空题（共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上13．（4分）关于x的一元二次方程x2+6x+k2+k﹣2＝0有一个根是0，则k的值是．14．（4分）已知：二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图象上有三个点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是．15．（4分）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，则支撑点C到端点A的距离约为（≈2.2）．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O为Rt△ABC的内切圆（结果保留π）．17．（4分）如图，AD∥BC，AD，DC分别与⊙O相切于点A，B，E，连接DO并延长与CB的延长线相交于点F．已知AD＝3，则DF的长为．18．（4分）正方形ABCD中，BF＝CE，BE，BC＝4，以D为圆心，过点M作⊙D的切线MQ，MG，G，点H在劣弧QG上（不同于Q，G）的点，分别交MQ，MG于点N，P．三.解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（16分）解方程：（1）解方程：x2﹣2x+1＝25．（2）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面AB宽4m．若水面上升1m20．（12分）如图，在直角坐标系中，线段A1B1是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分；（1）在坐标系中画出△A1B1C1，并写出点C的对应点C1的坐标；（2）求出线段AC在旋转过程中所扫过的图形的面积．21．（12分）已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣4）﹣p2+p＝0；（1）求证：方程总有实数根；（2）若方程的两根x1，x2为直角三角形的两边长，且x2＝5，求p的值及该直角三角形的周长．22．（12分）已知该酒店有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，酒店需对每个房间每天支出20元的各种费用，（1）当房间定价为多少元时，酒店利润最大？（2）当利润不低于9200元，求房间定价的范围．23．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，点P为平面内一点，（1）若点P在正方形内，如图1，PA＝1，，求∠APB的度数；（2）若点P在正方形外，如果PA＝a，PB＝b，且∠APB＝45°，求PD的长．（用a，b表示）24．（12分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，垂足为点D．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）如图2，若AC＝4，BC＝4的中点，连接CP，BP，求CP的长；（3）如图3，CP交AB于点M，点P是半圆，作PH⊥AC于点H，交AB于点N，AN，MB的数量关系．25．（14分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0）（0，3），（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，点P为线段BC上方抛物线上任意一点，过P作PM⊥BC于点M，求△PMN周长的最大值；（3）在（2）的条件下，H为抛物线上一动点，求点H的横坐标．

2023-2024学年四川省绵阳市游仙区九年级（上）第一次诊断数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）1．（3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．不是轴对称图形，不符合题意；B．不是轴对称图形，不符合题意；C．既是轴对称图形，不符合题意；D．是轴对称图形，符合题意．故选：D．2．（3分）以原点为中心，把点A（4，﹣5）逆时针旋转180°，则点B的坐标为（）A．（4，5） B．（﹣4，5） C．（5，﹣4） D．（5，4）【解答】解：因为点B由点A绕坐标原点逆时针旋转180°得到，所以A，B两点关于坐标原点成中心对称．又因为点A坐标为（4，﹣5），所以点B的坐标为（﹣6，5）．故选：B．3．（3分）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+＝0根的情况，下列说法中正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，∴b2﹣3ac＝9﹣12＝﹣3＜6，∴方程没有实数根．故选：C．4．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝50°．在同一平面内，使得CC′∥AB，则∠CAC′等于（）A．30° B．50° C．60° D．80°【解答】解：∵△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，∴AC＝AC′，∠BAC＝∠B′AC′，∵CC′∥AB，∠CAB＝50°，∴∠ACC′＝∠CAB＝50°，∴∠CAC′＝180°﹣2∠ACC′＝180°﹣2×50°＝80°，故选：D．5．（3分）二次函数y＝﹣（x+2）2+5的图象如何平移就能得到y＝﹣x2的图象（）A．向左平移2个单位，再向上平移5个单位 B．向左平移2个单位，再向下平移5个单位 C．向右平移2个单位，再向上平移5个单位 D．向右平移2个单位，再向下平移5个单位【解答】解：∵新抛物线的顶点为（0，0），3），∴二次函数y＝﹣（x+2）2+2的图象向右平移2个单位，再向下平移5个单位4的图象，故选：D．6．（3分）兴化市“菜花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为20万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（）A．20（1+2x）＝28.8 B．28.8（1+x）2＝20 C．