专题14导数的几何意义（知识梳理精讲）

专题14导数的几何意义知识点一在某点的切线方程函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．例1．（1）、（2023上·江苏南京·高二期末）已知函数在点处的切线方程为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据导数的几何意义求解即可.【详解】因为函数在点处的切线方程为，所以，且，所以，所以．故选：A.（2）、（2023上·云南昆明·高三统考期中）曲线在点处的切线方程是【答案】【分析】求导，由导数的几何意义可得切线斜率，由点斜式即可求解直线方程．【详解】由可得，所以，所以由点斜式可得切线方程为，即，故答案为：1．（2024上·甘肃武威·高三统考期末）函数的图象在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求得，结合导数的几何意义，即可求解.【详解】由函数，可得，所以且，所以所求切线方程为，即.故选：B.2．（2024上·山东滨州·高三统考期末）曲线在点处的切线方程为．【答案】【分析】利用导数的几何意义求出斜率，结合切点求方程即可.【详解】定义域为，且已知切点为，则，设切线斜率为，当时，，故切线方程为.故答案为：例2．（2024上·重庆·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知曲线，(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求过点且与曲线相切的直线方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）求得，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解；（2）设切点为，求得切线方程为，结合点在直线上，列出方程求得，进而求得过点的切线方程.【详解】（1）解：由函数，可得，可得，即曲线在点处的切线斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）解：因为点不在曲线上，设切点为，所以，所以切线方程为，又因为在直线上，所以，即，解得或.当切点为时，切线方程为；当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为，综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或.1．（2023上·湖南衡阳·高二校考期末）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）求导，再分别求得，，写出切线方程即可；（2）由等价于，令，，论证恒成立，且与不在同一x处取到最值即可.【详解】（1）解：函数的定义域为，.当时，，.所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）证明：由题可得，函数的定义域为，所以等价于，等价于.设函数，则.令，解得，所以在上单调递减；令，解得，所以在上单调递增，从而在上的最小值为.设函数，则.令，解得，所以在上单调递增；令，解得，所以在上单调递减，从而在上的最大值为.所以恒成立.又因为与不在同一x处取到最值，所以恒成立，即得证.【点睛】方法点睛：证明不等式成立，一般转化为成立，论证即可.知识点二过某点的切线方程从导数的几何意义中可通过数形结合解释几类不含导数的点：（1）函数的边界点：此类点左侧（或右侧）的点不在定义域中，从而某一侧不含割线，也就无从谈起极限位置.故切线不存在，导数不存在；与此类似还有分段函数如果不连续，则断开处的边界值也不存在导数.（2）已知点与左右附近点的割线极限位置不相同，则不存在切线，故不存在导数.例如前面例子在处不存在导数.此类情况多出现在单调区间变化的分界处，判断时只需选点向已知点左右靠近，观察极限位置是否相同即可.（3）若在已知点处存在切线，但切线垂直轴，则其斜率不存在，在该点处导数也不存在.例如：在处不可导.例3．（1）、（2023上·湖南·高二邵阳市第二中学校联考阶段练习）已知直线与曲线相切，则的值为（

）A． B． C．2 D．1【答案】D【分析】设切点坐标为，求导，从而有斜率，再由点在曲线上求解.【详解】解：设切点坐标为，因为，所以，所以切线的斜率，又，即，解得，所以由，得.故选：D.（2）、（2024·全国·模拟预测）若曲线在处的切线与曲线也相切，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据导数的几何意义先写出曲线在处的切线方程，再设出切线与曲线相切的切点并用它表示出切线方程，比较两式系数即可求得.【详解】因为，所以，所以曲线在处的切线方程为①．设直线与曲线切于点，此时直线方程为②，比较①②两式得：把代入中，整理得：，解得，则．故选：D．【点睛】方法点睛：本题考查两曲线的公切线问题.解题思路一般是通过一条曲线上的点和该点的导数值写出切线方程，再设出该切线与另一条曲线的切点，同法写出切线方程，再对照各项系数列出方程组求解即得.（3）、（2023上·河南周口·高三校联考阶段练习）已知，直线与曲线相切，则．【答案】2【分析】根据切点处导数为切线的斜率列方程，求出切点，然后代入到切线方程里，得到答案.【详解】直线与曲线相切，所以，所以切点为，切点在直线上，可得，故答案为：2.