第五章三角函数单元知识总结与题型归纳-高一数学上学期期末复习讲练（人教A版2019）

第五章三角函数知识总结与题型归纳重点一：任意角2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为3、与角终边相同的角的集合为题型1：终边相同的角例1：(1)与－2010°终边相同的最小正角是________．(2)下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角β的集合S，并求出S中适合不等式－360°≤β<360°的元素．①60°；②－21°.(3)写出终边在x轴上的角的集合．【答案】(1)150°(2)(3)见解析【详解】解析：(1)因为－2010°＝－6×360°＋150°，所以与－2010°终边相同的最小正角是150°.(2)①60°是第一象限角，S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：60°＋(－1)×360°＝－300°；60°＋0×360°＝60°.②－21°是第四象限角，S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：－21°＋0×360°＝－21；－21°＋1×360°＝339°.(3)终边在x轴的非负半轴的角的集合S1＝{β|β＝k·360°，k∈Z}．终边在x轴的非正半轴的角的集合S2＝{β|β＝k·360°＋180°，k∈Z}．∴终边在x轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝k·360°，k∈Z}∪{β|β＝k·360°＋180°，k∈Z}＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝2k·180°＋180°，k∈Z}＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝n·180°，n∈Z}．技巧：1．在某个范围内找与已知角终边相同的角的方法求在某个范围内与已知角α终边相同的角时，首先将这样的角表示成k·360°＋α(k∈Z)的形式，然后由k·360°＋α(k∈Z)在限制范围内，建立不等式，通过求解不等式，确定k的值，求出满足条件的角．或者采用赋值法求解，看角是否在限制范围内，从而求出满足条件的角．2．终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．针对训练1.已知α＝－1910°. (1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限的角． (2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.【答案】(1)α＝250°－6×360°，第三象限的角(2)－110°或－470°【详解】(1)法一：作除法运算，注意余数必须非负，得：－1910÷360＝－6…250，所以α＝250°－6×360°，它是第三象限的角．法二：设α＝β＋k·360°(k∈Z)，则β＝－1910°－k·360°(k∈Z)，令－1910°－k·360°≥0°，解得k≤－eq\f(191,36)，k的最大整数解为k＝－6，求出相应的β＝250°，于是α＝250°－6×360°，它是第三象限的角．(2)令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角．250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或－470°.重点二：弧度制4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度．5、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是6、弧度制与角度制的换算公式：，，．7、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．题型2：弧度与角度例2：(1)将下列各角进行角度与弧度的互化(角度精确到0.01)：α1＝－eq\f(11,7)π，α2＝eq\f(511,6)π，α3＝9，α4＝－855°；(2)用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．【答案】（1）（2）【详解】解析：(1)α1＝－eq\f(11,7)π＝－eq\f(11,7)×180°≈－282.86°；α2＝eq\f(511,6)π＝eq\f(511,6)×180°＝15330°；α3＝9＝9×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈515.66°；α4＝－855°＝－855×eq\f(π,180)＝－eq\f(19,4)π.（2）对于题图(1)，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－eq\f(3π,4)，60°角的终边即eq\f(π,3)的终边，∴所求集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(3π,4)＜α＜2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))).对于题图(2)，同理可得，所求集合为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)＜α≤2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋π＋\f(π,6)＜α≤2kπ＋π＋\f(π,2)，k∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)＜α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).针对训练2.（1）如图，用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．（2）在0°～720°中找出与eq\f(2π,5)终边相同的角．【答案】D【详解】解析：（1）330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－eq\f(π,6)，而75°＝75×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,12)，∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)<θ<2kπ＋\f(5π,12)，k∈Z)))).(2)∵eq\f(2π,5)＝eq\f(2,5)×180°＝72°，∴与eq\f(2π,5)终边相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°.∴在0°～720°中与eq\f(2π,5)终边相同的角为72°，432°.题型3：扇形的弧长和面积公式例3：已知扇形的周长为8cm.(1)若该扇形的圆心角为2rad，求该扇形的面积；(2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角．【答案】【详解】解析：设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S.(1)由题意得：2r＋l＝8，l＝2r，解得r＝2，l＝4，S＝eq\f(1,2)lr＝4(cm2)．(2)由2r＋l＝8得l＝8－2r，r∈(0,4)，则S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(8－2r)r＝4r－r2＝－(r－2)2＋4，当r＝2时，Smax＝4，此时l＝4，圆心角α＝eq\f(l,r)＝2.针对训练3.已知扇形的周长为4cm，当它的半径为________，圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________．