20（1+x）2＝28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2＝28.8【解答】解：设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得20（1+x）2＝28.3，故选：C．7．（3分）二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+c的图象如图所示，则满足ax2+bx＜mx的x的取值范围为（）A．﹣3＜x＜0 B．x＜﹣3或x＞0 C．x＜﹣3或x＞1 D．0＜x＜3【解答】解：由图象可得：当x＜﹣3和x＞0时，二次函数y6＝ax2+bx+c的图象在一次函数y2＝mx+c的图象的上方，∴当x＜﹣4和x＞0时，ax2+bx＜mx，故选：B．8．（3分）若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（）A．120° B．180° C．240° D．300°【解答】解：设母线长为R，底面半径为r，∴底面周长＝2πr，底面面积＝πr2，侧面面积＝πrR，∵侧面积是底面积的4倍，∴2πr2＝πrR，∴R＝4r，设圆心角为n，有＝2πr＝πR，∴n＝180°．故选：B．9．（3分）如图，已知O（0，0）、A（4，0），以每秒3个单位的速度向右做匀速运动；动直线l从点A的位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动．若它们同时出发，运动的时间为t秒，它们都停止运动．当直线l与以P为圆心，l为半径的圆相切时（）A． B． C．或 D．或【解答】解：∵A（4，0），∴OA＝7，∵直线l与以P为圆心，l为半径的圆相切，∴点P为直线l的距离为1，∴3t+t+5＝4或3t+t﹣7＝4，解得t＝或t＝，即t的值为或．故选：C．10．（3分）如图，已知抛物线经过点B（﹣1，0），A（4，0），与y轴交于点C（0，2），则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线x＝；②抛物线的最大值为；③∠ACB＝90°；④OP的最小值为．则正确的结论为（）A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将B（﹣1，2），0），2）代入，∴，解得，∴y＝﹣x2+x+2，∵y＝﹣x2+x+2＝﹣）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝，故①正确；当x＝时，抛物线有最大值，故②不正确；∵B（﹣1，2），0），2），∴AB＝6，AC＝2，∵AC2＝AB2+BC4，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，故③正确；设直线AC的解析式为y＝kx+m，∴，解得，∴y＝﹣x+6，设P（t，﹣t+6），∴OP＝，∴当t＝时，OP有最小值为，故④正确；故选：D．11．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，AD＝7，CE＝5（）A．3 B． C． D．【解答】解：连接AC，如图，∵BA平分∠DBE，∴∠ABE＝∠ABD，∵∠ABE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠CDA，∴AC＝AD＝7，∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝2．故选：C．12．（3分）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与抛物线y＝x2交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的个数为（）①x1•x2＝﹣4；②y1+y2＝4k2+2；③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2A．0个 B．1个 C．3个 D．2个【解答】解：由题意，联列方程组，∴可得得x1，x4满足方程x2﹣kx﹣1＝7；y1，y2满足方程y5﹣（2+4k2）y+1＝0．依据根与系数的关系得，x6+x2＝4k，x2•x2＝﹣4，y7+y2＝4k2+2，y1•y5＝1，∴①、②正确．由两点间距离公式得，AB＝＝2+5）．∴当k＝0时，AB最小值为4．∴S△AOB＝×1×AB＝5．∴③正确．故选：C．二.填空题（共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上13．（4分）关于x的一元二次方程x2+6x+k2+k﹣2＝0有一个根是0，则k的值是﹣2或1．【解答】解：把x＝0代入方程得：k2+k﹣5＝0，可得k﹣1＝4或k+2＝0，解得：k＝6或k＝﹣2，故答案为：﹣2或4．14．（4分）已知：二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图象上有三个点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是y1＜y2＜y3．【解答】解：∵点A（1，y1）、B（7，y2）、C（﹣3，y3）为函数y＝3（x﹣1）2+k的图象上的点，∴y1＝k，y2＝2+k，y3＝48+k．∵k＜3+k＜48+k，∴y5＜y2＜y3．故答案为：y8＜y2＜y3．15．（4分）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，则支撑点C到端点A的距离约为48（≈2.2）．【解答】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，AB＝80cm，∴AC＝×80≈48（cm），故答案为：48．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O为Rt△ABC的内切圆（结果保留π）26﹣3π．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝12，∴AB＝13，∴S△ABC＝AC•BC＝30，∴内切圆半径r＝＝2，∴S⊙O＝πr2＝2π，设⊙O与AC切于点D，与BC切于点E、OE，则四边形ODCE为正方形，∴S阴影＝S△ABC﹣S⊙O﹣S正方形＝30﹣×4π﹣8＝26﹣3π．故答案为：26﹣3π．17．（4分）如图，AD∥BC，AD，DC分别与⊙O相切于点A，B，E，连接DO并延长与CB的延长线相交于点F．已知AD＝3，则DF的长为4．