（4）、（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若在曲线上存在点，使得过点可以作三条直线与曲线相切，则点横坐标的取值范围为．【答案】【分析】由，设，并设出切点，并结合题意过点可作曲线三条切线得出关于的方程式有三个不同实根，从而求解.【详解】由题意得：，设点坐标为，设切点为，所以：，即：，所以即得关于的此方程式存在三个不同实根，令：，则：，当时，，在上单调递增，不符合题意；当，时，，在区间上单调递增，时，，在区间上单调递减，时，，在区间上单调递增，故得：，即，解得：，当时，时，，在区间上单调递增，时，，在区间上单调递减，时，，在区间上单调递增，故得：，即，解得：，综上：的取值范围是．故答案为：.1．（2022·河南·河南省淮阳中学校联考模拟预测）已知，过原点作曲线的切线，则切点的横坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设切点坐标为，根据导数几何意义可得切线方程，代入坐标原点可构造方程求得.【详解】由得：；设切点坐标为，，则切线方程为：，切线过原点，，解得：，即切点横坐标为.故选：C.2．（2024上·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知直线与曲线相切，则的值为（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】设切点为，再根据切点在直线与切线上，导数的几何意义列式求解即可.【详解】的导函数，设切点为，则，故，即，则.易得函数为增函数，且，故.故.故选：A3．（2021下·广东·高三统考强基计划）设抛物线与相切，则．【答案】【分析】设两抛物线在处相切，显然，由题意可得，求解即可．【详解】设两抛物线在处相切，显然，问题等价于由线与在相切，求导,所以两式相除得，解得，从而可得．故答案为：4．（2021下·陕西西安·高二西安中学校考期中）已知函数与函数存在一条过原点的公共切线，则.【答案】【分析】由导数的几何意义分别表示公切线方程，再由公切线过过原点得出.【详解】设该公切线过函数、函数的切点分别为，.因为，所以该公切线的方程为同理可得，该公切线的方程也可以表示为因为该公切线过原点，所以，解得.故答案为：例4．（2023·广西·统考模拟预测）已知函数(1)求曲线在处的切线方程；(2)写出一个适当的正整数，使得恒成立，并证明．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义，根据切线方程的公式，求得切点坐标与斜率，可得答案；（2）先写出一个正整数，整理不等式，构造函数，利用导数研究函数的单调性，研究最值，可得答案.【详解】（1），因为，所以，则，所以曲线在处的切线方程为，即．（2）当时，恒成立，即恒成立，证明过程如下．今，①当时，，所以．②当时，，令，则，可知在上单调递增．当时，，所以，即在上单调递增，又因为，所以，即在上单调递增，所以成立．一般情况下探求：当时，，即，令，①当时，，所以．②当时，，令，则，可知在上单调递增．又因为，所以存在，使得，即，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，所以只需满足即可.例5．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知函数，．(1)若过点作曲线的切线有且仅有一条，求实数t的值；(2)若恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)或；(2).【分析】（1）设切点，求出.然后根据导数的几何意义推得.根据已知可得出，求解即可得出答案；（2）先证明当时，有.然后可推得，进而可得出所以当时，成立.然后验证时，当时，有，即可得出答案.【详解】（1）设切点，由，求导得，根据导数的几何意义，得，化简可得，，依题意方程仅只一个实根，于是，解得或，所以当或时，过点P作曲线的切线有且仅有一条．（2）设，，则恒成立，于是在上单调递增，则，即，因此当时，恒有成立，则有，当且仅当时等号成立，令，，则恒成立，即在上单调递增，又，，根据零点存在定理可得，，使得，于是在上恒成立，所以当时，，即成立；当时，存在满足，即，此时，，不合题意，综上，a的取值范围是．【点睛】思路点睛：先证明，进而得出，即可得出时，恒成立.然后说明，不成立即可.例6．（2023下·天津武清·高二天津市武清区杨村第一中学校考期中）已知函数．(1)若曲线在点处切线与直线平行，求a的值；(2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）先求得函数的导数，列出关于a的方程，解之即可求得a的值；（2）先将函数有两个零点转化为方程有二根，再构造函数，并利用导数求得其单调性和极值，进而求得实数a的取值范围．【详解】（1）由，可得，则，则，解之得.（2）由函数有两个零点，可得方程有二根，令，则由，可得；由，可得，则当时单调递增；当时单调递减，则当时时，取得极大值，又，且当趋向于正无穷时，趋向于正无穷的速率远远大于趋向于正无穷的速率，所以趋向于0，则由方程有二根，可得例7．（2023下·宁夏固原·高二校考阶段练习）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求切线的方程需要求出切线的斜率，根据点与斜率即可求出直线方程