【答案】【详解】解析：设扇形的圆心角为α，半径为r，则2r＋|α|r＝4，∴|α|＝eq\f(4,r)－2.∴S扇形＝eq\f(1,2)|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1.∴当r＝1时，(S扇形)max＝1，此时|α|＝2.重点三：三角函数的概念8、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，，．9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．10、三角函数线：，，．PvPvxyAOMT11、角三角函数的基本关系：；．题型4：利用三角函数的定义求值例4：已知角α的终边经过点P(4a，－3a)(a≠0)，则2sinα＋cosα＝________.【答案】±eq\f(2,5)【详解】解析：由题意知x＝4a，y＝－3a，故r＝eq\r(4a2＋－3a2)＝5|a|.①当a＞0时，r＝5a，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3a,5a)＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4a,5a)＝eq\f(4,5)，则2sinα＋cosα＝－eq\f(2,5).②当a＜0时，r＝－5a，2sinα＋cosα＝2×eq\f(－3a,－5a)＋eq\f(4a,－5a)＝eq\f(2,5)综上，2sinα＋cosα＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)，a＞0，,\f(2,5)，a＜0.))针对训练4.已知点M是圆x2＋y2＝1上一点，以射线OM为终边的角α的正弦值为－eq\f(\r(2),2)，求cosα和tanα的值．【答案】【详解】解析：设点M的坐标为(x1，y1)．由题意可知，sinα＝－eq\f(\r(2),2)，即y1＝－eq\f(\r(2),2).∵点M在圆x2＋y2＝1上，∴xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝1，即xeq\o\al(2,1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))2＝1，解得x1＝eq\f(\r(2),2)或x1＝－eq\f(\r(2),2).∴cosα＝eq\f(\r(2),2)，tanα＝－1，或cosα＝－eq\f(\r(2),2)，tanα＝1.题型5：三角函数值的符号问题例5：已知点P(sinθ，sinθcosθ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【详解】解析：由点P(sinθ，sinθcosθ)位于第二象限，可得sinθ＜0，sinθcosθ＞0，可得sinθ＜0，cosθ＜0，所以角θ所在的象限是第三象限．针对训练5.若三角形的两内角α，β满足sinα·cosβ＜0，则此三角形必为() A．锐角三角形B．钝角三角形 C．直角三角形D．以上三种情况都有可能【答案】B【详解】解析：三角形的两内角α，β的终边一定落在第一、二象限或y轴正半轴上，sinα·cosβ＜0，所以sinα＞0，cosβ＜0，所以角β为钝角，此三角形为钝角三角形．题型6：利用三角函数的基本关系求值例6：(1)若sinα＝－eq\f(4,5)，且α是第三象限角，求cosα，tanα的值.(2)已知sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，α∈(0，π)，则tanα＝________.【答案】【详解】解析：(1)∵sinα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限角，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))＝eq\f(4,3).(2)法一：构建方程组因为sinα＋cosα＝eq\f(7,13)， ①所以sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝eq\f(49,169)，即2sinαcosα＝－eq\f(120,169).因为α∈(0，π)，所以sinα＞0，cosα＜0.所以sinα－cosα＝eq\r((sinα－cosα)2)＝eq\r(1－2sinαcosα)＝eq\f(17,13). ②由①②解得sinα＝eq\f(12,13)，cosα＝－eq\f(5,13)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(12,5).法二：弦化切同法一求出sinαcosα＝－eq\f(60,169)，即eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝－eq\f(60,169)，分子、分母同除以cos2α，得eq\f(tanα,tan2α＋1)＝－eq\f(60,169)，整理得60tan2α＋169tanα＋60＝0，解得tanα＝－eq\f(5,12)或tanα＝－eq\f(12,5).由sinα＋cosα＝eq\f(7,13)＞0知|sinα|＞|cosα|，故tanα＝－eq\f(12,5).针对训练（1）已知tanα＝－2，求sinα，cosα的值（2）已知eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，计算下列各式的值．①eq\f(3sinα－cosα,2sinα＋3cosα)；②sin2α－2sinαcosα＋1.【答案】【详解】解析：（1）法一：∵tanα＝－2<0，∴α为第二或第四象限角，且sinα＝－2cosα，①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②消去sinα，得(－2cosα)2＋cos2α＝1，即cos2α＝eq\f(1,5)；当α为第二象限角时，cosα＝－eq\f(\r(5),5)，代入①得sinα＝eq\f(2\r(5),5)；当α为第四象限角时，cosα＝eq\f(\r(5),5)，代入①得sinα＝－eq\f(2\r(5),5).法二：∵tanα＝－2<0，∴α为第二或第四象限角．由tanα＝eq\f(sinα,cosα)，两边分别平方，得tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)，又sin2α＋cos2α＝1，∴tan2α＋1＝eq\f(sin2α,cos2α)＋1＝eq\f(sin2α＋cos2α,cos2α)＝eq\f(1,cos2α)，即cos2α＝eq\f(1,1＋tan2α).当α为第二象限角时，cosα<0，∴cosα＝－eq\r(\f(1,1＋tan2α))＝－eq\r(\f(1,1＋－22))＝－eq\f(\r(5),5)，∴sinα＝tanα·cosα＝(－2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))＝eq\f(2\r(5),5).当α为第四象限角时，cosα>0，∴cosα＝eq\r(\f(1,1＋tan2α))＝eq\r(\f(1,1＋－22))＝eq\f(\r(5),5)，∴sinα＝tanα·cosα＝(－2)×eq\f(\r(5),5)＝－eq\f(2\r(5),5).（2）由eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，化简得sinα＝3cosα，所以tanα＝3.①法一：换元原式＝eq\f(3×3cosα－cosα,2×3cosα＋3cosα)＝eq\f(8cosα,9cosα)＝eq\f(8,9).法二：弦化切原式＝eq\f(3tanα－1,2tanα＋3)＝eq\f(3×3－1,2×3＋3)＝eq\f(8,9).②原式＝eq\f(sin2α－2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＋1＝eq\f(tan2α－2tanα,tan2α＋1)＋1＝eq\f(32－2×3,32＋1)＋1＝eq\f(13,10).