预习17讲复数的加减运算及其几何意义2024年高一数学寒假自学提升课（人教A版2019）

2024年高一数学寒假自学精品课（人教A版2019必修第二册）预习17讲复数的加、减运算及其几何意义（精讲+精练）①复数的加、减运算②复数加、减法的几何意义③复数加、减法运算及其几何意义的综合应用一、复数代数形式的加法运算及其几何意义（1）复数的加法法则设，，（）是任意两个复数，那么它们的和：显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数（2）复数加法满足的运算律对任意，有交换律：结合律：（3）复数加法的几何意义如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即：，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行.二、复数代数形式的减法运算及其几何意义（1）复数的减法法则类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作注意：①两个复数的差是一个确定的复数；②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.复数减法的几何意义复数 向量三、()的几何意义在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离.题型一：题型一：向量的有关概念及辨析复数的加、减运算策略方法(1)复数的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部.(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项);若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到右依次进行计算.【题型精练】一、单选题1．已知复数，，则的实部与虚部分别为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】应用复数加法求，根据实部、虚部定义得答案.【详解】因为，，所以，其实部与虚部分别为，.故选：A2．复数对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据复数的运算法则，求得复数为，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由复数，可得复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.3．已知复数满足（是虚数单位），则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，求得，根据题意求得的值，即可求解.【详解】设，可得因为，所以解得，所以.故选：A.二、填空题4．若复数，则【答案】【分析】先求出复数，再求出求从而可求解.【详解】因为，所以．故答案为：.5．已知复数，则．【答案】【分析】分别求解，求和即可.【详解】因为，所以，，所以.故答案为：三、解答题6．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根据复数的加减运算逐一计算即可得出（1）~（4）的答案；【详解】（1）（2）（3）（4）7．计算：(1)；(2)；(3).【答案】(1)；(2)7(3).【分析】根据复数的加减运算法则即可求解【详解】（1）；（2）；（3）.题型二：相等向量与共线向量题型二：相等向量与共线向量复数加、减法的几何意义策略方法利用向量进行复数的加、减运算时,同样满足平行四边形法则和三角形法则.复数加、减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.【题型精练】一、单选题1．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（

）A． B．5 C．2 D．10【答案】B【分析】根据复数减法的几何意义求出向量对应的复数，再根据复数的模的计算公式即可求出．【详解】依题意，对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5.故选：B．二、填空题2．在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为．【答案】5【分析】根据复数减法的几何意义求出向量对应的复数，再根据复数的模的计算公式即可求解．【详解】依题意得对应的复数为，所以A，C两点间的距离为．故答案为：5．三、解答题3．已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量：(1)；

(2)．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）在复平面上作出对应的向量，再作出对应的向量，根据减法的几何意义及向量（复数）相等的定义，即为（2）再作出对应的向量，根据减法的几何意义及向量（复数）相等的定义，即为．【详解】（1）设复数对应的向量为．图1设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如图①所示，即为（2）设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如②所示，即为．图24．如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，3＋2i，－2＋4i．求：（1）向量对应的复数；（2）向量对应的复数；（3）向量对应的复数．【答案】（1）－3－2i；（2）5－2i；（3）1＋6i．【分析】结合复数的几何意义和向量的线性运算即可求解.【详解】（1）因为，所以向量对应的复数为－3－2i；（2）因为＝－，所以向量对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i；（3）因为＝＋，所以向量对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i．【点睛】本题考复数的几何意义，向量的线性运算，属于基础题5．已知复数及复数．(1)求，并在复平面内用向量表示出其运算的几何意义；(2)求．【答案】(1)2i，作图见解析(2)【分析】（1）利用复数的减法运算和复数的几何意义求解；（2）利用复数的模的运算求解.【详解】（1）解：复数．如图，．（2）．题型三：题型三：复数加、减法运算及其几何意义的综合应用策略方法(1)|zz0|表示复数z,z0的对应点之间的距离,在应用时,要把绝对值号内变为两复数差的形式.(2)|zz0|=r表示以z0对应的点为圆心,r为半径的圆.(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题,均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断,然后通过几何方法进行求解.【题型精练】一、单选题1．在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（

）A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i【答案】C【分析】根据复数加法的几何意义及法则即可求解.【详解】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，又因为，所以由复数加法的几何意义可得，.故选：C.2．如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】利用复数的几何意义、向量的平行四边形法则即可得出．【详解】∵，∴对应的复数为：，∴点对应的复数为．故选D．【点睛】本题考查了复数的几何意义、向量的平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题3．如图所示，在复平面内的四个点O，A，B，C恰好构成平行四边形，其中O为原点，A，B，C所对应的复数分别是，，，则.【答案】【解析】由平行四边形法则可知，将、、代入列出方程组，求出，即可求得，相减即得答案.【详解】∵，∴.∵，∴∴∴，∴.故答案为：【点睛】本题考查了复数的代数表示法及运算性质，需要学生掌握复数的代数表示与向量的对应关系，属于基础题.三、解答题4．已知，求.【答案】【解析】表示两点距离，可得△AOB为等边三角形，即可求解.【详解】向量表示的复数为，∴，则△AOB为等边三角形，∴∠AOC=30°，则，∴，表示的复数为，∴.【点睛】本题考查复数几何意义的应用，属于基础题.5．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数