【解答】解：过D点作DH⊥BC于H点，如图，∵AD，BC，B，E，∴OA⊥AB，OB⊥BC，CB＝CE＝5，∵AD∥BC，∴点A、O、B共线，∵∠ABH＝∠DAB＝∠DHB＝90°，∴四边形ABHD为矩形，∴BH＝AD＝3，在△AOD和△BOF中，，∴△AOD≌△BOF（ASA），∴AD＝BF＝7，∴FH＝BF+BH＝3+3＝3，CH＝CB﹣BH＝5﹣3＝4，在Rt△DCH中，∵CH＝2，∴DH＝＝7，在Rt△DFH中，DF＝＝．故答案为：4．18．（4分）正方形ABCD中，BF＝CE，BE，BC＝4，以D为圆心，过点M作⊙D的切线MQ，MG，G，点H在劣弧QG上（不同于Q，G）的点，分别交MQ，MG于点N，P2．【解答】解：∵MQ，MG、G、H，∴MQ＝MG，NQ＝NH，∴△MPN的周长＝PM+MN+PN＝PM+MN+PH+NH＝PM+MN+PG+NQ＝MG+MQ＝2MG，连接MD，DG，∴DG⊥MG，∵⊙D的半径是1，∴MG＝＝，∴当MD最小时，MG最小，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABF＝∠C＝∠BAD＝90°，∵BF＝CE，∴△ABF≌△BCE（SAS），∴∠BAF＝∠CBE，∵∠CBE+∠ABM＝90°，∴∠BAF+∠ABM＝90°，∴∠AMB＝90°，∴M在以AB为直径的圆O上运动，连接OD交半圆于T，当M与T重合时，MD最小，∵AB＝AD＝4，∴AO＝AB＝2，∴OD＝＝2，∵OT＝6，∴TD＝2﹣2，∴MD最小值是2﹣5，∴MG的最小值＝＝，∴△MPN周长的最小值为2．故答案为：2．三.解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（16分）解方程：（1）解方程：x2﹣2x+1＝25．（2）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面AB宽4m．若水面上升1m【解答】解：（1）由题意得，（x﹣1）2＝25，∴x﹣2＝±5．∴x1＝2，x2＝﹣4．（2）由题意，设抛物线的解析式为y＝ax7，由已知可得，点（2，则﹣2＝a×42，解得a＝﹣，∴y＝﹣x6．当y＝﹣1时，﹣x2＝﹣1，解得x＝±．此时水面的宽度为2m．20．（12分）如图，在直角坐标系中，线段A1B1是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分；（1）在坐标系中画出△A1B1C1，并写出点C的对应点C1的坐标；（2）求出线段AC在旋转过程中所扫过的图形的面积．【解答】解：（1）如图，△A1B1C8即为所求．由图可得，C1（﹣2，8）．（2）由勾股定理得，AP＝＝＝，∴线段AC在旋转过程中所扫过的图形的面积为＝．21．（12分）已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣4）﹣p2+p＝0；（1）求证：方程总有实数根；（2）若方程的两根x1，x2为直角三角形的两边长，且x2＝5，求p的值及该直角三角形的周长．【解答】解：（1）由（x﹣3）（x﹣4）﹣p2+p＝0，得到：x2﹣6x+12﹣p2+p＝0．∴Δ＝b6﹣4ac＝（﹣7）6﹣4×1×（12﹣p3+p）＝49﹣48+4p2﹣4p＝4p2﹣6p+1＝（2p﹣7）2，∵（2p﹣5）2≥0，∴Δ≥6，∴不论p为任何实数，方程总有实数根．（2）根据题意得x1+x2＝6，x1x2＝12﹣p3+p．∵x2＝5，∴x3＝7﹣5＝3，∴12﹣p2+p＝5×5＝10，解得p＝2或p＝﹣1．直角三角形的斜边为：，所以直角三角形的周长为：2+5+＝6+．22．（12分）已知该酒店有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，酒店需对每个房间每天支出20元的各种费用，（1）当房间定价为多少元时，酒店利润最大？（2）当利润不低于9200元，求房间定价的范围．【解答】解：（1）由题意，设房价增加x元时，则w＝（180﹣20+x）（50﹣）＝﹣2+10890，∵﹣＜0，∴当x＝170时，即房价定为350元时．（2）由题意，结合（1）w＝﹣5+10890，令w＝9200，∴9200＝﹣（x﹣170）2+10890．∴x＝300或40．又∵﹣＜0，∴w关于x的函数图象开口向下，∴利润不低于9200元，40≤x≤300．∴220≤x+180≤480，即房间定价的范围在220元到480元之间．23．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，点P为平面内一点，（1）若点P在正方形内，如图1，PA＝1，，求∠APB的度数；（2）若点P在正方形外，如果PA＝a，PB＝b，且∠APB＝45°，求PD的长．（用a，b表示）【解答】解：（1）把△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，连接PF，PA旋转到AF的位置，∴AP＝AF＝1，∠PAF＝90°，∴△APF为等腰直角三角形，∴∠APF＝45°，PF＝，∵PF2+PB2＝6+2＝4＝BF5，∴∠BPF＝90°，∴∠APB＝45°+90°＝135°；（2）把△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，连接PF，PA旋转到AF的位置，∴AP＝AF＝a，∠PAF＝90°，∴△APF为等腰直角三角形，∴∠APF＝45°，PF＝a，∴∠BPF＝∠APB+∠APF＝45°+45°＝90°，在Rt△FBP中，PB＝ba，∴FB＝＝，∴PD＝FB＝．24．（12分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，垂足为点D．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）如图2，若AC＝4，BC＝4的中点，连接CP，BP，求CP的长；（3）如图3，CP交AB于点M，点P是半圆，作PH⊥AC于点H，交AB于点N，AN，MB的数量关系．【解答】（1）证明：∵CD是切线，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC平分∠DAB；（2）解：在Rt△ABC中，AC＝4，则tan∠ABC＝，则∠ABC＝60°＝APC，∵点P是半圆的中点，过点A作AH⊥PC于点H，则AH＝CH＝AC＝8，则tan∠APC＝＝＝，解得：PH＝2，则PC＝PH|CH＝2+4；（3）解：∵点P是半圆的中点，则∠PCA＝