题型7：三角函数式的化简与证明例7：(1)化简：eq\f(\r(1－2sin130°cos130°),sin130°＋\r(1－sin2130°)).(2)求证：eq\f(1－2sin2xcos2x,cos22x－sin22x)＝eq\f(1－tan2x,1＋tan2x).【答案】【详解】解析：(1)∵sin130°＞0，cos130°＜0，∴原式＝eq\f(\r(sin2130°－2sin130°cos130°＋cos2130°),sin130°＋\r(cos2130°))＝eq\f(|sin130°－cos130°|,sin130°＋|cos130°|)＝eq\f(sin130°－cos130°,sin130°－cos130°)＝1.(2)证明：∵左边＝eq\f(cos22x＋sin22x－2sin2xcos2x,cos22x－sin22x)＝eq\f((cos2x－sin2x)2,(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x))＝eq\f(cos2x－sin2x,cos2x＋sin2x)＝eq\f(1－tan2x,1＋tan2x)＝右边，∴原等式成立．针对训练7.(1)eq\r(\f(1－cosθ,1＋cosθ))＋eq\r(\f(1＋cosθ,1－cosθ))，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))（2）求证：2(1－sinα)(1＋cosα)＝(1－sinα＋cosα)2.【答案】【详解】解析：（1）原式＝eq\r(\f(1－cosθ2,sin2θ))＋eq\r(\f(1＋cosθ2,sin2θ))＝eq\f(1－cosθ,|sinθ|)＋eq\f(1＋cosθ,|sinθ|)＝eq\f(2,|sinθ|).∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴原式＝eq\f(2,sinθ).（2）法一：左边＝2(1－sinα＋cosα－sinαcosα)＝1＋(sin2α＋cos2α)－2sinα＋2cosα－2sinαcosα＝(1－2sinα＋sin2α)＋2cosα(1－sinα)＋cos2α＝(1－sinα)2＋2cosα(1－sinα)＋cos2α＝(1－sinα＋cosα)2＝右边．∴原式成立．法二：令1－sinα＝x，cosα＝y，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝1－x，,cosα＝y.))由sin2α＋cos2α＝1，消去α得(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x，∴左边＝2x(1＋y)＝2x＋2xy＝x2＋y2＋2xy＝(x＋y)2＝右边．∴原式成立．重点四：诱导公式12、函数的诱导公式：，，．，，．，，．，，．口诀：函数名称不变，符号看象限．，．，．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．题型8：诱导公式求值（1）例8：求下列各式的值：(1)coseq\f(25π,3)＋tan(－eq\f(15π,4))；(2)sin810°＋tan765°－cos360°.【答案】【详解】解析：(1)原式＝cos(8π＋eq\f(π,3))＋tan(－4π＋eq\f(π,4))＝coseq\f(π,3)＋taneq\f(π,4)＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos360°＝sin90°＋tan45°－1＝1＋1－1＝1.技巧：针对训练8.(1)tan405°－sin450°＋cos750°；(2)sineq\f(7π,3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))coseq\f(13π,3).【答案】【详解】解析：(1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2).(2)原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,3)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,4)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)coseq\f(π,6)＋taneq\f(π,4)coseq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋1×eq\f(1,2)＝eq\f(5,4).题型9：诱导公式求值（2）例9：求下列各三角函数的值：(1)sin(－945°)；(2)cos(－eq\f(16π,3))；(3)sineq\f(4,3)π·cos(－eq\f(19,6)π)·taneq\f(21,4)π.【答案】（1）eq\f(\r(2),2).（2）－eq\f(1,2)（3）eq\f(3,4)【详解】解析：(1)法一：sin(－945°)＝－sin945°＝－sin(225°＋2×360°)＝－sin225°＝－sin(180°＋45°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).法二：sin(－945°)＝sin(135°－3×360°)＝sin135°＝sin(180°－45°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).(2)法一：cos(－eq\f(16π,3))＝coseq\f(16π,3)＝cos(eq\f(4π,3)＋4π)＝coseq\f(4π,3)＝cos(π＋eq\f(π,3))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).法二：cos(－eq\f(16π,3))＝cos(eq\f(2π,3)－6π)＝coseq\f(2π,3)＝cos(π－eq\f(π,3))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).(3)原式＝sineq\f(4π,3)·cos(2π＋eq\f(7π,6))·tan(4π＋eq\f(5π,4))＝sineq\f(4π,3)·coseq\f(7π,6)·taneq\f(5π,4)＝sin(π＋eq\f(π,3))·cos(π＋eq\f(π,6))·tan(π＋eq\f(π,4))＝(－sineq\f(π,3))·(－coseq\f(π,6))·taneq\f(π,4)＝(－eq\f(\r(3),2))×(－eq\f(\r(3),2))×1＝eq\f(3,4).针对训练9.求下列各式的值：(1)taneq\f(3π,4)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(55π,6)))＋sineq\f(11π,6)；(2)cos(－120°)sin(－150°)＋tan855°；(3)sineq\f(4π,3)·coseq\f(19π,6)·taneq\f(21π,4).【答案】（1）－eq\f(3,2)－eq\f(\r(3),2)（2）－eq\f(3,4)（3）eq\f(3,4)【详解】解析：(1)原式＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,4)))＋coseq\f(55π,6)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,6)))＝－taneq\f(π,4)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4×2π＋\f(7π,6)))－sineq\f(π,6)＝－1＋coseq\f(7π,6)－eq\f(1,2)＝－1＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,6)))－eq\f(1,2)＝－eq\f(3,2)－coseq\f(π,6)＝－eq\f(3,2)－eq\f(\r(3),2).