河南博爱英才学校高三上学期第三次考试数学（文）试卷

2021届高三上学期第三次考试文科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则的子集个数为（）A． B． C． D．2．若复数，则复数的虚部是()A． B． C． D．3．下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（）A． B．C． D．4．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影）设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为()A． B． C． D．5．已知，则的值域为()A． B． C． D．6．已知正项等比数列满足：，，则()A． B． C． D．7．设、满约束条件，则的最小值是()A． B． C． D．8．函数的部分图像大致为A． B．C． D．9．设是两平面，是两直线．下列说法正确的是（）①若，则②若，则③若，则④若，，，，则A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④10．函数（其中，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度11．已知椭圆和双曲线，若椭圆的离心率，椭圆和双曲线渐近线的交点与椭圆其中一个焦点的连线垂直于轴．则双曲线其中一条渐近线的斜率为()A． B． C． D．12．已知是圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值是（）A．1B．0C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知，，，则．14．已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式为．15．已知抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，则的最小值是．16．已知正三棱柱的侧面积为，当其外接球的表面积取最小值时，异面直线与所成角的余弦值等于．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．若130~140分数段的人数为2人．（1）估计这所学校成绩在90~140分之间学生的参赛人数；（2）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．18．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，若，．（1）求；（2）当时，求的面积．19．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，．（1）证明：；（2）设点在线段上，且，若的面积为，求四棱锥的体积．20．（12分）已知函数QUOTE，QUOTE，QUOTE.（1）求函数QUOTE的极值点；（2）若QUOTE恒成立，求QUOTE的取值范围.21．（12分）已知是椭圆的左、右焦点，圆（）与椭圆有且仅有两个交点，点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）过正半轴上一点的直线与圆相切，与椭圆交于点，，若，求直线的方程．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）把的参数方程化为极坐标方程；（2）求与交点的极坐标．23．（10分）【选修45：不等式选讲】已知函数，．（1）当时，解不等式；（2）若的值域为，求．2021届高三上学期第三次考试文科数学试题答案1．C2．B3．A4．B5．D6．C7．A8．C9D10．B11．【答案】D【解析】设椭圆的半焦距为，双曲线的半焦距为，双曲线的一条渐近线与椭圆的交点，所以双曲线的渐近线的斜率为．12．【答案】A13．【答案】14．【答案】15．【答案】16．【答案】【解析】设正三棱柱的底面边长为，高为，球的半径为，由题意知，即，底面外接圆半径，由球的截面圆性质知，当且仅当时取等号，将三棱柱补成一四棱柱，如图，知，即为异面直线与所成角或补角，，，所以．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设分之间的人数是，由分数段的人数为2人，可知，得．（2）依题意，第一组共有人，记作、、、；第五组共有2人，记作、．从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：、、、、、、、、、、、、、、．设事件：选出的两人为“黄金搭档组”，若两人成绩之差大于20，则两人分别来自第一组和第五组，共有8种选法，故．18．【答案】（1）；（2）．【解析】∵，∴，即．∴，，，则．（2）∵，∴，，∵，∴，由正弦定理，可得，，所以．19．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】证明：（1），，平面平面，交线为，平面，从而，，，，平面，平面，．（2）设，则，，由（1）知平面，，，取中点，连结，，则，，且由（1）知平面，平面，，，，，，，由，解得，在中，到的距离，到平面的距离，四棱锥的体积．20．【答案】（1）极大值点为QUOTE，无极小值点.（2）QUOTE.【解析】（1）的定义域为QUOTE，QUOTE，当QUOTE时，QUOTE，所以QUOTE在QUOTE上单调递增，无极值点；当QUOTE时，解QUOTE得QUOTE，解QUOTE得QUOTE，所以QUOTE在QUOTE上单调递增，在QUOTE上单调递减，所以函数QUOTE有极大值点，为QUOTE，无极小值点.（2）由条件可得QUOTE恒成立，则当QUOTE时，QUOTE恒成立，令QUOTE，则QUOTE，令QUOTE，则当QUOTE时，QUOTE，所以QUOTE在QUOTE上为减函数.又QUOTE，所以在QUOTE上，QUOTE；在QUOTE上，QUOTE.所以QUOTE在QUOTE上为增函数，在QUOTE上为减函数，所以QUOTE，所以QUOTE.21．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）依题意，得，所以，所以椭圆为，将点代入，解得，则，所以椭圆的标准方程为．（2）由题意知直线的斜率存在，设斜率为，（），则直线方程为，设，，直线与圆相切，则，即，联立直线与椭圆方程，消元得，，，，因为，所以，即，，所以，解得，即，所求直线方程为．22．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）曲线的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为：，转换为极坐标方程为：．（2）曲线的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为：，所以：，整理出公共弦的