6.3平面向量基本定理及坐标表示（原卷版）-高一数学下学期《一隅三反》（人教A版2019）

6.3平面向量基本定理及坐标表示考法一平面向量基底的辨析【例1】（2023·高一课时练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【一隅三反】1．（2023·黑龙江）设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和2．（2023·湖南）设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和3．（2023北京）设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（）A．和 B．和C．和 D．和考法二平面向量的基本定理【例21】（2024·云南大理）已知在中，点在边上，且，则（

）A． B． C． D．【例22】（2023·河南省）如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（

）A． B． C． D．【例23】（2023安徽）已知AD，BE分别为的边BC，AC上的中线，设，则（）

A． B．C． D．【例24】（2023·江西宜春）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【一隅三反】1．（2024·全国·模拟预测）已知在平行四边形中，，，，，则（

）A． B．C． D．2．（2023湖北）如图所示，在中，，，若，，则（）A． B．C． D．3．（2023·陕西西安）在中，点满足，点满足，若，则（

）A． B． C． D．4．（2024·陕西商洛）如图，在中，满足条件，若，则（

）A．8 B．4 C．2 D．考法三线性运算的坐标表示【例31】（2023·四川绵阳）已知向量，若，则实数m等于（

）A． B．0 C．1 D．【例32】（2023·浙江金华）己知向量，且与共线，则（

）A． B． C． D．【例33】（2023·湖南永州）已知向量，且，则（

）A．2 B．1 C．0 D．【一隅三反】1．（2023·山东邹城）已知向量，，则（）A． B．5 C．7 D．252．（2023·全国·模拟预测）已知向量．若非零实数满足，则（

）A．3 B． C． D．3．（2023·云南省）已知点，，三点共线，则（）A．0 B．1 C． D．4．（2023·广东·）（多选）已知，，下列计算正确的是（）A． B．C． D．5．（2023·湖南）（多选）已知向量，，则（）A．若与垂直，则 B．若，则C．若，则 D．若，则与的夹角为考法四平面向量数量积的坐标表示【例41】（2023·浙江）（多选）已知平面向量，，下列叙述正确的是（

）A．与的夹角为 B．与的夹角为C． D．在上的投影向量为【例42】（2023·海南）（多选）已知向量，则（

）A．若，则B．在方向上的投影向量为C．存在，使得在方向上投影向量的模为1D．的取值范围为【一隅三反】1．（2024·湖南邵阳）已知向量.若与的夹角的余弦值为，则实数的值为（

）A． B． C． D．2．（2024·甘肃兰州）已知向量，，若与反向共线，则的值为（

）A．0 B． C． D．3．（2024上·河北）已知向量，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．（2023上·河北沧州）已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考法五巧建坐标解平面向量【例51】（2023·安徽）如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且．（1）求；（2）若（，），求的值.【例52】（2024陕西）如图，边长为1的等边△ABC中，AD为边BC上的高，P为线段AD上的动点，则的取值范围是（）A．[﹣，0] B．[0，] C．[﹣，+∞） D．[﹣，0]【一隅三反】1.（2023福建）如图，在中，已知，，，D为线段BC中点，E为线段AD中点.（1）求的值；（2）求，夹角的余弦值.2．（2023山东济南市·）在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为（）A．1 B． C．－1 D．23．（2023·河北）如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．考法六奔驰定理【例61】（2023·安徽）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【例62】（2023湖南）点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023河北）已知为内一点，且有，则和的面积之比为（）A． B． C． D．2．（2023江西）内有一点，满足，则与的面积之比为（）A． B． C． D．3．（2023河南）已知点在正所确定的平面上，且满足，则的面积与的面积之比为（）A． B． C． D．4．（2023·辽宁·）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（

）A．若，则为的重心B．若为的内心，则C．若，为的外心，则D．若为的垂心，，则单选题1．（2023·宁夏石嘴山）设向量，不平行，向量与平行，则实数（

）．A． B． C． D．2．（2024上·北京石景山）已知向量，若，则（

）A． B． C． D．3．（2024·广东佛山）已知向量，若，则向量在向量上的投影向量为（）A．1 B． C． D．4．（2023下·宁夏石嘴山）已知平面向量，，若是直角三角形，则的取值是（

）A．2 B． C．2或7 D．2或55．（2023上·重庆渝北）如图，在边长为2的等边三角形中，点为中线的三等分点靠近点，点为的中点，则（

）A． B． C． D．6．（2023·全国·模拟预测）在平行四边形中，点是上靠近的四等分点，与交于点，则（

）A． B．C． D．7．（2023上·天津南开）是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，且，则（

）.A． B． C． D．8．（2023·北京）如图，在中，M，N分别为AB，AC边上的中点，P是线段MN上的一个动点（不含端点），CP与AB交于点D，BP与AC交于点E，，，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8多选题9．（2024·贵州）已知，，则下列结论正确的是（

）A．B．C．与的夹角为D．在方向上的投影向量是10．（2023上·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考期末）已知，则（

）A．若，则B．若，则C．的最小值为2D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为11．（2024上·辽宁沈阳·高一统考期末）如图，在直角梯形中，，，，是线段的中点，线段与线段交于，则（

）A．B．C．D．12．（2023·辽宁大连·高一统考期末）下列结论正确的是（

）A．一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底B．若，是单位向量)，则C．向量与共线存在不全为零的实数使D．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若则填空题13．（2022·全国·模拟预测）已知向量，若与的夹角为钝角，则的取值范围是．14．（2023上·上海浦东新）若向量，则在方向上的投影的坐标为.15．（2023上·天津河北）设，，，其中，，为坐标原点，若，，三点共线，则，的最小值为.16（2023·上海黄浦·统考二模）如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为．解答题17．（2023上·辽宁沈阳）给定三个平面向量．(1)求的大小；(2)若向量与向量共线，求实数的值．18．（2023·广东惠州）已知平面直角坐标系中，向量.(1)若，且，求向量的坐标；(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.19．（2023·辽宁）如图，在中，是边上的中线．(1)取的中点，试用和表示；(2)若G是上一点，且，直线过点G，交交于点E，交于点F．若，，求的最小值．