(2)原式＝cos120°(－sin150°)＋tan855°＝－cos(180°－60°)sin(180°－30°)＋tan(135°＋2×360°)＝cos60°sin30°＋tan135°＝cos60°sin30°＋tan(180°－45°)＝cos60°sin30°－tan45°＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)－1＝－eq\f(3,4).(3)原式＝sineq\f(4π,3)·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(7π,6)))·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(5π,4)))＝sineq\f(4π,3)·coseq\f(7π,6)·taneq\f(5π,4)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,6)))·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,4)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sin\f(π,3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,6)))·taneq\f(π,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×1＝eq\f(3,4).题型10：条件求值例10：已知sin(eq\f(π,3)－x)＝eq\f(1,3)，则sin(eq\f(4,3)π－x)＝________.【答案】－eq\f(1,3)【详解】解析：sin(eq\f(4,3)π－x)＝sin[π＋(eq\f(π,3)－x)]＝－sin(eq\f(π,3)－x)＝－eq\f(1,3).针对训练10.已知sin(eq\f(π,3)－x)＝eq\f(1,3)，且0＜x＜eq\f(π,2)，则tan(eq\f(2,3)π＋x)＝________.【答案】－eq\f(\r(2),4)【详解】解析：∵0＜x＜eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,6)＜eq\f(π,3)－x＜eq\f(π,3).又sin(eq\f(π,3)－x)＝eq\f(1,3)＞0，∴0＜eq\f(π,3)－x＜eq\f(π,3).cos(eq\f(2,3)π＋x)＝cos[π－(eq\f(π,3)－x)]＝－cos(eq\f(π,3)－x)＝－eq\r(1－sin2\f(π,3)－x)＝－eq\r(1－\f(1,3)2)＝－eq\f(2\r(2),3)，sin(eq\f(2,3)π＋x)＝sin[π－(eq\f(π,3)－x)]＝sin(eq\f(π,3)－x)＝eq\f(1,3)，∴tan(eq\f(2,3)π＋x)＝eq\f(sin\f(2,3)π＋x,cos\f(2,3)π＋x)＝eq\f(\f(1,3),－\f(2\r(2),3))＝－eq\f(\r(2),4).题型11：化简求值例11：（1）化简eq\f(tan(2π－θ)sin(－2π－θ)cos(6π－θ),cos(θ－π)sin(5π＋θ))（2）已知角α是第四象限角，且满足sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－3cos(α－π)＝1，则tan(π－α)＝() A.eq\r(3)B．－eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3)D．－eq\f(\r(3),3)【答案】tanθ【详解】解析：（1）原式＝eq\f(tan(－θ)sin(－θ)cos(－θ),cos(π－θ)·sin(π＋θ))＝eq\f((－tanθ)(－sinθ)cosθ,－cosθ·(－sinθ))＝tanθ.（2）由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－3cos(α－π)＝1，得－cosα＋3cosα＝1，即cosα＝eq\f(1,2).因为角α是第四象限角，所以sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(\r(3),2).所以tan(π－α)＝－tanα＝－eq\f(sinα,cosα)＝eq\r(3).针对训练11.（1）化简eq\f(sin(540°＋α)·cos(－α),tan(α－180°)).（2）已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(3,5)))，求eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＋2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)))的值．【答案】（1）－cos2α（2）【详解】解析：（1）原式＝eq\f(sin(360°＋180°＋α)·cosα,－tan(180°－α))＝eq\f(sin(180°＋α)·cosα,tanα)＝eq\f(－sinα·cosα,\f(sinα,cosα))＝－cos2α.（2）因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(3,5)))，所以a2＋eq\f(9,25)＝1(a<0)，所以a＝－eq\f(4,5)，所以sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，所以原式＝eq\f(cosα＋2cosα,－2sinα)＝－eq\f(3,2)·eq\f(cosα,sinα)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))×eq\f(－\f(4,5),\f(3,5))＝2.题型12：证明三角恒等式例12：求证：eq\f(cos(π－θ),cosθ\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))－1)))＋eq\f(cos(2π－θ),cos(π＋θ)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ)))＝eq\f(2,sin2θ).【答案】【详解】解析：左边＝eq\f(－cosθ,cosθ(－cosθ－1))＋eq\f(cosθ,－cosθcosθ＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(1,1－cosθ)＝eq\f(1－cosθ＋1＋cosθ,(1＋cosθ)(1－cosθ))＝eq\f(2,1－cos2θ)＝eq\f(2,sin2θ)＝右边．所以原等式成立．针对训练12.求证：eq\f(tan2π－αsin－2π－αcos6π－α,sinα＋\f(3π,2)cosα＋\f(3π,2))＝－tanα.【答案】【详解】解析：左边＝eq\f(tan－α·sin－α·cos－α,sin[2π－\f(π,2)－α]·cos[2π－\f(π,2)－α])＝eq\f(－tanα·－sinα·cosα,sin[－\f(π,2)－α]cos[－\f(π,2)－α])＝eq\f(sin2α,－sin\f(π,2)－αcos\f(π,2)－α)＝eq\f(sin2α,－cosα·sinα)＝－eq\f(sinα,cosα)＝－tanα＝右边．∴原等式成立．题型13：诱导公式的应用例13：在平面直角坐标系xOy中，角α，β0＜α＜eq\f(π,2)＜β＜π的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为eq\f(4,5)，eq\f(5,13).(1)求tanβ的值；(2)求eq\f(sin(α＋π)＋cos(π－β),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋β)))的值．【答案】【详解】解析：(1)因为β的终边与单位圆交于点B，B点的纵坐标为eq\f(5,13)，所以sinβ＝eq\f(5,13).因为eq\f(π,2)＜β＜π，所以cosβ＝－eq\f(12,13).所以tanβ＝eq\f(sinβ,cosβ)＝－eq\f(5,12).(2)因为α的终边与单位圆交于点A，A点的纵坐标为eq\f(4,5)，所以sinα＝eq\f(4,5).因为0＜α＜eq\f(π,2)，所以cosα＝eq\f(3,5)，故eq\f(sin(α＋π)＋cos(π－β),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋β)))＝eq\f(－sinα－cosβ,cosα－sinβ)＝eq\f(－\f(4,5)＋\f(12,13),\f(3,5)－\f(5,13))＝eq\f(4,7).针对训练13.已知角α的终边经过点P(m,2eq\r(2))，sinα＝eq\f(2\r(2),3)且α为第二象限角． (1)求m，cosα，tanα的值； (2)若tanβ＝eq\r(2)，求eq\f(sinαcosβ＋3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sinβ,cos(π＋α)cos(－β)－3sinαsinβ)的值．【答案】【详解】解析：(1)由题意，m＜0，则由sinα＝eq\f(2\r(2),\r(m2＋8))＝eq\f(2\r(2),3)，解得m＝－1.∴cosα＝eq\f(－1,\r((－1)2＋(2\r(2))2))＝－eq\f(1,3)，tanα＝－2eq\r(2).(2)由(1)知，tanα＝－2eq\r(2)，又tanβ＝eq\r(2)，∴eq\f(sinαcosβ＋3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sinβ,cos(π＋α)cos(－β)－3sinαsinβ)＝eq\f(sinαcosβ＋3cosαsinβ,－cosαcosβ－3sinαsinβ)＝eq\f(tanα＋3tanβ,－1－3tanαtanβ)＝eq\f(－2\r(2)＋3\r(2),－1－3×(－2\r(2))×\r(2))＝eq\f(\r(2),11).重点五：三角函数的图像与性质13、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）；递减区间：（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）递增区间：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；递减区间：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）递增区间：（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）时，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）时，ymin＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+，k∈Z对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（，0）（k∈Z）无对称轴周期题型14：正余弦函数图像的应用例14：(1)求下列函数的定义域：y＝eq\r(2sin2x－1)(2)方程x2－cosx＝0的实数解的个数是________．【答案】（1）eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋kπ≤x≤\f(5π,12)＋kπ，k∈Z)))).（2）2【详解】解析：(1)由2sin2x≥1得sin2x≥eq\f(1,2).把2x当作整体t，画y＝sint的图象．在[0,2π]内，满足sint≥eq\f(1,2)有eq\f(π,6)≤t≤eq\f(5π,6)，所以eq\f(π,6)≤2x≤eq\f(5π,6).故在实数集R上2x满足eq\f(π,6)＋2kπ≤2x≤eq\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z，即eq\f(π,12)＋kπ≤x≤eq\f(5π,12)＋kπ，k∈Z，所以定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋kπ≤x≤\f(5π,12)＋kπ，k∈Z)))).（2）作函数y＝cosx与y＝x2的图象，如图所示，由图象可知原方程有两个实数解．针对训练14.(1)求下列函数的定义域：y＝eq\r(sinx)＋eq\r(25－x2).(2)函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．【答案】【详解】解析：(1)根据函数表达式可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx≥0，,25－x2≥0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ≤x≤2kπ＋πk∈Z，,－5≤x≤5.))在数轴上表示如图所示．由图示可得，函数定义域为[－5，－π]∪[0，π]．(2)f(x)＝sinx＋2|sinx|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3sinx，x∈[0，π]，,－sinx，x∈π，2π].))图象如图，若使f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，根据图象可得k的取值范围是(1,3)．题型15：求正、余弦函数的周期例15：求下列函数的周期：(1)y＝sin(2x＋eq\f(π,3))(x∈R)；(2)y＝|sinx|(x∈R)．【答案】（1）π（2）π【详解】解析：(1)法一：令z＝2x＋eq\f(π,3)，∵x∈R，∴z∈R，函数y＝sinz的最小正周期是2π，就是说变量z只要且至少要增加到z＋2π，函数y＝sinz(z∈R)的值才能重复取得，而z＋2π＝2x＋eq\f(π,3)＋2π＝2(x＋π)＋eq\f(π,3)，所以自变量x只要且至少要增加到x＋π，函数值才能重复取得，从而函数f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,3))(x∈R)的周期是π.法二：f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,3))中ω＝2，∴T＝eq\f(2π,|2|)＝π.(2)作出y＝|sinx|的图象如图：由图象知，y＝|sinx|的周期为π.技巧：求三角函数最小正周期的常用方法(1)公式法：将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式，再利用T＝eq\f(2π,|ω|)求得．(2)定义法：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么非零常数T叫做这个函数的周期．(3)图象法：利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期．[提醒]y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝eq\f(π,|ω|).针对训练15.的求下列函数的周期．(1)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)x－\f(π,4)))，x∈R；(2)y＝|cosx|，x∈R.【答案】（1）12π（2）π【详解】解析：(1)因为sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)(x＋12π)－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)x＋2π－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)x－\f(π,4)))，所以由周期函数的定义知，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)x－\f(π,4)))的周期为12π.(2)y＝|cosx|的图象如图(实线部分)所示，由图象可知，y＝|cosx|的周期为π.题型16：判断三角函数奇偶性例16：判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝sinx＋tanx；(2)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x＋\f(3π,2)))；(3)f(x)＝eq\f(1＋sinx－cos2x,1＋sinx).【答案】（1）奇（2）偶（3）非奇非偶函数【详解】解析：(1)定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))，关于原点对称．因为f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，所以函数y＝sinx＋tanx是奇函数．(2)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))＝－coseq\f(3x,4)，x∈R.又f(－x)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3x,4)))＝－coseq\f(3x,4)＝f(x)，所以函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))是偶函数．(3)由1＋sinx≠0解得x≠2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，所以函数f(x)＝eq\f(1＋sinx－cos2x,1＋sinx)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z))))，显然定义域不关于原点对称．故函数f(x)＝eq\f(1＋sinx－cos2x,1＋sinx)是非奇非偶函数．针对训练16.的(多选)关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法，正确的是() A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数 B．存在φ，使f(x)是奇函数 C．对任意的φ，f(x)都不是偶函数 D．不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数【答案】BD【详解】解析：当φ＝π时，f(x)＝sin(x＋π)＝－sinx，是奇函数．当φ＝eq\f(π,2)时，f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝cosx，是偶函数．所以A、C错误，B正确．无论φ为何值，f(x)不可能恒为0，故不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数，故D正确．题型17：三角函数奇偶性与周期性的综合应用例17：(1)已知f(x)＝coseq\f(π,3)x，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝________.(2)若函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋φ－\f(π,6)))(0＜φ＜π)是偶函数，则φ＝________，最小正周期T＝________.(3)若f(x)是以2为周期的奇函数，且当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋1，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))的值．(4)若函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x－sinx，求当x<0时f(x)的解析式．【答案】(1)－1(2)eq\f(2π,3)π(3)(4)见解析【详解】解析：(1)因为f(1)＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，f(2)＝coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，f(3)＝cosπ＝－1，f(4)＝coseq\f(4π,3)＝－eq\f(1,2)，f(5)＝coseq\f(5π,3)＝eq\f(1,2)，f(6)＝cos2π＝1，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0，又f(x)的周期为T＝eq\f(2π,\f(π,3))＝6，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝336×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝eq\f(1,2)＋(－eq\f(1,2))＋(－1)＝－1.(2)因为f(x)为偶函数，所以函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，故当x＝0时函数取得最值，即f(0)＝±2，所以2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ－\f(π,6)))＝±2，所以φ－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋kπ，φ＝eq\f(2π,3)＋kπ，k∈Z.又因为0＜φ＜π，所以φ＝eq\f(2π,3).最小正周期为π.(3)因为f(x)是以2为周期的函数，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－2×2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).又f(x)是奇函数，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).又当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋1.所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋1))＝0.(4)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sinx.又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝x－sinx(x<0)．技巧：与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；(3)要使y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；(4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．针对训练17.(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是()A．y＝cos|2x|B．y＝|sin2x|C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x))D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－2x))(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sinx，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))等于()A．－eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(3),2)【答案】【详解】解析：(1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin2x|是偶函数，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x))＝cos2x是偶函数，y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－2x))＝－sin2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)－π))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－π))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).题型18：正弦函数、余弦函数的单调性例18：（1）求函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))x∈R的单调区间．（2）比较下列各组数的大小．(1)sin194°和cos160°；(2)sineq\f(7,4)和coseq\f(5,3)；(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,8)))和sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3π,8))).【答案】（1）增区间为(4kπ－eq\f(5,3)π，4kπ＋eq\f(π,3))，k∈Z，减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4kπ＋\f(π,3)，4kπ＋\f(7,3)π))，k∈Z，（2）①sin194°>cos160°②sineq\f(7,4)>coseq\f(5,3)③sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3π,8)))<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,8)))【详解】解析：（1）设z＝eq\f(1,2)x＋eq\f(π,3)，则y＝sinz.当z∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)时，y＝sinz为增．∴2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(1,2)x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)得4kπ－eq\f(5,3)π≤x≤4kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z.当z∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3,2)π))时，y＝sinz为减．∴2kπ＋eq\f(π,2)≤eq\f(1,2)x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(3,2)π得4kπ＋eq\f(π,3)≤x≤4kπ＋eq\f(7,3)π，k∈Z.故y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的增区间为(4kπ－eq\f(5,3)π，4kπ＋eq\f(π,3))，k∈Z，减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4kπ＋\f(π,3)，4kπ＋\f(7,3)π))，k∈Z，（2）①sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°.cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°<14°<70°<90°，∴sin14°<sin70°.从而－sin14°>－sin70°，即sin194°>cos160°.②∵coseq\f(5,3)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(5,3)))，又eq\f(π,2)<eq\f(7,4)<π<eq\f(π,2)＋eq\f(5,3)<eq\f(3π,2)，y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上是减函数，∴sineq\f(7,4)>sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(5,3)))，即sineq\f(7,4)>coseq\f(5,3).③∵coseq\f(3π,8)＝sineq\f(π,8)，∴0<coseq\f(3π,8)<sineq\f(3π,8)<1<eq\f(π,2).而y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))内递增，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3π,8)))<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,8))).针对训练18.(1)求y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))的单调增区间．(2)若函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，则ω的取值范围为________．【答案】（1）eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,8)＋kπ，kπ＋\f(π,8)))（2）eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))【详解】解析：（1）因为y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))，由－π＋2kπ≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ(k∈Z)得－eq\f(3π,8)＋kπ≤x≤kπ＋eq\f(π,8)(k∈Z)，所以y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,8)＋kπ，kπ＋\f(π,8)))(k∈Z)．（2）令eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，又ω＞0，∴eq\f(π,2ω)＋eq\f(2kπ,ω)≤x≤eq\f(3π,2ω)＋eq\f(2kπ,ω)，k∈Z.∵函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,2ω)≤\f(π,3)，,\f(3π,2ω)≥\f(π,2)，))∴eq\f(3,2)≤ω≤3.题型19：三角函数最值问题例19：求下列函数的值域：(1)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))；(2)y＝|sinx|＋sinx；(3)y＝cos2x－4cosx＋5.【答案】（1）[－eq\r(3)，2]（2）[0,2]（3）[2,10]【详解】解析：(1)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))，∴2x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4π,3))).令u＝2x＋eq\f(π,3)，又y＝sinu在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(4π,3)))上单调递减，∴－eq\f(\r(3),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))≤1，∴－eq\r(3)≤2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))≤2，∴函数的值域为[－eq\r(3)，2]．(2)∵y＝|sinx|＋sinx＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2sinx，sinx≥0，,0，sinx＜0，))又sinx≥0时，0≤2sinx≤2，∴函数y＝|sinx|＋sinx的值域为[0,2]．(3)令t＝cosx，则－1≤t≤1.∴y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，∴t＝－1时，y取得最大值10，t＝1时，y取得最小值2.∴y＝cos2x－4cosx＋5的值域为[2,10]．针对训练19.（1）求函数y＝－2cos2x＋2sinx＋3，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))的最大值和最小值．（2）已知函数f(x)＝2asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋a＋b的定义域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，值域是[－5,1]，求a，b的值．【答案】【详解】解析：（1）y＝－2(1－sin2x)＋2sinx＋3＝2sin2x＋2sinx＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f(1,2)))2＋eq\f(1,2).∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))，∴eq\f(1,2)≤sinx≤1.当sinx＝1时，ymax＝5；当sinx＝eq\f(1,2)时，ymin＝eq\f(5,2).（2）因为0≤x≤eq\f(π,2)，所以eq\f(π,6)≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(7π,6)，所以－eq\f(1,2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))≤1.当a＞0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－5，,3a＋b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－5，,a＝2.))当a＜0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,3a＋b＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,a＝－2.))因此a＝2，b＝－5或a＝－2，b＝1.题型20：正切函数的定义域、值域例20：求下列函数的定义域和值域：(1)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))；(2)y＝eq\r(\r(3)－tanx).【答案】【详解】解析：(1)由x＋eq\f(π,4)≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)得，x≠kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，所以函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))，其值域为(－∞，＋∞)．(2)由eq\r(3)－tanx≥0得，tanx≤eq\r(3).结合y＝tanx的图象可知，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上，满足tanx≤eq\r(3)的角x应满足－eq\f(π,2)<x≤eq\f(π,3)，所以函数y＝eq\r(\r(3)－tanx)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)<x≤kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))，其值域为[0，＋∞)．针对训练20.的函数f(x)＝tan2x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6)))上的最大值与最小值的差为() A．2eq\r(3)B．eq\f(2\r(3),3) C．2D．eq\f(2,3)【答案】【详解】解析：由函数f(x)＝tan2x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6)))上单调递增，可得f(x)max＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)))＝eq\r(3)，f(x)min＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2×\f(π,6)))＝－eq\r(3).所以最大值与最小值的差为2eq\r(3).题型21：正切函数的图像和性质例21：(1)若f(x)＝tan(ωx)(ω＞0)的周期为1，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的值为()A．－eq\r(3)B．－eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),3)D．eq\r(3)（2）比较taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))与taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5)))的大小．【答案】（1）D（2）taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))>taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5)))【详解】解析：(1)∵f(x)＝tan(ωx)(ω＞0)的周期为eq\f(π,ω)＝1，∴ω＝π，即f(x)＝tanπx，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3).（2）taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3π－\f(π,4)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝－taneq\f(π,4)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π－\f(2π,5)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,5)))＝－taneq\f(2π,5)， ∵0<eq\f(π,4)<eq\f(2π,5)<eq\f(π,2)，且y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))内递增， ∴taneq\f(π,4)＜taneq\f(2π,5)，∴－taneq\f(π,4)>－taneq\f(2π,5)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))>taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5))).针对训练21.（1）函数y＝taneq\f(x,2)是() A．最小正周期为4π的奇函数 B．最小正周期为2π的奇函数 C．最小正周期为4π的偶函数 D．最小正周期为2π的偶函数（2）